Méthodes de Monte Carlo en Finance. Notes de cours

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1 Méthodes de Monte Carlo en Finance Notes de cours Bruno Bouchard Université Paris-Dauphine Cette version : Septembre Première version: 22

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3 Table des matières 1 Généralités et nombres aléatoires Notions générales Loi uniforme Autres lois Méthode d inversion Méthode du rejet Méthode par transformation Variables corrélées et techniques par conditionnement Notion de discrépance Généralités Cas des suites uniformément distribuées Suites à discrépance faible Méthodes de discrétisation Modèle de Black-Scholes Schéma de discrétisation Discrétisation d Euler Schéma de Milshtein Options Asiatiques Schémas simples Schéma avec développement dans le modèle de Black-Scholes Options à barrière Approche naive Approche par les ponts de diffusion Options Lookback Options Américaines Réduction de la variance Contrôle antithétique Régularisation du payoff Variable de contrôle Motivation et exemples

4 4 TABLE DES MATIÈRES Approche systématique Méthode adaptative Fonction d importance Un exemple Approche systématique Fonction d importance optimale et algorithme de Robbins Monro 52 4 Calcul des sensibilités Approche par différences finies Grecques dans le modèle de Black et Scholes Processus tangent Notions de processus tangent Processus tangent et delta Processus tangent et véga exercice Calcul de Malliavin Introduction au calcul de Malliavin Calcul de Malliavin et sensibilités Espérances conditionnelles et options américaines Approche par calcul de Malliavin Espérances conditionnelles et densités Application à l évaluation d options américaines Méthodes de quantification Compléments exercices Simulation d un CIR : schéma exact Simulation d un CIR : schéma d Euler implicite Discrétisation d EDSR Approximation du temps de sortie d une diffusion Algorithme de Robbins Monro Méthode de rejet avec recyclage Estimation d espérances conditionnelles Variables antithétiques Un exemple de réduction de variance par intégration par parties et conditionnement Suites uniformes randomisées

5 Introduction Dans les modèles sans friction ni contrainte, le prix d une option européenne, sur un sous-jacent X = X t t, de payoff actualisé gx, s écrit comme l espérance sous une probabilité risque neutre, unique si le marché est complet, de sa valeur liquidative : p, x = E gx X = x. Il existe de multiples manières d évaluer cette espérance : approche par arbres, par équations aux dérivées partielles EDP,... Ici, nous nous concentrons sur l approche Monte-Carlo. Elle consiste à simuler un grand nombre de réalisations de gx puis à en prendre la moyenne ˆp, x, la loi des grands nombres assurant la convergence de ˆp, x vers p, x. Le Chapitre 1 est consacré à des généralités sur les méthodes de Monte-Carlo et aux principaux modes de génération de nombres "aléatoires". Si g dépend de toute la trajectoire de X, ou si X est solution d une équation différentielle stochastique EDS dont on ne connaît pas explicitement la solution, il est généralement impossible de simuler parfaitement gx. Il faut alors recourir à une approximation qui correspond à une discrétisation en temps. Ces techniques seront étudiées dans le Chapitre 2. Même lorsqu on sait simuler gx, il arrive que la variance de l estimateur soit trop grande pour que celui-ci soit fiable. Le Chapitre 3 est consacré aux techniques de réduction de variance. Connaître le prix auquel on peut vendre une option est important, mais il faut ensuite pouvoir se couvrir. La couverture étant définie à partir du delta, la dérivée de p, x par rapport à x, il faut pouvoir l estimer. Le Chapitre 4 est consacré à ce sujet. Il sera l occasion d introduire les notions de processus tangent et de dérivée de Malliavin. Enfin, lorsque l option est de type américaine, les méthodes de Monte-Carlo standard conduisent à estimer un très grand nombre d espérances conditionnelles. Nous verrons dans le dernier Chapitre comment la formule d intégration par parties du calcul de Malliavin permet de les ré-écrire sous une forme exploitable numériquement. Nous renvoyons à 41, 47 et 54 pour une présentation théorique des techniques d évaluation et de gestion de portefeuille en finance.

6 Notations On commence par introduire quelques notations. On indentifiera un élément x de R d au vecteur colonne associé de coordonnées x j, j = 1,..., d. On notera M d, l ensemble des matrices carrées de dimension d, de coordonnées a ij. On notera I d la matrice identité de M d et e d le vecteur unité de R d. La norme euclidienne sur R d ou M d sera notée. Pour un élément a de M d, on notera a i le vecteur ligne correspondant à sa i- ème ligne et a j le vecteur colonne correspondant à sa j-ème colonne. La transposée de a M d sera notée a. Pour un ensemble de point x i d i=1, on notera Vectx i d i=1 le vecteur colonne de componsantes x i. Pour x R d, on notera diag x la matrice diagonale de M d dont les éléments diagonaux sont les x i. Pour une fonction f : R d R n, on notera f sa matrice Jacobienne, i.e. f ij = f i / x j. Si f : R d k R n, on notera l f, la matrice Jacobienne obtenue en dérivant par rapport à sa l-ème composante vectorielle, i.e. l fx 1,..., x k ij = f i x 1,..., x k / x j l. On écrira parfois simplement xl f. On notera Cp k resp. Cb k l ensemble des fonctions Ck à croissance polynomiale resp. bornées dont les dérivées sont également à croissance polynomiale resp. bornées. Lorsque la fonction est seulement définie sur A, on notera C k A, Cp k A et Cb k A. N m, Σ désignera la loi normale de moyenne m et de matrice de variancecovariance Σ. On notera souvent par C > une constante générique qui peut changer de valeur d une ligne à l autre.

7 Chapitre 1 Généralités et nombres aléatoires 1.1 Notions générales Les méthodes de Monte-Carlo sont basées sur la loi des grands nombres : on simule un grand nombre de variables aléatoires v.a. indépendantes et de même loi, Y n n de même loi que Y, on prend ensuite la moyenne des valeurs prises, N 1 N n=1 Y n, et on obtient une approximation de E Y. La convergence est assurée par le théorème classique suivant. Théorème Loi des grands nombres Soit Y n n 1 une suite de v.a. réelles intégrables i.i.d. 1 Alors, 1 N Y n E Y 1 p.s. et dans L 1. N n=1 Si en plus les Y n sont de carré intégrable, on peut montrer que la convergence a lieu dans L 2 et on obtient un contrôle de l erreur p.s. et de l erreur L 2. Théorème Soit Y n n 1 une suite de v.a. réelles i.i.d. de carré intégrable. On pose ˆm N := 1 N Y n. N Alors, et 1 = lim sup N = lim inf N n=1 E ˆm N E Y 1 2 = Var Y 1 N N Var Y 1 2 ln ln N ˆm N E Y 1 N Var Y 1 2 ln ln N ˆm N E Y 1 1 Identiquement Indépendemment distribuées, i.e. de même loi et indépendantes, p.s. 7

