Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité

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1 Chapitre. Compléments sur les fonctions : ites, continuité, dérivabilité I. Rappels de cours. Limites d une fonction Soit l R. (i) Limites en + et en On dit que f() tend vers l lorsque tend vers + quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f() pour assez grand. On note : f() = l. On dit que f() tend vers + lorsque tend vers + quand tout intervalle du type [A ; + [ (avec A nombre réel) contient toutes les valeurs de f() pour assez grand. On note : f() = +. On définit de la même manière (ii) Applications : ites de référence f() = l lorsque l = ± où l réel. Soit n N. On a : = = n = +. On a, aussi : = = = 0. n (iii) Limites en a (a R) On dit que f() tend vers l (l = ± où l réel) lorsque tend vers a signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f() pour assez voisin de a. On note f() = l. (iv) Applications : ites de référence Avec a 0, n = a n ; = a ; cos = cos a ; sin = sin a. sin tan Et aussi : = =. 0 0 (v) Interprétations graphiques des ites * Si f() = l, alors on dit que la droite d équation y = l est asymptote horizontale en + à la courbe représentative C de f. On définit de même l asymptote horizontale en. * Si f() = +, alors on dit que la droite d équation = a est asymptote verticale en a à la courbe représentative C de f.

2 . Propriétés Dans ce qui suit, a = ± ou R, (l, l ) R. (i) Théorèmes de comparaisons * Si pour assez voisin de a, f() l g() avec g() = 0, alors f() = l. * Théorème des gendarmes Si pour assez voisin de a, g() f() h() avec : g() = h() = l, alors f() = l. * Si pour assez voisin de a, f() g() et g() = +, alors f() = +. * Si pour assez voisin de a, f() g() et (ii) Limites de sommes, produits, quotients et composées * Limite de la somme : (f + g)() g() f() g() =, alors f() =. l + l l + l forme indéterminée Forme indéterminée * Limite du produit : (fg)() f() g() l, l > 0 l, l < l, l > 0 ll ll 0 + l, l < 0 ll ll forme indéterminée + + forme indéterminée + * Limite du quotient ( f g ) () g() f() l + l l, l 0 ± ± l + 0 forme indéterminée forme indéterminée 0 forme indéterminée forme indéterminée * Limite d une fonction composée Soit a, b, c R {± }. f() = b Si on a : { alors g f() = c. g() = c b

3 3. Continuité (i) Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a. * On dit que f est continue en a si f() = f(a). * On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point a de I. (ii) Propriétés * Une fonction dérivable en un réel a est continue en a. * Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cette intervalle. * Les fonctions usuelles (carré, racine carrée, valeur absolue, inverse), fonctions polynômes et les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. (iii) Théorème des valeurs intermédiaires * Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit (a, b) I tels que a < b. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il eiste (au moins) un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. Une conséquence importante est le corollaire qui suit : * Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a ; b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il eiste un unique réel c de l intervalle [a ; b] tel que f(c) = k. 4. Compléments sur les dérivées Fonction u() (u()) n, n Z f(a + b) Dérivée u () u() nu n ()u () af (a + b) 5. Fonctions trigonométriques La fonction cosinus ( cos ) et la fonction sinus ( sin ) sont définies sur R. Elles sont toutes les deu périodiques de période π. On a cos () = sin et sin () = cos. Voici les tableau de variation de ces deu fonctions sur l intervalle [0 ; π] : 0 π cos() 0 sin() π 0 0 π 3

4 II. Pour s échauffer : vrai ou fau? Pour chaque question, indiquer si les propositions sont vraies ou fausses en justifiant la réponse... Soit f() = On note C la courbe représentative de f. (a) C a une tangente en son point d abscisse et son équation réduite est : y =,5,5. (b) C a une tangente en son point d abscisse 0... D après concours Sciences-Po 04 Soit b un nombre réel et soit f la fonction définie pour tout nombre réel par : f() = + b + 4. (a) Le minimum de la fonction f est inférieur ou égal à Un classique librement inspiré du BAC 0, métropole Le plan est muni d un repère orthonormé (O; i, j ). On considère une fonction f sur l intervalle [ 3 ; ]. Soit C la courbe représentative de la fonction f. On dispose des informations suivantes : f(0) = ; la dérivée f de la fonction f admet la courbe représentative C ci-dessous. (a) Pour tout réel de l intervalle [ 3 ; ], f () 0. (b) La fonction f est croissante sur l intervalle [ ; ]. (c) Pour tout réel de l intervalle [ 3 ; ], f(). (d) La tangente à la courbe C au point d abscisse 0 passe par le point de coordonnées ( ; 0). 4

