Trigonométrie: les fonctions trigonométriques primaires.

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1 Trigonométrie: les fonctions trigonométriques primaires. La trigonométrie est un domaine fondamental de l étude des mathématiques. On y trouve à sa base trois fonctions appelées fonctions trigonométrieques primaires. On a donné à ces trois fonctions des noms très particuliers: sinus, cosinus et tangente. Les abbréviations communément utilisées sont sin, cos et tg. (À noter, qu en anglais l abbréviation de tangente est tan.) Quoiqu il existe plusieurs définitions équivalentes de ces trois fonctions nous allons présenter la définition la plus simple: celle basée sur des triangles rectangles. Les trois fonctions sin, cos et tg associent à un angle d un triangle rectangle (autre que l angle droit) un rapport de longueurs des côtés du triangle en question. À partir du triangle rectangle dans la figure ci-dessous on définit les valeurs des ces fonctions pour des angles aigus. Figure : Triangle rectangle pour les fonctions trigonométriques Pour l angle A, sin A cos A tg A longueur du à A longueur de l hypoténuse longueur du côté adjacent à A longueur de l hypoténuse longueur du à A longueur du côté adjacent à A Notons que la valeur de tg A peut être obtenue à partir de des valeurs de sin A et cos A: tg A sin A cos A

2 # $ La valeur d une fonction trigonométrique à un angle donné ne dépend pas de la grandeur du triangle mais seulement du rapport de la longueur des côtés de ce triangle. Dans la figure ci-dessous on retrouve deux triangles semblables et donc le rapport de leurs côtés a correspondants sont égaux: b a b sin A. Donc la valeur de sin A est la même peu importe que l on considère A comme faisant partie du petit ou du grand triangle rectangle. Figure : Triangles semblables Nous déterminons la valeur des fonctions trigonométriques primaires pour des angles de 0, 45 et 60 degrés ci-dessous. Pour ce faire nous construisons d abord un triangle rectangle avec longueur d hypothénuse égale à comme illustré à la figure suivante.! " Figure : Triangle isocèle

3 Dans la figure, le triangle ABC est isocèle avec deux côtés de longueur x. Donc A et B sont égaux. C étant un angle droit il faut que A + B 90. Donc A 45. De plus nous avons construit ce triangle avec une hypoténuse de longueur. En appliquant le théorème de Pythagore nous obtenons x + x x x x x x (Les longueurs étant seulement positives.) x (Multiplication par ). En utilisant les formules ci-dessus nous obtenons / sin 45 hypoténuse côté adjacent / cos45 hypoténuse / / tg45 adjacent Dans la figure 4 ci-dessous le triangle EDF est un triangle équilatéral avec mesure de pour chaque côté. Donc les angles D, E, F mesurent tous 60. De plus le segment DG de longueur z est une bissectrice de l angle D (donc formant deux angles de 0 ) et est perpendiculaire à la base du triangle. Le segment DG coupe donc la base EF en deux segments EG et GF chacun mesurant z.

4 , ) (,, % & % & % & ' & ' & * + Figure 4: Triangle équilatéral Nous déduisons la longueur y avec l aide du Théorème de Pythagore: z + y ( ) + y y 4 y 4 y y Les longueurs étant seulement positives. En utilisant les formules ci-dessus nous obtenons 4

5 sin60 hypoténuse / sin0 cos60 hypoténuse / côté adjacent hypoténuse / cos0 côté adjacent hypoténuse / tg 60 adjacent / / tg 0 adjacent / / En imaginant un triangle rectangle (essentiellement invisible) dont les angles internes mesurent 0, 90 et 90 on obtient pour les fonctions sin et cos les valeurs suivantes: sin0 hypoténuse 0 0 cos0 côté adjacent hypoténuse sin90 hypoténuse côté adjacent cos90 hypoténuse 0 0 Résumons ces valeurs obtenues pour 0, 0, 45, 60 et 90 dans un tableau qui nous permettra de nous souvenir de ces valeurs plus aisément: A sin 0 4 cos 4 0 Pour trouver les valeurs de ces fonctions pour d autres angles on utilise normalement une calculatrice munie de ces fonctions. En trigonométrie il y a trois autres fonctions appelées des fonctions trigonométriques secondaires: sécante, cosécante et cotangente avec abbréviations sec, cosec et cotg re- 5

6 spectivement. (À noter, qu en anglais les abbréviations de cosécantes et cotangente sont csc et cot.) On les définit comme suit: sec A cosec A cotg A cos A sin A tg A Les fonctions trigonométriques servaient initialement comme outil de résolution de triangle. Voici une exemple. Un triangle rectangle dont l hypoténuse mesure cm contient un angle de 7. Trouver la longueur de chacun des côtés. Solution: Puisqu il s agit d un triangle rectangle les deux autres angles sont 90 et 80 (7 + 90) 6 Nous avons sin7 côté adjacent et cos7 À l aide d une calculatrice on obtient sin 7 0, 4540 et cos 7 0, 890. Donc un des côtés mesure 0, 4540, 60 cm tandis que le deuxième côté mesure 0, 890, 670 cm. (Ce ne sont que des approximations puisque les calculatrices ne peuvent pas produire les nombres exacts). Un deuxième exemple: Sans utiliser la calculatrice trouve la valeur de tg 0. Solution: tg 0 sin0 cos 0 c Club Pythagore, 007 6