8 8 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Preuve. La première égalité s obtient en développant le terme de gauche et en utilisant le fait que les Y n E Y 1 sont indépendants et centrés. La seconde est connue sous le nom de Loi du Logarithme itéré. Remarque Il est facile de vérifier que, si Y 1 L 2, ˆσ 2 N := 1 N 1 N Y n ˆm N 2 n=1 est un estimateur sans biais de Var Y 1. D après le Théorème précédent, ˆσ N 2 /N est donc un estimateur sans biais de Var ˆm N. Enfin, le théorème de la limite centrale permet de contruire des intervalles de confiance asymptotiques. Théorème Théorème de la limite centrale Soit Y n n 1 une suite de v.a. réelles i.i.d. de carré intégrable. On suppose que Var Y 1 > et on pose ˆm N := 1 N N Y n et ˆσ N := n=1 1 N 1 N Y n ˆm N 2. n=1 Alors, ˆmN E Y 1 N 1ˆσN > N, 1 en loi. ˆσ N En particulier, pour tout réel c >, N ˆm N E Y 1 P ˆσ N < c où α c = P X > c pour X N, 1. 1 α c On en déduit que, pour N suffisamment grand, la probabilité d avoir E Y 1 ˆm N ± cˆσ N / N est proche de 1 α c. Remarque Une estimation seule ne veut rien dire. L estimateur est une variable aléatoire qui a sa propre variance. Deux estimations différentes peuvent conduire à deux valeurs très différentes. Il est donc important de connaître la variance de l estimateur ou, et c est encore mieux, de fournir un intervalle de confiance. En particulier, lorsque l on voudra donner un prix d option calculé par simulation, il faudra toujours le mettre en perspective avec la variance de l estimateur ou avec un intervalle de confiance, de manière à pouvoir juger de la précision du résultat obtenu.

9 1.2. LOI UNIFORME Loi uniforme En pratique un ordinateur ne sait engendrer que des suites de nombres déterministes : il est incapable de générer une suite "réellement" aléatoire. Par contre, il est possible de constuire des suites de nombres qui se comportent statistiquement comme des suites aléatoires. Les suites les plus courantes produites par les ordinateurs sont calculées à partir d un nombre fini d entiers {,..., M 1}. En divisant par M, on obtient ainsi une suite sur, 1. Elles sont construites sur la base de récurrences de la forme u n+1 = gu n n N où g est une fonction de {,..., M 1} dans lui-même et u, appelé graine, est à initialiser dans {,..., M 1}. On pose alors x n = u n M, 1 n N. L exemple le plus simple est celui de la congruence mixte : gu = Au + C mod M où A et C sont des réels positifs à choisir dans le cas C =, on parle de congruence multiplicative. Remarque Il est clair que de telles suites ne permettent pas de générer tout les réels entre et Par construction, les suites ainsi contruites sont périodiques de période au plus égale à M. Il faut donc s assurer que la période est suffisamment longue par rapport à l utilisation que l on compte en faire. On peut choisir A, C et M de manière à avoir une période maximale, voir Il est nécessaire d initialiser la graine u. Pour obtenir des "tirages" différents, il faut bien évidemment partir d une graine différente. On peut par exemple initialiser la graine en utilisant l horloge de l ordinateur. Ceci doit se faire en tout début de programme. 4. La plupart des générateurs pré-programmés dans les languages de type C sont de ce type. Il faut toujours vérifier que la période est suffisemment grande par rapport à l utilisation que l on veut en faire RAND MAX en C. Nous ne rentrerons pas plus ici dans la description de ces générateurs voir par exemple 25 pour plus de détails. Vous pouvez trouver de bons générateurs sur internet, en consultant par exemple la version en ligne du livre Numerical Recipes 2. Remarque Si U U,1 alors b au + a U a,b. On passe ainsi d un générateur de U,1 à un générateur de U a,b. 2. Si U 1,..., U d sont indépendantes de même loi U,1 alors U 1,..., U d U,1 d. 2 http : // index.cgi

10 1 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Voici un exemple de programme utilisant le générateur rand du C++. #include<iostream.h> / pour cout / #include <stdlib.h> / pour rand,... / #include <time.h> / pour time / void main { int i ; srandunsignedtime NULL ; / initialisation de la graine par l horloge / / Affiche 1 simulations d une uniforme sur,1 / for i = ; i < 1 ;i ++ cout << float rand/rand MAX << "\n" ; / rand renvoie un nombre entier entre et RAND MAX / } 1.3 Autres lois Cette section est consacrée à l étude de différentes méthodes permettant de ramener la simulation d une variable aléatoire quelconque à celle d une variable aléatoire uniformément distribuée sur, 1. On suppose ici que l on sait parfaitement simuler une suite de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d ou sur, 1 d, voir Section Méthode d inversion La méthode d inversion de la fonction de répartition est basée sur le résultat élémentaire suivant : Proposition Soit Y une variable aléatoire réelle à valeurs dans R de fonction de répartition F Y. On pose F 1 Y u := inf{y R : F Y y u} u, 1. 1 Si U U domf 1 alors F Y U et Y ont la même loi. Y Preuve. Il suffit de remarquer que P F 1 Y U y = P U F Y y = F Y y pour tout y R.

11 1.3. AUTRES LOIS 11 Remarque Si Y a pour loi PY = y k = p k, k N, alors, si U U,1 y 1 U p + i 1 y i 1 { P i 1 j= p j<u P n j= p j} a même loi que Y. Pour simuler Y, on simule donc U U,1 et on utilise la boucle p = p ; j = ; Tant que p < U faire { j = j + 1 ; p = p + p j ; } Y = y j ; Evidemment cela peut être très coûteux si la loi de Y est très dispersée. Remarque Certains générateurs de nombres pseudo-aléatoire peuvent renvoyer la valeur. C est par exemple le cas de la fonction ran en C. Si on n y prend pas garde, on est alors amené à calculer F 1 Y ce qui peut poser un problème à l ordinateur et génèrer une erreur si cette quantité n est pas définie comme dans l exemple ci-dessous. On verra dans la sous-section suivante comment gérer ce problème. Exemple Variable à support continu Si Y suit une loi exponentielle Eλ, λ >, on a : F Y y = 1 e λy. Si U U,1, λ 1 ln1 U et Y on donc la même loi. Comme 1 U suit également une loi U,1, λ 1 lnu suit également une Eλ. Pour simuler une loi Eλ, il suffit donc de simuler une variable U U,1 et de poser Y = λ 1 lnu. Pour simuler une suite Y n n N de variables indépendantes de loi Eλ, on simule une suite U n n 1 de variables indépendantes de loi U,1 et on pose Y n = λ 1 lnu n, n 1. Exemple Variable à support discret Si Y suit une loi de Bernouilli de paramètre p, on tire U U,1 et on pose Y = 1 U p. Si Y suit une loi Binomiale de paramètre n, p, c est la somme de n variables de Bernouilli indépendantes de paramètre p. On pose donc n Y = où les U k sont i.i.d. de loi U, Méthode du rejet k= 1 Uk p a- Lois conditionnelles et lois uniformes sur un domaine Proposition Soit Z n n 1 une suite de v.a. i.i.d. à valeurs dans R d et soit D R d tel que P Z 1 D >. On pose ν 1 := inf {k 1 : Z k D} ν n+1 := inf {k > ν n : Z k D} Y n := Z νn n 1.