5 .4. D après concours ESIEE 007 Soit f la fonction définie sur ] ; ] [3 ; + [ par f() = 3. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. Alors : (a) f est décroissante sur ] ; ]. f() (b) =. (c) [f() + ] =. (d) La droite d équation y = + est asymptote à C en..5. D après concours ESIEE 006 sin (a) =. (b) sin =. sin 3 (c) =. (d) π cos π =..6. D après concours ESIEE 006 Soit f la fonction définie et dérivable sur R { } par () = +6. f() (a) =. (b) [f() ] = 3. (c) Il eiste c ]0 ; + [ tel que pour tout R { }, f() = 3 + (d) Il eiste a ] ; + [, f (a) = Un autre classique d après concours ESIEE 006 Soit f la fonction définie sur R par f() = c. + (a) L équation f() = 0 admet une unique solution dans R. (b) L équation f() = admet eactement deu solutions distinctes dans [ ; + [. (c) Si [ ; ] alors f() 4. (d) Pour tout R, si f() 4 alors [ ; ]..8. Librement inspiré du BAC 05, Asie On considère l algorithme suivant : 5

6 VARIABLES a, b SONT DEUX NOMBRES REELS TELS QUE a < b 3 EST UN NOMBRE REEL 4 f EST UNE FONCTION DEFINIE SUR L INTERVALLE [a ; b] 5 DEBUT ALGORITHME 6 LIRE a et b 7 DEBUT TANT QUE 8 TANT QUE (b a > 0,3) 9 PREND LA VALEUR a+b 0 DEBUT SI Si f()f(a) > 0, ALORS a PREND LA VALEUR SINON b PREND LA VALEUR 3 FIN SI 4 FIN TANT QUE 5 AFFICHER a+b 6 FIN ALGORITHME (a) Si l on entre a =, b = et f() = 3, alors l algorithme affiche en sortie le nombre, D après concours FESIC 00 Soit f la fonction définie sur R par : f() = + sin (π) et C sa courbe représentative. (a) Pour tout réel, on a : f () = + cos (π). (b) On a : [ f() 0 ] = + π. ( c) La courbe C coupe la première bissectrice en chaque point d abscisse = k +, où k est un entier relatif. (d) La courbe C admet la première bissectrice comme droite asymptote en +. III. Des QCM. A vous de choisir! Pour chaque question, indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s). 3. Un peu de logique Le contraire de «il eiste une unique solution réelle à l équation f() = 0» est : (a) «L équation f() = 0 n admet pas de solution réelle». (b) «L équation f() = 0 admet un nombre fini de solutions réelles». (c) «L équation f() = 0 admet une infinité de solutions réelles». (d) Aucune des 3 propositions précédentes. 6

7 3.. Encore un peu de logique... Le contraire de «f est une fonction non dérivable en a» est : (a) f() f(a) a (b) f() f(a) a (c) f() f(a) a est réelle». est infinie». n eiste pas.» (d) Aucune des 3 propositions précédentes D après concours Avenir cos = (a). (b) 0. (c) N eiste pas. (d) Aucune des 3 propositions précédentes D après concours Avenir 00 = 0 sin ( ) (a). (b). (c) N eiste pas. (d) Aucune des 3 propositions précédentes D après concours Avenir 04 Ci-dessous, la courbe C représente la fonction f définie sur R {3}. 7

8 f() = 3 (a). (b) +. (c) Un réel. (d) Aucune des 3 propositions précédentes D après concours Avenir 04 D après la figure précédente, le nombre de solution de l équation f () = est : (a) 0. (b). (c). (d) f continue en signifie que : f( ) f( ) (a) est un réel. 0 (b) f() est un réel. (c) f( ) est un réel. 0 (d) Aucune des 3 propositions précédentes D après concours Santé des Armées 04 Soit la fonction f définie pour tout réel par f() = cos. La dérivée f de f est définie pour tout réel par : 8

