Positions relatives de droites et de plans

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1 TS éométrie dans l espace I Positions relatives de droites et de plans I.1 Positions relatives de deux droites Propriété : eux droites d 1 et d 2 sont soit coplanaires (appartiennent à un même plan), soit non coplanaires. xemple 1 : est un cube. Les droites () et ( ) appartiennent au même plan sont Les droites () et ( ) appartiennent au même plan sont Les droites () et () sont Remarque 1 Si deux droites ne sont pas coplanaires, alors elles ne sont ni sécantes, ni parallèles. I.2 Positions relatives d une droite et d un plan Propriété : Une droite d et un plan P sont soit sécants, soit parallèles. xemple 2 : I est un cube. La droite (I) et le plan () sont La droite () est dans le plan ( ). La droite () et le plan () sont My Maths Space 1 sur 10

2 TS éométrie dans l espace I.3 Positions relatives de deux plans Propriété : eux plans P 1 et P 2 sont soit sécants, soit parallèles. xemple 3 : est un cube. Les plans () et () sont suivant Les plans () et ( ) sont II II.1 Parallélisme dans l espace Parallélisme d une droite avec un plan P II.2 Parallèlisme de deux plans P P My Maths Space 2 sur 10

3 TS éométrie dans l espace d 1 P Q d 2 P xemple 4 : I M onstruire la section d un cube. onstruire sur la figure ci-contre l intersection du plan (IMJ) avec le cube. J P d d P xemple 5 : pplication du théorème du toit. est une pyramide. Le segment [ ] est parallèle à l arête []. est un point du plan (). onstruire en justifiant, l intersection du plan ( ) avec la pyramide et l intersection des plans () et ( ). My Maths Space 3 sur 10

4 TS éométrie dans l espace III III.1 Orthogonalité dans l espace roites orthogonales Théorème 1 : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l une est orthogonale à l autre. xemple 6 : est un cube. Les droites () et ( ) sont Les droites () et ( ) sont n effet Remarque 2 : eux droites perpendiculaires sont eux droites perpendiculaires sont III.2 roite orthogonale à un plan éfinition : Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan. Propriété : Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan. xemple 7 : est un cube. () est aux droites () et () et () sont sécantes et définissent le plan () donc e plus My Maths Space 4 sur 10

5 TS éométrie dans l espace IV Vecteurs de l espace ÉNÉRLISTION omme point de départ, on généralise les propriétés vues dans le plan concernant les vecteurs : = parallélogramme; Règles de calcul : pour tous réels k, k et tous vecteurs u, v, k(k u) = kk u (k + k ) u = k u + k u k( u + v) = k u + k v ; u et v colinéaires il existe k R tel que v = k u ; eux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires ; Relation de hasles et régle du parallélogramme (addition vectorielle) ; M appartient à la droite d passant par et de vecteur directeur u si et seulement si il existe un réel t tel que M = t u (dessin)... IV.1 Vecteurs coplanaires éfinition : es vecteurs sont coplanaires si et seulement si en trçat leurs représentants à partir d un même point, leurs extrémités sont coplanaires avec. xemple 8 : est un cube. iter trois vecteurs coplanaires ; eux vecteurs sont toujours coplanaires, contrairement à deux droites. Illustration : IV.2 aractérisation vectorielle d un plan iter trois vecteurs non coplanaires ; Un plan est défini par trois points non alignés. Or si l on considère 3 points non alignés,, et, les vecteurs, ne sont pas colinéaires. Un plan est donc également défini par la donnée d un point et de deux vecteurs non colinéaires appelés : vecteurs directeurs du plan. nsi, par exemple, et sont des vecteurs directeurs du plan (), M () il existe des réels x et y tels que M = x + y [1] Un point du plan et deux vecteurs directeurs non colinéaires, définissent un repère du plan de sorte que : [1] M a pour coordonnées (x; y) dans le repère (; ; ). Propriété 1 Soit u et v deux vecteurs non colinéaires. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe des reéls x et y, tels que : w = x u + y v Remarque 3 Une droite d de vecteur directeur w est parallèle à un plan P de vecteurs directeurs u et v si et seulement si u, v et w sont coplanaires. (dessin) My Maths Space 5 sur 10