12 12 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Alors, Y n n 1 est une suite de v.a. i.i.d. de loi ρ donnée par ρa = P Z 1 A Z 1 D, A R d. On vérifie facilement voir preuve ci-dessous que E ν 1 = E ν n+1 ν n = 1/α où α := P Z 1 D. Donc, plus α est petit et plus il y a de rejet, i.e. plus la simulation est coûteuse. Preuve. Les Z n étant indépendants et de même loi que Z 1, on a P ν 1 = k = P Z 1 / D,..., Z k 1 / D, Z k D = 1 α k 1 α où α := P Z 1 D. On calcule alors P Z ν1 A = k 1 P ν 1 = k, Z k A D = α k 11 k 1 P Z k A D = P Z 1 A D /P Z 1 D. On suppose maintenant que P Z νi A i, i = 1,..., n 1 = n 1 P Z 1 A i D /P Z 1 D. Etant donné le résultat précédent, il suffit de montrer que cette propriété implique que n P Z νi A i, i = 1,..., n = P Z 1 A i D /P Z 1 D. Or, P Z νi A i, i = 1,..., n = P Z ν1 A 1,..., Z νn 1 A n 1, ν n 1 = k, ν n = k + j, Z k+j A n j 1,k n 1 i=1 i=1 = P Z ν1 A 1,..., Z νn 1 A n 1, ν n 1 = k 1 α j 1 P Z 1 A n D k n 1 j 1 = P Z ν1 A 1,..., Z νn 1 A n 1 P Z1 A n D /P Z 1 D. Corollaire Soit Z n n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur = d i=1 a i, b i R d et D tel que P Z 1 D >. On pose ν 1 := inf {k 1 : Z k D} ν n+1 := inf {k > ν n : Z k D} Y n := Z νn n 1.

13 1.3. AUTRES LOIS 13 Alors, Y n n 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur D. Preuve. D après la proposition précédente, Y n n 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi ρ donnée par 1 ρa = P Z 1 A D /P Z 1 D = 1 A z1 D zdz. 1 R d D zdz R d Il en découle que Y 1 a pour densité 1 D / R d 1 D zdz sur R d. Exemple Lorsque l on veut simuler une suite Y n n 1 de v.a. indépendantes uniforméments distribuées sur D = {y R d : < y < 1}, il suffit de simuler une suite de v.a indépendantes U n n 1 U 1,1 d et de poser b- Lois à densité ν 1 := inf {k 1 : < U k < 1} ν n+1 := inf {k > ν n : < U k < 1} Y n := U νn n 1. La méthode de rejet est également utilisée lorsque l on ne connaît pas l inverse de la fonction de répartition de Y mais seulement sa densité f Y. La proposition suivante est à l origine d une première méthode. Une seconde, plus simple à mettre en oeuvre, sera présentée dans la section suivante, voir Proposition Proposition Soit f une densité sur R d, Z n n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes de densité g sur R d, et soit U n n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur, 1, indépendantes de la suite Z n n 1. On pose ν 1 := inf {k 1 : fz k > au k gz k } ν n+1 := inf {k > ν n : fz k > au k gz k } Y n := Z νn n 1, où a est un réel fixé vérifiant fz agz pour tout z R d. Alors, la suite Y n n 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de même densité f. Preuve. Utiliser la Proposition Remarque D après l exercice précédent, on a P ν 1 = k = 1 α k 1 α d où E ν 1 = α 1 = a. Etant clair que ν n+1 ν n a la même loi que ν 1 pour n 1, on en déduit que E ν n+1 ν n = a. Ceci montre que plus a est grand et plus le temps de simulation est grand en moyenne. Il faut donc choisir a le plus petit possible.

14 14 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Exemple Soit la densité définie par fy = 2 1 y2 1 1,1 y. π On peut alors prendre g définie par gz = ,1z loi uniforme sur 1, 1 et a = 4/π Méthode par transformation Cette méthode consiste à écrire une v.a. Y comme une fonction g d une autre v.a. X facilement simulable. Elle repose sur la formule de changement de variables suivante : Lemme Formule de changement de variables Soit φ un difféomorphisme d un ouvert D R d sur un ouvert R d, et soit g une fonction borélienne bornée de dans R, alors gvdv = gφu det φu du. D Preuve. Voir par exemple 53. Comme Corollaire immédiat on obtient Corollaire Soit X un vecteur aléatoire de densité f sur R d. On suppose que X D p.s. où D est un ouvert de R d. Soit ψ un difféomorphisme de D sur un ouvert. Alors Y := ψx a pour densité fψ 1 det ψ 1 1. Preuve. Soit h une fonction borélienne bornée de R d dans R. On calcule E hy = E hψx = hψxfxdx. D En applicant le Lemme à φ := ψ 1 et g := h ψ, on obtient : E hy = hψψ 1 yfψ 1 y det ψ 1 y dy = hyfψ 1 y det ψ 1 y dy. La fonction h étant quelconque, ceci conclut la preuve.

15 1.3. AUTRES LOIS 15 a. Cas Gaussien En utilisant cette formule et le fait que ψ 1 = { ψψ 1 } 1, on obtient directement le résultat suivant sur lequel repose les deux principales méthodes de simulation de la loi normale : la méthodes de Box-Müller et l algorithme polaire. Proposition Box-Müller Soit U, V U,1 2 et Alors X, Y N, I 2. X := 2 lnu cos2πv, Y := 2 lnu sin2πv. Cette formule permet donc de simuler deux v.a. gaussiennes centrées réduites indépendantes à partir de deux v.a. indépendantes uniformément distribuées sur, 1. Remarque Encore une fois, il faut faire attention aux valeurs retournées par le générateur de U,1 utilisé. En général, les générateurs pré-programmés en C renvoient des valeurs dans, 1 et non, 1. Il faut donc contrôler qu il ne renvoit pas sinon ln provoque un bug. Ceci revient à utiliser la méthode du rejet, Exemple L algorithme polaire est construit sur le même principe mais évite de faire appel aux fonctions trigonométriques qui peuvent être coûteuses en temps de calcul. Il nécessite par contre de mettre en oeuvre la méthode du rejet pour simuler une v.a. uniformément distribuée sur D = {u, v R 2 : < u 2 + v 2 < 1}, voir Exemple Proposition Algorithme polaire Soit U, V uniformément distribuée sur {u, v R 2 : < u 2 + v 2 < 1}, soit R 2 := U 2 + V 2 et Alors X, Y N, I 2. X := U 2 lnr 2 /R 2, Y := V 2 lnr 2 /R 2. Preuve. On vérifie tout d abord facilement que R 2, θ/2π U,1 2 si R, θ sont les coordonnées polaires de U + iv utiliser le Corollaire D après la Proposition , le couple 2 lnr2 cosθ, 2 lnr 2 sinθ suit une gaussienne N, I 2. Or, cosθ, sinθ = U/R, V/R par construction. Il est facile à partir de ces deux méthodes de simuler une suite de vecteurs gaussiens indépendants de même loi N, I d puisque Y = Y 1,..., Y d N, I d si et seulement si Y i d i=1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi N, 1. Etant donné une matrice définie positive Γ M d et un vecteur µ de R d, on simule également facilement un vecteur de loi N µ, Γ en utilisant la procédure de factorisation de Cholesky.

