Méthodes de Monte Carlo en Finance. Notes de cours

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1 Méthodes de Monte Carlo en Finance Notes de cours Bruno Bouchard Université Paris-Dauphine Cette version : Septembre Première version: 22

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3 Table des matières 1 Généralités et nombres aléatoires Notions générales Loi uniforme Autres lois Méthode d inversion Méthode du rejet Méthode par transformation Variables corrélées et techniques par conditionnement Notion de discrépance Généralités Cas des suites uniformément distribuées Suites à discrépance faible Méthodes de discrétisation Modèle de Black-Scholes Schéma de discrétisation Discrétisation d Euler Schéma de Milshtein Options Asiatiques Schémas simples Schéma avec développement dans le modèle de Black-Scholes Options à barrière Approche naive Approche par les ponts de diffusion Options Lookback Options Américaines Réduction de la variance Contrôle antithétique Régularisation du payoff Variable de contrôle Motivation et exemples

4 4 TABLE DES MATIÈRES Approche systématique Méthode adaptative Fonction d importance Un exemple Approche systématique Fonction d importance optimale et algorithme de Robbins Monro 52 4 Calcul des sensibilités Approche par différences finies Grecques dans le modèle de Black et Scholes Processus tangent Notions de processus tangent Processus tangent et delta Processus tangent et véga exercice Calcul de Malliavin Introduction au calcul de Malliavin Calcul de Malliavin et sensibilités Espérances conditionnelles et options américaines Approche par calcul de Malliavin Espérances conditionnelles et densités Application à l évaluation d options américaines Méthodes de quantification Compléments exercices Simulation d un CIR : schéma exact Simulation d un CIR : schéma d Euler implicite Discrétisation d EDSR Approximation du temps de sortie d une diffusion Algorithme de Robbins Monro Méthode de rejet avec recyclage Estimation d espérances conditionnelles Variables antithétiques Un exemple de réduction de variance par intégration par parties et conditionnement Suites uniformes randomisées

5 Introduction Dans les modèles sans friction ni contrainte, le prix d une option européenne, sur un sous-jacent X = X t t, de payoff actualisé gx, s écrit comme l espérance sous une probabilité risque neutre, unique si le marché est complet, de sa valeur liquidative : p, x = E gx X = x. Il existe de multiples manières d évaluer cette espérance : approche par arbres, par équations aux dérivées partielles EDP,... Ici, nous nous concentrons sur l approche Monte-Carlo. Elle consiste à simuler un grand nombre de réalisations de gx puis à en prendre la moyenne ˆp, x, la loi des grands nombres assurant la convergence de ˆp, x vers p, x. Le Chapitre 1 est consacré à des généralités sur les méthodes de Monte-Carlo et aux principaux modes de génération de nombres "aléatoires". Si g dépend de toute la trajectoire de X, ou si X est solution d une équation différentielle stochastique EDS dont on ne connaît pas explicitement la solution, il est généralement impossible de simuler parfaitement gx. Il faut alors recourir à une approximation qui correspond à une discrétisation en temps. Ces techniques seront étudiées dans le Chapitre 2. Même lorsqu on sait simuler gx, il arrive que la variance de l estimateur soit trop grande pour que celui-ci soit fiable. Le Chapitre 3 est consacré aux techniques de réduction de variance. Connaître le prix auquel on peut vendre une option est important, mais il faut ensuite pouvoir se couvrir. La couverture étant définie à partir du delta, la dérivée de p, x par rapport à x, il faut pouvoir l estimer. Le Chapitre 4 est consacré à ce sujet. Il sera l occasion d introduire les notions de processus tangent et de dérivée de Malliavin. Enfin, lorsque l option est de type américaine, les méthodes de Monte-Carlo standard conduisent à estimer un très grand nombre d espérances conditionnelles. Nous verrons dans le dernier Chapitre comment la formule d intégration par parties du calcul de Malliavin permet de les ré-écrire sous une forme exploitable numériquement. Nous renvoyons à 41, 47 et 54 pour une présentation théorique des techniques d évaluation et de gestion de portefeuille en finance.

6 Notations On commence par introduire quelques notations. On indentifiera un élément x de R d au vecteur colonne associé de coordonnées x j, j = 1,..., d. On notera M d, l ensemble des matrices carrées de dimension d, de coordonnées a ij. On notera I d la matrice identité de M d et e d le vecteur unité de R d. La norme euclidienne sur R d ou M d sera notée. Pour un élément a de M d, on notera a i le vecteur ligne correspondant à sa i- ème ligne et a j le vecteur colonne correspondant à sa j-ème colonne. La transposée de a M d sera notée a. Pour un ensemble de point x i d i=1, on notera Vectx i d i=1 le vecteur colonne de componsantes x i. Pour x R d, on notera diag x la matrice diagonale de M d dont les éléments diagonaux sont les x i. Pour une fonction f : R d R n, on notera f sa matrice Jacobienne, i.e. f ij = f i / x j. Si f : R d k R n, on notera l f, la matrice Jacobienne obtenue en dérivant par rapport à sa l-ème composante vectorielle, i.e. l fx 1,..., x k ij = f i x 1,..., x k / x j l. On écrira parfois simplement xl f. On notera Cp k resp. Cb k l ensemble des fonctions Ck à croissance polynomiale resp. bornées dont les dérivées sont également à croissance polynomiale resp. bornées. Lorsque la fonction est seulement définie sur A, on notera C k A, Cp k A et Cb k A. N m, Σ désignera la loi normale de moyenne m et de matrice de variancecovariance Σ. On notera souvent par C > une constante générique qui peut changer de valeur d une ligne à l autre.

7 Chapitre 1 Généralités et nombres aléatoires 1.1 Notions générales Les méthodes de Monte-Carlo sont basées sur la loi des grands nombres : on simule un grand nombre de variables aléatoires v.a. indépendantes et de même loi, Y n n de même loi que Y, on prend ensuite la moyenne des valeurs prises, N 1 N n=1 Y n, et on obtient une approximation de E Y. La convergence est assurée par le théorème classique suivant. Théorème Loi des grands nombres Soit Y n n 1 une suite de v.a. réelles intégrables i.i.d. 1 Alors, 1 N Y n E Y 1 p.s. et dans L 1. N n=1 Si en plus les Y n sont de carré intégrable, on peut montrer que la convergence a lieu dans L 2 et on obtient un contrôle de l erreur p.s. et de l erreur L 2. Théorème Soit Y n n 1 une suite de v.a. réelles i.i.d. de carré intégrable. On pose ˆm N := 1 N Y n. N Alors, et 1 = lim sup N = lim inf N n=1 E ˆm N E Y 1 2 = Var Y 1 N N Var Y 1 2 ln ln N ˆm N E Y 1 N Var Y 1 2 ln ln N ˆm N E Y 1 1 Identiquement Indépendemment distribuées, i.e. de même loi et indépendantes, p.s. 7

8 8 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Preuve. La première égalité s obtient en développant le terme de gauche et en utilisant le fait que les Y n E Y 1 sont indépendants et centrés. La seconde est connue sous le nom de Loi du Logarithme itéré. Remarque Il est facile de vérifier que, si Y 1 L 2, ˆσ 2 N := 1 N 1 N Y n ˆm N 2 n=1 est un estimateur sans biais de Var Y 1. D après le Théorème précédent, ˆσ N 2 /N est donc un estimateur sans biais de Var ˆm N. Enfin, le théorème de la limite centrale permet de contruire des intervalles de confiance asymptotiques. Théorème Théorème de la limite centrale Soit Y n n 1 une suite de v.a. réelles i.i.d. de carré intégrable. On suppose que Var Y 1 > et on pose ˆm N := 1 N N Y n et ˆσ N := n=1 1 N 1 N Y n ˆm N 2. n=1 Alors, ˆmN E Y 1 N 1ˆσN > N, 1 en loi. ˆσ N En particulier, pour tout réel c >, N ˆm N E Y 1 P ˆσ N < c où α c = P X > c pour X N, 1. 1 α c On en déduit que, pour N suffisamment grand, la probabilité d avoir E Y 1 ˆm N ± cˆσ N / N est proche de 1 α c. Remarque Une estimation seule ne veut rien dire. L estimateur est une variable aléatoire qui a sa propre variance. Deux estimations différentes peuvent conduire à deux valeurs très différentes. Il est donc important de connaître la variance de l estimateur ou, et c est encore mieux, de fournir un intervalle de confiance. En particulier, lorsque l on voudra donner un prix d option calculé par simulation, il faudra toujours le mettre en perspective avec la variance de l estimateur ou avec un intervalle de confiance, de manière à pouvoir juger de la précision du résultat obtenu.

9 1.2. LOI UNIFORME Loi uniforme En pratique un ordinateur ne sait engendrer que des suites de nombres déterministes : il est incapable de générer une suite "réellement" aléatoire. Par contre, il est possible de constuire des suites de nombres qui se comportent statistiquement comme des suites aléatoires. Les suites les plus courantes produites par les ordinateurs sont calculées à partir d un nombre fini d entiers {,..., M 1}. En divisant par M, on obtient ainsi une suite sur, 1. Elles sont construites sur la base de récurrences de la forme u n+1 = gu n n N où g est une fonction de {,..., M 1} dans lui-même et u, appelé graine, est à initialiser dans {,..., M 1}. On pose alors x n = u n M, 1 n N. L exemple le plus simple est celui de la congruence mixte : gu = Au + C mod M où A et C sont des réels positifs à choisir dans le cas C =, on parle de congruence multiplicative. Remarque Il est clair que de telles suites ne permettent pas de générer tout les réels entre et Par construction, les suites ainsi contruites sont périodiques de période au plus égale à M. Il faut donc s assurer que la période est suffisamment longue par rapport à l utilisation que l on compte en faire. On peut choisir A, C et M de manière à avoir une période maximale, voir Il est nécessaire d initialiser la graine u. Pour obtenir des "tirages" différents, il faut bien évidemment partir d une graine différente. On peut par exemple initialiser la graine en utilisant l horloge de l ordinateur. Ceci doit se faire en tout début de programme. 4. La plupart des générateurs pré-programmés dans les languages de type C sont de ce type. Il faut toujours vérifier que la période est suffisemment grande par rapport à l utilisation que l on veut en faire RAND MAX en C. Nous ne rentrerons pas plus ici dans la description de ces générateurs voir par exemple 25 pour plus de détails. Vous pouvez trouver de bons générateurs sur internet, en consultant par exemple la version en ligne du livre Numerical Recipes 2. Remarque Si U U,1 alors b au + a U a,b. On passe ainsi d un générateur de U,1 à un générateur de U a,b. 2. Si U 1,..., U d sont indépendantes de même loi U,1 alors U 1,..., U d U,1 d. 2 http : // index.cgi

10 1 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Voici un exemple de programme utilisant le générateur rand du C++. #include<iostream.h> / pour cout / #include <stdlib.h> / pour rand,... / #include <time.h> / pour time / void main { int i ; srandunsignedtime NULL ; / initialisation de la graine par l horloge / / Affiche 1 simulations d une uniforme sur,1 / for i = ; i < 1 ;i ++ cout << float rand/rand MAX << "\n" ; / rand renvoie un nombre entier entre et RAND MAX / } 1.3 Autres lois Cette section est consacrée à l étude de différentes méthodes permettant de ramener la simulation d une variable aléatoire quelconque à celle d une variable aléatoire uniformément distribuée sur, 1. On suppose ici que l on sait parfaitement simuler une suite de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d ou sur, 1 d, voir Section Méthode d inversion La méthode d inversion de la fonction de répartition est basée sur le résultat élémentaire suivant : Proposition Soit Y une variable aléatoire réelle à valeurs dans R de fonction de répartition F Y. On pose F 1 Y u := inf{y R : F Y y u} u, 1. 1 Si U U domf 1 alors F Y U et Y ont la même loi. Y Preuve. Il suffit de remarquer que P F 1 Y U y = P U F Y y = F Y y pour tout y R.

11 1.3. AUTRES LOIS 11 Remarque Si Y a pour loi PY = y k = p k, k N, alors, si U U,1 y 1 U p + i 1 y i 1 { P i 1 j= p j<u P n j= p j} a même loi que Y. Pour simuler Y, on simule donc U U,1 et on utilise la boucle p = p ; j = ; Tant que p < U faire { j = j + 1 ; p = p + p j ; } Y = y j ; Evidemment cela peut être très coûteux si la loi de Y est très dispersée. Remarque Certains générateurs de nombres pseudo-aléatoire peuvent renvoyer la valeur. C est par exemple le cas de la fonction ran en C. Si on n y prend pas garde, on est alors amené à calculer F 1 Y ce qui peut poser un problème à l ordinateur et génèrer une erreur si cette quantité n est pas définie comme dans l exemple ci-dessous. On verra dans la sous-section suivante comment gérer ce problème. Exemple Variable à support continu Si Y suit une loi exponentielle Eλ, λ >, on a : F Y y = 1 e λy. Si U U,1, λ 1 ln1 U et Y on donc la même loi. Comme 1 U suit également une loi U,1, λ 1 lnu suit également une Eλ. Pour simuler une loi Eλ, il suffit donc de simuler une variable U U,1 et de poser Y = λ 1 lnu. Pour simuler une suite Y n n N de variables indépendantes de loi Eλ, on simule une suite U n n 1 de variables indépendantes de loi U,1 et on pose Y n = λ 1 lnu n, n 1. Exemple Variable à support discret Si Y suit une loi de Bernouilli de paramètre p, on tire U U,1 et on pose Y = 1 U p. Si Y suit une loi Binomiale de paramètre n, p, c est la somme de n variables de Bernouilli indépendantes de paramètre p. On pose donc n Y = où les U k sont i.i.d. de loi U, Méthode du rejet k= 1 Uk p a- Lois conditionnelles et lois uniformes sur un domaine Proposition Soit Z n n 1 une suite de v.a. i.i.d. à valeurs dans R d et soit D R d tel que P Z 1 D >. On pose ν 1 := inf {k 1 : Z k D} ν n+1 := inf {k > ν n : Z k D} Y n := Z νn n 1.

12 12 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Alors, Y n n 1 est une suite de v.a. i.i.d. de loi ρ donnée par ρa = P Z 1 A Z 1 D, A R d. On vérifie facilement voir preuve ci-dessous que E ν 1 = E ν n+1 ν n = 1/α où α := P Z 1 D. Donc, plus α est petit et plus il y a de rejet, i.e. plus la simulation est coûteuse. Preuve. Les Z n étant indépendants et de même loi que Z 1, on a P ν 1 = k = P Z 1 / D,..., Z k 1 / D, Z k D = 1 α k 1 α où α := P Z 1 D. On calcule alors P Z ν1 A = k 1 P ν 1 = k, Z k A D = α k 11 k 1 P Z k A D = P Z 1 A D /P Z 1 D. On suppose maintenant que P Z νi A i, i = 1,..., n 1 = n 1 P Z 1 A i D /P Z 1 D. Etant donné le résultat précédent, il suffit de montrer que cette propriété implique que n P Z νi A i, i = 1,..., n = P Z 1 A i D /P Z 1 D. Or, P Z νi A i, i = 1,..., n = P Z ν1 A 1,..., Z νn 1 A n 1, ν n 1 = k, ν n = k + j, Z k+j A n j 1,k n 1 i=1 i=1 = P Z ν1 A 1,..., Z νn 1 A n 1, ν n 1 = k 1 α j 1 P Z 1 A n D k n 1 j 1 = P Z ν1 A 1,..., Z νn 1 A n 1 P Z1 A n D /P Z 1 D. Corollaire Soit Z n n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur = d i=1 a i, b i R d et D tel que P Z 1 D >. On pose ν 1 := inf {k 1 : Z k D} ν n+1 := inf {k > ν n : Z k D} Y n := Z νn n 1.

13 1.3. AUTRES LOIS 13 Alors, Y n n 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur D. Preuve. D après la proposition précédente, Y n n 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi ρ donnée par 1 ρa = P Z 1 A D /P Z 1 D = 1 A z1 D zdz. 1 R d D zdz R d Il en découle que Y 1 a pour densité 1 D / R d 1 D zdz sur R d. Exemple Lorsque l on veut simuler une suite Y n n 1 de v.a. indépendantes uniforméments distribuées sur D = {y R d : < y < 1}, il suffit de simuler une suite de v.a indépendantes U n n 1 U 1,1 d et de poser b- Lois à densité ν 1 := inf {k 1 : < U k < 1} ν n+1 := inf {k > ν n : < U k < 1} Y n := U νn n 1. La méthode de rejet est également utilisée lorsque l on ne connaît pas l inverse de la fonction de répartition de Y mais seulement sa densité f Y. La proposition suivante est à l origine d une première méthode. Une seconde, plus simple à mettre en oeuvre, sera présentée dans la section suivante, voir Proposition Proposition Soit f une densité sur R d, Z n n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes de densité g sur R d, et soit U n n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur, 1, indépendantes de la suite Z n n 1. On pose ν 1 := inf {k 1 : fz k > au k gz k } ν n+1 := inf {k > ν n : fz k > au k gz k } Y n := Z νn n 1, où a est un réel fixé vérifiant fz agz pour tout z R d. Alors, la suite Y n n 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de même densité f. Preuve. Utiliser la Proposition Remarque D après l exercice précédent, on a P ν 1 = k = 1 α k 1 α d où E ν 1 = α 1 = a. Etant clair que ν n+1 ν n a la même loi que ν 1 pour n 1, on en déduit que E ν n+1 ν n = a. Ceci montre que plus a est grand et plus le temps de simulation est grand en moyenne. Il faut donc choisir a le plus petit possible.

14 14 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Exemple Soit la densité définie par fy = 2 1 y2 1 1,1 y. π On peut alors prendre g définie par gz = ,1z loi uniforme sur 1, 1 et a = 4/π Méthode par transformation Cette méthode consiste à écrire une v.a. Y comme une fonction g d une autre v.a. X facilement simulable. Elle repose sur la formule de changement de variables suivante : Lemme Formule de changement de variables Soit φ un difféomorphisme d un ouvert D R d sur un ouvert R d, et soit g une fonction borélienne bornée de dans R, alors gvdv = gφu det φu du. D Preuve. Voir par exemple 53. Comme Corollaire immédiat on obtient Corollaire Soit X un vecteur aléatoire de densité f sur R d. On suppose que X D p.s. où D est un ouvert de R d. Soit ψ un difféomorphisme de D sur un ouvert. Alors Y := ψx a pour densité fψ 1 det ψ 1 1. Preuve. Soit h une fonction borélienne bornée de R d dans R. On calcule E hy = E hψx = hψxfxdx. D En applicant le Lemme à φ := ψ 1 et g := h ψ, on obtient : E hy = hψψ 1 yfψ 1 y det ψ 1 y dy = hyfψ 1 y det ψ 1 y dy. La fonction h étant quelconque, ceci conclut la preuve.

15 1.3. AUTRES LOIS 15 a. Cas Gaussien En utilisant cette formule et le fait que ψ 1 = { ψψ 1 } 1, on obtient directement le résultat suivant sur lequel repose les deux principales méthodes de simulation de la loi normale : la méthodes de Box-Müller et l algorithme polaire. Proposition Box-Müller Soit U, V U,1 2 et Alors X, Y N, I 2. X := 2 lnu cos2πv, Y := 2 lnu sin2πv. Cette formule permet donc de simuler deux v.a. gaussiennes centrées réduites indépendantes à partir de deux v.a. indépendantes uniformément distribuées sur, 1. Remarque Encore une fois, il faut faire attention aux valeurs retournées par le générateur de U,1 utilisé. En général, les générateurs pré-programmés en C renvoient des valeurs dans, 1 et non, 1. Il faut donc contrôler qu il ne renvoit pas sinon ln provoque un bug. Ceci revient à utiliser la méthode du rejet, Exemple L algorithme polaire est construit sur le même principe mais évite de faire appel aux fonctions trigonométriques qui peuvent être coûteuses en temps de calcul. Il nécessite par contre de mettre en oeuvre la méthode du rejet pour simuler une v.a. uniformément distribuée sur D = {u, v R 2 : < u 2 + v 2 < 1}, voir Exemple Proposition Algorithme polaire Soit U, V uniformément distribuée sur {u, v R 2 : < u 2 + v 2 < 1}, soit R 2 := U 2 + V 2 et Alors X, Y N, I 2. X := U 2 lnr 2 /R 2, Y := V 2 lnr 2 /R 2. Preuve. On vérifie tout d abord facilement que R 2, θ/2π U,1 2 si R, θ sont les coordonnées polaires de U + iv utiliser le Corollaire D après la Proposition , le couple 2 lnr2 cosθ, 2 lnr 2 sinθ suit une gaussienne N, I 2. Or, cosθ, sinθ = U/R, V/R par construction. Il est facile à partir de ces deux méthodes de simuler une suite de vecteurs gaussiens indépendants de même loi N, I d puisque Y = Y 1,..., Y d N, I d si et seulement si Y i d i=1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi N, 1. Etant donné une matrice définie positive Γ M d et un vecteur µ de R d, on simule également facilement un vecteur de loi N µ, Γ en utilisant la procédure de factorisation de Cholesky.

