Exercices sur les groupes

Transcription

1 Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau Un nouveau groupe R 2. Groupe diédral 3. Groupe cyclique d ordre Générateurs et relations dans un groupe 5. Centre de S n 6. Parties génératrices de S n 7. Partie génératrice à deux éléments de S n 8. Isomorphisme entre groupes quotients 9. Automorphismes intérieurs 10. Centre d un p-groupe 11. Groupes d ordre premier 12. Quotient par le centre Exercices sur les groupes

2 Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau Exercices sur les groupes Énoncés

3 1. Un nouveau groupe R On munit l ensemble R de la loi de composition interne définie par : x, y R x y = 5 x 5 + y 5 Montrer que (R, ) est un groupe isomorphe à (R, +). Indication Solution F. Geoffriau

4 2. Groupe diédral Soit (B, ) le groupe des bijections de C sur C et n un entier supérieur ou égal à 3. On désigne par r et s les deux éléments de B définis par : z C r(z) =ze 2iπ/n et s(z) =z a. Montrer que r n = id C, s 2 = id C, r s r = s et que pour tout p Z, r p s r p = s. b. Démontrer que D = {r h s k ; h, k Z} est un sous-groupe de B et en déduire que tout élément de D peut s écrire de manière unique : r h s k avec h {0, 1,..., n 1} et k {0, 1} Quel est l ordre de D? Le groupe D est appelé groupe diédral. c. Déterminer une figure géométrique dont D est le groupe des isométries la conservant globalement. Indication Solution F. Geoffriau

5 3. Groupe cyclique d ordre 12 Soit G un groupe cyclique d ordre 12. Montrer qu il existe un sous-groupe H d ordre 4, et un seul. Étudier le groupe G/H. Généraliser pour un groupe cyclique d ordre n. Indication Solution F. Geoffriau

6 4. Générateurs et relations dans un groupe Soit G un groupe engendré par deux éléments distincts a et b (et distincts de l élément neutre e) et satisfaisant les relations a 3 = e, b 2 = e et abab = e. Décrire le groupe et indiquer un groupe classique isomorphe. Indication Solution F. Geoffriau

7 5. Centre de S n Montrer que, pour tout n 2, le centre du groupe S n se réduit à la permutation identique de l ensemble {1,..., n}. Étudier pour cela la commutativité d une permutation quelconque σ du centre avec une transposition arbitraire τ ij =(i, j) et montrer que σ laisse invariante la partie {i, j}. En déduire que σ est l identité. Indication Solution F. Geoffriau

8 6. Parties génératrices de S n Soit P la partie de S n constituée des n 1 transpositions de la forme (i, i + 1) avec i {1,..., n 1}. a. Montrer que P engendre S n. Pour cela, établir que toute transposition (i, i + k) (avec k 1) est un produit d éléments de P. b. Montrer que si l on supprime un élément de P, la partie P obtenue engendre un sous-groupe propre de S n (on dit que P est une partie génératrice minimale). Indication Solution F. Geoffriau

9 7. Partie génératrice à deux éléments de S n On considère la transposition τ = (1, 2) et le cycle σ = (1, 2,..., n) du groupe S n. Calculer σ k τσ k pour k {1,..., n 2}. En déduire que τ et σ engendrent S n. Indication Solution F. Geoffriau

10 8. Isomorphisme entre groupes quotients Soit G un groupe et H, K deux sous-groupes de G. a. On suppose que H est distingué dans G. Montrer que H K est distingué dans K, que HK = {hk; h H et k K} est un sous-groupe de G et que K/(H K) HK/H b. On suppose H et K distingués dans G et H K. Montrer que H est un sous-groupe distingué de K, que K/H est un sous-groupe distingué de G/H et que (G/H) / (K/H) G/K Indication Solution F. Geoffriau

