SUITES. u : N R n u(n) = u n

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1 CHAPITRE XI SUITES 1 Généralités 1.1 Notion de suite numérique Définition 1 : Une suite numérique est une fonction den(ou une partie de N) versr. u : N R n u(n) = u n L image de l entiernpar la suite u se note u n au lieu de u(n).u n se lit u indicen. On dit que u n est le terme de rangn. La suite u se note aussi (u n ). Exemples : à chaque entier naturel non nul on associe son inverse u 1 = 1,u 2 = 1, u 2 3 = 1,..., u 3 n = 1,...(remarquez qu ici la suite commence à l indice 1) n u 0 = 3 et, à chaque entier naturel non nul, on associe la n-ième décimale deπ: u 1 = 1,u 2 = 4, u 3 = 1,u 4 = 5,..., u 100 =? 1.2 Modes de génération d une suite Une suite peut être engendrée de deux manières : 1. Définition explicite du terme de rang n du type u n = f(n) Par exemple, la suite (u n ) définie pour tout n N par u n = n 2 2n+3 est définie explicitement. Exercice : calculer les trois premiers termes de cette suite ainsi que le centième On a : u 0 =..., u 1 =..., u 2 =..., u... =... Avec une calculatrice : Entrez la suite comme une fonction dans le menu Tableau, par exemple Y1=X 2 2X+3 Puis réglez les paramètres du tableau de valeurs : Start=0, End=20, Pitch=1 Puis affichez ce tableau de valeurs : vous obtenez les termes de cette suite à partir deu 0. { u0 = a R 2. Définition par récurrence du type u n+1 = f(u n ) Cette relation de récurrence permet calculer un terme de la suite à partir du terme précédent. Par exemple, la donnée de u 0 = 4 et pour tout n N, de u n = 3u n 4 définie la suite (u n ) par récurrence. Exercice : calculer les trois premiers termes de cette suite. u 0 =..., u 1 =...,u 2 =... Avec une calculatrice : Tapez la valeur du premier terme, puis tapez sur EXE. On utilise la touche Ans de la calculatrice, qui est un rappel du résultat du calcul précédent : Dans notre exemple 3 SHIFTAns 4, puis EXE. Vous voyez apparaître la valeur deu 1 ; à chaque fois que vous appuyez sur EXE, le terme suivant de la suite apparaît...

2 1.3 Représentations graphiques Suites définies de manière explicite Soit f une fonction définie sur [0;+ [ et (u n ) la suite définie par u n = f(n). Représenter graphiquement la suite (u n ) c est tracer l ensemble des points de coordonnées (n;f(n)). Exercice : Représenter graphiquement la suite(u n ) définie par u n = n 2 2n Suites définies par récurrence Soit (u n ) la suite définie par récurrence par u n+1 = f(u n ). Pour représenter cette suite, on place les pointsm n (u n ;0) sur l axe des abscisses en utilisant la méthode suivante : 1. On trace la droite d d équation y = x etc f la représentation graphique defdans un repère. 2. On placem 0 (u 0 ;0) puis on place le point dec f notéa 0 d abscisseu 0. On a alorsa 0 (u 0 ;f(u 0 )) c est-a-dire A 0 (u 0 ;u 1 ). 3. On placeb 0 dedayant la même ordonnée que A 0. On a doncb 0 (u 1 ;u 1 ). 4. On projette B 0 sur l axe des abscisses et on obtient M 1 (u 1 ;0). On recommence l étape 1 en partant de M 1 (u 1 ;0) et on obtient M 2 (u 2 ;0)... Application : Représenter graphiquement la suite récurrente (u n ) définie par u 0 = 0,8 et pour tout n 0, u n+1 = f(u n ) = u n +1. (on représentera les quatre premiers termes dans un repère orthonormé d unité 5 cm) 1.4 Sens de variation d une suite Définition 2 : Dire qu une suite (u n ) n N est : croissante signifie que, pour tout n, on a u n+1...u n décroissante signifie que, pour tout n, on a u n+1...u n stationnaire signifie que pour tout n, on a u n+1...u n Remarque : Toutes les suites ne sont pas monotones : par exemple, la suite u définie pour tout n N par u n = ( 1) n n 2 ne l est pas : u 0 =..., u 1 =...,u 2 =..., u 3 =..., u 4 =..., etc Méthodes : Si pour tout n N on a u n = f(n) avec f une fonction définie sur [0;+ [, lorsque f est une fonction monotone la suite u et la fonction f ont la même monotonie. Par exemple, la suite u définie paru n = 5 n est Pour étudier le sens de variation d une suite, on étudie généralement le signe de la différence u n+1 u n ; selon les valeurs de n. Par exemple, pour (u n ) n N définie par u n = 2 5 n, on a pour tout entier naturel n : u n+1 u n = Doncu n+1 u n...0 pour tout n : la suite est donc