16 16 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Proposition Soit µ un vecteur de R d et Γ une matrice carrée d d définie positive. 1 Il existe A M d telle que AA = Γ. 2 Si Y N, I d, alors X = µ + AY N µ, Γ. Pour simuler un vecteur gaussien de loi N µ, Γ on procède donc ainsi. On commence par calculer la matrice A en utilisant l algorithme de décomposition de Cholesky voir par exemple 18. On simule ensuite un vecteur Y N, I d en utilisant la formule de Box-Müller ou l algorithme polaire, puis, on calcule µ + AY. b. Loi de Poisson Si T k k 1 est une suite i.i.d. de loi exponentielle Eλ, λ >, alors Y := n=1 n1 { P n k=1 T k 1 P n+1 k=1 T k} suit une loi de Poisson Pλ, i.e. PY = k = λk k! e λ, k. On déduit de l Exemple que, si U k k 1 est une suite i.i.d de loi U,1, alors Y := n=1 n1 { Q n+1 k=1 U k e 1/λ Q n k=1 U k} admet comme loi Pλ. c. Autres lois à densité : méthode du ratio de lois uniformes On peut également utiliser cette approche pour écrire un algorithme proche de celui considéré dans la Section pour les lois à densité mais plus simple à mettre en oeuvre dans la mesure où il ne nécessite pas de trouver une densité g et un réel a telle que f ag, voir Proposition Proposition Soit f une densité sur R et deux réels a 1 R et a 2 >. On suppose que l ensemble D f := { u, v R 2 : < u 2 v } f a 1 + a 2 u est borné. Alors, si U, V est uniformément distribuée sur D f, Z := a 1 + a 2 V/U a pour densité f.

17 1.3. AUTRES LOIS 17 Preuve. U, V ayant pour densité 1 Df / D f, on déduit du Corollaire que U 2, Z a pour densité f U 2,Zw, z = 1 <w fz /2a 2 D f. La densité de Z est donc f/2a 2 D f. Comme f est déjà une densité, on a forcément 2a 2 D f = 1. On peux utiliser la méthode du rejet pour simuler le couple U, V uniformément distribué sur D, en partant d une suite i.i.d. de couples uniformément distribués sur, u v, v D où u = sup fx 1/2, v = inf x a 1fx 1/2 /a 2, v = supx x R x R x R a 1 fx 1/2 /a 2. On peut remarquer que si x 2 fx et fx sont bornés alors u, v et v sont bien finis et donc D f est borné Variables corrélées et techniques par conditionnement Variables corrélées Si X, Y sont corrélées, on peut réécrire leur densité f sous la forme fx, y = f X xfy X = x où f X est la loi de X et f X = x est la loi de Y sachant X = x. Pour simuler X, Y, on commence donc par simuler X selon f X puis on simule Y indépendemment selon la loi f X = x où x est la valeur prise par la simulation de X. Lorsque X et Y sont indépendantes, on a simplement f X = x = f Y et cela revient a simuler X et Y indépendemment, chacun selon sa loi marginale. Techniques par conditionnement 1er cas. On suppose que la loi de Y s écrit f Y y = i p i f i y, où les f i sont des densités et les p i sont positifs et donc ont une somme égale à 1 car f Y est aussi une densité. On peut voir f Y y comme la densité marginale du couple X, Y où X a pour loi PX = i = p i et Y a pour loi f i conditionnellement à {X = i}. On peut donc procéder comme ci-dessus. Cela n a évidemment d intérêt que si l on sait simuler les f i. Par exemple, si Y a pour densité f Y y = αf σ y + 1 αf γ y où α, 1 et f σ resp. f γ est la densité de la loi N, σ 2 resp. N, γ 2, on commence par tirer une loi uniforme U sur, 1. Si U α, on tire ensuite Y selon la loi N, σ 2. Si U > α, on tire Y selon la loi N, γ 2. Ceci revient à poser p 1 = α, p

18 18 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES = 1 α, f 1 = f σ et f = f γ. X suit alors une loi de Bernouilli de paramètre α, i.e. PX = 1 = α. On parle de mélange de gaussiennes. 2ème cas. On peut écrire la loi de Y sous la forme f Y y = gy, xdx, où g est une fonction positive. Là encore, g est la densité d un couple X, Y où Y a pour loi marginale f Y. On peut donc commencer par simuler X selon sa loi marginale f X x = gy, xdy puis on simule Y selon gy, x/f X x où x est la valeur prise par la simulation de X. 1.4 Notion de discrépance Généralités Si U n n 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur, 1, U,1, on a alors d après la loi des grands nombres lim N N 1 1 N n= 1 D U kn, U kn+1,..., U kn+k 1 = k b j a j j=1 pour tout rectangles D := a 1, b 1 a 2, b 2 a k, b k, a j < b j 1 j = 1,..., k de, 1 k. Il est donc naturel de chercher à générer des suites de nombres qui ont le même comportement. Ceci conduit à définir la notion de suite réelle uniforme. Définition Une suite u n n 1 dans, 1 d est dite uniforme sur, 1 d si pour tout x, 1 d on a lim N 1 N N n=1 i=1 d d 1 u i n x i = x i. Il est important de ne pas confondre suite de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d et suite uniforme sur, 1 d. Une suite uniforme sur, 1 d n est pas forcément une suite de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d. Par contre, il est clair, d après la loi des grands nombres, qu une suite de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d est presque surement uniforme. Etant donnée une suite u = u n n 1 uniforme sur, 1 d, on définit les discrépances D pu, N := F x F u Nx L p R d,dx p N {+ }, i=1

19 1.4. NOTION DE DISCRÉPANCE 19 où pour x R d on a posé F x := d x i et FNx u = 1 N i=1 N d 1 y i x i. n=1 i=1 A x R d fixé, le terme F x FN u x correspond à la différence entre le volume théorique du rectangle d i=1, xi et le volume "empiriquement" estimé par la suite u. Si u est uniforme sur, 1 d, alors cette différence doit tendre vers. La discrépance Dpu, N mesure en quelque sorte la bonne répartition des points de la suite u dans l espace, 1 d. Théorème Il y a equivalence entre i u est uniforme sur, 1 d ii lim N D pu, N = pour tout p N {+ } iii La mesure 3 µ u N := 1 N N n=1 δ u n converge étroitement 4 vers la mesure de Lebesgue sur, 1 d. Preuve. Voir par exemple 14 L intérêt de la notion de discrépance réside dans l inégalité de Koksma-Hlawka. Avant d énoncer ce résultat, on a besoin d introduire la notion de fonction à variation finie. On note 1 d le vecteur de R d dont toutes les composantes valent 1. Définition On dit que f :, 1 d R est à variation finie si il existe une mesure signée ν sur, 1 d muni de la tribu borélienne associée telle que ν{1 d } = et d fx = f1 ν x i, 1 i=1 = f ν On note alors V f = ν, 1 d la variation totale de f., 1 d d x i, 1. Remarque Pour I {1,..., d} et x R d, on note x I le vecteur de i-ème composante x i si i I, 1 sinon. Si f :, 1 d R vérifie 5,1 I f x i1... x i I dx I < pour tout I = {i 1,..., i I } {1,..., d}, alors f est à variation finie. 3 δ x denote la mesure de Dirac en x 4 Ceci signifie que,1 d fdµ u N = 1 N N n=1 fu n tend vers,1 d fdλ d pour toute fonction f continue bornée. 5 les dérivées étant prises au sens des distributions. i=1

20 2 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Théorème Inégalité de Koksma-Hlawka Soit f :, 1 d R à variation finie. Pour toute suite u = u n n 1 dans, 1 d on a fxdx 1 N fu n V fd,1 N u, N. d n=1 Pour calculer E fu, U U,1 d, on peut donc utiliser une suite u n n 1 uniforme sur, 1 d et calculer 1 N N n=1 fu n. Plus la discrépance de la suite sera faible et meilleur sera l approximation de E fu. C est une alternative aux méthodes de Monte-Carlo présentées ci-dessus. Lorsque la suite u n n 1 est purement déterministe, comme c est le cas pour les suites à discrépance faible présentées ci-dessous, on parle de Quasi-nombres aléatoires Cas des suites uniformément distribuées Si U n n 1 est une suite de v.a. i.i.d. uniformément distribuées sur, 1 d, elle est p.s. uniforme sur, 1 d. On peut donc calculer sa discrépance DpU, N qui est alors une quantité aléatoire. D après la loi du logarithme itéré, voir Theorem 1.1.2, on peut déjà calculer que lim sup N On a en fait N 2 ln ln N D U, N sup lim sup x,1 d N N 2 ln ln N = sup x,1 d F x1 F x = 1 2. F U N x F x Théorème Si U n n 1 est une suite de v.a. i.i.d. uniformément distribuées sur, 1 d, alors N lim sup N 2 ln ln N D U, N = 1 2. Par ailleurs, où c d lorsque d. E D U, N = cd N, Ce résultat montre en particulier que D U, N O ln ln N N p.s.

21 1.4. NOTION DE DISCRÉPANCE Suites à discrépance faible On peut contruire des suites dans, 1 d dont la discrépance est plus faible que celle obtenue pour les suites de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d. Il existe une vaste litérature sur ce sujet et nous n allons présenté ici que les plus simples à mettre en oeuvre. Il faut bien garder en mémoire que si ces suites ont une discrépances plus faible asymtotiquement lorsque N tend vers l infini, celle-ci dépend généralement de la dimension de manière non-triviale et peut devenir très grande, à N fixé, lorsque la dimension augmente. En grande dimension, il est généralement préférable d utiliser des suites i.i.d. uniformément distribuées sur, 1 d pour lesquelles le comportement asymptotique p.s. ne dépend pas de la dimension voir Théorème On pourra consulter 61 pour une étude comparative de différentes suites et pour plus de référence. Voir également 14. a- Suite de Halton Etant donné un nombre premier p 2 et un entier n, il existe une unique décomposition décomposition p-adique de n sous la forme : n = a n,p + a n,p 1 p a n,p k n,p p kn,p où k n,p est un entier et les a n,p k sont des entiers vérifiant a n,p k p 1 avec a n,p k n,p. Cette décomposition s obtient facilement en utilisant la récurrence On note ensuite r n,p = n a n,p k = r n,p k mod p, r n,p k avec k n,p = min{k 1 : r n,p k+1 = }. Φ p n := an,p = r n,p k 1 an,p k 1 /p n,p k n,p p p. kn,p+1 a 1 k k n,p On construit la suite de Halton u = u n n 1 de la manière suivante. Soit p 1,..., p d les d premiers nombres premiers. Pour chaque n 1 et 1 i d, on pose : Pour cette suite, on a : u i n = Φ pi n. lnn D u, d N O, N voir par exemple 61. C est évidemment mieux que ce que l on obtient avec une suite de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d mais la majoration dépend de la dimension, ce qui n est pas le cas pour les suites de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d sauf en moyenne. En pratique, c est beaucoup moins efficace en grande dimension. Pour d = 1, on parle de suite de Van der Corput.

22 22 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES b- Suite SQRT Pour tout réel x, on pose Entx sa partie entière. Soit p 1,..., p d les d premiers nombres entiers. Pour tout n 1 et 1 i d, on pose u i n = n p i Entn p i. On a alors c- Suite de Faure 1 D u, N = O N 1 ε pour tout ε >. Soit p,d le plus petit nombre premier impair plus grand que d. On définit l application Q qui a un rationel x de la forme x = i x i p i+1,d associe Qx = i j i j i x j mod p,d p i+1,d et on note Q k l application obtenue en composant k fois Q avec la convention que Q est l identité. On définit alors la suite par u i n = Q i 1 n 1 1 n et 1 i d. On a voir 69. D u, N 1 N d d 1 p,d 1 ln2n d! 2 lnp,d + d + 1

23 Chapitre 2 Méthodes de discrétisation La base des méthodes de Monte-Carlo en finance est la capacité à simuler l évolution des processus de prix. On commence donc par s intéresser aux méthodes de simulation d une diffusion de la forme : dx t = bx t dt + ax t dw t, X = x R d Ici, X modélise l évolution de d sous-jacents sur le marché actions par exemples et W est un mouvement brownien standard d-dimensionnel sur un espace de probabilité filtré complet Ω, F, P. On suppose que F = {F t, t, T } est la filtration naturelle complétée de W. En général, on supposera que a et b sont lipschitziennes, i.e. qu il existe K > tel que ax ay + bx by K x y, pour tout x, y R d Cette hypothèse garantit l existence d une solution forte à Modèle de Black-Scholes Dans le modèle de Black-Scholes, la dynamique du prix sous la probabilité risque neutre s écrit dx t = rx t dt + diag X t σdw t, X R d, où r R + est le taux sans risque et σ M d est la matrice de volatilité supposée inversible pour assurer la complétude du marché. Ce système se ré-écrit sous la forme : dont la solution est dx i t = rx i t + X i tσ i. dw t, X i R, i = 1,..., d, X i t = X i exp { r 1 } σ i. 2 t + σ i. W t 2, i = 1,..., d Pour simuler X t, il suffit donc de simuler la valeur de W en t. Les W i t, i = 1,..., d, étant indépendants et de même loi N, t, il suffit donc de simuler d variables aléatoires indépendantes de loi N, t. 23

24 24 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION 2.2 Schéma de discrétisation Discrétisation d Euler Construction La simulation du processus X dans le modèle de Black-Scholes est "exacte" dans la mesure où, à t donné, on peut simuler exactement dans la loi de X t. Cela est possible grâce à la forme particulièrement simple de En général, la solution de 2..1 n a pas une forme aussi simple et l on est obligé de recourir à une approximation de X qui correspond à une discrétisation en temps de l équation On se donne une grille de, T π n := t,..., t i,..., t n avec t i = it/n. On notera n t = T/n et n W i+1 = W ti+1 W ti. L idée de la discrétisation d Euler est très simple. Pour tout i = 1,..., n, on a : X ti = X ti 1 + ti ce qui conduit à la construction du schéma t i 1 bx s ds + ti t i 1 ax s dw s X ti 1 + bx ti 1 n t + ax ti 1 n W i X n = X X n t i = X n t i 1 + b X n t i 1 n t + a X n t i 1 n W i, i = 1,..., n C est l équivalent stochastique du schéma d Euler utilisé pour les équations différentielles ordinaires. La simulation de X n se ramène à la simulation des accroissements de W, où n W i N, n ti d pour tout i = 1,..., n. On introduit maintenant un schéma d Euler "continu". Pour cela on définit la fonction et, à t, T, on associe φ n t := max {t i, i =,..., n, tel que t i t} sur, T, X n t = X n φ n t + b X n φ n t t φn t + a X n φ n t W t W φ n t, ce que l on peut réécrire sous forme intégrale X n t = X + t t b X φ n ds + a X n n s φ dw n s s

25 2.2. SCHÉMA DE DISCRÉTISATION Convergence L p A n fixé, une simple récurrence montre que, sous l hypothèse 2..2, Xn ti L p pour tout i {1,..., n} et p 1. On vérifie maintenant que ceci est vrai uniformément en n. Lemme Sous l hypothèse 2..2, pour tout p 1 1/p Xn t p <. sup E n 1 sup t,t Preuve. On peut toujours supposer que p est pair et plus grand que 4 en utilisant l inégalité des normes L p L 2p. On commence par utiliser l inégalité de Jensen appliquée à l application convexe x x p pour écrire que, pour tout t, T, sup Xn s p = 3 p sup 1 s s X + b s t s t 3 X φ n dr + a X p n n r φ dw r n r s 3 X p 1 p + sup b X p φ n dr s + sup n r a X φ n dw p n r r. s t s t En utilisant de nouveau l inégalité de Jensen appliquée à l application convexe x x p, on obtient s b X p s φ n dr = s p 1 n r s b X p φ n dr s n r s p 1 b Xn φ n r p dr. En utilisant ensuite 2..2, on déduit que s b X p s φ n dr s p 1 n bx + K Xn r φ n r + K X p dr s C 1 + Xn φ n p r dr. Comme, à n fixé, X t n i L p pour tout i, on vérifie en utilisant 2..2 que t a X n φ dw r n r t T est une martingale continue de carré intégrable. En utilisant l inégalité de Burkholder- Davis-Gundy Lemme ci-après, l inégalité de Jensen et 2..2, on obtient alors que E sup s t s a X φ n dw p n r r E t On déduit des inégalités précédentes que t E Xn s p C 1 + E Xn φ n p s ds sup s t a Xn φ n s 2 ds p/2 t a E t p/2 1 Xn φ 2 p/2 n s ds t C 1 + E Xn φ n p s ds. C 1 + t E sup r s Xn r p ds.

26 26 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION Il suffit maintenant d appliquer le Lemme de Gronwall Lemme ci-après à s E sup r s Xn r p pour conclure. On donne maintenant les deux Lemmes techniques que nous avons utilisés voir par exemple 4. Lemme Inégalités de Burkholder-Davis-Gundy Soit M t t u,v une martingale continue sur u, v de carré intégrable. Alors, pour tout m >, il existe k m et K m >, ne dépendant que de m, tels que k m E M v m E sup M t 2m K m E M v m. u t v Lemme Lemme de Gronwall Soit g une fonction continue positive vérifiant gt αt + β t avec β et α :, T R intégrable. Alors, gt αt + β t gsds t, T, αse βt s ds t, T. On étudie maintenant le comportement des incréments de X n entre deux dates de discrétisation. Lemme Sous 2..2, pour tout p 1 max E i n 1 sup t t i,t i+1 X t n X n φ n t p 1/p C/ n. Preuve. On pose p 4 et pair sans perte de généralité. En argumentant comme dans le lemme précédent, on montre que, pour tout i {,..., n 1}, E sup X t n X n φ n p ti+1 CE n p/2+1 b Xn t φ n s p + a Xn φ n s p ds t t i,t i+1 t i Ceci implique, d après 2..2 et le Lemme que E sup X t n X φ n n p ti+1 C n p/2+1 C 1 + E Xn t φ n p s ds t t i,t i+1 Cn p/2, t i ce qui conclut la preuve.

27 2.2. SCHÉMA DE DISCRÉTISATION 27 Remarque Les mêmes arguments que ceux de la preuve précédente montrent que, sous 2..2, pour tout p 1 1/p Xt X φ n p t C/ n. max E i n 1 sup t t i,t i+1 On peut maintenant étudier la vitesse de convergence L p du schéma d Euler. Théorème Sous l hypothèse 2..2, pour tout p 1 E sup t,t Xn t X t p 1/p C/ n. Preuve. On pose p 4 et pair sans perte de généralité. En argumentant comme dans le lemme précédent, on montre que t E Xn s X s p CE Xn φ n s X s p ds. E sup s,t sup s,t On utilise maintenant le Lemme Xn s X s p et on conclut en utilisant le Lemme de Gronwall. t CE Xn s X s p + Xn φ n s X s n t C n p/2 + E Xn r X r p sup r s p ds ds Remarque On considère un payoff qui dépend de la trajectoire de X en un nombre fini de dates s 1,..., s k, k 1. Si g est lipschitzienne, on obtient comme corollaire du Théorème g E Xn φ,..., X n n s 1 φ g X n s1,..., X sk p 1/p C/ n. s k Exemple La remarque précédente montre que le schéma d Euler permet d approximer correctement une moyenne discrète A si k i=1 := 1 k k X si par Ā n s i k i=1 i=1 := 1 k k i=1 X n φ n s i. pour évaluer les options sur moyenne du type A si k K+ call sur moyenne de strike i=1 K, X T A si k + call avec strike flottant, et les puts correspondants. Le Théorème i= nous assure une convergence L p en 1/ n. De la même manière, on peut approximer correctement le maximum discret M si k i=1 := max {X si, i {1,..., k}} par M n s i k i=1 := max { Xn φ n s i, i {1,..., k} }.

28 28 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION Convergence faible En pratique, ce qui intéresse surtout les praticiens c est la convergence du prix "discrétisé" vers le vrai prix, i.e. la convergence de Eg X n T EgX T vers. C est la convergence faible. Théorème Si b, a C 4 b et g C4 p, alors E g X n T gx T C/n. Ce résultat est du à 66. On va le démontrer dans un cadre simplifié. Pour cela, on va partiellement utiliser le Théorème de Feynman-Kac que l on commence par rappeler, voir 4 et 46. Théorème i Supposons que b et a sont lipschitziennes et qu il existe une solution u Cp 1,2 à l équation parabolique alors = u t + d j=1 b j u x j d aa ij 2 u x i x, j i,j=1 sur, T Rd g = ut, sur R d, ut, x = E gx T X t = x et gx T = E gx T + ii Si a C 4 b, b C2 b et g C4 p, alors la réciproque est vraie et u C 4 p. T x ut, X t ax t dw t Eléments de preuve du Théorème Pour simplifier, on suppose que b et a sont bornées, que d = 1 et que la solution u de est Cb. On a alors par Itô sur le schéma d Euler continu E g X T n gx T = E ut, X T n u, X T = E u t s, X s n + b X φ n u xs, X n n s s a2 X φ n u xxs, X n n s s ds. Puisque u est solution de 2.2.5, on a également E g X T n gx T T = E T +E u t s, X s n u t s, X φ n + b X n n s φ u n s x s, X s n u x s, X φ n ds n s 1 2 a2 X φ n u n s xx s, X s n u xx s, X φ n ds n s.