11 9. Automorphismes intérieurs Soit G un groupe. a. Soit a G. Montrer que l application ϕ a : G G; x axa 1 est un automorphisme de G, on l appelle automorphisme intérieur de G associé à a. b. À quelle condition nécessaire et suffisante l automorphisme intérieur de G associé à a G est-il confondu avec l application identique? c. Montrer qu un sous-groupe de G est distingué si et seulement s il est stable par tous les automorphismes intérieurs de G. d. Montrer que l ensemble des automorphismes intérieurs de G est un sous-groupe distingué du groupe des automorphismes de G. Indication Solution F. Geoffriau

12 10. Centre d un p-groupe Soit p un nombre premier et G un groupe fini de cardinal p α, α N (un tel groupe est appelé p-groupe). Montrer que son centre Z n est pas réduit à l élément neutre. Indication Solution F. Geoffriau

13 11. Groupes d ordre premier Soit p un nombre premier. Montrer que tous les groupes de cardinal p sont isomorphes à (Z/pZ, +). Indication Solution F. Geoffriau

14 12. Quotient par le centre a. Soit Z le centre d un groupe G. Montrer que si G/Z est cyclique, alors G est abélien. b. En déduire que si G est fini de cardinal p 2, où p est un nombre premier, alors G est abélien. Indication Solution F. Geoffriau

15 Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau Exercices sur les groupes Indications

16 L isomorphisme est l application x x Un nouveau groupe R Indication Énoncé Solution F. Geoffriau

17 a. Calculer b. De même. c. Un polygone par exemple. 2. Groupe diédral Indication Énoncé Solution F. Geoffriau

18 3. Groupe cyclique d ordre 12 Indication Si a engendre G, H = {a 3,a 6,a 9,a 12 } et G/H est un groupe cyclique d ordre 3. Énoncé Solution F. Geoffriau

19 4. Générateurs et relations dans un groupe Indication On a G = {e, a, a 2, b, ab, a 2 b}, il est isomorphe à S 3. Énoncé Solution F. Geoffriau

20 5. Centre de S n Indication Montrer que, que pour tout k / {i, j}, alors σ(k) / {i, j}. Considérer ensuite deux transpositions (i, j) et (i, k) avec j k. Énoncé Solution F. Geoffriau

21 6. Parties génératrices de S n Indication a. Faire une récurrence. b. Si on supprime la transposition (k, k + 1), considérer les parties {1,..., k} et {k + 1,..., n}. Énoncé Solution F. Geoffriau

22 7. Partie génératrice à deux éléments de S n Indication On montre que σ k τσ k =(k +1,k+ 2) et on conclue grâce à l exercice 6. Énoncé Solution F. Geoffriau

23 8. Isomorphisme entre groupes quotients Indication a. Considérer l application f: HK K/(H K); hk k (montrer qu elle est correctement définie) ou l application g: K HK; k k. b. Considérer l application g: G/H K/H qui à la classe de x modulo H associe la classe de x modulo K (montrer qu elle est correctement définie). Énoncé Solution F. Geoffriau

24 9. Automorphismes intérieurs Indication a. Clair. b. Il faut et il suffit que a appartienne au centre de G. c. Écrire. d. On a ϕ a ϕ b = ϕ ab, ϕ 1 a = ϕ a 1 et ϕ ϕ a ϕ 1 = ϕ ϕ(a) pour a, b G et ϕ Aut G. Énoncé Solution F. Geoffriau

25 10. Centre d un p-groupe Indication En faisant opérer G sur lui-même par conjugaison (a x = axa 1 pour a, x G), écrire l équation aux classes p α = G = a Ω [G : G a] où Ω est un ensemble contenant un et un seul élément de chaque classe de conjugaison. Montrer que Z Ω et que tout a Ω \ Z, [G : G a ] divise G = p α. Énoncé Solution F. Geoffriau

26 11. Groupes d ordre premier Indication Considérer l ordre des éléments de G et montrer que G est cyclique. Énoncé Solution F. Geoffriau