9 (a) f () = sin. (b) f () = cos. (c) f () = cos + sin. (d) f () = cos sin Soit la fonction f définie par f() = 4. (a) f est définie et dérivable sur [0 ; + [. (b) f () est du signe de sur son ensemble de définition. (c) f est croissante sur [ ; + [. (d) L équation f() = 0 admet eactement deu solutions distinctes sur [0 ; + [ D après BAC 007, Polynésie On désigne par (E) l ensemble des fonctions f continues sur l intervalle [0 ; ] et vérifiant les conditions (P ), (P ) et (P 3 ) suivantes : (P ) f est strictement croissante sur l intervalle [0 ; ]. (P ) f(0) = 0 et f() =. (P 3 ) pour tout réel de l intervalle [0 ; ], f(). La courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i, j ) est : (a) 9

10 (b) (c) 0

11 IV. Corrigés.. (a) Proposition vraie. En effet, f () = et f () = + = 5. De plus, f() =. Donc l équation de la tangente au point d abscisse est : y = f ()( ) + f() = 5 ( ) + = 5 3. Soit y =,5,5. (b) Proposition fausse. En effet, f () n est pas définie en 0 (valeur interdite)... (a) Proposition vraie. On a : f () = + b et f () = 0 + b = 0 = b. On en déduit le tableau de variation de la fonction f : b f () f f( b ) Par ailleurs, pour tout réel b, f ( b ) = ( b ) b + 4 = b 4 b = b (a) Proposition vraie. Sur l intervalle [ 3 ; ], tous les points de la courbe ont une ordonnée négative. C est-à-dire que f () 0. (b) Proposition vraie. Sur l intervalle ] ; [, on lit que f () > 0, donc que f est croissante sur cet intervalle. (c) Proposition fausse. En effet, on a f () > 0 sur ] ; 0[ donc f croissante sur ] ; 0[ et de plus f(0) =. (d) Proposition vraie. On a graphiquement que f (0) = et de plus f(0) =. L équation de la tangente en 0 est : y = f (0)( 0) + f(0) =. Le point ( ; 0) appartient bien à cette tangente..4. (a) Proposition vraie. Car : f () = (b) Proposition fausse. En effet : f() = 3 = ( 3 ) = 3 3 = 3 < 0 sur l intervalle ] ; ]. = 3 car < 0 ( ). Et, comme : = 0, la ite est égale à -. (c) Proposition vraie. On a, par l utilisation de la forme conjuguée :

12 f() + = 3 + = ( 3+)( 3 3+ (+ 3 ) = ( ( 3 )+) Et : { + 3 ( 3 )+ car < 0 ( ). + = f() + = =. = 3 = ( 3 )+ ( 3 ) + = (d) Proposition fausse. C est une conséquence de la question précédente puisque [f() + ] = [f() ( )] = 0, on en déduit que : la droite d équation y = est asymptote à C en. sin.5. (a) Proposition fausse. D après le cours, =. 0 (b) Proposition vraie. En faisant le changement variable suivant, X =, on obtient : sin = sin X sin X = =. X 0 X X 0 X (c) Proposition fausse. Si +, alors 3 + et on fait le lien avec la réponse de la question (a). (d) Proposition vraie. En faisant le changement de variable suivant, X = π, on obtient : π cos π = X 0 cos( π X) X sin X = = (d après la ite de référence). X 0 X.6. (a) Proposition vraie. En factorisant par, on obtient : f() = ( + 6 ) (+ = + 6 ) + = (car + 6 = (b) Proposition vraie. En factorisant par, on obtient : [f() ] = ( 3+ 6 ) (+ ) [ +6 + ] = = = 3 (car 6 +6 = + = 0). 3+6 = = + = 0). (c) Proposition vraie. C est un classique! En effet, en mettant en mettant au même dénominateur l epression avec l inconnue c et en identifiant les coefficients de f() avec l epression obtenue, on conclut que c = 9. (d) Proposition vraie. La dérivée de f() est f () = + 8. Le numérateur s annule (+) en 4 et donc il eiste bien un réel dans l intervalle ] ; + [ tel que f (a) = 0 : c est le réel a =..7. (a) Proposition vraie. est solution évidente de l équation f() = 0. (b) Proposition vraie. En effet, en posant g() = f(), on obtient en dérivant g () = = 6 ( 3 ). Le tableau de variation de la fonction g donne :