29 2.2. SCHÉMA DE DISCRÉTISATION 29 On considère maintenant le premier terme. Comme u Cb, a et b sont bornées et E Xn t est uniformément borné en t, T et n Lemme 2.2.1, on obtient, en utilisant le Lemme d Itô, que pour tout s, T E s u t s, X s n u t s, X φ n n s = E b X φ n u txs, X n φ n r r n a2 X φ n u txxs, X n n r r dr s C/n. On obtient le même type de majoration pour les autres termes, ce qui implique que E g Xn T gx T C/n, et conclut la preuve. On obtient donc une vitesse de convergence faible en 1/n. Evidemment, l hypothèse g C 4 p n est pas très satisfaisante car généralement non vérifiée en finance. Le résultat précédent peut être amélioré de la manière suivante. Théorème Si b, a C b et si l une des deux conditions suivantes est vérifiée : i g C p, ii g est à croissance polynomiale et il existe ε > tel que, alors ζ, x R d, ζ aa xζ ε ζ, Eg X n T EgX T = C 1 n C k n k + On k 1, k N. Remarque Ce résultat est très important en pratique car il permet de ramener la vitesse de convergence en 1/n 2. En effet, d après le théorème précédent, on a E 2g X 2n T g X n T EgX T = 2C 1 2n C 1 n + 2C 2 4n 2 C 2 n 2 + O1/n3 = O1/n 2. En utilisant 3n pas, on obtient une erreur en O1/n 2. Cette technique est connue sous le nom d extrapolation de Romberg. On peut remarquer que l hypothèse ii du théorème est souvent satisfaite en finance. Dans le modèle de Black-Scholes, on pourra par exemple considérer le ln de la diffusion pour se ramener au cas où ax est constante et satisfait l hypothèse d uniforme ellipticité Il faut cependant faire attention à l accroissement possible de la variance de l estimateur associé à une méthode de Romberg. L article 6 traite se problème et propose des algorithmes efficaces évitant une explosion de la variance.

30 3 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION Schéma de Milshtein Dans la présentation du schéma d Euler, on a utilisé l approximation ti t i 1 ax s dw s ax ti 1 W ti W ti 1 mais on aurait pû utiliser une approximation d ordre supérieur. Pour fixer les idées, on se place en dimension 1 et on suppose que b =. Alors, pour s t i 1, t i s a X s = a X ti 1 + ax t dw t t i 1 a X ti 1 + ax ti 1 W s W ti 1 On utilise maintenant l égalité ti a X ti 1 + a X ti 1 axti 1 W s W ti 1. t i 1 Ws W ti 1 dws = 1 2 { Wti W ti 1 2 n t} ce qui conduit à l approximation ti ax s dw s ax ti 1 1 W ti W { Wti ti 1 + t i 1 2 a X ti 1 axti 1 W 2 ti 1 t} n Le terme de dérive b ayant une contribution inférieure dans l erreur d approximation par rapport au terme de diffusion, il n est pas nécessaire de le corriger. Pour d = 1, on obtient donc le schéma d approximation suivant :,. X n = X X t n i = X t n i 1 + b X t n i 1 n t + a X t n i 1 W ti W ti { Wti 2 a Xn ti 1 ax ti 1 W } 2 t i 1 n t, i = 1,..., n Exemple Dans le modèle de Black-Scholes en dimension 1, la solution de est approchée par X n = X { X t n i = X t n i r σ 2 /2 n t + σ 1 W ti W } 2 ti σ2 W ti W ti 1 En dimension d quelconque, le même raisonnement conduit à consider l approximation suivante :. X n = X X n t i = X n t i 1 + b X n t i 1 n t + a X n t i 1 W ti W ti 1 + d j,l=1 a.j a.l X ti t n i 1 Ws j W j t i 1 dws l, i = 1,..., n. t i

31 2.3. OPTIONS ASIATIQUES 31 Le théorème suivant justifie l introduction de ce schéma dans le sens où il permet d obtenir une vitesse de convergence L p en 1/n au lieu de 1/ n pour le schéma d Euler. Théorème Si b, a Cb 2, alors pour tout p 1 p 1/p max E Xn ti X ti i n C/n. La mise en oeuvre numérique du schéma suppose de savoir simuler correctement l intégrale d Itô t i t i 1 Ws j W j t i 1 dws l ce qui est très difficile en pratique pour d 1. En général, on n utilise ce schéma pour d 2 que lorsque l hyposèse de commutativité a.j a.l = a.l a.j j, l {1,..., d} est vérifiée. Dans ce cas, la formule d intégration par parties du calcul d Itô permet de ré-écrire sous la forme : X n = X X n t i = X n t i 1 + b X n t i 1 n t + a X n t i 1 W ti W ti d j,l=1 d a.j a.j X t n i 1 n t a.j a.l X t n i 1 W j t i W j t i 1 Wt l i Wt l i 1, i = 1,..., n. Il suffit alors de simuler les accroissements de W. Remarque On peut définir des schémas d ordre supérieur, voir par exemple 43 et 44. Mais en général, ils sont très difficiles à mettre en oeuvre numériquement surtout en dimension d > 1. On peut se référer à 19 pour une discussion sur le sujet. Voir également 24 pour un exposé complet sur le schéma d Euler et le schéma de Milshtein. j=1 2.3 Options Asiatiques On s intéresse ici aux options sur moyenne ga T, X T avec A T := T X sds Schémas simples Une première solution pour approcher A T consiste à introduire le schéma d Euler de dont la dynamique est donnée par A t := t X s ds A =, da t = X t dt.

32 32 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION On approche donc A T par Ān T défini par l équation de récurrence stochastique Ā n = X Cela revient à utiliser l approximation Ā n t i = Ān t i 1 + X n t i 1 n t, i {1,..., n}. T X s ds 1 n n 1 i= X n t i. On déduit du Théorème la vitesse de convergence L p de ce schéma. Corollaire Sous 2..2, si g est lipschitzienne, alors, pour tout p 1, gat, X T gān T, X n T L p C/ n. Dans le modèle de Black-Scholes, on peut simuler parfaitement X en un nombre fini de dates. On obtient alors un résultat plus précis. Proposition Si bx = rx, ax = diag x σ, et si g est lipschitzienne, alors, pour tout p 1, où gat, X T gān T, X T L p C/n Ā n T = 1 n 1 X ti. n Preuve. Il suffit de démontrer le résultat pour p pair. Pour t t i, t i+1, on a : i= A t Ān t = A ti Ān t i + t t i X s X ti ds où Ān t t T est le schéma d Euler continu de A. Par ailleurs, en utilisant la version stochastique du théorème de Fubini voir par exemple 62 t t i t s t i s X s X ti ds = rx u du + diag X u σdw u ds = = t i t t i rx u t t u dsdu + t i t urx u du + t i t t t i u t dsdiag X u σdw u t i t udiag X u σdw u. On utilise maintenant le résultat suivant dont la preuve sera donnée à la fin de la section.

33 2.3. OPTIONS ASIATIQUES 33 Lemme Soit z R d et où a, b sont adaptés et satisfont Z t = z + T E t b s ds + t a s dw s b s k + E a s k ds < pour tout k 1. Alors, pour tout q 1, il existe C > tel que E Z t 2q z 2q + C t E Z s 2q + b s 2q + a s 2q ds. En appliquant ce Lemme aux égalités précédentes et en utilisant le fait que X s L p est uniformément bornée sur, T, on obtient que pour tout t t i, t i+1 E A t Ān p t t E A ti Ān t p i + C E A s Ān p s + t s p ds ce qui implique en utilisant le Lemme de Gronwall que E A t Ān p t E A ti Ān t p C i 1 + n + C 1 e C/n, n p+1 d où, pour tout i {,..., n 1}, p E Ati+1 Ān t i+1 E Ati Ān t p C i 1 + n + C 1 e C/n. n p+1 Comme A Ān =, cette récurrence montre le résultat. t i L approche précédente consiste à utiliser une méthode de rectangles pour discrétiser l intégrale. Même si d un point de vue théorique, on obtient la même convergence L p que pour le schéma d Euler, il est en général nettement préférable d utiliser une méthode de trapèzes en considérant à n T = 1 n n 1 Xn t i + X t n i+1 /2. i= Exemple On évalue un call asiatique dans le modèle de Black-Scholes de paramètres r =.1, σ =.2, T = 1, X = K = 1 avec n = 5. Le tableau ci-dessous donne les intervalles de confiance simulés pour les deux méthodes, le prix réel étant d environ 7.4. Nombre de simulations Euler Trapèzes , , , , , , , , 7.9 La sous-estimation du schéma d Euler est flagrante.

34 34 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION Preuve du Lemme Pour simplifier, on suppose que d = 1. Par le Lemme d Itô, on obtient sur, T : Z t 2q = z 2q + t 2qZ s 2q 1 b s + q2q 1Z s 2q 2 a 2 sds + En utilisant les hypothèses sur a et b, on vérifie facilement que de sorte que E Z t 2q = z 2q + t T E a s Z s 2q 1 2 ds <, t 2qZ s 2q 1 a s dw s. 2qE Z s 2q 1 b s + q2q 1E Zs 2q 2 a 2 s ds, t, T. Il suffit maintenant d utiliser les inégalités Z s 2q 1 b s Z s 2q 1 Zs bs + b s 2q 1 Zs < bs Z s 2q + b s 2q Zs 2q 2 a 2 s Zs 2q + a s 2q pour conclure Schéma avec développement dans le modèle de Black-Scholes Dans le modèle de Black-Scholes, on peut améliorer la vitesse de convergence en utilisant un développement de Taylor à l ordre 1 du type, pour d = 1, e r σ2 /2t t i +σw t W ti 1 + rt t i + σw t W ti pour obtenir A T = n 1 ti+1 X ti e r σ2 /2t t i +σw t W ti dt i= A n T := t i n 1 T X ti n + rt 2 2n + σ 2 i= ti+1 t i W t W ti dt On procède alors de la manière suivante : on commence par simuler W ti n i=1 puis on simule A n T conditionnellement à W t i n i=1. Pour cela, on utilise le résultat suivant qui sera démontré dans un cadre plus général par la suite Lemme : Corollaire Soit u < v. Conditionnellement à W u = x, W v = y, le processus W t u t v est un processus gaussien vérifiant pour u s t v E W t W u = x, W v = y = v t v u x + t u v u y, Cov W t, W s W u = x, W v = y = v ts u v u

35 2.4. OPTIONS À BARRIÈRE 35 On en déduit que, conditionnellement à W ti, W ti+1 = x, y, t i+1 t i normale avec pour moments ti+1 E W t dt W ti = x, W ti+1 = y t i = ti+1 t i W t dt suit une loi E W t W ti = x, W ti+1 = y dt et E ti+1 t i ti+1 = 2 t i 2 W t dt W = x, W = y ti ti+1 t t i E W t W u W ti = x, W ti+1 = y dudt, la seconde égalité étant obtenue en utilisant le Lemme d Itô. On en déduit une formule explicite en utilisant et En utilisant ce schéma, on améliore la vitesse de convergence. Proposition Si g est lipschitzienne, alors, pour tout p 1, ga T, X T ga n T, X T L p C/n 3/2. Nous renvoyons à 49 et 68 pour les preuves de ces résultats ainsi que l étude d autres approximations. 2.4 Options à barrière Dans cette section, on s intéresse à l évaluation d espérance de la forme : E 1 τ>t gx T où τ := inf{t, T : X t / D} est le temps de sortie de X d un borélien D de R d, avec pour convention inf = Approche naïve On commence par l approche la plus simple qui consiste à approximer par son équivalent discret E 1 τ n >T g X n T où τ n := inf{t i, i {,..., n} : Xn ti / D} est l équivalent discret de τ. Cette quantité est facilement simulable et on a le résultat de convergence suivant démontré dans 34.

36 36 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION Théorème Si D est borné de frontière D de classe 1 C 3, b et a C 3 avec a strictement uniformément elliptique 2 sur D, alors, pour toute fonction mesurable g bornée qui s annule sur un voisinage de D, on a E 1 τ n >T g X T n 1 E 1 τ>t gx T = O n. Il s agit d un résultat assez négatif dans la mesure où l on perd la vitesse de convergence faible obtenue pour les options vanilla. Nous renvoyons à la Section 6.4 pour une étude de la vitesse de convergence de τ n vers τ, voir également 12 pour le cas où la diffusion n est pas uniformément elliptique Approche par les ponts de diffusion Dans cette partie, nous présentons une autre approche qui permet d améliorer la vitesse de convergence faible du Théorème Cette fois-ci on approche par E 1 τ n >T g X n T où τ n := inf{t, T : Xn t / D} c est-à-dire que l on écrit le problème sur le schéma d Euler continu. On a alors le résultat de convergence suivant démontré dans 35. Théorème Si D est un demi-espace, b et a C 5 avec a strictement uniformément elliptique sur D, alors, pour toute fonction mesurable g bornée qui s annule sur un voisinage de D, on a E 1 τ n >T g X T n E 1 τ>t gx T = C 1 1 n + o n On retrouve ainsi une vitesse de convergence faible en 1/n. Par ailleurs, le premier terme dans le développement suggère de mettre en place une méthode de type Romberg afin d obtenir une vitesse en o 1/n au lieu de 1/n Sur les ponts de diffusions Afin d implémenter cette approximation, on aura besoin du résultat suivant sur la loi du schéma d Euler continu conditioné. 1 i.e. pour tout y D, il existe un voisinage V y de y et un difféomorphisme ϕ de V y B R d tels que i ϕv y D R d + := { x R d : x 1 } ii ϕv y D R d + iii ϕ C 3 V y et ϕ 1 C 3 B. 2 i.e. satisfait pour tout x D..

37 2.4. OPTIONS À BARRIÈRE 37 Lemme On suppose que γx = axa x 1/2 est inversible pour tout x R d. Alors, conditionnellement à X t n i = x i, Xn ti+1 = x i+1, le processus X t n ti t t i+1 a la loi de x i + γx i W t ti t i t t i+1 conditionnellement à W ti+1 t i = γx i 1 x i+1 x i où W est un mouvement brownien. C est un processus gaussien d espérance x i t i+1 t t t x i i+1 t i+1 t i t t i+1. et de matrice de variance-convariance s t it i+1 t t i+1 t i t i+1 t i + γx i 2 pour tout t i s Eléments de preuve. Conditionnellement à X t n i = x i, X t n ti t t i+1 est un processus de diffusion homogène qui admet pour densité de transition { 1 p h x, z = 2πhd detγ 2 x i exp 1 } 2h z x bx ih γ 2 x i z x bx i h. Pour t i s t t i+1 P Xn s dx, Xn t dy, Xn ti+1 dx i+1 Xn ti = x i = p s ti x i, xp t s x, yp ti+1 ty, x i+1 dxdydx i+1 P Xn s dx, Xn ti+1 dx i+1 Xn ti = x i = p s ti x i, xp ti+1 sx, x i+1 dxdx i+1. En divisant le premier terme par le second, on obtient : P Xn t dy Xn s = x, Xn ti = x i, Xn ti+1 = x i+1 = p t sx, yp ti+1 ty, x i+1 p ti+1 sx, x i+1 Ceci montre que p t i+1,x i+1 t i,x i s, x, t, y := p t sx, yp ti+1 ty, x i+1 p ti+1 sx, x i+1 dy. est la densité de transition du processus X t n ti t t i+1 conditionnellement à X t n i = x i, X t n i+1 = x i+1. Le reste en découle par des calculs directs. Remarque En utilisant la propriété de Markov de X n, on vérifie facilement que les processus X n t ti t t i+1 pour i allant de à n 1 sont indépendants conditionnellement à { X n t,..., X n t n } Implémentation On peut maintenant décrire la méthode. On commence par simuler le schéma d Euler X t n i n i=1 et on écrit E 1 τ n >T g X T n = E E 1 τ n >T X t n i n i=1 g Xn T

38 38 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION ce qui signifie qu il faut calculer E 1 τ n >T X t n i i=1 n, une fois la trajectoire discrète X t n i n i=1 simulée. Evidemment si un des X t n i n est pas dans D, il n y a rien à faire et le payoff de l option donne. On ne calcule donc cette probabilité que si les X t n i simulés sont tous dans D. Pour cela, on va utiliser les résultats de la section précédente. Tout d abord, la Remarque implique que E 1 τ n >T X n 1 t n i n i=1 = P t t i, t i+1, Xnt D Xnti, Xnti+1 i= Nous allons maintenant montrer que, dans le cas où D est un demi-espace, le calcul est explicite. On écrit D sous la forme D = {y R d : ζ y κ > } i.e. D est l hyperplan passant par κ R d othogonal à ζ R d. Exemple Pour une barrière haute U en dimension 1, on a D =, U, ce qui donne κ = U et ζ = 1. On fixe i {,..., n 1}. D après le Lemme 2.4.3, on a P t t i, t i+1, Xnt / D Xnti = x i, Xnti+1 = x i+1 = P t t i, t i+1, ζ γx i W t ti ζ κ x i Wti+1 t i = γx i 1 x i+1 x i. On choisit maintenant une matrice P orthogonale 3 telle que P 1 1 = γx i ζ ζ γx i. Le processus Ŵ t i = P W t ti t ti,t i+1 a la même loi que W. Par ailleurs ζ γx i W t ti = ζ γx i P Ŵ t ti = γx i ζ Ŵ 1 t t i car le vecteur ligne ζ γx i P a seulement sa première composante non nulle, égale à γx i ζ. En ré-injectant ce résultat dans les égalités précédentes, on obtient P t t i, t i+1, Xnt / D Xnti = x i, Xnti+1 = x i+1 = P t t i, t i+1, Ŵt t 1 i ζ κ x i γx i ζ Ŵ t 1 i+1 t i = ζ x i+1 x i γx i ζ = P min Ŵt t 1 t t i,t i+1 i ζ κ x i γx i ζ Ŵ t 1 i+1 t i = ζ x i+1 x i. γx i ζ Cette probabilité se calcule facilement en utilisant le principe de réflexion du brownien voir Lemme P min Ŵt t 1 t t i,t i+1 i a Ŵt 1 i+1 t i = b = e 2 n T aa b a et b a que l on applique à b = ζ x i+1 x i γx i ζ et a = ζ κ x i γx i ζ. Puisque l on ne fait ce calcul que si x i D, on vérifie bien que a et b a. Finalement, on a montré que 3 i.e. P P = P P = I d..

39 2.4. OPTIONS À BARRIÈRE 39 Proposition Si γx 2 est inversible pour tout x R d et si D est donné par 2.4.4, alors pour tout x i, x i+1 D, on a P t t i, t i+1, Xnt D Xnti = x i, Xnti+1 = x i+1 = 1 exp 2 n T ζ κ x i ζ κ x i+1 γx i ζ Lorsque D n est pas un demi-espace, on n a en général plus de forme explicite pour On peut toutefois essayer d approcher D par son hyperplan tangent en Π D x i, le projeté de x i sur la frontière de D. Si D est de classe C 5, on retrouve la vitesse en 1/n du Théorème 2.4.2, voir 35. Exemple On évalue un call up-and-out E 1 max Xt<U X T K + t,t dans le modèle de Black-Scholes de paramètres r =, σ =.15, T = 1, X = 1, K = 9, U = 13. Le tableau ci-dessous donne les intervalles de confiance simulés pour les deux méthodes naïve et par pont, le prix réel étant d environ On effectue à chaque fois 3. simulations. Nombre de pas de temps Méthode Naïve Méthode par pont , , , , , , 9.3 La sur-estimation de la méthode naïve est flagrante : il est absolument nécessaire d utiliser la méthode tenant compte de la probabilité de sortie de D entre deux dates de discrétisation. On conclut cette section par le Lemme que l on a utilisé pour obtenir Lemme Soit W un mouvement brownien unidimensionelle et {Ft W filtration naturelle. Alors pour tout a, b a et h > P min W t a W h = b = e 2 h aa b. t,h, t } sa Preuve. Soit τ a := inf{t : W t = a}, le temps d atteinte de a par W. On a alors, P min W t a, W h b t,h = P τ a h, W h b = P τ a h, W h W τa b a.

