CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N 5

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1 Lycée J.P Vernant - TES Année scolaire 0-0 Mathématiques CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N 5 Exercice :. a) On sait qu'elisa a autant de chance de perdre que de gagner le premier jeu donc pg ) pp ). b) D'après l'énoncé, p Gn G n+ ) 0, 6 et p Pn P n+ ) 0, 7. En particulier, p G G ) 0, 6 et p P P ) 0, 7. On peut donc considérer l'arbre pondéré ci-contre. Comme {G ; P } forme une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales, on a pg ) pg G ) + pp G ) pg ) p G G ) + pp ) p P G ) 0, 6 + 0, 0, + 0, 0, 5 Comme P G alors pp ) pg ) 0, 5 0, 55.. a) On utilise l'arbre pondéré ci-contre. En considérant la partition de l'univers {G n ; P n }, on applique la formule des probabilités totales : De même, u n+ pg n+ ) pg n G n+ ) + pp n G n+ ) pg n ) p Gn G n+ ) + pp n ) p Pn G n+ ) u n 0, 6 + v n 0, 0, 6u n + 0, v n v n+ pp n+ ) pg n P n+ ) + pp n P n+ ) pg n ) p Gn P n+ ) + pp n ) p Pn P n+ ) u n 0, + v n 0, 7 0, u n + 0, 7v n b) Comme P n G n alors v n pp n ) pg n ) u n. Ainsi, pour tout n entier supérieur ou égal à, u n + v n, en particulier, la suite u n + v n ) est constante. c) Pour tout n N, w n+ u n+ v n+ 0, 6u n + 0, v n ) 0, u n + 0, 7v n ), u n +, v n, u n, v n, u n 0, 9v n 0, u n 0, v n 0, u n + v n ) 0, w n Comme w n+ 0, w n pour tout entier naturel n supérieur ou égal à, alors w n ) est géométrique de raison q 0,. d) Par propriété des suites géométriques, pour tout n N, w n w q n avec q 0, et pour premier terme de w n, w u v pg ) pp ). Ainsi, pour tout entier naturel n, w n 0, )n. Or, w n u n v n et on a justié à la question b) que v n u n donc w n u n u n ) u n + u n 7u n. Finalament, pour tout n N, 7u n 0, )n soit 7u n + 0, )n et u n 7 + 0, )n.. a) La probabilité qu'elisa gagne le 5 ième jeu est u , ) ,

2 La probabilité qu'elisa gagne le 8 ième jeu est u , ) , 9 07 b) On cherche à savoir s'il existe n N tel que u n 7. On sait que u n 7 + 0, )n donc il s'agit de résoudre 7 + 0, )n, ce qui revient à 7 0, )n 0. Or, 0, ) n > 0 pour tout n donc 0, )n > 0. L'inégalité 0, )n 0 est impossible donc la probabilité qu'elisa gagne un jeu ne peut pas être inférieure à 7. c) On cherche la limite de u n ) quand n tend vers + : 0, n 0, )n d'où u n 0, 7 + 0, 0, )n. On sait que lim 0, n + )n 0 car c'est du type q n avec q 0, ]0 ; [. On en déduit que lim n + 0, 0, )n 0 puis lim n , 0, )n 7. Cela signie que si Elisa et Lucie jouent un grand nombre de jeux, la probabilité qu'elisa gagne le dernier jeu est 0, 9. 7 Exercice :. f : x, 05 x est la fonction exponentielle de base, 05. Comme, 05 > alors f est strictement croissante sur [0 ; 0]. Soit a ; b) un couple de nombres appartenant à [0 ; 0] tels que a < b. Alors, 05 a <, 05 b puisque la fonction exponentielle de base,0 est strictement croissante sur R. De plus, 0 <, 05 a <, 05 b puisque une fonction exponentielle est toujours strictement positive. La fonction inverse étant strictement décroissante sur ]0 ; + [, on en déduit que, 05 a >, 05 b. On multiplie ensuite par 7 : 7, 05 a > 7, 05 b soit ga) > gb). On a ainsi justié que la fonction g est strictement décroissante sur [0 ; 0]. Plus le prix des livres est grand mais toujours compris entre 0 et 0 euros) plus l'ore est importante et plus la demande est diminuée.. fx) gx), 05 x 7, 05 x. Comme, 05x > 0 pour tout x alors on peut multiplier chaque membre par, 05 x. Ainsi, fx) gx), 05 x ) 7, 05) ) x 7, 05 x 7. On va démontrer que l'équation, 05 x 7 admet une unique solution sur [0 ; 0]. On considère la fonction h : x, 05 x, c'est la fonction exponentielle de base q, 05. Elle est donc continue sur [0 ; 0] et comme q >, h est strictement croissante sur cet intervalle. De plus, h0), 65 et h0) 8, 68 donc h0) < 7 < h0). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que l'équation hx) 7 admet une unique solution α sur [0 ; 0]. Comme l'équation hx) 7 équivaut à fx) gx) d'après la question précédente, cela signie que l'équation fx) gx) admet également pour unique solution le nombre α sur [0 ; 0].. A l'aide de la calculatrice, on constate que h9, 9) 6, 9989 et h9, 95) 7, 00 donc on obtient que 9, 9 < α < 9, 95. On en déduit que α 9, Le prix d'équilibre correspond à la solution de fx) gx), il s'agit du nombre α 9, 9. L'ore et la demande coïncident lorsque le prix des livres est environ de 9,9 euros. La quantité de livre oerte et de livre demandée est alors fα) gα) exprimée en milliers. Comme fα), 05 α, 05 9,9 soit fα), 65, cela signie que la quantité de livres oertes et demandée est d'environ 650 livres arrondi à 0 livres près). Exercice :. On note E, l'événement "la première pomme mangée est empoisonnée" et E l'événement "la deuxième pomme mangée est empoisonnée". D'après l'énoncé, pe ) puisque Blanche-Neige choisit cette 0 pomme parmi 0 et que d'entre elles sont empoisonnées. De plus, p E E ) puisque sur les 9 pommes 9

