TD 3 Analyse (Bolzano-Weierstrass, fonctions numériques, point fixe, Newton)
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- Eveline Chabot
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1 Centre Condorcet 1 TD 3 Analyse (Bolzano-Weierstrass, fonctions numériques, point fixe, Newton) Divers exercice 1 Soit a ]0, 1[ fixé. Il s agit de trouver toutes les applications f : IR IR continues en 0 vérifiant : x IR f(x) 2f(ax)+f(a 2 x)=x 2. On pourra introduire l application g(x) = f(x) f(ax). exercice 2 Soit f :[0, + [ IR une application deux fois dérivable vérifiant f(0)=1,f (0) = 0 et f (x) = x f(x) pour tout x [0, + [. Prouver que : lim f(x) =. x + exercice 3 On considère n +1 points distincts x 0 <x 1 < x n et une application f :[x 0,x n ] IR de classe C n+1 telle que : f(x 0 )= = f(x n )=0. Montrer que pour tout x [x 0,x n ], il existe c [x 0,x n ] tel que : f(x) = 1 n! (Πn k=0(x x k )) f (n+1) (c). Fonctions bornées exercice 4 Soit f une fonction définie sur A IR à valeurs réelles. a) Que signifie f majorée sur A? Que désigne-t-on alors par sup x A f(x)? b) Donner des propriétés de cette dernière notion. c) Soit n un entier naturel non nul. Que vaut sup [0,1] x n? sup [0,1[ x n? exercice 5 Soit f C([a, b]), résoudre le problème : inf c IR f c. (indication : il existe x 0, x 1 dans [a, b] tels que : x [a, b] f(x 0 ) f(x) f(x 1 ) puis x [a, b] f(x 0 ) c f(x) c f(x 1 ) c f(x) c max( f(x 0 ) c, f(x 1 ) c ) f c = max( f(x 0 ) c, f(x 1 ) c )...) 1 DEUG MIAS2, M3a, H. Le Ferrand, U-Bourgogne 2003/2004 1
2 Critère de Cauchy exercice 6 On considère l application f : D IR IR et a un point d accumulation de D. Montrer le résultat suivant : pour que f admette une limite en a il faut et il suffit que ɛ >0 η (x, y) D D (0 < x a ηet0 < y a η) = f(x) f(y) ɛ. (on utilisera le critère de Cauchy pour les suites dans IR) Sur le théorème des valeurs intermédiaires exercice 7 Soit I =[a, b] un intervalle fermé borné etf une fonction continue sur I. Il n est pas difficile de voir (!) que si f(i) I alors f admet un point fixe. Si par contre on a I f(i), f admet-elle un point fixe? (commencer par faire un dessin) exercice 8 Soit f :[a, b] IR un fonction continue et injective. Montrer que f est strictement monotone (indication : on pourra voir que si u<v<walors f(v) est entre f(u) etf(w)). Retour sur Bolzano-Weierstrass, Fonction réciproque exercice 9 Comment justifiez-vous l énoncé suivant : soit f :[a, b] [c, d] continue et bijective, alors la fonction f 1 :[c, d] [a, b] est continue? exercice 10 Montrer à la main que la fonction x x est uniformément continue sur [0, 1]. Est-elle lipschitzienne sur [0, 1]? exercice 11 On considère l application f : IR IR, x 32x x Montrer qu il existe une application g : IR IR unique telle que g soit continue sur IR, f g = f et pour tout x 2,g(x) x. 2. Exprimer g g. Point fixe : aspect local exercice 12 Sit f une application de I IR dans IR (I intervalle) continue, admettant un point fixe x, i.e f(x )=x. On suppose que f est dérivable en x avec f (x ) < 1. Montrer qu il existe un intervalle ouvert centré enx, S, tel que, à chaque fois que x 0 S, les itérées x k+1 = f(x k ) existent et convergent vers x (on pourra faire une figure, puis écrire ce que signifie f dérivable en x ). Contraction exercice 13 Soit f :[a, b] [a, b] continue, dérivable avec pour tout x [a, b], f (x) K (K est fixé dans [0, 1[ ). a) Montrer tout d abord que f est K-lipschitzienne. b) Vérifier que f admet un et un seul point fixe dans [a, b], que l on notera x. c) On cherche à approcher x : on se donne une condition initiale x 0 [a, b] et on considère les itérés x k+1 = f(x k ). Etablir que x x k K n x x 0 puis conclure. 2