16 16 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Proposition Soit µ un vecteur de R d et Γ une matrice carrée d d définie positive. 1 Il existe A M d telle que AA = Γ. 2 Si Y N, I d, alors X = µ + AY N µ, Γ. Pour simuler un vecteur gaussien de loi N µ, Γ on procède donc ainsi. On commence par calculer la matrice A en utilisant l algorithme de décomposition de Cholesky voir par exemple 18. On simule ensuite un vecteur Y N, I d en utilisant la formule de Box-Müller ou l algorithme polaire, puis, on calcule µ + AY. b. Loi de Poisson Si T k k 1 est une suite i.i.d. de loi exponentielle Eλ, λ >, alors Y := n=1 n1 { P n k=1 T k 1 P n+1 k=1 T k} suit une loi de Poisson Pλ, i.e. PY = k = λk k! e λ, k. On déduit de l Exemple que, si U k k 1 est une suite i.i.d de loi U,1, alors Y := n=1 n1 { Q n+1 k=1 U k e 1/λ Q n k=1 U k} admet comme loi Pλ. c. Autres lois à densité : méthode du ratio de lois uniformes On peut également utiliser cette approche pour écrire un algorithme proche de celui considéré dans la Section pour les lois à densité mais plus simple à mettre en oeuvre dans la mesure où il ne nécessite pas de trouver une densité g et un réel a telle que f ag, voir Proposition Proposition Soit f une densité sur R et deux réels a 1 R et a 2 >. On suppose que l ensemble D f := { u, v R 2 : < u 2 v } f a 1 + a 2 u est borné. Alors, si U, V est uniformément distribuée sur D f, Z := a 1 + a 2 V/U a pour densité f.

17 1.3. AUTRES LOIS 17 Preuve. U, V ayant pour densité 1 Df / D f, on déduit du Corollaire que U 2, Z a pour densité f U 2,Zw, z = 1 <w fz /2a 2 D f. La densité de Z est donc f/2a 2 D f. Comme f est déjà une densité, on a forcément 2a 2 D f = 1. On peux utiliser la méthode du rejet pour simuler le couple U, V uniformément distribué sur D, en partant d une suite i.i.d. de couples uniformément distribués sur, u v, v D où u = sup fx 1/2, v = inf x a 1fx 1/2 /a 2, v = supx x R x R x R a 1 fx 1/2 /a 2. On peut remarquer que si x 2 fx et fx sont bornés alors u, v et v sont bien finis et donc D f est borné Variables corrélées et techniques par conditionnement Variables corrélées Si X, Y sont corrélées, on peut réécrire leur densité f sous la forme fx, y = f X xfy X = x où f X est la loi de X et f X = x est la loi de Y sachant X = x. Pour simuler X, Y, on commence donc par simuler X selon f X puis on simule Y indépendemment selon la loi f X = x où x est la valeur prise par la simulation de X. Lorsque X et Y sont indépendantes, on a simplement f X = x = f Y et cela revient a simuler X et Y indépendemment, chacun selon sa loi marginale. Techniques par conditionnement 1er cas. On suppose que la loi de Y s écrit f Y y = i p i f i y, où les f i sont des densités et les p i sont positifs et donc ont une somme égale à 1 car f Y est aussi une densité. On peut voir f Y y comme la densité marginale du couple X, Y où X a pour loi PX = i = p i et Y a pour loi f i conditionnellement à {X = i}. On peut donc procéder comme ci-dessus. Cela n a évidemment d intérêt que si l on sait simuler les f i. Par exemple, si Y a pour densité f Y y = αf σ y + 1 αf γ y où α, 1 et f σ resp. f γ est la densité de la loi N, σ 2 resp. N, γ 2, on commence par tirer une loi uniforme U sur, 1. Si U α, on tire ensuite Y selon la loi N, σ 2. Si U > α, on tire Y selon la loi N, γ 2. Ceci revient à poser p 1 = α, p

18 18 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES = 1 α, f 1 = f σ et f = f γ. X suit alors une loi de Bernouilli de paramètre α, i.e. PX = 1 = α. On parle de mélange de gaussiennes. 2ème cas. On peut écrire la loi de Y sous la forme f Y y = gy, xdx, où g est une fonction positive. Là encore, g est la densité d un couple X, Y où Y a pour loi marginale f Y. On peut donc commencer par simuler X selon sa loi marginale f X x = gy, xdy puis on simule Y selon gy, x/f X x où x est la valeur prise par la simulation de X. 1.4 Notion de discrépance Généralités Si U n n 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur, 1, U,1, on a alors d après la loi des grands nombres lim N N 1 1 N n= 1 D U kn, U kn+1,..., U kn+k 1 = k b j a j j=1 pour tout rectangles D := a 1, b 1 a 2, b 2 a k, b k, a j < b j 1 j = 1,..., k de, 1 k. Il est donc naturel de chercher à générer des suites de nombres qui ont le même comportement. Ceci conduit à définir la notion de suite réelle uniforme. Définition Une suite u n n 1 dans, 1 d est dite uniforme sur, 1 d si pour tout x, 1 d on a lim N 1 N N n=1 i=1 d d 1 u i n x i = x i. Il est important de ne pas confondre suite de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d et suite uniforme sur, 1 d. Une suite uniforme sur, 1 d n est pas forcément une suite de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d. Par contre, il est clair, d après la loi des grands nombres, qu une suite de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d est presque surement uniforme. Etant donnée une suite u = u n n 1 uniforme sur, 1 d, on définit les discrépances D pu, N := F x F u Nx L p R d,dx p N {+ }, i=1