3 restantes, il n'y en a plus que qui sont empoisonnées si la première pomme était déjà empoisonnée. Enn, p E E ) 9 puisque si la première pomme n'est pas empoisonnée, il en reste sur 9 qui sont empoisonnées lorsque Blanche-Neige mange la deuxième pomme. On en déduit l'arbre de probabilités suivant :. Blanche-Neige survit si les deux pommes choisies ne sont pas empoisonnées donc S E E. P S) pe ) p E E ) Blanche-Neige a été empoisonnée par la deuxième pomme correspond à l'événement D E E. pd) pe ) p E E ) L'événement la deuxième pomme est empoisonnée est E E. Comme {E ; E } forme une partition de l'univers, on peut appliquer la formule des probabilités totales : pe) pe E ) + pe E ) pe ) p E E ) + pd) On note n le nombre de jours où la sorcière se présente. On peut modéliser la situation par un arbre à n branches schématisé ci-dessous : On note A l'événement "Blanche-Neige succombe". Alors A est l'événement correspondant à "Blanche- Neige survit lors des n visites de la sorcière", c'est-à-dire à la liste S ;, S ; S ; ; S). }{{} ) n fois Ainsi, pa) ps) ps) ps) ps)) n 7 n. }{{} n fois

4 ) 7 n On cherche n tel que pa) 0, 99. Or, pa) pa) donc il s'agit de résoudre : ) 7 n ) 7 n 0, 99 0, 99 ) 7 n 0, 0 On pose u n pour tout n N, u n+ u n ) 7 n, il s'agit d'une suite géométrique de raison q 7 en eet, u n ne s'annule pas et ) 7 n+ 7 ) n 7 ) et de premier terme u 0. Comme u 0 > 0 et 0 < q <, u n ) est décroissante. A l'aide du tableau de valeurs de la calculatrice, on constate que u 6 0, 00 et u 7 0, 008. Comme u 6 > 0, 0 > u 7, cela signie que la sorcière doit prévoir de se rendre chez Blanche-Neige pendant 7 jours, soit une semaine. Exercice :. On représente la situation par un arbre pondérée. On note J l'événement "le premier trombone choisi est jaune", J l'événement "le deuxième trombone choisi est jaune", V l'événement "le premier trombone choisi est vert", V l'événement "le deuxième trombone choisi est vert". D'après la répartition des trombones dans la boîte, et l'équiprobabilité de la situation, pj ) cardj ) cardω) n + n. De même, pv ) n n. Si on prélève un trombone jaune, il reste dans la boîte : n jetons jaunes, n jetons verts et n jetons au total donc p J J ) n n et p J V ) n n. Si on prélève un jeton vert, il reste dans la boîte : n + jetons jaunes, n jetons verts et au total n jetons d'où p V J ) n + n et p V V ) n n. On peut représenter la situation par l'arbre pondéré ci-dessous : L'événement "les deux trombones sont de couleurs diérentes" est J V ) V J ). Ainsi, p n pj V ) + pj V ) p J ) p J V ) + pv ) p V J ) n + n n n + n n n + n + )n ) n nn ) n ) nn ) n nn ) n 8n n. a) f est une fonction rationnelle dont les valeurs interdites sont les solutions de 8x x 0. Or, 8x x 0 xx ) 0 x 0 ou x 0 x 0 ou x x 0 ou x Les nombres 0 et ] ne font pas partie de D f 0 ; [ ] [ ; +. La fonction f est ainsi dénie et ] dérivable sur D f 0 ; [ ] [ ; +. f u v avec ux) x et vx) 8x x donc f u v v u v avec u x) 8x et v x) 6x.

5 Pour tout x D f, f x) 8x8x x) 6x )x ) 8x x) 6x 6x 6x 6x 8x + ) 8x x) 6x 6x 6x + 6x + 8x 8x x) x + 6x 8x x) x + 8x ) 8x x) b) Le dénominateur de f x) étant un carré, il est toujours positif. Ainsi, f x) est du signe de son numérateur x + 8x ). On pose P x) x + 8x, alors f x) est du signe de P x). On cherche les racines du polynôme P x). Son discriminant est b ac 8 ) ) > 0. Les racines de P x) sont x b a 8 + et x b + a + 8 On constate que 0 < x < et comme + > alors x >. On sait de plus que P x) est du signe de son coecient dominant a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a à l'intérieur des racines. f ) + + x 0 signe de P x) signe de 8x x) signe de f x) fx) + ) ) ) + 7 ) ) + 7 ) 0,. 7 7 ) + f + ) ) ) ) 7 ) + 7 ) 7 ) ) Comme n, on cherche la valeur maximale de fx) obtenu avec x entier naturel dans [ ; + [. D'après + ) le tableau de variations de f, le maximum est f. Or, +, 9 / N. La valeur maximale de p n sera donc atteinte soit pour n soit pout n d'après le tableau de variations de f puisque < + <. Or, p 8 6 et p 8. Comme 8 8 > 8 probabilité p n est maximale pour n. alors la