40 4 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION Comme τ a est Fτ W a mesurable et que W h W τa est indépendant de Fτ W a par la propriété de Markov forte du mouvement brownien, on obtient P min W t a, W h b = P τ a h, W h W τa a b t,h = P τ a h, W h 2a b car W h W τa et W τa W h ont la même loi propriété de symétrie. Comme 2a b a, on a donc P min W t a, W h b = P W h 2a b. t,h Finalement, comme P min W t a W h = b t,h un calcul direct donne le résultat. = P min b t,h W t a, W h b P W b h b, 2.5 Options Lookback On s intéresse maintenant aux payoffs de la forme g X T, max X t dans un modèle t,t en dimension 1. Pour de telles options, on considère l approximation E g X T, max X t E g X T n, max X t n. t,t t,t Pour cela, il faut pouvoir simuler max X t n, le maximum du schéma d Euler continu. On t,t commence par simuler les X t n i n i=1 puis on simule max t,t X n t = max max i n 1 t t i,t i+1 X n t sachant X t n i n i=1. D après la Remarque 2.4.4, Loi max X t n X t n t t i,t i+1 i n i=1 = Loi max X t n Xn ti, Xn ti+1 t t i,t i+1, dont la fonction de répartition est donnée par la Proposition avec D =, M i.e ζ = 1 et κ = M P max X t n M Xn ti = x i, Xn ti+1 = x i+1 t t i,t i+1 = 1 exp 2 n M x i M x i+1 =: F T a 2 n M; x i, x i+1 pour M max{x i, x i+1 }. x i

41 2.6. OPTIONS AMÉRICAINES 41 Son inverse est F 1 n U; x i, x i+1 = 1 2 x i + x i+1 + x i+1 x i 2 2 a2 x i T n ln1 U. On en déduit que max t t i,t i+1 X n t n 1 i= sachant X n t i = x i, i n = loi F 1 n U i ; x i, x i+1 n 1 i= où U i n 1 i= est une suite de variables aléatoires indépendantes uniformes sur, 1. D après conditionnellement à X t n i, i cela permet de simuler parfaitement max t,t n. On peut procéder de la même manière pour d 1, en considérant les maxima des différentes composantes de X. X n t 2.6 Options Américaines Dans un marché complet sans friction, le prix d une option américaine de payoff g admet la représentation p, x = sup E e rτ gx τ X = x τ T,T où X est la solution de 2..1 avec b = rx, r > est le taux sans risque et T,T est l ensemble des temps d arrêts à valeurs dans, T voir par exemple 47. On discrétise cette équation naturellement en considérant l ensemble des temps d arrêts T,T n à valeurs dans { = t, t 1,..., t n = T } et en remplaçant X par son schéma d Euler X n. On obtient alors l approximation p n, x = sup E e rτ g X τ n Xn = x. τ T,T n On peut alors vérifier que p n satisfait l équation de la programmation dynamique p n t n, X t n n = g X t n n p n t i, X t n i = max {g X nti, e rt n E p n t i+1, X } nti+1 Xnti, i {,..., n 1}. La preuve du résultat suivant peut être trouvée dans 5. Théorème Si g et a sont lipschitziennes, pour tout p 1, p n t i, X t n i pt i, X ti L p C/ n. sup i {,...,n} On pourra se référer à 4, 5, 9, 11, 13 et 7 pour une approche similaire appliquée à la discrétisation d équations forward-backward plus générales.

42 42 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION

43 Chapitre 3 Réduction de la variance On s intéresse ici à l évaluation d option dont le payoff est de la forme F = g X n où X n est le schéma d Euler de la solution X de L impact de la discrétisation est donné par les théorèmes du Chapitre 2. On rappelle que dans certains modèles comme celui de Black-Scholes, 2.1.1, on peut simuler de manière exacte X, il n y a donc pas d erreur de discrétisation. Dans ce cas on écrira indifféremment X n ou X pour désigner le processus X. Une autre source d erreur est l erreur de Monte-Carlo : même s il est convergent, un estimateur reste une variable aléatoire avec sa propre variance. On a déjà vu dans le Chapitre 1 comment la mesurer. En pratique, celle-ci peut être très grande, rendant le résultat obtenu peu précis. Dans les sections suivantes, nous allons étudier différentes méthodes permettant de la réduire. 3.1 Contrôle antithétique L idée du contrôle antithétique est très simple. Nous la présentons dans le cadre du modèle de Black-Scholes en dimension 1, i.e. X est solution de Elle est basée sur la propriété de symétrie du mouvement brownien : W = loi W. On en déduit que X T = loi X T où X T = X exp r σ 2 /2T W T. Ceci implique que Si ce qui revient à dire que gxt + gx T E 2 gxt + gx T Var 2 = E gx T. < Var gx T 2 Cov gx T, gx T <, 43

44 44 CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE LA VARIANCE on peut obtenir une meilleure précision en simulant deux fois moins d accroissement du brownien. En effet, si N est le nombre de simulations par la méthode sans contrôle antithétique, alors sous la condition précédente Var gxt +gx T 2 N/2 < Var gx T N ce qui signifie que l estimateur obtenu en simulant gx T +gx T 2 avec N/2 trajectoires est plus précis que celui qui consiste à simuler gx T avec N trajectoires. On peut montrer qu il y a un gain de variance dès que W T gx T est monotone. Lemme Si g est monotone et σ >, alors Cov gx T, gx T avec inégalité stricte si g est strictement monotone sur un domaine de mesure non nulle. Preuve. Soit f la densité de la loi normale centrée de variance T. On note m = E gx T et gw T = gx T. Sans perte de généralité, on peut supposer que g est croissante. Soit c := inf{y R : gy m}. On a alors gw m g w m fwdw = gw m g w g c fwdw + g c m gw m fwdw. Par définition de m, on a gw m fwdw =. On utilise ensuite la monotonie de g pour montrer que pour tout w gw m g w g c, avec inégalité stricte sur un domaine de mesure non nulle g est strictement monotone sur un domaine de mesure non nulle., Exemple On applique cette méthode à l évaluation d un put européen dans le modèle de Black-Scholes. On prend r =, σ =.3, T = 1, X = 1, et un strike K = 15. Le tableau suivant résume les écart-types et les intervalles de confiance estimés avec et sans contrôle antithétique. Le nombre de trajectoires correspond au N ci-dessus. Le prix exact est de Nombre de trajectoires Avec Sans 2.256, 14.83, , 14.62, , 14.85, , 14.77, , 14.87, , 14.85, 14.91

45 3.2. RÉGULARISATION DU PAYOFF 45 Le gain est évident, surtout pour un petit nombre de trajectoires. On refait maintenant la même étude pour le payoff non monotone K X T + +X T K + : Nombre de trajectoires Avec Sans , 24.4, , 24.57, , 24.72, , 24.66, , 24.71, , 24.72, Régularisation du payoff On se place en dimension d = 1 et on considère F = g X n t 1,..., X n t n. Si la fonction g est trop irrégulière, on risque d avoir une mauvaise approximation de l espérance. La proposition suivante montre comment on peut la régulariser. Proposition On suppose que a ε sur R pour un ε >. Soient g et G deux fonctions à croissance polynomiale telles que g = n G/ x 1 x n au sens des distributions, alors : E F = E G Xn t1,..., X n t n n W ti W ti 1 n T a X. t n i 1 Preuve. On se restreint au cas où F = g X T n pour simplifier les arguments. Le cas général est obtenu de la même manière. Par construction du schéma d Euler, on a E g X T n = E G R g R i=1 X t n n 1 + b X t n n 1 n t + a X t n n 1 ωt 1/2 n 1/2 fωdω où f est la densité de la loi N, 1. En intégrant par parties, on obtient alors E F = E X t n n 1 + b X t n n 1 n t + a X t n 1/2 ωt n 1/2 ωfωdω n 1 n 1/2 T 1/2 a X t n n 1 ce qui donne le résultat. Ceci permet de régulariser le payoff g en passant à une primitive. Le prix à payer est l apparition du poids aléatoire n nw ti W ti 1 i=1 T a X, dont la variance est très élevée si les t t n i i 1 sont proches. Exemple Soit gx = 1 a,b x avec d = 1. On introduit la fonction Gx = x a1 a,b x + b a1 x>b. Alors, G = g et on obtient : G X nt n W T W tn 1 E g X n T = E T a X n t n 1.

46 46 CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE LA VARIANCE Dans le modèle de Black-Scholes, si X = lnx est le log du prix, on obtient E g X T = E G X T W T σt On teste cette méthode pour E 1 {XT a,b} dans le modèle de Black-Scholes de paramètres r =, σ =.25, T = 1, X = 1. On prend a = 95 et b = 15. On passe au ln pour utiliser la formule Le tableau ci-dessous donne les écart-types et les intervalles de confiance simulés avec et sans régularisation, le prix réel étant d environ Nombre de simulations Sans Avec 1.43, 15.6, , 15.3, , 15.5, , 15.4, , 15.6, , 15.5, 15.9 Exercice Soit ϕ telle que ϕ = 1 sur a, b. Montrer que si ϕ et sa dérivée au sens des distributions sont à croissance polynomiale, alors : ϕ X nt n W T W tn 1 E 1 a,b X n T = E G X n T où Gx = x a1 a,b x + b a1 x>b. T a X n t n 1 n 1/2 ϕ X T n T 1/2 a X t n n Variable de contrôle Motivation et exemples L idée du Control Variate est d introduire une variable Y d espérance nulle telle que Var F + Y << Var F. Puisque Y est d espérance nulle, on peut estimer E F = E F + Y par ˆp N Y := 1 N N F j + Y j. j=1 Evidemment cet estimateur a les mêmes propriétés de convergence que ˆp N, mais est plus précis à N fixé. Exemple Option Vanilla On considère le payoff F = g X T n où g est à valeurs dans R et X est solution de avec b =, i.e. on considère par exemple les prix actualisés des actifs sous-jacents au taux sans risque. Dans ce cas, E X T n = X. La variable vectorielle X T n est donc un candidat naturel pour servir de variable de contrôle. On peut alors chercher à minimiser sur ρ R d Var g X n T + ρ Xn T = Var g Xn T + 2ρ Cov g X n T, X n T + ρ Var Xn T ρ,

47 3.3. VARIABLE DE CONTRÔLE 47 nj, X T. L op- i,j où Cov g X T n, X T n timum est atteint pour = Cov g X T n nj, X T et Var Xn T = Cov j ˆρ := Var Xn T 1 Cov g Xn T, X n T. Xn i T En général, on ne connaît pas explicitement ˆρ mais on peut essayer de l approcher numériquement par Monte-Carlo. Dans l exemple suivant on se place dans le modèle de Black-Scholes en dimension 1. On prend r =, σ =.3, X = 1, T = 1, et on veut évaluer un call européen de strike K = 8. Comme le strike est faible par rapport au prix du sous-jacent, on peut s attendre à un forte corrélation entre le payoff de l option et X T. On estime le ˆρ =.825. Le tableau ci-dessous résume les écart-types et les intervalles de confiance estimés avec et sans variable de contrôle, le prix exact étant de Nombre de simulations Avec Sans 5.938, 23.29, , 23.42, , 23.39, , 23.5, , 23.51, , 23.47, , 23.52, , 23.48, On observe que l utilisation de la variable de contrôle améliore largement la précision de l estimateur. Bien entendu, il s agit d un cas favorable puisque la corrélation est très forte. On refait maintenant la même étude avec un strike K = 15. Dans ce cas, la corrélation n est plus que de.148, le gain de variance est beaucoup plus faible. On obtient les résultats suivants, le prix exact étant de 1.49, Nombre de simulations Avec Sans , 1.496, , 1.445, , 1.466, , , , 1.47, , 1.468, , 1.477, , 1.475, Exemple Option asiatique On suppose que X est solution de l équation de Black-Scholes en dimension 1. Si σ est faible, on peut suivre l approche de 42 qui consiste à utiliser l approximation où 1 T 1 T T T X t dt exp 1 T T lnx t dt lnx t dt = r σ 2 /2 T 2 + σ T T =: Z T, W t dt

48 48 CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE LA VARIANCE Comme 1 T Loi lnx t dt T = N T r/2 σ 2 /4, σ 2 T/3, il est souvent possible de calculer facilement E gz T. Par exemple, si gx = x K +, il suffit d utiliser la formule de Black-Scholes avec les paramètres r = r/2 σ 2 /12 et σ = σ/ 3, en faisant attention à corriger le résultat du facteur d actualisation. On peut alors se servir de gz T comme variable de contrôle. On teste cette méthode pour évaluer un call asiatique de paramètres r =.1, σ =.2, T = 1, X = K = 1. On utilise la discrétisation par trapèzes pour approcher T X tdt avec n = 5. La formule de Black-Scholes permet de calculer e rt E gz T = 6.77 et on prend pour variable de contrôle Y = e rt E gz T e r σ2 /2 T 2 + σ P n 1 + 2n i= W ti +W ti+1 K Le tableau ci-dessous donne les intervalles de confiance simulés avec et sans cette variable de contrôle, le prix réel étant d environ 7.4. Nombre de simulations Avec Sans , , , , , , , , Exemple Option américaine Dans la Section 2.6, on a proposé un schéma de discrétisation de l équation backward réfléchie associée au problème d évaluation de l option américaine. On donnera dans la Section une méthode pour estimer par Monte-Carlo les espérances conditionnelles qui apparaissent dans ce schéma. Comme le prix de l option américaine est fortement corrélé à celui de l option européenne, on peut l utiliser comme variable de contrôle dans les modèles de type Black-Scholes pour lesquelles on connaît le prix exacte de l européenne. Pour un put américain de strike K, le schéma devient p n t n, X t n n = K X t n + n p n t i, X t n i = max {g X nti, e rtn E p n t i+1, X t n i+1 K X + nti+1 Xnti +BS X n t i, t i+1 }, i {,..., n 1}. où BS X n t i, t i+1 est le prix de Black-Scholes du put de maturité t i+1 si le sous-jacent vaut X n t i à la date t i. On peut également utiliser le prix de l option européenne comme variable de contrôle à la place du payoff. Ceci revient à remplacer K X n t i+1 + par BS X n t i+1, T et BS X n t i, t i+1 par BS X n t i, T.

49 3.3. VARIABLE DE CONTRÔLE Approche systématique Dans les exemples précédents, on choisit une classe de variables de contrôle que l on suppose être "bonne" a priori. Le théorème de représentation des martingales voir par exemple 4 permet d obtenir une variable de contrôle permettant d éliminer en théorie de réduire en pratique la variance de l estimateur. Théorème Représentation des martingales Soit F L 2 une variable aléatoire F T mesurable, alors il existe φ F L 2, T Ω, dt dp adapté tel que F = EF + T φ F s dw s. Pour F = g X n T, il est donc optimal d utiliser Y := T φf s dw s comme variable de contrôle. Evidemment, ceci est complètement théorique puisqu en général on ne connaît pas φ F. Si F = gx T, on peut estimer φ F en utilisant le Théorème : 1/ On calcule numériquement une approximation ũ de la solution de par une méthode de différences finies. On obtient ainsi une approximation x ũ du gradient de u par rapport à x. 2/ On utilise l approximation T 3/ On pose x us, X s ax s dw s Y = n x ũt i 1, X t n i 1 a X t n i 1 W ti W ti 1. i=1 n x ũt i 1, X t n i 1 a X t n i 1 W ti W ti 1. i=1 Comme EY =, on peut s en servir comme variable de contrôle. Remarque Evidemment, si l on pouvait calculer une approximation suffisamment fine de la solution de 2.2.5, on n aurait pas besoin d utiliser de méthode de Monte-Carlo, cf Toutefois, on peut se restreindre à une résolution grossière de qui soit suffisante pour être utilisée dans la méthode de réduction de variance. On peut également approcher le gradient par celui correspondant à un payoff/modèle proche pour lequel on a une formule explicite. Par exemple, dans un modèle à volatilité stochastique, on peut approcher le delta en t i par le delta de Black-Scholes correspondant à la valeur de la volatilité en t i. Remarque Cette approche par EDP s étend aux options asiatiques, lookback ou à barrière. Le cas des options asiatiques est traité simplement en augmentant la taille du processus X, le résultat est similaire à celui du Théorème pour le processus augmenté, voir également 48 Proposition On pourra consulter 65 pour les options lookback et 35 pour les options à barrière.

50 5 CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE LA VARIANCE Méthode adaptative On se place dans le cadre du modèle de Balck-Scholes, i.e. bx = rx et ax = diag x σ, avec d = 1 et un payoff de la forme G = ψ W t1, W t2 W t1,..., W tκ W tκ 1. On cherche un processus h déterministe et constant, égal à h i, sur les intervalles t i 1, t i. On note Z = W t1, W t2 W t1,..., W tκ W tκ 1 et, par abus de notation, h = h 1,..., h κ. Le problème est donc de minimiser sur R κ la fonctionnelle Hh := E ψz h Z 2. En écrivant les conditions du premier ordre sur ce problème de minimisation strictement convexe et coercif, on déduit que la solution est donnée par ĥ défini par ĥ i = EZ i ψz/t i t i 1. On considère alors la suite ζ n n définie par ζn i = 1 n Z i n nψz n /t i t i 1 k=1 où Z n n est une suite i.i.d. de même loi que Z. Il est clair que ζ n ĥ p.s. Si ψ est au plus à croissance exponentielle, on déduit alors des résultats généraux obtenus par 2 que ˆm c N := 1 N ψz n+1 h N nz n+1 EZ p.s. n=1 N ˆm c N EZ N, v 2 ˆσ N 2 := 1 N où v 2 := VarψZ ĥ Z. N ψz n+1 h nz n+1 2 ˆm c N 2 v 2 n=1 p.s. 3.4 Fonction d importance Un exemple Supposons que l on veuille évaluer EX T K +. Si K est proche de, ou inférieur à, X, on aura beaucoup de simulations X j T supérieures à K. Mais si K est beaucoup plus grand que X, il y en aura peu et l estimateur de Monte-Carlo risque d avoir une variance très forte. Une façon de remédier à ce problème est de forcer X T "à aller au dessus de K" en lui ajoutant un drift positif. Ceci peut être fait sans changer la valeur de l espérance grâce au théorème de Girsanov, voir par exemple Théorème 5.1 dans 4.

51 3.4. FONCTION D IMPORTANCE 51 Théorème Girsanov Soit h un processus adpaté à valeurs dans R d tel que T h s 2 ds < P p.s. Soit { HT h := exp 1 T T } h s 2 ds + h 2 sdw s. Si EH h T = 1 alors Ph = H h T P est équivalente à P et W h := W h s ds est un P h -mouvement brownien. Si h vérifie les hypothèses du théorème précédent, et si on note E h l espérance sous P h, on a : E gx T = E h H h T 1 gx T. Dans le cas présenté en introduction, on peut choisir h positif de telle sorte que P h X T K soit grande. On simule X T sous P h en utilisant l équation X t = X + t bx s + ax s h s ds + où W h est un P h -mouvement brownien. Il faut également simuler sous P h. t ax s dw h s, t T, { 1 T T } HT h := exp h s 2 ds + h 2 sdws h Exemple On se place dans le modèle de Black-Scholes en dimension 1. On prend r =, σ =.25, X = 1, T = 1, et on veut évaluer un call européen de strike K = 15. Le prix exact est d environ.672. On utilise la méthode avec h = 2. Nombre de simulations Sans Importance Sampling Avec h= ,.584, ,.668, ,.658, ,.669,.675

52 52 CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE LA VARIANCE Approche systématique Comme dans la Section 3.3, on peut trouver un h optimal. On suppose que F ε >. Si le payoff est bornée inférieurement, ce qui est en général le cas dans les applications en finance, on peut toujours supposer qu il est uniformément strictement positif en lui ajoutant une constante ce qui ne fait qu ajouter une constante à l espérance que l on veut calculer. On suppose également que F L 2. Dans ce cas, on peut définir 1 h t = EF F t φf t, t, T, avec φ F défini comme dans le Théorème On vérifie que h L 2, T Ω, dt dp et que EHT h = 1. On est donc sous les conditions du Théorème Soit On a d après la définition de h et φ F ζ t = EF F t /EF, t, T. ζ t = EF t φ F s dw s = 1 t ζ s h sdw s d où { ζ T = exp 1 T T } h s 2 ds h 2 sdw s = H h T. On en déduit que HT h 1 F = EF de sorte que la variance de HT h 1 F est nulle. Comme dans la Section 3.3.2, on peut chercher à utiliser les techniques d EDP pour approcher h et donc H 1 T. Par exemple, pour les options vanilla, si la solution ut, x de l EDP associée voir Théorème est suffisamment régulière, on aura : h t = 1 ut, X t xut, X t ax t. On peut également l approcher par celui d un payoff/modèle proche de celui considéré, pour lequel la formule est explicite, voir Remarque C est par exemple l approche suivie par Fonction d importance optimale et algorithme de Robbins Monro Ré-écriture du problème On se place dans le cadre du modèle de Balck-Scholes, i.e. bx = rx et ax = diag x σ, avec d = 1 et un payoff de la forme G = ψ W t1, W t2 W t1,..., W tκ W tκ 1.

