COURS: FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES

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1 CHAPITRE 8 CURS: FNCTINS LINÉAIRES ET AFFINES Table des matières Fonctions linéaires Définition Représentation graphique Augmentation ou diminution de a % Fonctions affines Définition Représentation graphique Proportionnalité des accroissements Méthodes Représenter une fonction linéaire Déterminer une fonction linéaire Utiliser une fonction linéaire pour une diminution de a % Déterminer une fonction affine Représenter une fonction affine Représenter une fonction connaissant son coefficient directeur, un nombre et son image. 8.7 Interpréter une représentation graphique ème Page /9 Chap.8: Fonctions linéaires et affines

2 . Fonctions linéaires.. Définition Définition Soit a un nombre quelconque. Une fonction linéaire f de coefficient a est la fonction qui associe, à tout nombre x, le nombre ax. n note f : x ax Exemples : La fonction g définie par g x) = 7x est une fonction linéaire de coefficient -7. La fonction h définie par hx) = 7x n est pas une fonction linéaire. Propriétés L image f x) = ax de tout nombre x par une fonction linéaire de coefficient a est proportionnelle à l antécédent x, le coefficient de proportionnalité étant a. Toute situation de proportionnalité peut être représentée par une fonction linéaire. Exemple : Le périmètre d un carré de côté x est l image de x par la fonction linéaire x x... Représentation graphique Propriétés Dans un répère, un fonction linéaire de coefficient a est représentée par une droite d) passant par l origine du repère, autre que l axe des ordonnées. Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite d). Réciproquement, toute droite passant par l origine du repère, autre que l axe des ordonnées, représente une fonction linéaire. Exemple : Les droites d ) et d ) représentent respectivement les fonctions linéaires g : x x et h : x x. Le coefficient directeur de la droite d ) est et celui de d ) est. g ) =, donc le point B; ) appartient à d ). h) =, donc le point C ;) appartient à d ). Remarque : Les points de la droite d) sont tous les points M du plan dont les coordonnées x; y) vérifient l égalité y = ax. ème Page /9 Chap.8: Fonctions linéaires et affines

3 d ) C B d ).. Augmentation ou diminution de a % Propriétés Soit a un nombre positif. Une augmentation de a % est représentée par la fonction linéaire f : x + a 00 Une diminution de a % a 00) est représentée par la fonction linéaire f : x ) x. a 00 ) x. Exemples : Augmenter un prix P de 5 %, c est multiplier par Diminuer une masse M de 8 %, c est multiplier par 8 00 ) =,05. Soit f : P,05P. ) = 0,9. Soit g : M 0,9M. ème Page /9 Chap.8: Fonctions linéaires et affines

4 . Fonctions affines.. Définition Définition Soit a et b deux nombres quelconques. Une fonction affine f est une fonction qui associe, à tout nombre x, le nombre ax + b. n note f : x ax + b Exemples : La fonction g définie par g x) = x + x est une fonction laffine avec a = et b =. La fonction h définie par hx) = x + 5 est une fonction laffine avec a = et b = 5. Cas particuliers Si a = 0, alors f : x b. La fonction f est une fonction constante. Si b = 0, alors f : x ax. La fonction f est une fonction linéaire de coefficient a... Représentation graphique Propriétés Dans un répère, un fonction affine f : x ax + b est représentée par une droite d) non parallèle à l axe des ordonnées. Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite d). Le nombre b est appelé ordonnée à l origine de d). Réciproquement, toute droite non parallèle à l axe des ordonnées représente une fonction affine. Exemple : Les droites d ) et d ) représentent respectivement les fonctions affines g : x x + et h : x x +. Le coefficient directeur de la droite d ) est et celui de d ) est. L ordonnée à l origine de la droite d ) est et celui de d ) est. g 0) = et g ) =, donc les points A0;) et B;) appartiennent à d ). h0) = et h) =, donc les points C 0;) et D;) appartiennent à d ). ème Page /9 Chap.8: Fonctions linéaires et affines