19 1.4. NOTION DE DISCRÉPANCE 19 où pour x R d on a posé F x := d x i et FNx u = 1 N i=1 N d 1 y i x i. n=1 i=1 A x R d fixé, le terme F x FN u x correspond à la différence entre le volume théorique du rectangle d i=1, xi et le volume "empiriquement" estimé par la suite u. Si u est uniforme sur, 1 d, alors cette différence doit tendre vers. La discrépance Dpu, N mesure en quelque sorte la bonne répartition des points de la suite u dans l espace, 1 d. Théorème Il y a equivalence entre i u est uniforme sur, 1 d ii lim N D pu, N = pour tout p N {+ } iii La mesure 3 µ u N := 1 N N n=1 δ u n converge étroitement 4 vers la mesure de Lebesgue sur, 1 d. Preuve. Voir par exemple 14 L intérêt de la notion de discrépance réside dans l inégalité de Koksma-Hlawka. Avant d énoncer ce résultat, on a besoin d introduire la notion de fonction à variation finie. On note 1 d le vecteur de R d dont toutes les composantes valent 1. Définition On dit que f :, 1 d R est à variation finie si il existe une mesure signée ν sur, 1 d muni de la tribu borélienne associée telle que ν{1 d } = et d fx = f1 ν x i, 1 i=1 = f ν On note alors V f = ν, 1 d la variation totale de f., 1 d d x i, 1. Remarque Pour I {1,..., d} et x R d, on note x I le vecteur de i-ème composante x i si i I, 1 sinon. Si f :, 1 d R vérifie 5,1 I f x i1... x i I dx I < pour tout I = {i 1,..., i I } {1,..., d}, alors f est à variation finie. 3 δ x denote la mesure de Dirac en x 4 Ceci signifie que,1 d fdµ u N = 1 N N n=1 fu n tend vers,1 d fdλ d pour toute fonction f continue bornée. 5 les dérivées étant prises au sens des distributions. i=1

20 2 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES Théorème Inégalité de Koksma-Hlawka Soit f :, 1 d R à variation finie. Pour toute suite u = u n n 1 dans, 1 d on a fxdx 1 N fu n V fd,1 N u, N. d n=1 Pour calculer E fu, U U,1 d, on peut donc utiliser une suite u n n 1 uniforme sur, 1 d et calculer 1 N N n=1 fu n. Plus la discrépance de la suite sera faible et meilleur sera l approximation de E fu. C est une alternative aux méthodes de Monte-Carlo présentées ci-dessus. Lorsque la suite u n n 1 est purement déterministe, comme c est le cas pour les suites à discrépance faible présentées ci-dessous, on parle de Quasi-nombres aléatoires Cas des suites uniformément distribuées Si U n n 1 est une suite de v.a. i.i.d. uniformément distribuées sur, 1 d, elle est p.s. uniforme sur, 1 d. On peut donc calculer sa discrépance DpU, N qui est alors une quantité aléatoire. D après la loi du logarithme itéré, voir Theorem 1.1.2, on peut déjà calculer que lim sup N On a en fait N 2 ln ln N D U, N sup lim sup x,1 d N N 2 ln ln N = sup x,1 d F x1 F x = 1 2. F U N x F x Théorème Si U n n 1 est une suite de v.a. i.i.d. uniformément distribuées sur, 1 d, alors N lim sup N 2 ln ln N D U, N = 1 2. Par ailleurs, où c d lorsque d. E D U, N = cd N, Ce résultat montre en particulier que D U, N O ln ln N N p.s.

21 1.4. NOTION DE DISCRÉPANCE Suites à discrépance faible On peut contruire des suites dans, 1 d dont la discrépance est plus faible que celle obtenue pour les suites de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d. Il existe une vaste litérature sur ce sujet et nous n allons présenté ici que les plus simples à mettre en oeuvre. Il faut bien garder en mémoire que si ces suites ont une discrépances plus faible asymtotiquement lorsque N tend vers l infini, celle-ci dépend généralement de la dimension de manière non-triviale et peut devenir très grande, à N fixé, lorsque la dimension augmente. En grande dimension, il est généralement préférable d utiliser des suites i.i.d. uniformément distribuées sur, 1 d pour lesquelles le comportement asymptotique p.s. ne dépend pas de la dimension voir Théorème On pourra consulter 61 pour une étude comparative de différentes suites et pour plus de référence. Voir également 14. a- Suite de Halton Etant donné un nombre premier p 2 et un entier n, il existe une unique décomposition décomposition p-adique de n sous la forme : n = a n,p + a n,p 1 p a n,p k n,p p kn,p où k n,p est un entier et les a n,p k sont des entiers vérifiant a n,p k p 1 avec a n,p k n,p. Cette décomposition s obtient facilement en utilisant la récurrence On note ensuite r n,p = n a n,p k = r n,p k mod p, r n,p k avec k n,p = min{k 1 : r n,p k+1 = }. Φ p n := an,p = r n,p k 1 an,p k 1 /p n,p k n,p p p. kn,p+1 a 1 k k n,p On construit la suite de Halton u = u n n 1 de la manière suivante. Soit p 1,..., p d les d premiers nombres premiers. Pour chaque n 1 et 1 i d, on pose : Pour cette suite, on a : u i n = Φ pi n. lnn D u, d N O, N voir par exemple 61. C est évidemment mieux que ce que l on obtient avec une suite de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d mais la majoration dépend de la dimension, ce qui n est pas le cas pour les suites de v.a. uniformément distribuées sur, 1 d sauf en moyenne. En pratique, c est beaucoup moins efficace en grande dimension. Pour d = 1, on parle de suite de Van der Corput.

22 22 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET NOMBRES ALÉATOIRES b- Suite SQRT Pour tout réel x, on pose Entx sa partie entière. Soit p 1,..., p d les d premiers nombres entiers. Pour tout n 1 et 1 i d, on pose u i n = n p i Entn p i. On a alors c- Suite de Faure 1 D u, N = O N 1 ε pour tout ε >. Soit p,d le plus petit nombre premier impair plus grand que d. On définit l application Q qui a un rationel x de la forme x = i x i p i+1,d associe Qx = i j i j i x j mod p,d p i+1,d et on note Q k l application obtenue en composant k fois Q avec la convention que Q est l identité. On définit alors la suite par u i n = Q i 1 n 1 1 n et 1 i d. On a voir 69. D u, N 1 N d d 1 p,d 1 ln2n d! 2 lnp,d + d + 1

23 Chapitre 2 Méthodes de discrétisation La base des méthodes de Monte-Carlo en finance est la capacité à simuler l évolution des processus de prix. On commence donc par s intéresser aux méthodes de simulation d une diffusion de la forme : dx t = bx t dt + ax t dw t, X = x R d Ici, X modélise l évolution de d sous-jacents sur le marché actions par exemples et W est un mouvement brownien standard d-dimensionnel sur un espace de probabilité filtré complet Ω, F, P. On suppose que F = {F t, t, T } est la filtration naturelle complétée de W. En général, on supposera que a et b sont lipschitziennes, i.e. qu il existe K > tel que ax ay + bx by K x y, pour tout x, y R d Cette hypothèse garantit l existence d une solution forte à Modèle de Black-Scholes Dans le modèle de Black-Scholes, la dynamique du prix sous la probabilité risque neutre s écrit dx t = rx t dt + diag X t σdw t, X R d, où r R + est le taux sans risque et σ M d est la matrice de volatilité supposée inversible pour assurer la complétude du marché. Ce système se ré-écrit sous la forme : dont la solution est dx i t = rx i t + X i tσ i. dw t, X i R, i = 1,..., d, X i t = X i exp { r 1 } σ i. 2 t + σ i. W t 2, i = 1,..., d Pour simuler X t, il suffit donc de simuler la valeur de W en t. Les W i t, i = 1,..., d, étant indépendants et de même loi N, t, il suffit donc de simuler d variables aléatoires indépendantes de loi N, t. 23