53 3.4. FONCTION D IMPORTANCE 53 On cherche un changement de mesure optimal avec h déterministe et constant, égal à h i, sur les intervalles t i 1, t i. On note Z = W t1, W t2 W t1,..., W tκ W tκ 1 et, par abus de notation, h = h 1,..., h κ. Le problème est donc de minimiser sur R κ la fonctionnelle Hh := E e 1 2 h 2 h Z 2 ψz + h. En utilisant le théorème de Girsanov, on observe que Hh = E e h 2 2h Z ψz + h 2 = E e 1 2 h 2 +h Z e h 2 2h Z ψz 2 = E e 1 2 h 2 h Z ψz 2. Si EψZ 2+ε < pour un ε >, on vérifie facilement en utilisant l inégalité de Holder que H est deux fois continument dérivable. En particulier Hh = E h Ze 1 2 h 2 h Z ψz 2. Comme il s agit d un problème strictement convexe calculer la Hessienne et coercif dès que ψ et ψ minorer le log en utilisant l inégalité de Jensen, il existe un optimum ĥ qui en outre est la solution de Hĥ = E ĥ Ze 1 2 ĥ 2 ĥ Z ψz 2 = Algorithme de Robbins-Monro D après l équation 3.4.1, on doit résoudre un problème du type fh := E F h, Z = où F est une fonction de R κ R d dans R κ et Z une variable aléatoire sur R d. L algorithme de Robbins-Monro consiste à simuler une suite Z n n 1 de copies indépendantes de Z et à définir la suite ζ n n 1 de variables aléatoires par ζ n+1 = ζ n γ n+1 F ζ n, Z n+1, la condition initale ζ étant donnée. Sous des hypothèses classiques on obtient le résultat de convergence suivant. Théorème Soit F n := σζ k, Y k ; k n où Y n+1 := F ζ n, Z n+1. On suppose qu il existe ĥ vérifiant fĥ = tel que h ĥ fh > pour tout h R κ \ {ĥ}. On suppose également que la suite γ n n vérifie γ n = et γn 2 < n 1 S il existe C > tel que E Y n+1 2 F n C1 + ζ n 2 p.s. pour tout n 1, alors ζ n ĥ p.s. n 1

54 54 CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE LA VARIANCE Il est clair que les deux conditions sur ĥ sont vérifiées dans notre problème Par ailleurs, on peut toujours choisir γ n n vérifiant Par contre la dernière condition E Y n+1 2 F n C1 + ζ n 2 p.s. n a aucune raison d être vérifiée à cause de l exponentielle intervenant dans la formule. Pour palier à ce problème, 3 a proposé une version tronquée de cet algorithme qui évite l explosion de la suite ζ n quand la condition d intégrabilité n est pas vérifiée. L algorithme consiste à se donner x 1 x 2 et M > tels que max{fx 1, fx 2 } < min{m, inf x M fx}, puis une suite de réels u n n strictment croissante et tendant vers l infini, avec u > M. On définit ensuite la suite ζ n n par { ζn γ ζ n+1 = n+1 Y n+1 si ζ n γ n+1 Y n+1 u ρn, sinon x n avec x n = x 1 si ρn est pair et x 2 sinon, et ρn = n 1 k= 1 ζ k γ k+1 Y k+1 >u ρk avec ρ =. Le résultat de convergence suivant est démontré dans 3. Il discute également le choix de la suite u n n. Théorème On suppose qu il existe ε > tel que E ψz 4+ε < et on définit l algorithme précédent avec F associée au problème Alors, on peut choisir u n n et γ n n telles que soit vérifiée et γne Y 2 n+1 2 F n < p.s. n 1 Dans ce cas, ζ n ĥ p.s. Par ailleurs, si alors ˆm r N := 1 N N n=1 e 1 2 ζ n 1 2 ζ n 1 Z n ψz n + ζ n 1 et m := EψZ, ˆm r N m p.s. et où v 2 =Var e 1 2 ĥ 2 ĥ Z ψz + ĥ. N ˆm r N m N, v 2 Preuve. Voir la section 6.5 pour une preuve de la convergence p.s. sous des conditions supplémentaires. Ce résultat est en fait un cas une application du cas général traité dans 2. En particulier, le théorème de la limite centrale énoncé reste vrai si on remplace v 2 par l estimation ˆσ 2 N := 1 N N n=1 e 1 2 ζ n 1 2 X n 1 Z n 2 ψzn + ζ n 1 2 ˆm r N 2

55 3.4. FONCTION D IMPORTANCE 55 dans le sens où Nˆσ 2 N 1 ˆm r N m N, 1. On a en fait ˆσ2 N v2 p.s. On conclut cette section par la preuve du Théorème Preuve du Théorème Pour simplifier, on suppose que κ = 1 et que fx = EF x, Z est bornée uniformément par C. On commence par calculer E ζ n+1 ĥ 2 F n = ζ n ĥ 2 2γ n+1 E ζ n ĥy n+1 F n + E γn+1y 2 n+1 2 F n. Comme E ζ n ĥy n+1 F n = ζ n ĥfζ n, on en déduit que E ζ n+1 ĥ 2 F n L équation précédente implique également 2E γ n+1 ζ n ĥy n+1 ĥ2 + n n ζ n ĥ 2 + E γ 2 n+1y 2 n+1 F n E γ 2 n+1y 2 n+1 < puisque f C par hypothèse. En particulier la suite S n n définie par S n := n k= E γ 2 n+1y 2 n+1 F n est bornée p.s. par C et donc converge presque surement en tant que suite croissante. Comme Z n n définie par Z n := ζ n ĥ 2 + C S n est une sur-martingale par et qu une surmartingale bornée inférieurement admet une limite p.s., on en déduit que ζ n ĥ 2 n admet p.s. une limite. On déduit alors de 3.4.4, de l identité E n ζ n ĥy n+1 = E n ζ n ĥfζ n, de la condition de monotonie sur f et des hypothèses sur γ n n que Plim n ζ n ĥ δ = pour tout δ >. Il s en suit que ζ n ĥ p.s.

56 56 CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE LA VARIANCE

57 Chapitre 4 Calcul des sensibilités Connaître la sensibilité d un portefeuille par rapport aux variations des sous-jacents est tout aussi important que de connaître sa valeur. En effet, ce sont ces sensibilités qui vont permettre de se couvrir. Par ailleurs, on a vu que la connaissance du delta permet de mettre en oeuvre des techniques de réduction de variance. 4.1 Approche par différences finies On note X x la solution de Une première approche pour calculer le delta et le gamma de u, x = E gx x, consiste à utiliser une méthode de différences finies, i.e. i, x := u, x 1 xi u, x + εe i 2ε d u, x εe i d =: i, x Γ ij 2 u, x :=, x 1 i, x + εe j x i xj d 2ε i, x εe j d =: Γij, x où e d = Vect1. L algorithme consiste à estimer par Monte-Carlo la fonction u en partant des différentes conditions initiales puis à utiliser les approximations et Γ. Il y a essentiellement deux possibilités que nous exposons pour le calcul du delta d une option vanilla en dimension d = 1 on suppose évidemment que l on peut simuler gx x : 1/ On utilise N simulations pour estimer une approximation û, x + ε de u, x + ε et N autres et indépendantes des premières simulations pour estimer une approximation 57

58 58 CHAPITRE 4. CALCUL DES SENSIBILITÉS û, x ε de u, x ε. Dans ce cas, on a : û, x + ε û, x ε Var = 1 Var û, x + ε + Var û, x ε 2ε 4ε2 1 Var gx x T + Var gxx T 4ε 2 N N 1 = 2Nε Var 2 gxx T. 2/ On simule N trajectoires du brownien et on construit X x+ε et X x ε avec les mêmes trajectoires. Dans ce cas û, x + ε û, x ε Var = 1 gx x+ε 2ε N Var T gx x ε T 2ε 1 N Var g X x T. Si ε est petit et g régulière, la seconde méthode sera en général préférable à la première. Cette méthode est très simple à mettre en oeuvre mais le choix du ε n est pas évident. Si ε est trop petit, la variance de l estimateur peut être très grande, c est le cas si le payoff est très irrégulier. Si ε est trop grand, l approximation des dérivées est mauvaise, voir l Exemple ci-dessous. Les vitesses de convergence de ces méthodes ont été étudiées par 31, 32 et 5. Typiquement, en utilisant l approche 2/, on obtient une vitesse de convergence en loi en N si N 1 4 ε lorsque u est C 3. Si on utilise un schéma de type forward, i.e. û, x + ε û, x/ε, on obtient une vitesse en loi en N si N 1 2 ε lorsque u est C 2. On peut également consulter 23 pour des résultats sur les vitesses lorsque l on remplace X par son schéma d Euler. L objet des sections suivantes est de donner une interprétation probabiliste de ces sensibilités qui ne fasse par intervenir d approximation. 4.2 Grecques dans le modèle de Black et Scholes On note X x la solution de avec d = 1 et la condition initiale X = x. On considère le payoff gxt x et on cherche à donner une représentation probabiliste des dérivées de u, x = E gx x T. Proposition Supposons que g est à croissance polynomiale. Alors, u 1, x = x xσt E g Xx T W T.

59 4.2. GRECQUES DANS LE MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 59 Preuve. On suppose que g est Cb 1, le résultat général étant obtenu par densité. Tout d abord, on remarque que On en déduit que X x T x = eb σ2 /2T +σw T = 1 x Xx T P p.s. g x Xx T = 1 x g X x T X x T P p.s. Par ailleurs, 1 g X x+ε T g X x ε T g X x+ε T X x T ε Par convergence dominée, on a donc : u x, x = 1 x E g X x T X x T. = g e b σ 2 /2T +σw T L 2. Soit f la densitée de la loi normale centrée réduite. L équation précédente se ré-écrit : u, x = g xe b σ2 /2T +σ T w e b σ2 /2T +σ T w fwdw x = = R R R 1 g xe b σ2 /2T +σ T w fwdw w xσ T 1 xσ T g xe b σ2 /2T +σ T w wfwdw en intégrant par parties, ce qui donne le résultat. Exercice Montrer que si g est à croissance polynomiale : 2 u x, x = 1 W 2 x 2 σt E g XT x 2 T σt W T 1 σ Donner une représentation similaire pour le véga : u, x. σ Exercice Touver une formulation du delta et du gamma pour les options asiatiques. Exemple On utilise le résultat de pour estimer 2 x E 1 2 {X x T a,b}.

60 6 CHAPITRE 4. CALCUL DES SENSIBILITÉS On prend comme paramètres x = 1, σ =.25, r =, a =.95 et b = 1.5. On donne les intervalles de confiance obtenus par l approche par différences finies avec différentes valeurs de ε et par On fait à chaque fois 5. simulations. La valeur exacte est d environ Méthode Intervalle estimé Par , 2.51 Diff. finies ε =.5.32,.31 Diff. finies ε = , 2.6 Diff. finies ε = , 1.68 Diff. finies ε = , On observe que le résultat est extrêmement biaisé pour ε =.5 et ε =.1. Pour ε =.5, il est trop volatil. Même pour ε =.5, le résultat est bien moins précis que celui obtenu par Remarque Dans la preuve de la Proposition 4.2.1, on a utilisé deux notions de différentiation : i On a dérivé XT x par rapport à sa condition initiale x. Le processus Y = Xx s appelle x le processus tangent à X x. ii On a utilisé la dérivée de g xe b σ2 /2T +σ T w par rapport à w. A une normalisation près, cela revient à dériver g X x T par rapport à W T. On a ensuite utiliser une intégration par parties par rapport à w, c est-à-dire "par rapport à" W. Au vu de la remarque précédente, on a besoin de deux notions : celle de processus tangent, et celle de dérivation par rapport au mouvement Brownien. L objet des sections suivantes est de définir ces deux notions. On les utilisera ensuite pour généraliser les résultats obtenus dans le modèle de Black et Scholes. 4.3 Processus tangent Notions de processus tangent On note X x la solution de 2..1 avec pour condition initiale X x = x. Théorème Si a, b Cb 1, alors, pour tout t, T, l application x Xx t est p.s. C 1. Le processus matriciel gradient x X x = { Xx,i x j i,j } est solution de l EDS : x X x t = I d + t voir Théorème 39 dans 62. bx x s x X x s ds + d j=1 t a.j X x s x X x s dw j s Le processus x X x est appelé processus tangent ou de dérivée première.

61 4.3. PROCESSUS TANGENT 61 Exemple Pour d = 1, l équation s écrit dont la solution est x X x t = 1 + t b X x s x X x t ds + t a X x s x X x t dw s x X x t = e R t b X x s a X x s 2 /2ds+ R t a X x s dw s. Exemple Si bx = rx et ax = diag x σ comme dans le modèle de Black- Scholes, on obtient x Xt x = diag e r σj. 2 d /2t+σ j. W t = diag x 1 Xt x = X e d t. Remarque En imposant plus de régularité sur a et b, on peut définir des processus dérivée d ordre supérieur. On considère alors le processus tangent du processus tangent, etc... Remarque On peut également définir le processus dérivée, x Xx,n, du schéma d Euler X x,n de X x. Il est obtenu par récurrence x Xx,n = I d Xx,n x t i = Xx,n x,n x t i 1 + b X t i 1 Xx,n x t i 1 n t + j=1 d a.j j=1 x,n X t i 1 Xx,n x t i 1 n W j i L équation peut être vue comme limite de quand le pas de temps tend vers, x Xx,n coincinde avec le schéma d Euler de x X x Processus tangent et delta On peut maintenant reprendre les arguments de la Section 4.2 pour calculer u. On suppose tout d abord que g est Cb 1 de sorte que par convergence dominée : u, x = E gx x T x X x T. Par passage par densité, on obtient le résultat pour toute fonction g dont les dérivées premières sont à croissance polynomiale. On peut également l obtenir pour des payoffs dépendant de la trajectoire de X x aux dates t i. Proposition Soit g une fonction C 1 p de R dn dans R. Alors, E gx x t 1,..., X x t n = n E i gxt x 1,..., Xt x n x Xt x i, i=1 où i g denote le gradient de g par rapport à son i-ème argument vectoriel.

62 62 CHAPITRE 4. CALCUL DES SENSIBILITÉS Remarque On obtient le même résultat si on remplace X x par son schéma d Euler E g x,n X t 1,..., X x,n t n = n E i g i=1 x,n X t 1,..., x,n X t n Xx,n x t i. Au vu de la Remarque 4.3.5, cela revient en fait à discrétiser l Equation Exemple On considère un call sur moyenne discrète dans le modèle de Black- Scholes en dimension 1. La maturité est 1 et la moyenne est calculée à intervalles réguliers de longueur 1/24, i.e. tous les 15 jours. On prend comme paramètre K = 1, X = 1, σ =.35 et r =.1. On considère n = 24 pas de temps, et on estime le delta par la formule avec E 1 A1 K 24 i= e i 24 r σ2 /2+σW i 24 A 1 := i=1 = 1 1 E A 11 A1 K X e i 24 r σ2 /2+σW i 24. Les résultats suivants ont été obtenus en utilisant le contrôle antithétique. Nombre de simulations Intervalle de confiance du delta 5.598, , ,.64 Exercice Donner une représentation du gamma sur le modèle de la Proposition Processus tangent et véga exercice On peut facilement étendre l approche précédente pour estimer le ϑ, i.e. la sensibilité du prix de l option par rapport à une pertubation sur la matrice de volatilité a. On se donne une fonction ã de R d dans M d, ε > et on note X εã la solution de 2..1 avec la matrice de volatilité a + εã à la place de a. On cherche à estimer ϑã := ε E gx εã T ε=. On suppose que a, b et ã C 1 p

63 4.4. CALCUL DE MALLIAVIN 63 1/ En considérant ε comme un processus déterministe, déduire du Théorème que Zã := ε Xεã ε= est bien défini et est solution de Zãt = t bx s Zãs ds + t ãx s dw s + d t j=1 a.j X s Zãs dw j s, t, T. 2/ En déduire une formulation de la dérivée directionnelle ϑã sur le modèle de la Proposition Calcul de Malliavin Les deux derniers résultats donnent une représentation précieuse du gradient, puisqu elle fournissent des estimateurs de Monte-Carlo très naturels. Evidemment, elles sont utiles à des fins de couverture mais peuvent également être employées dans le cadre des techniques de réduction de variance présentées dans le Chapitre 3. Toutefois, ces formulations imposent la dérivabilité du payoff au moins dans un sens faible et surtout la connaissance de cette dérivée. Ceci n est pas si évident. Si l on veut calculer le delta d un book d options, on ne connaît pas forcément dans le détail la forme exacte de tout les payoffs ils sont généralement fournis par un ordinateur qui agit comme une boîte noire. Dans la Proposition 4.2.1, on a vu que, dans le cadre particulier du modèle de Black-Scholes, on pouvait obtenir une formulation ne faisant pas intervenir le gradient de g. Pour cela, on avait utilisé une idée d intégration par parties par rapport à la densité gaussienne. Dans cette section, on va introduire une notion de calcul différentiel par rapport à la trajectoire du mouvement brownien, et une formule d intégration par parties associée. Nous renvoyons à 57 et 58 pour une présentation complète du calcul de Malliavin Introduction au calcul de Malliavin Définition On dira qu une variable aléatoire F de L 2 est simple s il existe un entier k F, une suite s F 1... < s F k F T et une fonction φ F de R d k F dans R, continue, C 1 par morceaux, tels que : F = φ F W s F 1,..., W s F kf avec k F j=1 j φ F W 1 t,t s F j L 2 pour tout t, T. On note S l espace de telles fonctions. Bien qu il soit défini sur un espace beaucoup plus gros que S, voir 57 et 59, on n introduira ici le calcul de Malliavin que pour des fonctions simples. Il y a deux raisons à cela : 1/ En général, si on sait simuler parfaitement F, c est que F S.

64 64 CHAPITRE 4. CALCUL DES SENSIBILITÉS 2/ C est beaucoup plus simple, et nous pourrons mener les preuves jusqu au bout. 3/ Discrétiser des formules obtenues en travaillant sur X ou travailler directement sur le problème discrétisé associé à X n revient généralement au même, voir Remarque On ne perd donc rien en se plaçant tout de suite dans un cadre plus simple à gérer. Définition Soit F S, pour tout t, T, on définit φ F W + ε1t,t φ F W D t F := lim ε ε = k F j=1 j φ F W 1 t,t s F j P-p.s. Cette définition peut être comprise comme ceci : on choque légèrement la trajectoire du brownien W en la remplaçant par une trajectoire W ε1 t,t = W + ε1 t,t, i.e. on "shifte" le brownien de ε après t. On regarde ensuite l impact de ce choc sur F. On appelle DF le processus dérivée de Malliavin. Exemple On fixe s, t, T. 1/ s est indépendant de W et donc D t s =. 2/ Si F = W s on a D t F = lim ε W s + ε1 t,t s W s ε 3/ Dans le modèle de Black-Scholes, on a simplement = 1 t,t s. D t xe r σ2 /2s+σW s = σxe r σ2 /2s+σW s 1 t,t s. Remarque D t F n est en général pas adapté, voir l exemple 3/ ci-dessus. Les propriétés suivantes découlent immédiatement de la définition. Propriété Soient F et G S et ψ C 1 p. Alors, i F G et ψf S, ii DψF = ψ F DF, iii DF G = DF G + F DG. Remarque Si b et a Cb 1 x,n, alors X t i est une fonction déterministe de W tj, x,n j i, et X t i S. Sa dérivée de Malliavin en t peut être calculée récursivement : D Xx,n t t i = si t i < t D Xx,n x,n t t i = a X t i 1 si t i 1 < t t i d D Xx,n t t i = D Xx,n x,n t t i 1 + b X t i 1 D Xx,n t t i 1 n t + a.j x,n X t i 1 D Xx,n t t i 1 n W j i si t < t i 1. j=1

65 4.4. CALCUL DE MALLIAVIN 65 Remarque On peut observer que le gradient et la dérivée de Malliavin en t de X n suivent la même équation, voir Remarque 4.3.5, à la condition en φ n t près D t Xx,n φ n t = x Xx,n φ n t Si ax est inversible pour tout x R d, un calcul direct montre que x Xx,n t i = D Xx,n t a t i X x,n φ n t où φ n,+ t = inf{t i, i {,..., n} : t t i }. 1 x Xx,n φ n,+ t. pour tout t t i T. L intérêt de cette notion réside dans le fait que la stratégie de couverture d une option peut s écrire en fonction de la dérivée de Malliavin du payoff. Théorème Formule de Clark-Ocone Soit F S, alors F = E F + T E D t F F t dw t. Preuve. Pour simplifier, on se place dans le cas où d = 1. On suppose également que φ F Cb 2. Le cas général est obtenu par densité. A sf i 1 < t s F i fixé, E F F t est une fonction ψt, W t, W s F j j i 1. On note ψ sa dérivée par rapport au deuxième argument. On a alors pour s F i 1 < t s F i ψ t, w, z = lim ε ε 1 E φ F z, ω i + w + ε,..., ω n + w + ε φ F z, ω i + w,..., ω n + w où ω est une variable aléatoire à valeurs dans R n i+1 distribuée selon une loi normale N, Σ avec Σ lk = min{s F l t, s F k t}. On a donc par convergence dominée kf ψ t, w, z = E j φ F z, ω i + w,..., ω n + w d où pour t s F i 1, s F i ψ t, W t, W s F j j i 1 j=i kf = E j φ F W F t j=i = E D t φ F W F t. Comme φ F Cb 2, on peut vérifier par des arguments similaires que ψ est C1,2 b par rapport à ces deux premiers arguments. En appliquant le Lemme d Itô à la martingale ψt, W t, W s F j j i 1 sur s F i 1, s F i, on obtient alors E F F s Fi s F i = E F F s + ψ t, W Fi 1 t, W s F s F j j i 1 dw t i 1 s F i = E F F s + E D Fi 1 t φ F W F t dwt. s F i 1

66 66 CHAPITRE 4. CALCUL DES SENSIBILITÉS Cette relation étant vérifiée pour tout i {1,..., k}, en sommant le système d équations obtenu, on en déduit que F = E F F s Fk = E F F + = E F + T s F k E D t φ F W F t dwt. E D t φ F W F t dwt. On peut maintenant énoncer le théorème d intégration par parties du calcul de Malliavin. Théorème Formule d intégration par parties Soit F S et soit un processus adapté h L 2, T Ω, dt dp, alors T E F h t dw t T = E D t F h t dt. Preuve. On pose X t = E F F t et H t = t h sdw s. On remarque que H =. D après le Théorème 4.4.8, on a donc par le Lemme d Itô : F T h t dw t = X T H T = T X t h t + H t E D t F F t dw t + T E D t F F t h t dt. On obtient donc T E F h t dw t T = E E D t F F t h t dt T = E D t F h t dt où l on a utilisé le Lemme de Fubini et le fait que h est adapté. Remarque Le Théorème reste vrai, dans une certaine mesure, même si h n est pas adapté. Dans ce cas, l intégrale T h t dw t est définie en tant qu intégrale de Skorohod, voir 57. Lorsque h = F u où F est une variable aléatoire F T -mesurable et u est un processus adapté, on obtient, sous certaines hypothèses de régularité et d intégrabilité, un lien entre l intégrale d Itô et de Skorohod : T F u t dw t = F T u t dw t T D t F u t dt.