27 12. Quotient par le centre Indication a. Soit x G tel que x engendre G/Z. Montrer que, pour tout y G, il existe k Z et c Z tel que y = x k c. b. Utiliser les exercices 11 et 10. Énoncé Solution F. Geoffriau

28 Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau Exercices sur les groupes Solutions

29 1. Un nouveau groupe R Solution La loi est clairement commutative. Soit x, y, z R, on a (x y) z) = 5 (x y) 5 + z 5 = 5 x 5 + y 5 + z 5 = 5 x 5 +(y z) 5 = x (y z) et donc la loi est associative. Soit x R, on a x 0= 5 x = x et x ( x) = 5 x 5 +( x) 5 =0 donc 0 est l élément neutre pour et x est l opposé de x pour. Ainsi (R, ) est un groupe. On considère l application ϕ: R R; x x 5. Il est clair que ϕ est bijective. Soit x, y R, on a ϕ(x y) = (x y) 5 = x 5 + y 5 = ϕ(x)+ϕ(y) Donc ϕ est un isomorphisme du groupe (R, ) sur le groupe (R, +). Énoncé Indication F. Geoffriau

30 2. Groupe diédral Solution Énoncé Indication F. Geoffriau

31 3. Groupe cyclique d ordre 12 Solution Le groupe G étant cyclique, il existe un élément a G engendrant G. Supposons qu il existe un sous-groupe H de G ayant 4 éléments. Soit x H. D après le théorème de Lagrange, x 4 = e où e est l élément neutre de G. Et comme a engendre G, il existe n {0,..., 11} tel que x = a n, d où a 4n = e et donc 12 divise 4n (a est d ordre 12), i.e. 3 divise n. Ainsi H {e, a 3,a 6,a 9 } et comme H admet 4 éléments, on a H = {e, a 3,a 6,a 9 }. Réciproquement la partie {e, a 3,a 6,a 9 } de G est un sous-groupe de G, c est le sousgroupe engendré par a 3. Donc il existe un et un seul sous-groupe d ordre 4 de G et ce sous-groupe est cyclique. Le groupe G/H est d ordre 3 = 12/4, ses éléments sont H, ah et a 2 H. L élément ah est d ordre 3 dans G/H (on a (ah) 3 = a 3 H = H car a 3 H), donc G/H est un groupe cyclique d ordre 3. On aurait pu dire que 3 étant premier, G/H est isomorphe à Z/3Z mais ce raisonnement ne se généralise pas. Soit G un groupe d ordre n N et p un diviseur de n. On montre qu il existe un et un seul sous-groupe H d ordre p de G, qu il est cyclique ainsi que G/H. Énoncé Indication F. Geoffriau

32 4. Générateurs et relations dans un groupe Solution Puisque le groupe G est engendré par a et b, il contient les éléments e, a, a 2, b, ab, a 2 b. Ces éléments sont deux à deux distincts car e, a et b le sont et que a 3 = e (donc a 2 e). Puisque a 3 = e et que b 2 = e, on a a 1 = a 2 et b 1 = b. De plus abab = e, donc On a ba = a 1 b 1 = a 2 b e e = e e a = a e a 2 = a 2 e b = b e ab = ab e a 2 b = a 2 b a e = a a a = a 2 a a 2 = e a b = ab a ab = a 2 b a a 2 b = b a 2 e = a 2 a 2 a = e a 2 a 2 = a a 2 b = a 2 b a 2 ab = b a 2 a 2 b = ab b e = b b a = a 2 b b a 2 = ab b b = e b ab = a 2 b a 2 b = a ab e = ab ab a = b ab a 2 = a 2 b ab b = a ab ab = e ab a 2 b = a 2 a 2 b e = a 2 b a 2 b a = ab a 2 b a 2 = b a 2 b b = a 2 a 2 b ab = a a 2 b a 2 b = e On remarque qu il y a trois éléments d ordre 2 qui sont b, ab et a 2 b et deux éléments d ordre 3 qui sont a et a 2. En identifiant a avec le cycle (1, 2, 3) et b avec la transposition Énoncé Indication F. Geoffriau