24 24 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION 2.2 Schéma de discrétisation Discrétisation d Euler Construction La simulation du processus X dans le modèle de Black-Scholes est "exacte" dans la mesure où, à t donné, on peut simuler exactement dans la loi de X t. Cela est possible grâce à la forme particulièrement simple de En général, la solution de 2..1 n a pas une forme aussi simple et l on est obligé de recourir à une approximation de X qui correspond à une discrétisation en temps de l équation On se donne une grille de, T π n := t,..., t i,..., t n avec t i = it/n. On notera n t = T/n et n W i+1 = W ti+1 W ti. L idée de la discrétisation d Euler est très simple. Pour tout i = 1,..., n, on a : X ti = X ti 1 + ti ce qui conduit à la construction du schéma t i 1 bx s ds + ti t i 1 ax s dw s X ti 1 + bx ti 1 n t + ax ti 1 n W i X n = X X n t i = X n t i 1 + b X n t i 1 n t + a X n t i 1 n W i, i = 1,..., n C est l équivalent stochastique du schéma d Euler utilisé pour les équations différentielles ordinaires. La simulation de X n se ramène à la simulation des accroissements de W, où n W i N, n ti d pour tout i = 1,..., n. On introduit maintenant un schéma d Euler "continu". Pour cela on définit la fonction et, à t, T, on associe φ n t := max {t i, i =,..., n, tel que t i t} sur, T, X n t = X n φ n t + b X n φ n t t φn t + a X n φ n t W t W φ n t, ce que l on peut réécrire sous forme intégrale X n t = X + t t b X φ n ds + a X n n s φ dw n s s

25 2.2. SCHÉMA DE DISCRÉTISATION Convergence L p A n fixé, une simple récurrence montre que, sous l hypothèse 2..2, Xn ti L p pour tout i {1,..., n} et p 1. On vérifie maintenant que ceci est vrai uniformément en n. Lemme Sous l hypothèse 2..2, pour tout p 1 1/p Xn t p <. sup E n 1 sup t,t Preuve. On peut toujours supposer que p est pair et plus grand que 4 en utilisant l inégalité des normes L p L 2p. On commence par utiliser l inégalité de Jensen appliquée à l application convexe x x p pour écrire que, pour tout t, T, sup Xn s p = 3 p sup 1 s s X + b s t s t 3 X φ n dr + a X p n n r φ dw r n r s 3 X p 1 p + sup b X p φ n dr s + sup n r a X φ n dw p n r r. s t s t En utilisant de nouveau l inégalité de Jensen appliquée à l application convexe x x p, on obtient s b X p s φ n dr = s p 1 n r s b X p φ n dr s n r s p 1 b Xn φ n r p dr. En utilisant ensuite 2..2, on déduit que s b X p s φ n dr s p 1 n bx + K Xn r φ n r + K X p dr s C 1 + Xn φ n p r dr. Comme, à n fixé, X t n i L p pour tout i, on vérifie en utilisant 2..2 que t a X n φ dw r n r t T est une martingale continue de carré intégrable. En utilisant l inégalité de Burkholder- Davis-Gundy Lemme ci-après, l inégalité de Jensen et 2..2, on obtient alors que E sup s t s a X φ n dw p n r r E t On déduit des inégalités précédentes que t E Xn s p C 1 + E Xn φ n p s ds sup s t a Xn φ n s 2 ds p/2 t a E t p/2 1 Xn φ 2 p/2 n s ds t C 1 + E Xn φ n p s ds. C 1 + t E sup r s Xn r p ds.

26 26 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION Il suffit maintenant d appliquer le Lemme de Gronwall Lemme ci-après à s E sup r s Xn r p pour conclure. On donne maintenant les deux Lemmes techniques que nous avons utilisés voir par exemple 4. Lemme Inégalités de Burkholder-Davis-Gundy Soit M t t u,v une martingale continue sur u, v de carré intégrable. Alors, pour tout m >, il existe k m et K m >, ne dépendant que de m, tels que k m E M v m E sup M t 2m K m E M v m. u t v Lemme Lemme de Gronwall Soit g une fonction continue positive vérifiant gt αt + β t avec β et α :, T R intégrable. Alors, gt αt + β t gsds t, T, αse βt s ds t, T. On étudie maintenant le comportement des incréments de X n entre deux dates de discrétisation. Lemme Sous 2..2, pour tout p 1 max E i n 1 sup t t i,t i+1 X t n X n φ n t p 1/p C/ n. Preuve. On pose p 4 et pair sans perte de généralité. En argumentant comme dans le lemme précédent, on montre que, pour tout i {,..., n 1}, E sup X t n X n φ n p ti+1 CE n p/2+1 b Xn t φ n s p + a Xn φ n s p ds t t i,t i+1 t i Ceci implique, d après 2..2 et le Lemme que E sup X t n X φ n n p ti+1 C n p/2+1 C 1 + E Xn t φ n p s ds t t i,t i+1 Cn p/2, t i ce qui conclut la preuve.

27 2.2. SCHÉMA DE DISCRÉTISATION 27 Remarque Les mêmes arguments que ceux de la preuve précédente montrent que, sous 2..2, pour tout p 1 1/p Xt X φ n p t C/ n. max E i n 1 sup t t i,t i+1 On peut maintenant étudier la vitesse de convergence L p du schéma d Euler. Théorème Sous l hypothèse 2..2, pour tout p 1 E sup t,t Xn t X t p 1/p C/ n. Preuve. On pose p 4 et pair sans perte de généralité. En argumentant comme dans le lemme précédent, on montre que t E Xn s X s p CE Xn φ n s X s p ds. E sup s,t sup s,t On utilise maintenant le Lemme Xn s X s p et on conclut en utilisant le Lemme de Gronwall. t CE Xn s X s p + Xn φ n s X s n t C n p/2 + E Xn r X r p sup r s p ds ds Remarque On considère un payoff qui dépend de la trajectoire de X en un nombre fini de dates s 1,..., s k, k 1. Si g est lipschitzienne, on obtient comme corollaire du Théorème g E Xn φ,..., X n n s 1 φ g X n s1,..., X sk p 1/p C/ n. s k Exemple La remarque précédente montre que le schéma d Euler permet d approximer correctement une moyenne discrète A si k i=1 := 1 k k X si par Ā n s i k i=1 i=1 := 1 k k i=1 X n φ n s i. pour évaluer les options sur moyenne du type A si k K+ call sur moyenne de strike i=1 K, X T A si k + call avec strike flottant, et les puts correspondants. Le Théorème i= nous assure une convergence L p en 1/ n. De la même manière, on peut approximer correctement le maximum discret M si k i=1 := max {X si, i {1,..., k}} par M n s i k i=1 := max { Xn φ n s i, i {1,..., k} }.