67 4.4. CALCUL DE MALLIAVIN Calcul de Malliavin et sensibilités Delta pour les variables simples On commence par utiliser les résultats de la section précédente pour donner une représentation probabiliste du delta. Soit F S. Alors, d après le Théorème F = E F + T E D t F F t dw t. On fixe maintenant t et i tels que s F i 1 < t s F i, on a alors D t F = k F j=1 j φ F W 1 t,t s F j = k F j=i j φ F W qui est indépendant de t s F i 1, s F i. On a donc D t F = s F i t D s F t ds s F i d où, en utilisant le Théorème s F i D s F E D t F F t = E t ds F t t s F i = E F W s F i s F i W t t F t. On obtient finalement le résultat suivant Proposition Soit F S, alors F = E F + k F s F i i=1 s F i 1 E F W s F i s F i W t t F t dw t. A s F i 1 < t s F i fixé, la stratégie de couverture est donc donnée par la quantité E F W s F W t i F s F i t t, après renormalisation, qui peut être approchée par Monte-Carlo. Exercice Ecrire la stratégie de couverture d une option européenne dans un marché complet, en fonction du delta. Retrouver le résultat de la Proposition en utilisant la Proposition Delta et Gamma pour les fonctions du schéma d Euler On suppose maintenant que F = g est inversible sur R d et on pose x,n X T. On suppose également que g C1 p, que a u, x := E g X x,n T.

68 68 CHAPITRE 4. CALCUL DES SENSIBILITÉS D après la Proposition 4.3.6, on a u, x = E g x,n X T x x,n X T, ce qui peut se réécrire, en utilisant la Remarque et la Propriété u, x = 1 T T E x,n g X T D x,n x,n t X T a X φ 1 n Xx,n t x dt φ n,+ t = 1 T T E x,n x,n D t g X a X 1 Xx,n x dt. En utilisant le Théorème 4.4.9, on obtient u, x = 1 T T E gx x,n T En passant par densité, on obtient T a φ n t X x,n φ n t φ n,+ t 1 x Xx,n φ n,+ t dwt. Proposition Si ax est inversible pour tout x R d, a 1 et g sont à croissance polynomiale, a et b sont Cb 1, alors dwt E g X x,n T = 1 T E T gx x,n T a X x,n φ n t 1 x Xx,n On retrouve en particulier le résultat de la Proposition en utilisant l Exemple φ n,+ t. Exercice Montrer que sous les conditions de la Proposition E g X x,n t 1,..., X x,n t n = E g X x,n t 1,..., X x,n T x,n t n h t a X φ 1 n Xx,n t x φ n,+ t dwt, où h L 2, T, dt vérifie ti h t dt = 1 pour tout i {1,..., n}. On s intéresse maintenant au gamma de E x,n g X T. Si on suppose g, a, a 1 et b suffisamment régulières, on obtient en argumentant comme dans la Proposition et en utilisant la Proposition que : 2 u x i x, x = 1 T j T x E g X x,n j T x,n a X φ 1 n t x i Xx,n φ n,+ dwt t = 1 T T E gx x,n T x j Xx,n x,n T a X φ 1 n t x i Xx,n φ n,+ dwt t + 1 T d.k k T E gx x,n T x,n a X φ 1 n x j Xx,n t φ n t x i Xx,n dw φ n,+ t t + 1 T E gx x,n T T k=1 a X x,n φ n t 1 x j x i Xx,n φ n,+ t dwt,

69 4.4. CALCUL DE MALLIAVIN 69 où x l est la dérivée par rapport à x l x,n.l., i.e. x l X = Xx,n φ n,+ x t φ On s intéresse n,+ t uniquement au premier terme qui fait intervenir g. Pour une processus adapté h de carré intégrable, on note maintenant δ h t := T h t dw t. En utilisant la Remarque et la Propriété 4.4.5, on obtient A := E gx x,n T x j Xx,n T δ x,n a X φ 1 n t x i Xx,n φ n,+ t = 1 T T E x,n g X T D x,n t X T δ x,n a X φ 1 n t x i Xx,n a = 1 T E T 1 T T E g x,n D t g X T δ a x,n X T D tδ a X x,n φ n t X x,n φ n t D après le Théorème 4.4.9, ceci implique que A = 1 T E x,n g X T δ x,n a X φ 1 n t x i Xx,n 1 T T E g x,n X T D tδ a X x,n φ n t 1 x i Xx,n φ n,+ t 1 x i Xx,n φ n,+ t φ n,+ t δ a 1 x i Xx,n φ n,+ t φ n,+ t a a X x,n φ n t a X x,n φ n t x,n X φ 1 n t x j Xx,n φ n,+ t 1 x j Xx,n dt φ n,+ t 1 x j Xx,n dt. X x,n φ n t 1 x j Xx,n X x,n φ n t En regroupant les termes et en passant par densité, on obtient φ n,+ t φ n,+ t 1 x j Xx,n Proposition Si a est inversible sur R d, a 1 C 1 p, g est à croissance polynomiale, a et b sont C 2 b, alors φ n,+ t dt dt. où Π ij := 1 δ a T 2 1 T 2 X x,n φ n t T D t δ + 1 T δ d k=1 x i x j E g 1 x i Xx,n a a X x,n φ n t X x,n φ n t φ n,+ t X x,n T = E gx x,n T Πij, δ a 1 x i Xx,n φ n,+ t X x,n φ n t 1.k x j Xx,n a φ n,+ t 1 x j Xx,n X x,n φ n t φ n,+ t 1 x j Xx,n x i Xx,n φ n,+ t φ n,+ t dt k + a Xx,n φ n t 1 x j x i Xx,n φ n,+ t. Exercice Vérifier que dans le modèle de Black-Scholes x i x jx x = et retrouver ainsi la formule Exercice Etendre la formule de la Proposition à des payoffs de la forme g Xx,n x,n t 1,..., X t n sur le modèle de l Exercice

70 7 CHAPITRE 4. CALCUL DES SENSIBILITÉS Véga pour les fonctions du schéma d Euler exercice On reprend l exercice de la Section On se donne une fonction ã de R d dans M d, ε > et on note X εã,n la solution de avec la matrice de volatilité a + εã à la place de a. On veut estimer ϑã := ε E εã,n g X T. ε= On suppose que a, b et ã C 1 p. 1/ Donner l équation satisfaite par Zã,n := ε X εã,n ε=. 2/ Vérifier que pour tout t t n 1, T D t Zã,n T = d j=1 a.j X n t n 1 Zã,n t n 1 + ã X n t n 1. 3/ En supposant que a 1 et g sont à croissance polynomiale, déduire de 2/, de la fomulation obtenue dans la Section pour ϑã, du Théorème et de la Propriété que ϑã = E g X nt a X ntn 1 1 n T Zã,n T n W n d j=1 a.j X n t n 1 Zã,n t n 1 ã X n t n 1 4/ Etendre cette formulation aux payoffs de la forme g Xn t1,..., X t n n. 5/ On suppose maintenant que X ε est solution de pour d = 1 et σ + ε à la place de σ. Calculer Xε ε ε=. Faire le lien avec D t X T et montrer, en utilisant le Théorème et la Propriété 4.4.5, que W 2 ϑ1 = E gx T T σt W T 1. σ Etendre cette formule au cas d > 1. On peut également obtenir cette formule en considérant le "schéma d Euler" de lnx. Dans ce cas, il faut faire attention car σ intervient dans le coefficient de drift de lnx ce qui modifie la forme de " Z 1,n " par rapport à celle obtenue dans 1/.. Remarque Cette approche a été initiée par 27. Les formules que nous démontrons ici correspondent à la discrétisation des formules obtenues en considérant un payoff dépendant de X au lieu de X n. L étude de ces méthodes a été poursuivie dans 26, voir également 21. Des extensions au cas des options barrière et lookback on été obtenues par 36. On pourra également consulter 7 qui traite notamment le cas des options asiatiques et 38 qui développe des approches alternatives.

71 Chapitre 5 Espérances conditionnelles et options américaines Dans la Section 2.6, on a montré que le prix d une option américaine peut être approchée par un schéma discret de la forme p n t n, X t n n = g X t n n p n t i, X { t n i = max g X t n i, e rt/n E p n t i+1, X } nti+1 Xnti, i {,..., n 1}. Le problème de ce schéma est qu à chaque date de discrétisation, il nécessite le calcul d une espérance conditionnelle. Il faut donc trouver un moyen de les estimer de manière efficace. 5.1 Approche par calcul de Malliavin On montre dans cette section comment le calcul de Malliavin permet d obtenir des estimateurs d espérances conditionnelles qui sont rapidement calculables en pratique Espérances conditionnelles et densités Par souci de simplification, on va se limiter au cas d = 1, le cas général est obtenu de la même manière voir 1. Théorème Soit X n le schéma d Euler de Soit ψ à croissance polynomiale et ϕ, ϕ CpR 1 + telles que ϕ = ϕ = 1. On suppose que a, b Cb 1 avec a ε >. On a : E 1 x Xnti ψ X nti+1 δ i ϕ Xnti x E ψ X t n i+1 Xn ti = x = 71 E 1 x Xnti δ i ϕ Xnti x

72 72CHAPITRE 5. ESPÉRANCES CONDITIONNELLES ET OPTIONS AMÉRICAINES où pour une fonction f CpR 1 + δ i f Xn ti x = f X t n i x + n T f X { t n i x a X t n i 1 1 n W i a X t n i T n b X t n i n W i+1 + a X t n i n Wi+1 2 T } n Remarque On obtient en particulier une formulation de la densité de X t n i sous la forme E 1 x Xn ti δ i ϕ Xn ti x n = E 1 x Xn ti T ϕ X t n i xa X t n i 1 1 n W i ϕ X t n i x., cette égalité étant obtenue en observant que E 1 + T n b X t n i n W i+1 + a X t n i n Wi+1 2 T n F t i =. Si on note δ i ϕ X n t i x := n T ϕ X n t i xa X n t i 1 1 n W i ϕ X n t i x on obtient donc E ψ X t n i+1 Xn ti = x = E 1 x Xnti ψ X nti+1 δ i ϕ Xnti x E 1 x Xnti δi ϕ Xnti x. Remarque Cette formulation de la densité a été largement utilisée par 57 pour étudier la régularité des densités de variables aléatoires. Une étude sur les méthodes de réduction de variance de l estimateur ainsi obtenu a été menée par 45 en dimension 1. Remarque Les fonctions ϕ et ϕ agissent comme des fonctions de localisation : on sélectionne les trajectoires qui ne sont pas trop éloignées de x. Typiquement, elles atteignent leur maximum en et décroissent ensuite rapidement. On peut choisir les fonctions ϕ et ϕ de manière à minimiser la variance intégrée des estimateurs du numérateur et dénominateur. Il est montré dans 1 que les fonctions ϕ et ϕ optimales sont de type exponentielle ϕy = e ηy, ϕy = e ηy, où η 2 = E ψ X nti+1 2 δ i 1 2 /E ψ X nti+1 2 η 2 = E δi 1 2. On peut vérifier que η et η ont une évolution avec n de l ordre de n. Remarque Si X est le log des prix dans le modèle de Black-Scholes, i.e. bx = r σ 2 /2 et ax = σ, on obtient δ i fx ti x = f X ti x + n T fx ti x σ { n W i n W i+1 }.

73 5.1. APPROCHE PAR CALCUL DE MALLIAVIN 73 Preuve du Théorème On commence par fixer a, b tel que x a, b et on écrit que E ψ X E 1 a,b X t n t n i ψ X t n i+1 i+1 Xn ti a, b = E 1 a,b X t n i On se concentre sur le numérateur, le dénominateur étant obtenu de la même manière en remplaçant ψ par 1. On suppose que ψ Cb 1, le résultat général étant obtenu par passage à la limite. On pose Φ = Xn ti 1 a,b ξψ X n t i+1 ϕ X n t i ξdξ. Par la Propriété 4.4.5, la Remarque et le fait que ϕ = 1, on a, pour tout t, T, D t Φ = 1 a,b X t n i ψ X t n i+1 D t Xn ti Xn ti + 1 a,b ξ ψ X nti+1 D t Xnti+1 ϕ X nti ξ + ψ X nti+1 ϕ X nti ξd t Xnti dξ. On pose h i,t := n T a X t n i ti 1,t i t a X t n i T n b X t n i + a X t n i n W i+1 1 ti,t i+1 t On remarque que, par construction de h i et 4.4.1, de sorte que ti+1 ti+1 t i 1 D t Xn ti+1 h i,t dt = et i 1 t D t Φh i,t dt = 1 a,b X t n i 1 ψ X t n i + = 1 a,b X t n i 1 ψ X t n i + On calcule maintenant ti+1 t i 1 D t Φh i,t dt = n T n T ti t i 1 D t Φa X n t i 1 1 dt ti+1 t i D t Φa X n t i 1 Xn ti ti+1 a,b D après le Théorème conditionnellement à F ti 1, n ti E D t Φ a T X n t n i 1 1 dt = E t i 1 T t i 1 D t Xn ti h i,t dt = dξ1 a,b ξψ X n t i ϕ X n t i 1 ξ 1 ξ Xn ti 1 ψ X n t i ϕ X n t i 1 ξdξ Tn b X nti + a X nti n W i+1 dt. Φ a X n t i 1 1 n W i.

74 74CHAPITRE 5. ESPÉRANCES CONDITIONNELLES ET OPTIONS AMÉRICAINES et n E T n = E T n +E T n = E n E T ti+1 t i ti+1 t i ti+1 t i T Φa X n t i 1 ti+1 t i D t Φa X t n i Tn b X nti + a X nti n W i+1 dt D t Φa X t n i T n b X t n i dt D t Φa X t n i 1 a X t n i n W i+1 dt 1 + T n b X n t n i n W i+1 + E T ΦD t n W i+1 a X t n i 1 a X t n i dt ti+1 t i D t Φ n W i+1 a X t n i 1 a X t n i dt comme D t n W i+1 = 1 sur t i, t i+1, on a donc par le Théorème conditionnellement à F ti n ti+1 E D t Φa T X t n i Tn b X nti + a X nti n W i+1 dt t i n = E T Φa X t n i T n b X n t n i n n W i+1 + E Φa X t T i 1 a X t n i n W i+1 2 E Φa X n t i 1 a X n t i. On a montré que ti+1 E D t Φh i,t dt t i 1 = n Φ a T E X nti 1 1 n W i a X nti T n b X t n i n W i+1 E Φa X n t n i 1 T a X t n i n W i+1 2 a X t n i. En combinant cette équation avec 5.1.3, on obtient n { T E Φ a X t n i 1 1 n W i a X t n i T n b X t n i n W i+1 + a X t n i n W i+1 2 a X t n i T } n = E 1 a,b X t n i 1 ψ X t n i + 1 ξ Xn ti 1 ψ X t n i ϕ X t n i 1 ξ dξ, a,b ce qui implique, par définition de Φ, E 1 a,b X t n i ψ X t n i+1 = En utilisant 5.1.1, on obtient E ψ X t n i+1 Xn ti a, b = a,b a,b E 1 ξ Xnti ψ X nti+1 δ i ϕ X t n i 1 ξ dξ. a,b E 1 ξ Xn ti ψ X n t i+1 δ i ϕ Xn ti ξ dξ a,b E 1 ξ Xn ti δ i ϕ Xn ti ξ dξ,

75 5.1. APPROCHE PAR CALCUL DE MALLIAVIN 75 et comme la loi de X n t i n a pas d atome, on en déduit le résultat. La formulation du Théorème fournit un estimateur naturel pour l espérance conditionnelle. On peut ainsi considérer N copies indépendantes X nj N j=1 de X n et définir un estimateur de l espérance conditionnelle par Ẽ ψ X nti+1 Xnti δ j i = N j=1 1 Xn t i X nj t i 1 Xn ti ψ X nj t i nj X t i+1 δ j i δj i ϕ ϕ Xn j t i X t n i nj X t i X t n i où δ j i et sont les opérateurs correspondant à la j-ème trajectoire simulée. En pratique ces estimateurs risquent d être instables à cause de la division ils n ont d ailleurs aucune raison d être dans L 1!. Il faut donc les corriger légèrement. Si ψ est à croissance polynomiale, il est assez facile de construire des polynômes ρ et ρ tels que ρ X t n i E ψ X nti+1 Xnti ρ X n t i. On définit alors l estimateur de l espérance conditionnelle par Ê ψ X nti+1 Xnti := ρ X t n i ψ Ẽ X nti+1 Xnti ρ X t n i. Comme, d après le Lemme 2.2.1, Xn ti est dans tous les L p, p 1, on obtient ainsi un estimateur avec de bonnes propriétés d intégrabilité. On a le résultat de convergence suivant. Théorème Sous les hypothèses du Théorème 5.1.1, si on prend ϕ et ϕ de la forme e ηn x avec η n n quand n, alors, pour tout p 1, Ê ψ X nti+1 Xnti E ψ X t n L i+1 Xn ti p C n 1 4p N 1 2p où C ne dépend pas de n et N. La preuve de ce résultat n est pas très difficile mais un peu longue. Nous renvoyons à 13 pour les détails et pour l étude du cas général. Remarque D après la Remarque 5.1.2, si on connaît explicitement la densité f Xn ti de X n t i, on peut également utiliser comme estimateur Ě ψ X t n i+1 Xn ti = x = 1 N N j=1 nj 1 Xn ψ X ti Xt nj t i+1 δ j nj i ϕ X t i X t n i i f Xn ti x.