5 C B A D d ) d ) Remarques : La droite d) est parallèle à la droite représentative de la fonction linéaire x : ax. La droite d) coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées 0;b). Les points de la droite d) sont tous les points M du plan dont les coordonnées x; y) vérifient l équation y = ax + b... Proportionnalité des accroissements Propriété Soient f une fonction affine telle que f x) = ax + b, x et x deux nombres distincts. L accroissement de f x) est proportionnel à l accroissement de x, a étant le coefficient de proportionnalité. Soit f x ) f x ) = ax x ) ou a = f x ) f x ) x x Exemple : Soit f la fonction affine définié par f x)=x-. n a f 00) f 99) 97 9 = = = a ème Page 5/9 Chap.8: Fonctions linéaires et affines

6 . Méthodes.. Représenter une fonction linéaire Dans le plan muni d un repère d origine, représenter la fonction linéaire f : x x. A f ) = =, donc le point A;) appartient à la droite représentative de f. Comme on sait qu une fonction linéaire passe par l origine du repère, on peut tracer A). d).. Déterminer une fonction linéaire Déterminer la fonction g dont la représentation graphique est la droite d) passant par l origine du repère et par le point A ;). La droite A) n est pas confondue avec l axe des ordonnées. Elle est donc une fonction linéaire g de coefficient directeur a. n peut écrire : g x) = ax. A ;) d), donc g ) =. r, g ) = a ), donc a =, soit a =. La fonction g est définie par g x) = x... Utiliser une fonction linéaire pour une diminution de a % Un site de vente en ligne propose des réductions de 60 % sur les prix en magasin.. n désigne par P le prix en magasin d un article et par P le prix de cet article sur le site. Exprimer P en fonction de P.. Calculer le prix réduit d un article vendu 80 e en magasin.. Calculer le prix en magasin d un article vendu 95 e sur le site. ème Page 6/9 Chap.8: Fonctions linéaires et affines

7 . P = 60 ) P = 0,6) P ) = 0,P. 00. D arpès le résultat précédent, P = 0,P, d où P = 0, 80 = 7. Le prix réduit de l article est de 7 e.. P = 0,P, d où 0,95 = 0,P, soit P = 0,95 0, = 7,5. Le prix en magasin est de 7,5 e... Déterminer une fonction affine Soit f une fonction affine telle que : f ) = et f ) = 5. Exprimer f x) en fonction de x. f est une fonction affine, donc f x) = ax + b. f ) f ) a = = 5 ) 6 = 6 =. Par conséquent, on a : f x) = x + b. f ) =, d où : ) + b =, soit : + b =, donc b = + =. n a donc f x) = x Représenter une fonction affine Dans le plan muni d un repère d origine, représenter la fonction affine f : x 5 x. 5 Soit d) la droite représentative de la fonction f. f 5) =, donc : A5;) d). f 0) =, donc : B0; ) d). La représentation graphique de f est la droite AB) d) B A 5 ème Page 7/9 Chap.8: Fonctions linéaires et affines

8 .6. Représenter une fonction connaissant son coefficient directeur, un nombre et son image Tracer la droite représentative de la fonction affine f en sachant que son coefficient directeur est et que f ) =. f ) =, donc on commence par placer le point A ;). a =, donc on place un point B tel que l accroissement entre y A et y B est et celui entre x A et x B est. Pour cela : on place le point H à unités à droite du point A, parallèlement à l axe des abscisses. on place le point B à unités du point H, en descendant parallèlement à l axe des ordonnées. on trace la droite AB). La représentation graphique de f est la droite AB). d) A 5 H B Interpréter une représentation graphique Déterminer le coefficient directeur et l ordonnée à l origine des droites d ) et d ) représentées cidessous. ème Page 8/9 Chap.8: Fonctions linéaires et affines

9 6 5 d ) d ) 5 6 Pour la droite d ) : Les points A0;) et B;) appartiuennent à d ). f ) f 0) Donc : f 0) = et f ) =. n a ainsi a = = 0. Le coefficient directeur de d ) est, et son ordonnée à l origine est. Pour la droite d ) : Les points A0;) et B; ) appartiuennent à d ). f ) f 0) Donc : f 0) = et f ) =. n a ainsi a = 0 = 5. Le coefficient directeur de d ) est 5, et son ordonnée à l origine est. ème Page 9/9 Chap.8: Fonctions linéaires et affines