33 (1, 2), on montre que G est isomorphe au groupe S 3. La bijection entre les deux ensembles est G S 3 e id {1,2,3} a (1, 2, 3) a 2 (1, 3, 2) b (1, 2) ab (1, 3) a 2 b (2, 3) et pour montrer qu il s agit d un morphisme de groupes, il suffit de comparer les tables de chacun des deux groupes. Énoncé Indication F. Geoffriau

34 5. Centre de S n Solution Soit σ une permutation du centre de S n. Soit i, j, k {1,..., n} deux à deux distincts. La permutation σ commute avec la transposition τ ij, donc σ(k) =σ τ ij (k) =τ ij σ(k) donc σ(k) n appartient pas à {i, j}. Ainsi σ laisse invariante la partie {1,..., n} \ {i, j} et comme c est une bijection, elle laisse aussi invariante la partie {i, j}. De même, σ laisse invariante la partie {i, k}, donc par intersection il en est de même pour la partie {i}. Ainsi σ(i) = i. Ceci étant vrai pour tout i {i,..., n}, σ = id E. Le centre de S n est réduit à l identité. Énoncé Indication F. Geoffriau

35 6. Parties génératrices de S n Solution a. Soit i {1,..., n 1}. La transposition (i, i+1) appartient à P, c est donc un produit d éléments de P. Soit k {1,..., n i 1}, supposons que la transposition (i, i + k) soit un produit d éléments de P. Alors (i, i + k + 1) = (i + k, i + k + 1)(i, i + k)(i + k, i + k + 1) (regarder les images de i, i+k et i+k+1 par le produit). Donc la transposition (i, i+k+1) est un produit d éléments de P. Ainsi par récurrence, pour tout k {1,..., n i}, la transposition (i, i + k) est un produit d éléments de P. En conclusion, toute transposition est un produit d éléments de P et par conséquent toute permutation est un produit d éléments de P, la partie P est une partie génératrice de S n. b. Soit k {1,..., n 1}. On pose P = P \{(k, k + 1)}, I = {1,..., k} et J = {k +1,..., n}. Les transpositions de P laissent stables les parties I et J, donc leurs produits laissent aussi ces parties stables. Or la transposition (k, k + 1) ne laisse pas ces parties stables, cette transposition ne peut donc pas s écrire comme un produit d éléments de P. Ainsi P n est pas une partie génératrice de S n et P est une partie génératrice minimale de S n. Énoncé Indication F. Geoffriau

36 Attention : contrairement aux espaces vectoriels, les parties génératrices minimales n ont pas toutes même cardinal, voir l exercice 7 pour une autre partie génératrice minimale de S n, celle-ci n ayant que 2 éléments. Énoncé Indication F. Geoffriau

37 7. Partie génératrice à deux éléments de S n Solution Soit k {1,..., n 2}. La permutation σ k envoie k sur 1, k + 1 sur 2 et envoie donc les autres sur des éléments distincts de 1 et 2. Soit i {1,..., n}\{k, k +1}, σ k (i) est distinct de 1 et de 2, il est donc invariant par τ, et De plus σ k τσ k (i) =σ k( σ k (i) ) = i σ k τσ k (k) =σ k τ(1) = σ k (2) = k +1 σ k τσ k (k + 1) = σ k τ(2) = σ k (1) = k Donc σ k τσ k est la transposition (k, k + 1). Ainsi toute transposition de la forme (k, k + 1) est produit de σ et de τ. Comme ces transpositions engendrent S n (6), toute permutation de S n est produit de σ et de τ. La partie {σ, τ} est une partie génératrice de S n, elle est évident minimale. Énoncé Indication F. Geoffriau