28 28 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION Convergence faible En pratique, ce qui intéresse surtout les praticiens c est la convergence du prix "discrétisé" vers le vrai prix, i.e. la convergence de Eg X n T EgX T vers. C est la convergence faible. Théorème Si b, a C 4 b et g C4 p, alors E g X n T gx T C/n. Ce résultat est du à 66. On va le démontrer dans un cadre simplifié. Pour cela, on va partiellement utiliser le Théorème de Feynman-Kac que l on commence par rappeler, voir 4 et 46. Théorème i Supposons que b et a sont lipschitziennes et qu il existe une solution u Cp 1,2 à l équation parabolique alors = u t + d j=1 b j u x j d aa ij 2 u x i x, j i,j=1 sur, T Rd g = ut, sur R d, ut, x = E gx T X t = x et gx T = E gx T + ii Si a C 4 b, b C2 b et g C4 p, alors la réciproque est vraie et u C 4 p. T x ut, X t ax t dw t Eléments de preuve du Théorème Pour simplifier, on suppose que b et a sont bornées, que d = 1 et que la solution u de est Cb. On a alors par Itô sur le schéma d Euler continu E g X T n gx T = E ut, X T n u, X T = E u t s, X s n + b X φ n u xs, X n n s s a2 X φ n u xxs, X n n s s ds. Puisque u est solution de 2.2.5, on a également E g X T n gx T T = E T +E u t s, X s n u t s, X φ n + b X n n s φ u n s x s, X s n u x s, X φ n ds n s 1 2 a2 X φ n u n s xx s, X s n u xx s, X φ n ds n s.

29 2.2. SCHÉMA DE DISCRÉTISATION 29 On considère maintenant le premier terme. Comme u Cb, a et b sont bornées et E Xn t est uniformément borné en t, T et n Lemme 2.2.1, on obtient, en utilisant le Lemme d Itô, que pour tout s, T E s u t s, X s n u t s, X φ n n s = E b X φ n u txs, X n φ n r r n a2 X φ n u txxs, X n n r r dr s C/n. On obtient le même type de majoration pour les autres termes, ce qui implique que E g Xn T gx T C/n, et conclut la preuve. On obtient donc une vitesse de convergence faible en 1/n. Evidemment, l hypothèse g C 4 p n est pas très satisfaisante car généralement non vérifiée en finance. Le résultat précédent peut être amélioré de la manière suivante. Théorème Si b, a C b et si l une des deux conditions suivantes est vérifiée : i g C p, ii g est à croissance polynomiale et il existe ε > tel que, alors ζ, x R d, ζ aa xζ ε ζ, Eg X n T EgX T = C 1 n C k n k + On k 1, k N. Remarque Ce résultat est très important en pratique car il permet de ramener la vitesse de convergence en 1/n 2. En effet, d après le théorème précédent, on a E 2g X 2n T g X n T EgX T = 2C 1 2n C 1 n + 2C 2 4n 2 C 2 n 2 + O1/n3 = O1/n 2. En utilisant 3n pas, on obtient une erreur en O1/n 2. Cette technique est connue sous le nom d extrapolation de Romberg. On peut remarquer que l hypothèse ii du théorème est souvent satisfaite en finance. Dans le modèle de Black-Scholes, on pourra par exemple considérer le ln de la diffusion pour se ramener au cas où ax est constante et satisfait l hypothèse d uniforme ellipticité Il faut cependant faire attention à l accroissement possible de la variance de l estimateur associé à une méthode de Romberg. L article 6 traite se problème et propose des algorithmes efficaces évitant une explosion de la variance.

30 3 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION Schéma de Milshtein Dans la présentation du schéma d Euler, on a utilisé l approximation ti t i 1 ax s dw s ax ti 1 W ti W ti 1 mais on aurait pû utiliser une approximation d ordre supérieur. Pour fixer les idées, on se place en dimension 1 et on suppose que b =. Alors, pour s t i 1, t i s a X s = a X ti 1 + ax t dw t t i 1 a X ti 1 + ax ti 1 W s W ti 1 On utilise maintenant l égalité ti a X ti 1 + a X ti 1 axti 1 W s W ti 1. t i 1 Ws W ti 1 dws = 1 2 { Wti W ti 1 2 n t} ce qui conduit à l approximation ti ax s dw s ax ti 1 1 W ti W { Wti ti 1 + t i 1 2 a X ti 1 axti 1 W 2 ti 1 t} n Le terme de dérive b ayant une contribution inférieure dans l erreur d approximation par rapport au terme de diffusion, il n est pas nécessaire de le corriger. Pour d = 1, on obtient donc le schéma d approximation suivant :,. X n = X X t n i = X t n i 1 + b X t n i 1 n t + a X t n i 1 W ti W ti { Wti 2 a Xn ti 1 ax ti 1 W } 2 t i 1 n t, i = 1,..., n Exemple Dans le modèle de Black-Scholes en dimension 1, la solution de est approchée par X n = X { X t n i = X t n i r σ 2 /2 n t + σ 1 W ti W } 2 ti σ2 W ti W ti 1 En dimension d quelconque, le même raisonnement conduit à consider l approximation suivante :. X n = X X n t i = X n t i 1 + b X n t i 1 n t + a X n t i 1 W ti W ti 1 + d j,l=1 a.j a.l X ti t n i 1 Ws j W j t i 1 dws l, i = 1,..., n. t i

31 2.3. OPTIONS ASIATIQUES 31 Le théorème suivant justifie l introduction de ce schéma dans le sens où il permet d obtenir une vitesse de convergence L p en 1/n au lieu de 1/ n pour le schéma d Euler. Théorème Si b, a Cb 2, alors pour tout p 1 p 1/p max E Xn ti X ti i n C/n. La mise en oeuvre numérique du schéma suppose de savoir simuler correctement l intégrale d Itô t i t i 1 Ws j W j t i 1 dws l ce qui est très difficile en pratique pour d 1. En général, on n utilise ce schéma pour d 2 que lorsque l hyposèse de commutativité a.j a.l = a.l a.j j, l {1,..., d} est vérifiée. Dans ce cas, la formule d intégration par parties du calcul d Itô permet de ré-écrire sous la forme : X n = X X n t i = X n t i 1 + b X n t i 1 n t + a X n t i 1 W ti W ti d j,l=1 d a.j a.j X t n i 1 n t a.j a.l X t n i 1 W j t i W j t i 1 Wt l i Wt l i 1, i = 1,..., n. Il suffit alors de simuler les accroissements de W. Remarque On peut définir des schémas d ordre supérieur, voir par exemple 43 et 44. Mais en général, ils sont très difficiles à mettre en oeuvre numériquement surtout en dimension d > 1. On peut se référer à 19 pour une discussion sur le sujet. Voir également 24 pour un exposé complet sur le schéma d Euler et le schéma de Milshtein. j=1 2.3 Options Asiatiques On s intéresse ici aux options sur moyenne ga T, X T avec A T := T X sds Schémas simples Une première solution pour approcher A T consiste à introduire le schéma d Euler de dont la dynamique est donnée par A t := t X s ds A =, da t = X t dt.