13 0 + g () g g est continue et strictement décroissante sur [ ; ]. De plus, 0 [g() ; g( )]. On en déduit d après le théorème des valeurs intermédiaires qu il eiste une unique solution c [ ; ] tel que g(c) = 0 f(c) = 0 f(c) = ; g est continue et strictement croissante sur [ ; + [. De plus, 0 [g() ; g() [. On en déduit d après le théorème des valeurs intermédiaires qu il eiste une unique solution c [ ; + ] tel que g(c ) = 0 f(c ) = 0 f(c ) =. Il eiste eactement deu solutions c et c dans l intervalle [ ; + [ de l équation f() =. (c) Proposition vraie. On a f () = = 6 ( 3 ). Le tableau de variation de la fonction f donne : 0 + f () f 0 On a f( ) = 4 et f() = 0. D après le tableau de variation ci-dessus, la proposition est bien vraie. (d) Proposition fausse. Un contre-eemple suffit ici : f(,) 0,53 <..8. (a) Proposition fausse. On va faire fonctionner l algorithme pour a =, b = et f() = 3. Comme b a = > 0,3, on entre dans la boucle. a+b =,5. D où : f() =,5 3 = 0,75, et on a : f(a) = 3 =. Comme f() f(a) > 0, a =,5. Fin de la boucle tant que. Comme b a = 0,5 > 0,3 ; on entre dans la boucle. a+b =,75. D où : f() =,75 3 = 0,065 ; et on a : f(a) =,5 3 = 0,75. Comme f() f(a) < 0, b =,75. Fin du tant que. Comme b a = 0,5 < 0,3 ; on entre pas dans la boucle. L algorithme affiche la valeur a+b =,5+,75 =, (a) Proposition fausse. Puisque l on a f () = + πsin (π). 3

14 (b) Proposition vraie. Tout d abord, f() f() 0 = sin h + π h 0 h sin h = + π ; car =. h 0 h (c) Proposition fausse. On doit résoudre l équation suivante : f() =, soit + sin(π) =, soit sin(π) = 0. π = kπ D où, { π = π kπ donc { = k, où k Z. = k = + sin(π). Et, en posant h = π, on a : En définitive, la courbe C coupe la première bissectrice (droite d équation y = ) en chaque point d abscisse = k et = k où k Z. (d) Proposition fausse. On a : f() = sin (π) et cette dernière ite n eiste pas. 3.. L unique bonne réponse est la (a). 3.. La bonne réponse est la (a). Puisque le contraire de la proposition énoncée est «la fonction f est une fonction dérivable en a» La seule bonne réponse est la (a). En effet, en factorisant par on obtient : cos = ( 4 cos ) =. 4 cos Car, comme 4 4 (car cos ) et = 0 par le théorème de comparaison on a : 4 cos = La seule bonne réponse est la (a). En effet, en faisant le changement de variable suivant, X =, on obtient : = X = 0 sin ( ) X 0 sin (X) sin(x) = = (d après la ite de référence). X 0 X 3.5. La seule bonne réponse est la (d) puisque graphiquement, on constate qu il y a une asymptote verticale en = La seule bonne réponse est la (d) puisque sur les trois intervalles où la fonction f est croissante (f () 0), le coefficient directeur des tangentes en trois abscisses particuliers de ces trois intervalles est égal à Il y a deu bonnes réponses : la (b) car c est la définition même de la continuité en de f et pour la (c) le changement de variable suivant : X = nous ramène à la (b) La seule réponse, ici, est la (d). Car : f () = cos + ( sin ) = cos sin. 4

15 3.9. Il y a deu bonnes réponses : la (c) et la (d). En effet, en calculant f (), on obtient : f () = ( ) (le signe de f () dépend donc de et f est définie sur l intervalle ]0; + [ ). Le tableau de variation de f est donc le suivant : 0 + f () 0 + f Par ailleurs, on en déduit : f est continue et strictement décroissante sur [0 ; ]. De plus, 0 [f() ; f(0)]. On en déduit d après le théorème des valeurs intermédiaires qu il eiste une unique solution c [0; ] tel que f(c) = 0 ; f est continue et strictement croissante sur [ ; + [. De plus, 0 [f() ; f() [.On en déduit d après le théorème des valeurs intermédiaires qu il eiste une unique solution c [ ; + [ tel que f(c ) = 0). Il eiste eactement deu solutions c et c dans l intervalle [0 ; + [ de l équation f() = La seule bonne réponse est la (a). Puisque : la fonction représentée est bien croissante ; on a bien f(0) = 0 et f() = ; Cette courbe est bien située en dessous de la droite d équation y =. Alors que pour la courbe de la réponse (b), cette dernière est située au-dessus de la droite d équation y = et pour la courbe de la réponse (c), elle la coupe. 5