38 8. Isomorphisme entre groupes quotients Solution a. Soit a K et x H K, on a axa 1 H K car H est distingué dans G et car K est un sous-groupe de G. Donc H K est un sous-groupe distingué de K. Soit x, y HK, il existe h, h H et k, k K tels que x = hk et y = h k. Comme H est distingué dans G, on a kk 1 h k k 1 H, donc hk (h k ) 1 = hkk 1 h = ( h(kk 1 h k k 1) (kk 1 )) HK De plus HK est non vide, donc HK est un sous-groupe de G. Le sous-groupe H est inclus dans HK et étant distingué dans G, il est distingué dans HK, ainsi le quotient KH/H a du sens. En composant l injection canonique de K dans HK avec la surjection canonique de HK sur HK/H, on obtient le morphisme ϕ K HK/H x Hx Par définition de HK, ce morphisme est surjectif (toute classe d éléments de HK a un représentant dans K). Et son noyau est H K, il induit donc un isomorphisme de K/(H K) sur HK/H. Énoncé Indication F. Geoffriau

39 b. Il est clair que si H est distingué dans G, il est à fortiori distingué dans K. La partie K/H de G/H est non vide. Soit α, β K/H, il existe a, b K tels que α = ah et β = bh. Alors αβ 1 = ah b 1 H = ab 1 H et comme ab 1 K, αβ 1 K/H. Ainsi K/H est un sous-groupe de G/H. Soit α G/H et ξ K/H, il existe a G et x K tels que α = ah et ξ = xh. Alors αξα 1 = ah xh a 1 H = axa 1 H Comme K est distingué dans G, axa 1 K et αξα 1 K/H. Donc K/H est distingué dans G/H. On considère la surjection canonique de G sur G/K. Son noyau est K et puisque H K, elle induit un morphisme (surjectif) ψ G/H G/K xh xk dont le noyau est K/H. On obtient donc un isomorphisme de groupes entre G/K et (G/H) / (K/H). Énoncé Indication F. Geoffriau

40 a. Soit x, y G, on a 9. Automorphismes intérieurs Solution ϕ a (x)ϕ a (y) =axa 1 aya 1 = axya 1 = ϕ a (xy) Donc ϕ a est un morphisme de groupes. Notons e l élément neutre de G. Soit x G, on a ϕ a (x) =e axa 1 = e x = a 1 ea = e Donc ker(ϕ a )={e} et ϕ a est injective. Soit x G, on a ϕ a (a 1 xa) =a(a 1 xa)a 1 = x Donc ϕ a est surjective. Ainsi ϕ a est un automorphisme de groupes. b. On a ϕ a = id G x G ϕ a (x) =x où Z(G) est le centre de G. x G x G a Z(G) axa 1 = x ax = xa Énoncé Indication F. Geoffriau

41 c. Soit H un sous-groupe de G. Supposons que H soit un sous-groupe distingué. Soit a G, on a ah = Ha, d où ϕ a (H) =aha 1 = H et ainsi H est stable par ϕ a. Réciproquement, supposons H stable par tout automorphisme intérieur. Soit a G, on a ϕ a (H) H et ϕ a 1(H) H, d où aha 1 H et a 1 Ha H, i.e. ah Ha et Ha ah, ainsi ah = Ha. Et donc le sous-groupe H est distingué. d. On a id G = ϕ e, l identité est donc un automorphisme intérieur. Soit a, b G, on a x G ϕ a ( ϕb (x) ) = abxb 1 a 1 = abx(ab) 1 = ϕ ab (x) donc ϕ a ϕ b est un automorphisme intérieur. De plus ϕ a ϕ a 1 = ϕ e = id G et ϕ a ϕ a 1 = ϕ e = id G donc ϕ a a pour inverse ϕ a 1 qui est un automorphisme intérieur. Ainsi l ensemble des automorphisme intérieur est un sous-groupe du groupe des automorphismes de G. On remarque que l application qui à a G associe ϕ a est un morphisme de groupes. Soit a G et ϕ un automorhisme. On a x G ϕ ϕ a ϕ 1 (x) =ϕ(aϕ 1 (x)a 1 )=ϕ(a)xϕ(a 1 )=ϕ ϕ(a) (x) Donc ϕ ϕ a ϕ 1 = ϕ ϕ(a) qui est un automorphisme intérieur. Ainsi le sous-groupe des automorphismes intérieur est distingué dans le groupe des automorphismes de G. Énoncé Indication F. Geoffriau