32 32 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION On approche donc A T par Ān T défini par l équation de récurrence stochastique Ā n = X Cela revient à utiliser l approximation Ā n t i = Ān t i 1 + X n t i 1 n t, i {1,..., n}. T X s ds 1 n n 1 i= X n t i. On déduit du Théorème la vitesse de convergence L p de ce schéma. Corollaire Sous 2..2, si g est lipschitzienne, alors, pour tout p 1, gat, X T gān T, X n T L p C/ n. Dans le modèle de Black-Scholes, on peut simuler parfaitement X en un nombre fini de dates. On obtient alors un résultat plus précis. Proposition Si bx = rx, ax = diag x σ, et si g est lipschitzienne, alors, pour tout p 1, où gat, X T gān T, X T L p C/n Ā n T = 1 n 1 X ti. n Preuve. Il suffit de démontrer le résultat pour p pair. Pour t t i, t i+1, on a : i= A t Ān t = A ti Ān t i + t t i X s X ti ds où Ān t t T est le schéma d Euler continu de A. Par ailleurs, en utilisant la version stochastique du théorème de Fubini voir par exemple 62 t t i t s t i s X s X ti ds = rx u du + diag X u σdw u ds = = t i t t i rx u t t u dsdu + t i t urx u du + t i t t t i u t dsdiag X u σdw u t i t udiag X u σdw u. On utilise maintenant le résultat suivant dont la preuve sera donnée à la fin de la section.

33 2.3. OPTIONS ASIATIQUES 33 Lemme Soit z R d et où a, b sont adaptés et satisfont Z t = z + T E t b s ds + t a s dw s b s k + E a s k ds < pour tout k 1. Alors, pour tout q 1, il existe C > tel que E Z t 2q z 2q + C t E Z s 2q + b s 2q + a s 2q ds. En appliquant ce Lemme aux égalités précédentes et en utilisant le fait que X s L p est uniformément bornée sur, T, on obtient que pour tout t t i, t i+1 E A t Ān p t t E A ti Ān t p i + C E A s Ān p s + t s p ds ce qui implique en utilisant le Lemme de Gronwall que E A t Ān p t E A ti Ān t p C i 1 + n + C 1 e C/n, n p+1 d où, pour tout i {,..., n 1}, p E Ati+1 Ān t i+1 E Ati Ān t p C i 1 + n + C 1 e C/n. n p+1 Comme A Ān =, cette récurrence montre le résultat. t i L approche précédente consiste à utiliser une méthode de rectangles pour discrétiser l intégrale. Même si d un point de vue théorique, on obtient la même convergence L p que pour le schéma d Euler, il est en général nettement préférable d utiliser une méthode de trapèzes en considérant à n T = 1 n n 1 Xn t i + X t n i+1 /2. i= Exemple On évalue un call asiatique dans le modèle de Black-Scholes de paramètres r =.1, σ =.2, T = 1, X = K = 1 avec n = 5. Le tableau ci-dessous donne les intervalles de confiance simulés pour les deux méthodes, le prix réel étant d environ 7.4. Nombre de simulations Euler Trapèzes , , , , , , , , 7.9 La sous-estimation du schéma d Euler est flagrante.

34 34 CHAPITRE 2. MÉTHODES DE DISCRÉTISATION Preuve du Lemme Pour simplifier, on suppose que d = 1. Par le Lemme d Itô, on obtient sur, T : Z t 2q = z 2q + t 2qZ s 2q 1 b s + q2q 1Z s 2q 2 a 2 sds + En utilisant les hypothèses sur a et b, on vérifie facilement que de sorte que E Z t 2q = z 2q + t T E a s Z s 2q 1 2 ds <, t 2qZ s 2q 1 a s dw s. 2qE Z s 2q 1 b s + q2q 1E Zs 2q 2 a 2 s ds, t, T. Il suffit maintenant d utiliser les inégalités Z s 2q 1 b s Z s 2q 1 Zs bs + b s 2q 1 Zs < bs Z s 2q + b s 2q Zs 2q 2 a 2 s Zs 2q + a s 2q pour conclure Schéma avec développement dans le modèle de Black-Scholes Dans le modèle de Black-Scholes, on peut améliorer la vitesse de convergence en utilisant un développement de Taylor à l ordre 1 du type, pour d = 1, e r σ2 /2t t i +σw t W ti 1 + rt t i + σw t W ti pour obtenir A T = n 1 ti+1 X ti e r σ2 /2t t i +σw t W ti dt i= A n T := t i n 1 T X ti n + rt 2 2n + σ 2 i= ti+1 t i W t W ti dt On procède alors de la manière suivante : on commence par simuler W ti n i=1 puis on simule A n T conditionnellement à W t i n i=1. Pour cela, on utilise le résultat suivant qui sera démontré dans un cadre plus général par la suite Lemme : Corollaire Soit u < v. Conditionnellement à W u = x, W v = y, le processus W t u t v est un processus gaussien vérifiant pour u s t v E W t W u = x, W v = y = v t v u x + t u v u y, Cov W t, W s W u = x, W v = y = v ts u v u

35 2.4. OPTIONS À BARRIÈRE 35 On en déduit que, conditionnellement à W ti, W ti+1 = x, y, t i+1 t i normale avec pour moments ti+1 E W t dt W ti = x, W ti+1 = y t i = ti+1 t i W t dt suit une loi E W t W ti = x, W ti+1 = y dt et E ti+1 t i ti+1 = 2 t i 2 W t dt W = x, W = y ti ti+1 t t i E W t W u W ti = x, W ti+1 = y dudt, la seconde égalité étant obtenue en utilisant le Lemme d Itô. On en déduit une formule explicite en utilisant et En utilisant ce schéma, on améliore la vitesse de convergence. Proposition Si g est lipschitzienne, alors, pour tout p 1, ga T, X T ga n T, X T L p C/n 3/2. Nous renvoyons à 49 et 68 pour les preuves de ces résultats ainsi que l étude d autres approximations. 2.4 Options à barrière Dans cette section, on s intéresse à l évaluation d espérance de la forme : E 1 τ>t gx T où τ := inf{t, T : X t / D} est le temps de sortie de X d un borélien D de R d, avec pour convention inf = Approche naïve On commence par l approche la plus simple qui consiste à approximer par son équivalent discret E 1 τ n >T g X n T où τ n := inf{t i, i {,..., n} : Xn ti / D} est l équivalent discret de τ. Cette quantité est facilement simulable et on a le résultat de convergence suivant démontré dans 34.