76 76CHAPITRE 5. ESPÉRANCES CONDITIONNELLES ET OPTIONS AMÉRICAINES Remarque Lorsque d 2, un résultat similaire à celui des Théorèmes et peut être obtenu mais l écriture de l estimateur est plus compliquée. Dans 1, vous trouverez une écriture en terme d intégrales de Skorohod itérées. Le cas du modèle de Black-Scholes a été étudié par 51, la formulation est alors plus simple. On peut néanmoins obtenir une forme élégante de ce résultat dans le cas où X n = X = W. A un changement de variable près, il est souvent possible de se ramener à ce cas. On a alors sous des conditions analogues à celles du Théorème E ψw ti+1 W ti = x =» E ψw ti+1 Q d l=1 1 x l W t l e ηl W l t i x{ n T n Wi l n Wi+1+η l l }» i Qd E l=1 1 x l W t l e ηl W l. t i x{ n T n Wi l+ηl } i La convergence de l estimateur L p est alors en n d 4p /N 1 2p. Dans ce cas particulier, on peut simplifier la formulation de l estimateur puisque l on connaît explicitement la densité des W ti, voir Remarque Exemple On considère le processus suivant avec dx t = diag X t σdw t, X 1 = X 2 = X 3 = 1. σ = On estime la densité du processus et l espérance conditionnelle X 1 rx = 1 E 2 + X2 2 + X X 1 = x en différents points. On donne le résultat moyen obtenu ainsi que l écart-type de l estimateur avec ou sans fonction de localisation.. Densité x 1 = 1.3 x 3 \x Valeur exacte Avec localisation Sans localisation Valeur exacte Avec localisation Sans localisation Valeur exacte Avec localisation Sans localisation

77 5.1. APPROCHE PAR CALCUL DE MALLIAVIN 77 Espérance conditionnelle x 1 =.9 x 3 \x Valeur exacte Avec localisation Sans localisation Valeur exacte Avec localisation Sans localisation Valeur exacte Avec localisation Sans localisation On observe une très forte volatilité de l estimateur en l absence de fonction de localisation. Il est donc absolument nécessaire de l utiliser. Même avec celle-ci, la variance reste forte. Cette approche doit donc être combinée avec d autres techniques de réduction de variance dès que cela est possible Application à l évaluation d options américaines On revient maintenant au problème d évaluation d options américaines présenté dans la Section 2.6. On considère le problème discrétisé p n t n, X t n n = g X t n n p n t i, X { t n i = max g X t n i, e rt/n E p n t i+1, X } nti+1 Xnti, i {,..., n 1}. Si g est lipschitzienne, il est facile de construire une suite de polynômes ρ i x = α i + β i x 2 tels que les α i, β i sont uniformément bornés en i et n et tels que et i E g X t n n Xn tn 1 ρ n 1 X t n n 1 E g X t n i e rt/n ρ i X t n i Xn ti 1 ρi 1 X t n i 1. On peut donc utiliser l estimateur du Théorème pour calculer les espérances conditionnelles. L argorithme utilisé est le suivant : On considère nn copies X n1,..., Xn nn de X n =: Xn, et on pose N i := {i 1N + 1,..., in}. Initialisation : Pour j {} N n, on pose : ˆp n t n, nj X t n = g Xn j t n. Récurrence rétrograde : Pour i = n,..., 1, on pose, pour j {} N i 1 : ˆp n t i 1, { nj X t i 1 = max gxt nj i 1, e rt/n Ê ˆp n t i, } nj X t i Xn j t i 1

78 78CHAPITRE 5. ESPÉRANCES CONDITIONNELLES ET OPTIONS AMÉRICAINES où Ê Ẽ ˆp n t i, ˆp n t i, nj X t i Xn j t i 1 nj X t i Xn j t i 1 = ρ i 1 := pour i 1 et pour i = 1 Ê ˆp n t 1, nj X t i 1 Ẽ ˆp n t i, 1 Xn j l N t X nl i i 1 nj X t 1 t i 1 ˆp n t i, 1 Xn j l N t X δl nl i 1 i i 1 t i 1 := 1 ˆp n t 1, N l N 1 X nj t i nl X t i δ l i 1 Xn j t i 1 ρ i 1 nl ϕ X t i 1 ϕ Xn l t i 1 X nl t 1. X nj t i 1 nj X t i 1 X nj t i 1 Comme on fait n approximations de l espérance conditionnelle, l erreur est de l ordre de n fois celle donnée par le Théorème 5.1.6, i.e. max ˆp n t i, X t n i p n t i, X t n i L p Cn n 1/4p /N 1/2p. i n Remarque On pourra bien évidemment, et c est même fortement recommandé, coupler cet algorithme avec une méthode de réduction de variance de type control variate comme celle proposée dans l Exemple Remarque Tout ceci se généralise à une large classe d équations forward-backward. La présentation générale de la méthode et les vitesses de convergence sont dues à 13. Lorsque le processus X n est de dimension d, la vitesse de convergence devient n n d/4p /N 1/2p. Cette approche a été initiée par 17 et 52 mais en utilisant des outils différents pour le calcul des espérances conditionnelles, voir aussi 2, 37 et les références de la section 2.6. Exemple On utilise cette approche pour évaluer un put américain sur moyenne dans le modèle de Black-Scholes en dimension 2. On prend X 1 = X 2 = K = 1, r =.5, T = 1, σ 11 =.15, σ 12 =, σ 21 =.5 et σ 22 =.1. On s intéresse à deux types de moyenne, géométrique et arithmétique, i.e. aux deux payoffs : G geo = K + XT 1X2 T et G arith = K X1 T + X2 T 2 On écrit le prix en fonction du brownien, pt i, W ti. Le prix de l option européenne géométrique est donné par la formule de Black-Scholes avec dividende valant 6.25%, une volatilité de 7, 7% et un sousjacent correspondant à la moyenne géométrique de X 1 et X 2 à vérifier en exercice en considérant la loi de X 1 T X2 T. On appelle BSgeo W ti, T le prix de l option européenne sur moyenne géométrique de maturité T à la date t i pour une valeur W ti du Brownien. On considère l estimateur suivant : E pt i+1, W ti+1 W ti = x = E pt i+1, W ti+1 ρ 1 BS geo W ti+1, T ρ 2 W ti+1 Qti x, W ti f Wti x +ρ 1 e rt i+1 t i BS geo W ti, T + ρ 2 W ti +.

79 5.2. MÉTHODES DE QUANTIFICATION 79 où Q ti x, W ti := { H x W ti δ 1 i ϕw 1 ti x 1 δi 2 ϕw 2 ti x 2 cδi 1 1 δi 2 1 }, δ 1 et δ 2 correspondent aux δ du premier et du second Brownien, f Wti est la densité de W ti, voir Remarque 5.1.7, et H x y = 1 si x 1 y 1 et x 2 y 2, sinon. La fonction de localisation ϕ est de type exponentielle avec un paramètre estimé selon la formule de la Remarque Le paramètre ρ est le paramètre de corrélation estimé, voir l Exemple En ce qui concerne le c, on utilise la propriété à vérifier en exercice en utilisant la formule d intégration par parties E pt i+1, W ti+1 ρ 1 BS geo W ti+1, T ρ 2 W ti+1 δ 1 i 1 δ 2 i 1 = et on choisit le c de manière à minimiser la variance de l estimateur. Le prix de l option américaine sur moyenne géométrique vaut environ On donne les prix moyens estimés et leur écart-type entre. n N Géométrique n N Arithmétique Méthodes de quantification Les méthodes de quantification appliquées à l évaluation des options américaines ont été introduites dans 4. L idée de la quantification est la suivante : Etant donnée une variable aléatoire Y dans L 2 R d, quantifier Y revient à se donner une grille Γ = {x 1,..., x N } R d N et à approcher Y par la variable aléatoire Ŷ définie comme Ŷ = Proj ΓY où Proj Γ désigne la projection sur Γ au sens du plus proche voisin, i.e. Ŷ = min x Γ Y x. De manière plus précise, afin d éviter toute ambiguïté sur la nature du projeté, on définit une partition en cellules de Voronoï, i.e. une partition C 1,..., C N de R d telle que { } C i y R d : y x i = min y x j, j N et on pose Ŷ := d x i 1 Ci Y. i=1

80 8CHAPITRE 5. ESPÉRANCES CONDITIONNELLES ET OPTIONS AMÉRICAINES L erreur de quantification L 2 est alors définie comme E Y Ŷ 2 = E min Y x i 2 i N. On dit qu une grille de quantification à N points est optimale si elle minimise l erreur de quantification sur l ensemble de toutes les grilles à N points. L idée est maintenant d appliquer cette approche afin d approcher X par un processus à valeurs sur un espace fini pour lequel les espérances conditionnelles de l algorithme discret de la Section 2.6 peuvent être calculées facilement. Pour chaque k n, on se donne une grille Γ k = x k,1,..., x k,nk de quantification de X tk à N k points. On note ˆX tk le quantificateur de X tk. Si on connaît les probabilités de transition π k ij := P Xtk+1 = x k+1,j Xtk = x k,j on peut alors calculer la suite ˆp n = ˆp n t k k n définie par ˆp n t n, ˆX tn = g ˆX tn ˆp n t k, ˆX { tk = max g ˆX tk, E ˆp n t k+1, ˆX } tk+1 ˆXtk k < n. C est la contre-partie du schéma de discrétisation théorique de la Section 2.6. L erreur d approximation de p n est alors contrôlée par l erreur de quantification. Théorème Si g est Lipschitz, alors il existe C > tel que, pour tout k n, E ˆp n t k, ˆX tk p n t k, X tk 2 C n E ˆX ti X ti 2. i=k On peut montrer que si la grille est optimale pour chaque k, alors l erreur de quantification E ˆX tk X tk 2 est de l ordre de ON 2 d k. Le problème est évidemment de construire les grilles de quantification optimales et d estimer les probabilités de transition πij. k Ceci peut-être fait par des méthodes de gradient stochastique, voir la section 2.5 dans 4. La page http :// propose un lien vers des grilles de quantification.

81 Chapitre 6 Compléments exercices 6.1 Simulation d un CIR : schéma exact On considère le processus de Cox Ingersoll Ross CIR X x défini sur, T par X x t = x + t a bx x s ds + σ t X x s dw s où x, a, b, σ > et W est un mouvement brownien sur l espace Ω, F, P muni de la filtration naturelle F = F t t T engendrée par W complétée. On suppose que a σ 2 /2 ce qui implique que X x > P p.s. Par la suite on se donne π := { = t < t 1 <... < t i <... < t n = T } une partition de, T. 1. Peut-on approcher X x par un schéma d Euler classique? Justifiez. 2. Soit λ. On suppose qu il existe une fonction F C 1,2 b, T R + ; R + vérifiant { t F t, x = a bx F t, x + 1 x 2 σ2 x 2 F t, x sur, T R x 2 + F, x = e λx sur R +, 2.1. Montrer que sup k> sup t T E X x t τ k < où τk := inf{t : X x t k} T Soit t, T, montrer que le processus M défini par M s := F t s, Xs x est une martingale sur, t En déduire que F t, x = E e λxx t. 3. On suppose maintenant que la solution de est de la forme F t, x = e aφt xψt. Quelles équations doivent vérifier φ et ψ? 4. On admet que F t, x = 2λLt + 1 2a/σ2 e λltζt,x 2λLt+1 avec Lt = σ 2 /4b1 e bt et ζt, x = 4xbe bt /σ 2 1 e bt. Quelle est la transformée de Laplace φ Y x t Xt x /Lt? 5. On suppose que 4a/σ 2 =: k N. 81 de Y x t :=

82 82 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS EXERCICES 5.1. Soit N une gaussienne de variance 1 et de moyenne m. Calculer la densité f N 2 de N 2 et sa transformée de Laplace φ N En déduire une méthode de simulation des accroissements X x t i+1 X x t i i<n lorsque 4a/σ 2 est un entier. 6. On considère maintenant le cas où 4a/σ 2 est un réel strictement positif quelconque Soient α >, β > et f α,β x = βα Γα xα 1 e βx 1 x>, la densité de la loi Gamma Gα, β, où Γ est la fonction Gamma. Comment simuler une variable aléatoire U, V de loi uniforme sur D := {u, v, 2 : u fα,β v/u} quand α > 1? On commencera par montrer que D est contenu dans un rectangle On suppose α > 1. Soit U, V une variable aléatoire uniformément distribuée sur D. Quelle est la loi de V/U? 6.3. Déduire des questions précédentes une méthode de simulation de copies i.i.d. de loi Gα, β quand α > 1. Donner le coût moyen d un tirage en fonction du volume D de D Que faire quand α = 1? 6.5. On rappelle que, pour tout α > et β >, la transformée de Laplace de la loi Gα, β est donnée par φ α,β y = 1 + y/β α y. Soit ν >, M une variables aléatoire de loi de Poisson de paramètre p > et χ ν+i i une suite de variables aléatoires indépendantes et indépendantes de M telle que χ ν+i Gν + i/2, 1/2 pour chaque i. Calculer la transformée de Laplace φ ν+2m de χ ν+2m := i χ ν+2i1 i=m Comment simuler des copies i.i.d. de χ ν+2m? 6.7. Déduire des questions précédentes un mode de simulation des accroissements X x t i+1 X x t i i<n. Remarque : En pratique cette méthode est assez coûteuse numériquement. Lorsque le pas de temps est petit, on préfèrera discrétiser l EDS associée à X x en adaptant l approche par schéma d Euler voir à ce sujet les travaux récents de 1.

83 6.2. SIMULATION D UN CIR : SCHÉMA D EULER IMPLICITE Simulation d un CIR : schéma d Euler implicite On s intéresse à l équation différentielle stochastique { dxt = ab X t dt + σ X t dw t X = x où a, b, σ, x > et W t t est un mouvement brownien réel. Soit T > et N N. On pose t = T/N et pour k N, on note t k = kt/n = k t. 1. Quel résultat assure l existence d une unique solution à l équation { dyt = a 2 Y tdt + σ 2 db t Y i = x où B t t est un mouvement brownien standard. Que peut-on dire du processus W t = 1{Ys } 1 {Ys<} dbs? Vérifier que X t = Y t 2 est solution de l équation pour t b = σ2 2. On se donne maintenant Wt 1,..., W d 4a. pour 1 i d on note Y i t t t un mouvement brownien à valeurs R d et la solution de { dy i t = ay i 2 t dt + σ dw i 2 t Y i = 1 {i=1} x. 3. On pose X t = d i=1 Y i t 2. Que peut-on dire du processus W t = t 1 1 {Xs>} Xs d i=1 Y i s dw i s + t 1 {Xs=}dW 1 s? En déduire que X t est solution de l équation pour b = dσ2 4a. A partir de maintenant, on admet que l équation possède une unique solution X t t telle que P t, X t = On pose α déf = 2ab σ 2 > 1 et x >, sx = Pour k, n N tels que 1/n x k, on pose x 1 y α e αy/b dy. τ k n = inf{t, X t / 1/n, k}, τ k = inf{t, X t k}. On admet que Pτn k < + = Vérifier que x >, s b x x = α bx s x.

84 84 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS EXERCICES 6. Appliquer Itô à sx. En déduire que E s X τ k n = sx. 7. On suppose que α > 1. Donner lim n + s1/n. En déduire lim n + P X τ k n = 1/n puis que P t τ k, X t > = 1 en utilisant le lemme de Borel Cantelli on utilisera une minoration adéquate de s1/n. Conclure que P t, X t > = 1. On se place désormais dans le cas α > Calculer < X, W > t. 9. En remarquant que pour k N 1, X tk+1 Wtk+1 W tk est égal à X tk+1 X tk Wtk+1 W tk + Xtk Wtk+1 W tk, donner la limite en probabilité de N 1 k= Xtk+1 W Wtk+1 t k lorsque N Conclure que x + N 1 k= converge vers X T lorsque N +. ab X tk+1 σ2 t + σ X tk+1 Wtk+1 W tk 2 Ce résultat suggère l utilisation du schéma implicite suivant X = x et pour k N 1, X tk+1 = X tk + ab X tk+1 σ2 2 t + σ Xtk+1 Wtk+1 W t k pour l équation En raison du caractère implicite, il faut vérifier que l équation de récurrence qui précède a bien une solution. 11. Vérifier que pour x > et w R, l équation 1 + a ty 2 wy abα 1 + x = portant sur la variable y admet une unique racine strictement positive fx, w. 12. En déduire l existence d une suite de variables strictement positives X tk k N vérifiant Discrétisation d EDSR On considère un marché financier formé d un actif risqué S de dynamique S t = S + t σs u dw u, t T,

85 6.3. DISCRÉTISATION D EDSR 85 où σ est bornée, uniformément lipschitzienne et vérifie σ ε pour un ε >. On suppose que le taux sans risque est nul. 1. On note H 2 l ensemble des processus prévisibles ξ vérifiant T 1 ξ H 2 := E ξ t 2 2 dt <. On note φ le processus de H 2 correspondant au nombre d unités de S détenues dans le portefeuille Ecrire la dynamique de la richesse X x,φ associée à une dotation initiale x et une stratégie de portefeuille φ sous la contrainte d autofinancement On suppose à partir de maintenant que la gestion du portefeuille entraine un coût continu f, fonction uniformément lipschitzienne de constante de Lipschitz L, qui dépend de la valeur du portefeuille et de celle du sous-jacent S. La dynamique de la richesse s écrit alors X x,φ t = x t fx x,φ u, S u du + t φ u ds u. Montrer que pour tout x, φ R H 2, X x,φ appartient à l ensemble S 2 des processus prévisibles χ vérifiant 1 χ S 2 := E sup χ t 2 2 t T <. 2. On veut couvrir l option gs T, i.e. trouver x, φ R H 2 tels que X x,φ T = gs T Montrer que cela revient à trouver Y, Z où Y, Z S 2 H 2 est solution de { Y t = Y t fy u, S u du + t Z udw u t T Y T = gs T. On supposera par la suite qu un tel couple Y, Z existe Montrer que pour tout s t T Y s = E Y t + t s fy u, S u du F s Dans la suite de l exercice, on étudie une méthode de discrétisation de l équation On fixe un entier n > et on considère la grille π := {t i = ih, i =,..., n} de, T, où h = T/n. A partir de maintenant, on suppose que g est uniformément lipschitzienne, de constante de Lipschitz L.

86 86 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS EXERCICES 3.1. Rappeler la définition du schéma d Euler S de S On définit la suite Ȳt i i n de manière rétrograde par { Ȳtn = g S tn Ȳ ti = E Ȳ ti+1 + hfȳt i+1, S ti+1 F ti, i = n 1,..., En utilisant une récurrence, montrer que Ȳt i L 2 pour tout i n Montrer que pour tout a, b R et α > : a + b αa /αb Déduire de et que, pour tout i {,..., n 1} et α >, Ȳt i Y ti α + 3L /αh 2 E Ȳt i+1 Y ti+1 2 F ti ti L /αE S ti+1 S s + Y ti+1 Y s ds F ti. t i 3.5. On suppose à partir de maintenant que Z S 2. Montrer que, pour tout i {,..., n 1}, E sup Y ti+1 Y s 2 C t i+1 t i, s t i,t i+1 où C est une constante qui ne dépend ni de i ni de π Rem : on peut en fait vérifier cette propriété même si Z / S En utilisant l inégalité de Jensen, déduire des questions précédentes que, pour tout i {,..., n 1}, Ȳt i Y ti α + 3L /αh 2 E Ȳt i+1 Y ti+1 2 F ti + C 1 + 1/α h 3, où C > est une constante indépendante de i et π En choisissant α > correctement, en déduire que max i n E Ȳt i Y ti 2 C 1 E Ȳ tn Y tn 2 + h C 2 h, où C 1 et C 2 sont deux constantes indépendantes de h Que peut-on dire de Err n := max i n E 1 2 sup Ȳt i+1 Y s 2 s t i,t i Montrer qu il existe un processus Z H 2 tel que Ȳ ti he fȳt i+1, S ti+1 F ti = Ȳ ti+1 ti+1? Justifier. t i Zs dw s Montrer que si f, alors Z Z 2 H 2 Ch où C ne dépend pas de h Rem : on peut le montrer également quand f.

87 6.4. APPROXIMATION DU TEMPS DE SORTIE D UNE DIFFUSION Dans le cas générale, i.e. f, calculez E Ȳ ti+1 W ti+1 W ti F ti. Que proposezvous pour estimer Z et φ? 4.4. Soit Ẑ défini sur chaque intervalle t i, t i+1 par Ẑt = t i+1 t i 1 ti+1 E t i Z s ds F ti. En admettant qu il existe C 3 indépendant de h tel que Z Z 2 H + Z 2 Ẑ 2 H C 2 3 h, montrer que n 1 ti+1 i= t i E Z t Z ti 2 C 4 h, où C 4 est indépendant de h. Remarque : Pour simuler les trajectoires Ȳt i i, on simule S et on utilise des estimations de type Monte-Carlo pour approcher les espérances conditionnelles voir le Chapitre Approximation du temps de sortie d une diffusion Soit W un mouvement brownien unidimensionnel et F = F t t sa filtration naturelle complétée. Soient b une fonction lipschitzienne de R dans R, X R, σ >, T > et X la solution de X t = X + t bx s ds + σw t, t, T. On se donne un maillage π := {t i := ih, i n} où n N \ {} et h := T/n. On note φt := sup{s π : s t} pour t T. Enfin, on note X le schéma d Euler continu de X associé à π. 1. a. Rappeler la définition du schéma d Euler version continue. b. Donner la définition du schéma de Milschtein de X. c. Le fait que σ soit constante permet-il d avoir une majoration du type : sup E X φt X t Ch, t T pour une constante C > indépendante de h? justifiez brièvement. Soit U un réel vérifiant U > X. On note τ := inf{t, T : X t U} et τ := inf{t, T : Xt U}, avec la convention usuelle inf = Soit i {,..., n 1} et x i, x i+1 deux réels appartenant à, U. a. Donner la forme explicite de px i, x i+1 = P sup t t i,t i+1 X t U Xti = x i, Xti+1 = x i+1. b. Proposer un mode de simulation de φ τ.