6 TS éométrie dans l espace IV.3 IV.3.1 Repères de l espace écomposition d un vecteur On retient : ans le plan, on peut décomposer tout vecteur sur 2 vecteurs non colinéaires ; ans l espace, on peut décomposer tout vecteur sur 3 vecteurs non coplanaires. Soit,, et quatre points non coplanaires de l espace. Pour tout point M, il existe des réels x, y, z tels que : M = x + y + z, e triplet est unique. (démontré en T) M ompléter : M = IV.3.2 Repérage de l espace éfinition : Un repère de l espace est formé d un point (origine) et de trois vecteurs non coplanaires. après ce qui précède, en posant = O, = i, = j et = k, on en déduit : OORONNÉS UN POINT ( Soit O, i, j, ) k un repère de l espace : Pour tout point M de l espace, il existe un triplet (x; y; z) de réels tels que OM = x i + y j + z k. On note M(x; y; z) ; Les trois nombres x(abscisse), y(ordonnée) et z(cote) sont les coordonnées de M. Pour tout vecteur u, il existe un point M tel que OM = u (représentant), donc on peut définir de manière analogue les coordonnées d un vecteur OORONNÉS UN VTUR ( Soit O, i, j, ) k un repère de l espace : Pour tout vecteur u, il existe un triplet (x; y; z) de réels tels que u = x i + y j + z k. On note u x y. z Toute une série de propriétés à connaître pour travailler avec les coordonnées de vecteurs ( Soit O, i, j, ) k un repère de l espace : Si u x y et v x y alors u + v x + x y + y et k u kx ky, k R. z z z + z kz eux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Si (x ; y ; z ) et (x ; y ; z ) alors x x y y et le milieu de [] a pour coordonnées z z ( x + x ; y + y ; z ) + z My Maths Space 6 sur 10

7 TS éométrie dans l espace IV.3.3 Représentation paramétrique d une droite Représentation paramétrique d une droite k (x 0, y 0, z 0 ) roite d Vecteur directeur u u α β γ Le droite d passant par (x 0, y 0, z 0 ) et admettant le vecteur u comme vecteur directeur a pour système d équations paramétriques : x = x 0 + tα y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ t R i 0 j une valeur du paramètre t, correspond un unique point de coordonnées (x, y, z) de d et réciproquement. émonstration xemple 9 { x = 4 5t y = 2 + 2t z = 1 + 3t t R 1. onner un point et un vecteur directeur u de d : Quel point obtient-on pour t = 1? 3. Écrire en fonction de u. 4. Le point ( 6; 2; 7) appartient-il à la droite d? est une représentation paramétrique d une droite d. IV.3.4 Représentation paramétrique d un plan k v α β γ (x 0, y 0, z 0 ) u α β γ Représentation paramétrique d une droite Le plan P passant par (x 0, y 0, z 0 ) et admettant les vecteur u et v comme vecteurs directeurs a pour système d équations paramétriques : x = x 0 + tα + t α y = y 0 + tβ + t β z = z 0 + tγ + t γ t, t R i 0 j un couple de paramètres (t, t ), correspond un unique point de coordonnées (x, y, z) de P et réciproquement. émonstration xemple 10 Soit R( 6; 2; 7), u par u et v ( ) 1 ( ) 1 2 et v 1. onner une représentation paramétrique du plan P passant par et dirigé 3 4 My Maths Space 7 sur 10