42 10. Centre d un p-groupe Solution Le groupe G agit sur lui-même par conjugaison : pour a, x G, a x = axa 1. Soit Ω un ensemble contenant un et un seul élément de chaque classe de conjugaison. Soit a Ω, la classe de a est la partie G a = {xax 1 ; x G}. Si a est dans le centre de G, alors il commute avec tout élément de G et sa classe est {a}. Soit G a = {x G; xax 1 = a} le stabilisateur de a dans G. Soit x, y G tels que y xg a, il existe z G a tel que y = xz et yay 1 = xzaz 1 x 1 = xax 1 car z G a. Ainsi on peut définir l application ϕ:(g/g a ) g G a qui à x associe xax 1 où x est un représentant de x. Cette application est clairement surjective et elle est injective ; en effet soit x, y G tels que xax 1 = yay 1, alors a = x 1 ya(x 1 y) 1, d où x 1 y G a et y xg a. C est donc une bijection. Ainsi comme G est fini, card(g a) =[G : G a ] (l indice de de G a dans G). Comme l ensemble des classes G a, a Ω, forme une partition de G, on a G = a Ω card(g a) = a Ω[G : G a ] Et pour tout a Ω\Z, [G : G a ] divise G = p α (en effet on a G = G a [G : G a ]), donc Énoncé Indication F. Geoffriau

43 puisque [G : G a ] n est pas réduit à un élément (a / Z), il est multiple de p. Et ainsi p α = a Z 1+ a Ω\Z [G : G a ]= Z mod p donc Z = 0 mod p, Z contenant au moins un élément (l élément neutre), il contient au moins p éléments. Énoncé Indication F. Geoffriau

44 11. Groupes d ordre premier Solution Soit G un groupe de cardinal p. Soit a un élément de G distinct de l élément neutre e de G. Son ordre est distinct de 1 et divise p, l ordre de G. L entier p étant premier, l ordre de a est p. Ainsi les éléments e, a,..., a p 1 sont deux à deux distincts et puisque G est de cardinal p, G = {a k ; k =0,..., p 1} et donc le morphisme de groupes Z G k a k est surjectif et son noyau est pz. Donc G est isomorphe à Z/pZ. Énoncé Indication F. Geoffriau

45 12. Quotient par le centre Solution a. Supposons que G/Z est cyclique et que G n est pas abélien. Soit x G \ Z. Puisque x/ Z, sa classe x modulo Z est distincte de la classe de l élément neutre e. Puisque G/Z est cyclique, x engendre G/Z. Soit y G, il existe donc k Z tel que et il existe c Z tel que y = x k c. Mais alors y = x k = x k yx = x k cx = x k xc = xx k c = xy Donc x commute avec tout élément de G et ainsi x Z, ce qui est contraire à l hypothèse sur x. Donc si le groupe G/Z est cyclique, le groupe G est abélien. b. Supposons que G ne soit pas abélien. L ordre du sous-groupe Z divise l ordre p 2 du groupe G. Puisque p est premier, l ordre de Z est soit 1, soit p, soit p 2. D après 10, Z n est pas réduit à l élément neutre, donc Z n est pas de cardinal 1. Puisque Z G, Z n est pas de cardinal p 2 Ainsi Z est de cardinal p et le groupe G/Z est de cardinal p 2 /p = p. Puisque p est premier, d après 11, G/Z est cyclique. Et d après la question précédente, G est abélien. Contradiction. Donc G est abélien. Énoncé Indication F. Geoffriau