88 88 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS EXERCICES A partir de maintenant, on s intéresse à l écart entre τ T et φ τ T. On note d la distance signée à U : Etant donné γ >, on note dx = x U. F x = dx 2 /γ. Dans tout le reste de l exercice, C > désigne une constante générique qui peut changer de ligne en ligne mais qui ne dépend pas de h. On note C ε si elle dépend d un autre paramètre ε. 3. Caculer les limites de F et F la dérivée première et seconde de F quand x U. En déduire que l on peut choisir r > et γ suffisamment petit l un dépendant de l autre de sorte que : bxf x σ2 F x 1, x U r, U. A partir de maintenant, on supposera toujours que r et γ sont tels que l inégalité précédente est vérifiée. 4. a. Appliquer le lemme d Itô à F X sur τ, τ T sur l évènement A B avec et en déduire que A := { τ < τ T }, B := {X s U r, U, s τ, τ T } E τ T τ1 A B E F X τ T F X τ 1 A B T τ + 1 E A B c F X s σdw s. b. Montrer que pour tout p 1, il existe une constante C p > telle que E sup X t p F τ 1 τ T C p 1 + X τ p 1 τ T. t τ,t c. En utilisant l inégalité de Hölder conditionnellement à F τ, montrer que, pour tout ε, 1, il existe une variable aléatoire ξ ε admettant des moments de tous ordres tel que T τ 1 E A B c F X s σdw s F τ ξ ε T τ 1 2 P A B c F τ 1 ε 1 τ T. τ d. En utilisant le fait que F X τ = si τ T et F X τ = si τ T, montrer que E F X τ T F X τ 1 A B 1 τ T γ 1 E d 2 X τ 1 A B 1 τ T τ γ 1 E d X τ dx τ 2 1 A B 1 τ T

89 6.4. APPROXIMATION DU TEMPS DE SORTIE D UNE DIFFUSION 89 Montrer ensuite que E d X τ dx τ 2 1 A B 1 τ T C h. e. En appliquant le Lemme d Itô et des arguments déjà utilisés en b., montrer que, pour tout ε, 1, il existe une variable aléatoire ξ ε admettant des moments de tous ordres tel que E F X τ T F X τ 1 A B 1 τ>t ξ ε T τ 1 2 P τ > T F τ 1 ε 1 A. f. Soit η, 1/4 et E := {X τ U h 1 2 η }. Montrer en utilisant la définition de τ et l inégalité de Tchebychev que, pour tout p 1, il existe C p > tel que P E c A C p h pη p 2 E sup X t X t p C p h ηp. t T En déduire que pour tout ε, 1, il existe C ε,η > indépendant de n tel que P E c A C ε,η h 1 ε. g. En supposant seulement pour cette question que b =, montrer que, pour tout ε, 1, il existe une variable aléatoire ξ ε admettant des moments de tous ordres telle que P τ > T F τ 1 E 1 A ξ ε h 1 2 η1 ε T τ 1 2 1A utiliser la loi du max d un mouvement brownien. Donner une indication sur comment traiter le cas b. Par la suite on admettra que ceci est vrai même si b. h. On admet maintenant que, pour tout ε, 1, il existe une variable aléatoire ξ ε admettant des moments de tous ordres telle que P B c F τ 1 E 1 A ξ ε h 1 2 η1 ε Déduire de cette estimation et des questions précédentes que, pour tout ε, 1, il existe C ε > tel que E τ T τ1 A C ε h 1 2 ε. 5. On admet que, pour tout ε, 1, il existe C ε > tel que E τ T τ1 τ< τ T C ε h 1 2 ε.

90 9 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS EXERCICES Donner une majoration de E φ τ T τ T. 6. En reprenant l algorithme proposé dans la question 2.b., proposer un mode d estimation de τ T et donner une borne sur l erreur effectuée tenant compte de l erreur d approximation de τ T ainsi que de l erreur statistique due à l approche par Monte- Carlo. Remarque Nous renvoyons à 12 pour l étude de la vitesse de convergence du temps de sortie dans un cadre plus général. Voir également Algorithme de Robbins Monro Soit une fonction continue, bornée, strictement croissante f : R R. On suppose qu il existe x R tel que fx =. Etant donnée une suite U n n 1 de variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur 1, 1, on considère la suite X n, Y n n définie par X = et Y n+1 = fx n + U n+1 X n+1 = X n 1 n + 1 Y n+1, n. On note F n = σx i, i n. 1. Ecrire E Y n+1 F n en fonction de X n. Calculer X n+1 x 2 X n x 2 et en déduire, en utilisant les hypothèses faites sur f, que, pour tout n, E X n+1 x 2 F n Xn x n E Y n+1 2 F n. 2. Montrer qu il existe une constante C > telle que, pour tout n 1, S n := n 1 k= 1 k E Y k+1 2 F k C P p.s. En déduire que S n n converge presque sûrement. 3. Déduire de 1. que le processus Z n n 1 défini par Z n := X n x 2 + C S n est une F n n -sur-martingale. 4. En utilisant le fait que pour une sur-martingale positive W n n 1, il existe une variable aléatoire W telle que lim n W n = W P-p.s., déduire des questions précédentes que la suite X n x n admet une limite presque sûre. 5. Montrer que pour tout n 1 n k= 2 k + 1 E fx kx k x x 2 + C.

91 6.6. MÉTHODE DE REJET AVEC RECYCLAGE Déduire de 5. que E k= 2 k + 1 fx kx k x x 2 + C. 7. En utilisant les hypothèses faites sur f, montrer que, pour tout δ >, inf x x x >δ x fx >. 8. Déduire de 6. et 7. que, pour δ Q,, PA δ = où { } A δ := lim X n x δ. n Que peut-on dire de lim n X n? Justifiez. 9. On reprend le modèle précédent mais maintenant on définit X n n par X = et X n+1 = X n γ n Y n+1, n, où γ n n est une suite réelle positive. Quelles conditions doit-on imposer sur la suite γ n n pour que X n converge vers x presque surement? Justifiez brièvement. 1. Proposer une méthode basée sur des simulations permettant de résoudre gx = α, où g est une fonction continue, bornée, strictement croissante et α gr. 6.6 Méthode de rejet avec recyclage On veut estimer par Monte-Carlo E gx où X est une variable aléatoire de densité f X strictement positive sur R et g une fonction réelle bornée. On considère un couple U, Z de densité f U,Z u, z = 1 {u,1} f Z z où f Z est une densité strictement positive sur R. On suppose qu il existe a > tel que f X z < af Z z pour tout z R. On considère maintenant une suite U k, Z k k 1 de variables aléatoires indépendantes de même loi que U, Z. On pose µ = ν = et on définit de manière récursive ν i+1 := inf {k > ν i : f X Z k > au k f Z Z k } µ i+1 := inf {k > µ i : f X Z k au k f Z Z k }. 1- Donner sans justification la loi de Z ν1,..., Z νn? 2- Décrire une méthode de rejet permettant d estimer E gx.

92 92 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS EXERCICES 3- Calculer α := P U 1, Z 1 D où D := {u, z, 1 R : f X z > auf Z z}. 4- En déduire E ν 1 en fonction de a on commencera par calculer la loi de ν En admettant que E ν i+1 ν i = E ν 1 i 1 calculer E ν n. Quelle interprétation donner à ce nombre? 6- Calculer la loi de ν n, i.e. Pν n = k pour k Montrer que pour toute suite A i i 1 de Boréliens de R et que P Z νi A i, i = 1,..., n ν n = n + p = P Z µi A i, i = 1,..., p ν n = n + p = a 1 p 8- En déduire et a 1fX Z µi E af Z f X Z µi gz µ i ν n = n + p 1 E ν n n i=1 p i=1 n gz νi ν n = n + p. i=1 A i f X zdz A i af Z z f X zdz., 1 i p, 9- En utilisant les résultats de la question 8., proposer une méthode d estimation de E gx tenant compte de tous les éléments de la suite Z i νn i=1. Justifier. 6.7 Estimation d espérances conditionnelles Soit U une variable aléatoire uniforme sur, 1 et X une variable aléatoire de fonction de répartition Φ continue et strictement croissante sur R. 1. Soit I un intervalle de, 1 et U n n 1 une suite i.i.d. 1 de même loi que U. On définit la suite T n n 1 par T n+1 := inf{k > T n : U k I}, n 1, avec comme convention T =. Soient m < M tels que P X m, M >. Déterminer I tel que Φ 1 U Tn n 1 soit une suite i.i.d. de loi égale à celle de X sachant X := m, M on admettra que la suite U Tn n 1 est i.i.d.. 1 i.e. dont les éléments sont indépendants et de même loi.

93 6.7. ESTIMATION D ESPÉRANCES CONDITIONNELLES On pose δ n = T n T n 1 pour n 1. Montrer que les δ n sont i.i.d. de loi géométrique de paramètre α > à préciser. 3. Soit I défini comme en 1. Montrer que, pour toute fonction bornée f, ˆm N := N n=1 fφ 1 U n 1 I U n N n=1 1 1 δ1 N EfX X P p.s. IU n avec la convention / =. 4. On veut estimer la vitesse de convergence L 2 de l estimateur ˆm N. On suppose que f f m où f m est une constante réelle. On note A N := 1 N N fφ 1 U n 1 I U n, B N := 1 N n=1 N 1 I U n n= Montrer que A := EfX1 X, B := PX et r = A B. E ˆm N r 2 1 A N 2 E A B N B 2 1 δ1 N re1 δ1 >N Montrer que et en déduire que ˆm N r 1 δ1 N = A N A B N + r B B N B N 1 δ 1 N, ˆm N r 2 1 δ1 N 4 B 2 A N A + rb B N 2 + 4f 2 m1 Ωc, où Ω := { B N B 2 1 B} Déduire de la question précédente que E ˆm N r 2 1 δ1 N 1 2 C N, où C > est une constante indépendante de N Déduire que E ˆm N r C N α N/2, où C > est une constante indépendante de N. Conclure sur la vitesse de convergence L 2 de l estimateur ˆm N. 5. On se propose maintenant d utiliser une autre méthode Calculer la loi de la suite Y n n 1 définie par Y n := Φ 1 Φm + U n ΦM Φm, n 1.

94 94 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS EXERCICES 5.2. Construire à partir de Y n n 1 un estimateur de EfX X. Quel est son biais? Quelle est sa vitesse de convergence L 2? Comparer avec la méthode précédente. 6. On suppose maintenant que f est continue. Soit ξ n n 1 une suite déterministe équi-répartie sur, 1, i.e. telle que 1 N N gξ n n=1,1 gxdx g continue bornée de, 1 dans R. En utilisant l approche des points 3. et 5. proposer deux modes d estimation de EfX X à partir de ξ n n 1. Justifier la convergence des deux méthodes. 6.8 Variables antithétiques On se donne G i i 1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant la loi gaussienne centrée réduite. On dit qu une fonction f : R n R est monotone resp. croissante en chacune de ses variables si pour tout k {1,..., n}, l application qui à x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n, x, y R n+1 associe y x fx 1,..., x k 1, y, x k+1,..., x n fx 1,..., x k 1, x, x k+1,..., x n est de signe constant resp. positive sur R n Quelle est la loi de G i? 2. Soit f, g : R R croissantes et bornées. a Quel est le signe de fg 1 fg 2 g G 1 g G 2? En déduire que Cov, f G 1, g G 1. b Pour l estimation de E fg 1, quelle variable faut-il préférer entre 1 2I i=1 fg i et 1 I 2I i=1 fg i+f G i? comparer à la fois la précision et l effort de calcul. 3. Nous allons voir que la technique de réduction de variance précédente s étend à la dimension n 2 et même à la dimension infinie. On admet que pour φ et ψ : R n 1 R croissantes en chacune de leurs variables et bornées, on a Cov, φ G 1,..., G n 1, ψ G 1,..., G n 1. On se donne f et g : R n R croissantes en chacune de leurs variables et bornées. a Pour x R, quel est le signe de 2I E fg 1,..., G n 1, xg G 1,..., G n 1, x ΛxΓ x où Λx = E fg 1,..., G n 1, x et Γx = E g G 1,..., G n 1, x?

95 6.8. VARIABLES ANTITHÉTIQUES 95 b Que peut-on dire des fonctions Λx et Γx? En déduire le signe de E ΛG n Γ G n E fg 1,..., G n 1, G n E g G 1,..., G n 1, G n. c En intégrant l inégalité contre une densité bien choisie, vérifier que Cov, f G 1,..., G n, g G 1,..., G n. d Conclure que pour tout n N, pour toute fonction f : R n R monotone en chacune de ses variables et bornée, Cov, f G 1,..., G n, f G 1,..., G n. Remarquer que si ε = ε 1,..., ε n { 1, 1} n, le vecteur ε 1 G 1,..., ε n G n a même loi que G 1,..., G n. Qu indique ce résultat pour l estimation de E fg 1,..., G n par la méthode de Monte-Carlo? 4. On se place maintenant dans le modèle de Black-Scholes S t W = S e σwt+r σ2 /2t où S R + et W = W t t est un mouvement brownien standard. On fixe une maturité T > et f : R R une fonction de payoff monotone, continue et bornée. Pour N N, on pose t = T/N et t k = kt/n = k t, k {,..., N}. a Quel est le signe de Cov, f S T W, fs T W? b On note MT NW = 1 N 1 N k= S t k W. i. Donner, en la justifiant, la limite presque sûre de MT N W lorsque N tend vers +. ii. Montrer que M N T W = S N où pour n N, ϕ N 1 Wt1, W t 2 W t1 t t,..., W t N 1 W tn 2 t, ϕ n : z 1,..., z n R n n k= e σ t P k j=1 z j+kr σ 2 /2 t. iii. En déduire le signe de Cov fmt NW, fm T N W. 1 T iv. Conclure que Cov f S 1 T T tw dt, f S T t W dt. c Montrer de même que Cov f max t,t S t W, f max t,t S t W.

96 96 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS EXERCICES 6.9 Un exemple de réduction de variance par intégration par parties et conditionnement Soient X une variable aléatoire de loi normale N, 1 et a < b deux réels. Soit Z une variable aléatoire égale en loi à X X a, b. 1. Proposer deux modes de simulation différents de Z basés sur l inverse φ de la fonction de répartition de la loi N, 1. Lequel vous semble le plus efficace? Soit τ une variable aléatoire indépendante de Z de loi exponentielle de paramètre λ >. On note Y := Z1 τ Comment simuler Y? Etant donnée une suite Y i i 1 de copies i.i.d. de Y, on pose ˆm N := 1 N N gx + Y i, N 1, i=1 où g est une fonction mesurable bornée sur R et x R. On note m := E gx + Y et m := E gx + Z. 3. a. Montrer qu il existe p, 1 tel que NVar ˆm N = 1 p Var gx + Z + m m 2 + p gx m 2 b. Construire un estimateur m N de m dont la variance vaut N 1 1 p 2 Var gx + Z. c. Quel estimateur de m est-il préférable d utiliser? Donner deux raisons différentes. A partir de maintenant, on insiste sur la dépendence de m en x en notant mx, et on suppose g continuement dérivable à dérivée bornée. 4. a. Montrer que la dérivée de m par rapport à x est donnée par b. Montrer que Y n a pas de densité. c. Soit f la densité de Z. Peut-on avoir m x = E g x + Y. m x = E gx + Z1 τ 1 f /fz? d. Trouver des constantes γ et p telles que m x = γ 1 pe gx + Zf /fz. e. Discuter les avantages relatifs des estimateurs naturels de m x associés aux identités des questions a. et d..

97 6.1. SUITES UNIFORMES RANDOMISÉES Suites uniformes randomisées Pour une fonction réelle f sur, 1, on note f p = 1 fx p dx 1/p pour p > et f = sup x,1 fx. On considère une suite ξ n n 1 à valeurs dans, 1 et on lui associe la fonction F N x := 1 N N 1 ξn x, x, 1. n=1 1. On définit la discrépance L p à l origine de la suite par D p N := F N F p, p N { } où F x := x sur, 1. a. Montrer que si x, 1 vérifie F N x x b, b R +, alors D 1 N b2 /2. b. Déduire de a. que D 1 N implique D N. c. En déduire que s il existe p N { } tel que D p N, alors Dq N pour tout q N { }. d. Rappeler la définition d une suite uniforme sur, 1 et montrer qu une suite est uniforme si et seulement si D p N pour tout p N { }. e. En déduire que si ξ n n 1 est une suite de v.a. indépendantes uniformément distribuées sur, 1 alors 1 N N n=1 1 ξ n x tend vers x uniformément sur, 1 p.s. 2. Soit f une fonction réelle à dérivée bornée sur, 1 et U une loi uniforme sur, 1. Montrer que pour p N EfU 1 N N fξ n n=1 f q D p N où q vérifie 1 p + 1 q = 1 on pensera a utiliser l égalité fx = f + x f zdz. 3. En utilisant la loi du log itéré 2, montrer que si ξ n n est une suite de v.a. indépendantes uniformément distribuées sur, 1 alors lim sup N où γx := x1 x sur, a. Montrer que N 2 ln ln N Dp N γ p, p N D 2 N 2 = 1 N 2 i,j N 1 maxξ i, ξ j 1 N N 1 ξi i=1 2 Soit X n n est une suite de v.a. indépendantes de même loi, d espérance nulle et de variance égale à 1. On pose S N = N n=1 X n/ N. Alors lim sup N S N / 2 ln ln N = 1 p.s.

98 98 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS EXERCICES b. On suppose que ξ n n 1 est une suite de v.a. indépendantes uniformément distribuées sur, 1. Montrer que E D 2 N 2 = 1/6N. Que peut-on dire sur E EfU N 1 N n=1 fξ n 2 si f et U sont comme dans la question 2.? 5. On revient au cas où la suite ξ n n 1 est déterministe. Etant donnée une v.a V uniformément distribuée sur, 1, on définit la suite ξ n n par ξ n := {ξ n + V } où {y} désigne la partie fractionnaire de y. On note D N := F N F où FN x := 1 N N n=1 1 ξn x. a. Montrer que pour tout n, ξ n est de loi uniforme sur, 1. b. On fixe N 1. En décomposant {1,..., N} en J 1 := {j N : ξ j + V 1 x} et J 2 := {j N : ξ j + V x}, montrer que F 1 N N x x sup 1 y1 ξ N n y 2 y 2 y 1, x, 1 et en déduire que y 1 y 2 1 D n=1 N 2D N. c. Montrer que σ N x := Var FN x 4D N 2 pour tout x, 1, et que, si f et U sont comme dans la question 2., alors E EfU ˆm N 2 4 f 1 D N 2, où ˆm N := 1 N N n=1 f ξ n. d. Calculer E ˆm N et proposer une méthode pour estimer Var ˆm N. Remerciements : Je tiens à remercier sincèrement Fabian Astic, Laure Elie et Nizar Touzi pour leurs conseils et leur aide lors de l écriture de la première version de ces notes.

99 Bibliographie 1 Alfonsi A., On the discretization schemes for the CIR and Bessel squared processes, rapport CERMICS , Arouna B., Adaptative Monte Carlo method, a variance reduction technique, prépublication. 3 Arouna B., Robbins-Monro algorithms and variance reduction in finance, The Journal of Computational Finance, 7 2, Bally V. et G. Pagès, A quantization algorithm for solving multi-dimensional optimal stopping problems, Bernoulli, 96, , Bally V. et G. Pagès, Error analysis of the quantization algorithm for obstacle problems, Stochastic Processes and Their Applications, 161, 1-4, Bally V. et D. Talay, The law of the Euler scheme for stochastic differential equations I : convergence rate of the distribution function, Probability Theory and Related Fields, 14, 43-6, BenHamou E., Application of Malliavin calculus and Wiener chaos to option pricing theory, Phd thesis, The London School of Economics and Political Science, 2. 8 BenHamou E., An Application of Malliavin Calculus to Continuous Time Asian Options Greeks, preprint, 2. 9 Bouchard B. et J.-F. Chassagneux, Discrete time approximation for continuously and discretely reflected BSDE s, prépublication PMA, Bouchard B., I. Ekeland et N. Touzi, On the Malliavin approach to Monte Carlo approximation of conditional expectations, Finance and Stochastics, 8 1, 45-71, Bouchard B. et R. Elie, Discrete time approximation of decoupled Forward- Backward SDE with jumps, Stochastic Processes and Their Applications, à paraître, Bouchard B. et S. Ménozzi, Strong Approximations of BSDEs in a domain, prépublication Ceremade, Bouchard B. et N. Touzi, Discrete Time Approximation and Monte-Carlo Simulation of Backward Stochastic Differential Equations, Stochastic Processes and their Applications, 111 2, ,

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