3 d) Expliquer pourquoi la majoration de l erreur d approximation x x k n est pas très satisfaisante. Etablir que x x k Kn 1 K f(x 0) x 0. e) Est-il vrai que si x n+1 et x n coïncident avec une précision ε donnée, il en est de même de x n et x? exercice 14 En vous inspirant de l erreur précédent, résoudre l équation : x 3 + x = 1000 (x IR). Même travail avec x +sin x =0.25. La méthode de Newton (à étudier à la maison...) exercice 15 On cherche àrésoudre une équation du type f(x) =0où f est une fonction de classe C 2 sur un intervalle. Approche géométrique A Commenter la figure et montrer que l on considère B C D b) a) Approche analytique x k+1 := x k f(x k) f (x k ). f(x) =f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f (ξ 0)(x x 0 ) 2,ξ 0 (x, x 0 ). Ainsi ˆf(x) =f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) peut être considérée comme une bonne approximation de f(x) au voisinage de x (si x 0 est proche de x ). On regarde l équation ˆf(x) = 0 dont la solution est x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ). L intérêt de cette approche est d envisager d autres méthodes, par exemple la méthode qui consisterait à considérer la suite x k+1 = x k f(x k) f (x 0 ). 3
4 c) Aspect local Vérifier que la méthode de Newton consiste àitérer la fonction ϕ(x) =x f(x) f. Prouver que (x) x attractif. Vérifier que x k+1 x = x k x f(x k) f (x k ) et établir f (x k )(x k+1 x ) = f(x ) f(x k ) f (x k )(x x k ) = 1 2 f (ξ k)(x x k ) 2 ξ k (x,x k ) En déduire x k+1 x (x x k ) 2 1 f (x ) 2 f (x ). d) Aspect global : un exemple. On suppose F de classe C 2 sur [a, b] vérifiant : i) F (a) < 0,F(b) > 0 ii) F (x) 0 sur [a, b] iii) F 0 sur [a, b] iv) F (b) F (b) b a Prouver quela méthode de Newton converge vers l unique solution sur [a, b], x,def(x) =0, pour tout choix x 0 dans [a, b]. ( Graphiquement y Soit x l unique solution de F (x) = 0 (ceci a un a x* b x sens d après i) (existence) et ii) (unicité due à la strict monotonie)). Supposons que a x 0 x : F (x 0 ) x 0 car F (x 0 ) > 0etF (x 0 ) 0. Montrons que x n x,x n+1 x n pour tout n (en particulier a x n x ): 4
5 n = 0 c est vrai supposons la propriété vraie jusqu au rang n, ona: F (x n )=F (x ) F (x n )=(x x n )F (ξ n ) ξ n ]x n,x [ d où F (x n ) (x x n )F (x n )(F ) puis x n+1 = x n F (x n) F (x n ) x n +(x x n )=x (F 0). On en déduit que F (x n+1 ) 0etx n+2 = x n+1 F (x n+1) F (x n+1 ) x n+1. Conclusion : la suite (x n ) est croissante bornée, donc converge vers l avec l = l F (l) F (l), ainsi F (l) = 0 soit l = x. Aprésent si x x 0 b (on voit sur le graphique que x 1 [a, x ]...)ona F (x 0 ) F (x )=F (ξ 0 )(x 0 x ) ξ 0 [x,x 0 ]. Comme F, il vient F (x 0 ) F (x 0 )(x 0 x ) puis A-t-on x 1 a?de F (x 0 ) x 0 (x 0 x )=x. F (x 0 ) = F (b) (b x 0 )F (η 0 ) η 0 [x 0,b] F (x 0 ) F (b) (b x 0 )F (b) il vient : F (x 0 ) x 0 F (x 0) F (b) x 0 F (b) F (b) +(b x 0) x 0 (b a)+(b x 0 )=a ) e) Etudier le cas F (x) =x 2 c (c >0). 5
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