8 TS éométrie dans l espace V Produit scalaire dans l espace V.1 xtension à l espace du produit scalaire dans le plan éfinition : Soit u et v deux vecteurs de l espace et, et trois points tels que u = et v =. Il existe au moins un plan P contenant, et. On définit le produit scalaire de u et v comme étant le produit scalaire u. v dans le plan P. (dessin) On peut ainsi étendre à l espace des expressions et propriétés du produit scalaire : vec le projeté orthogonal : u. v = u. v où v est le projeté orthogonal de v sur u. insi, si u =, v = et v = vec le cosinus ( u et v non nuls) :. =. u. v = u v cos( u, v ) utrement dit, si et si,. = cos( ). vec les normes : u. 1 ( v = u + v 2 u 2 v 2) = 1 ( u 2 + v 2 u v 2) ( e qui s écrit aussi, avec le deuxième partie de la formule :. = ) 2 vec un repère orthonormé (O; i; j; k) : u. v = xx + yy + zz si u x y z et si v x y z istance : si (x ; y ) et (x ; y ) alors = (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 autres propriétés : u. v = v. u (k u ). v = k( u. v ) = u.(k v ) où k R u.( v + w ) = u. v + u. w ( u + v ) 2 = u + v 2 = u 2 + v u. v ( u v ) 2 = u v 2 = u 2 + v 2 2 u. v ( u + v ).( u v ) = u 2 v 2 Produit scalaire et orthogonalité : eux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. XRI 1 ans un repère orthonormé,on considère les points (1; 1; 0), ( 1; 2; 1) et (3; 1; 1). alculer., puis et ; en déduire une valeur approchée à 0, 1 près de l angle. XRI 2 On considère un cube. 1. Montrer que la droite () est orthogonale aux droites () et (). 2. Qu en déduit-on pour la droite () et le plan ()? XRI 3 est un tétraèdre régulier d arête a et J désigne le milieu de []. 1. alculer. et.. 2. Montrer que () et () sont orthogonales. My Maths Space 8 sur 10

9 TS éométrie dans l espace V.2 Produit scalaire et orthogonalité V.2.1 Orthogonalité de deux droites Propriété : eux droites d 1 et d 2 de vecteurs directeurs u 1 et u 2 sont orthogonales si et seulement si u 1. u 2 = 0 xemple 11 On considère les droites d 1 et d 2 définies de la façon suivante : d 1 passe par (4; 1; 5) et (6; 4; 5) ; d 2 dont une représentation paramétrique est { x = 4t y = 1 6t, t R. d 1 et d 2 sont-elles orthogonales? z = 3 + t V.2.2 Orthogonalité d une droite et d un plan Propriété : Une droite d de vecteur directeur u d est orthogonale à un plan P de vecteurs directeurs v P et si et seulement si u d. v P = 0 et u d. w P = 0 w P xemple 12 On considère les droites d et le plan P définis de la façon suivante : { x = 6 + 2t 4t P dont une représentation paramétrique est y = 5 + 3t t, t, t R ; z = t { x = 4t d dont une représentation paramétrique est y = 1 6t, t R. d est-elle orthogonale à P? z = 3 + t V.2.3 Vecteur normal à un plan éfinition : Un vecteur n non nul est normal à un plan P si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de P. (dessin) onséquences : Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs qui dirigent le plan ; Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux. Propriétés : eux plans sont parallèles si et seulement si un vecteur normal de l un est colinéaire à un vecteur normal de l autre. (dessin) eux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l un est orthogonal à un vecteur normal de l autre. (dessin) xemple 13 éterminer un vecteur normal à un plan connaissant 3 points du plan : Soit (O; i; j; k) un repère orthonormé. (1; 2; 3), ( 2; 4; 5) et ( 3; 1; 1). Prouver que, et définissent un plan et trouver les coordonnées d un vecteur normal au plan (). V.2.4 Équation cartésienne d un plan Soit un point d un plan P. On a donc, pour tout point M de P, M. n = 0. Réciproquement, si un point M vérifie M. n = 0, alors M est dans le plan P. onséquence : Le plan P qui passe par et qui est orthogonal à n est l ensemble des points M tels que M. n = 0 (dessin) My Maths Space 9 sur 10

10 TS éométrie dans l espace Plan P d c Vecteur normal n n a b c : ans le repère R = (O; i; j; k), tout plan P admet une équation de la forme : (x, y, z ) ax + by + cz + d = 0 (avec a, b et c non tous nuls) k i 0 j et réciproquement l ensemble des points M(x; y; z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal n a b c. xemple 14 : onner une équation du plan P passant par ( 2, 1, 3) et de vecteur normal n ( V.2.5 xercices importants 1. éterminer l intersection d une droite et d un plan : ans un repère orthonormé (O; i; j; k), on considère la droite () où (1; 2; 1) et (0; 1; 3) et le plan P d équation x + y + z 1 = 0. Prouver que () coupe le plan P. Préciser en quel point. ) 2. éterminer la droite d intersection de deux plans : ans un repère orthonormé (O; i; j; k), on considère les plans P et Q d équations respectives x 3y + 2z = 5 et 2x + y + 7z = 1. Prouver que P et Q sont sécants et détermienr une représentation paramétrique de leur droite d intersection. My Maths Space 10 sur 10