3 2 Suites arithmétiques 2.1 Définition Définition 3 : Dire d une suite u qu elle est arithmétique signifie qu il existe un certain réel r, appelé raison de la suite, tel que, pour tout n 0,u n+1 = u n +r Exemple : Prenons par exemple la suite u arithmétique, { de premier terme u 0 = 5 et de raison r = 2. u0 =... La définition deupar récurrence est u n+1 =... Les premiers termes de cette suite sont u 1 =..., u 2 =..., u 3 =..., u 4 =..., u 5 =..., u 6 = Reconnaître une suite arithmétique : Pour qu une suite u soit arithmétique, il faut et il suffit que, pour tout n N, la différence u n+1 u n soit constante : u n+1 u n = r R. Le nombre r est alors la raison de la suite u. Par exemple, soit u définie paru n = 5 3n. On a, pour tout entier naturel n, u n+1 u n = Donc la suite u est arithmétique, et sa raison estr = Relation entre deux termes d une suite arithmétique : Théorème 1 : Soit u une suite arithmétique, de premier terme u 0 et de raison r. Relation entre u n etu 0 : Relation entre u n etu p : Pour tout n N, on a u n = u 0 +nr Pour tous n,p N, on a u n = u p +(n p)r Par exemple, soit (u n ) n N la suite arithmétique, telle que u 5 = 7 etu 10 = 32. Alors, on a : u 10 = u 5 +(10 5)r... Donc r =... De plus, u 5 = u soit u 0 =.... Donc, pour tout n, u n = Sens de variation d une suite arithmétique : Soit u une suite arithmétique de raison r. Si r > 0 alors la suite u est croissante. Si r < 0, alors la suite u est décroissante. 2.5 Somme des termes consécutifs d une suite arithmétique : Théorème 2 : Somme desnpremiers entiers : Pour tout n N on a : n = n(n+1) 2 La somme den+1 termes consécutifs d une suite arithmétique, de premier terme u 0 et de dernier terme u n est donnée par (S = nombre de termes S = (n+1) u 0 +u n 2 premier terme+dernier terme ) 2

4 3 Suites géométriques 3.1 Définition Définition 4 : Dire d une suite u qu elle est géométrique signifie qu il existe un certain réel non nul q, appelé raison de la suite, tel que, pour tout n 0, u n+1 = q u n Exemple : Soit la suite u géométrique, { de premier terme u 0 = 5 et de raison q = 2. u0 =... La définition deupar récurrence est u n+1 =... Les premiers termes de cette suite sont u 1 =..., u 2 =..., u 3 =..., u 4 =..., u 5 =..., u 6 = Reconnaître une suite géométrique : Pour qu une suite u soit géométrique, il faut et il suffit que, pour tout n N, les termes u n soient non nuls et que le quotient u n+1 u n soit constant : u n+1 u n = q R. Le nombreqest alors la raison de la suite u. 3.3 Relation entre deux termes d une suite géométrique : Théorème 4 : Soit u une suite géométrique, de premier terme u 0 et de raison q. Relation entreu n etu 0 : Relation entreu n etu p : Pour tout n N, on a u n = u 0 q n Pour tous n,p N, on a u n = u p q n p Par exemple, on peut obtenir la définition explicite d une suite géométrique à partir de sa définition par récurrence : Si u est une suite géométrique de premier terme u 0 = 5 et de raison q = 2, alors pour tout n N on a u n = Sens de variation d une suite géométrique (de terme initial positif) : Soit u une suite géométrique de premier terme u 0 > 0 et de raison q. Si 0 < q < 1 alors la suite u est décroissante. Si q = 1 alors la suite u est stationnaire. Si q > 1 alors la suite u est croissante. Si q < 0 alors la suite u n est ni croissante, ni décroissante (ses termes sont alternativement positifs et négatifs) 3.5 Somme des termes consécutifs d une suite géométrique Théorème 5 : La somme de n+1 termes consécutifs d une suite géométrique, de premier terme u 0 et de raison q 1 est donnée par : S = u 0 1 qn+1 1 q de termes 1 raisonnb (S = premier terme ) 1 raison

5 4 Limites de suites 4.1 Limite infinie Définition 5 : Soit (U n ) une suite. On dit que U n a pour limite + et on note lim U n = + lorsque pour tout réel M > 0, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à M. Autrement dit, pour tout M > 0, il existe n 0 tel queu n > M pour tout n n 0. On définit de manière analogue lim V n =. Propriété : Les suites( n) ;(n) ; (n 2 ) ; (n 3 ) ;... ; (n p ) avecp 1 ; (q n ) avecq > 1 ont pour limite +. Propriété : Soient deux suites(u n ) et(v n ) telles que U n V n à partir d un certain rang. Si lim U n = + alors lim V n = Suite convergente Définition 6 : Dire que la suite numérique(u n ) converge vers le réellsignifie que tout intervalle ouvert contenantlcontient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On dit alors que l est la limite de la suite (U n ) et on note lim U n = l. Remarques : La limite d une suite numérique convergente est unique. Si une suite ne converge pas elle est dite divergente. Si la suiteude la formeu n = f(n) avecfune fonction définie sur un intervalle de la forme[a;+ [, les théorèmes sur les limites des fonctions en + s appliquent. Propriété : Les suites ( 1 n ) ; ( ) ( ) 1 1 ;... ; avecp 1 ; (q n ) avec 1 < q < 1 convergent vers0. n n p Théorème 6 : Opérations et limites (U n ) est une suite convergente vers le réelaet(v n ) est une suite convergente vers le réel b. La suite (W n ), définie parw n = U n +V n, converge vers le réel a+b. La suite (T n ), définie part n = U n V n, converge vers le réel a b. Si de plus (V n ) est une suite qui converge vers le réel b 0 telle que pour tout n N, V n 0, alors la suite (Q n ) définie parq n = Un V n converge vers le réel a b. lim Exemple : La suite (U n ) définie pour tout n N par U n = n, converge vers 2. En effet 4 n = 0 donc d après le théorème sur la limite d une somme, lim U n = 2. Théorème 7 : Théorème des gendarmes Soient trois suites (U n ), (V n ) et (W n ) telles qu il existe d un certain rang p N tel que pour tout entier naturel n p on aitw n U n V n. Si (V n ) et(w n ) convergent vers le même réel l, alors (U n ) converge versl.

6 Justification : Soit I un intervalle ouvert contenant l. La suite (W n ) converge vers l. Il existe donc un rangn 0 à partir duquel tous les termesw n I. De même pour la suite (V n ) il existe un rangn 1 à partir duquel tous les termes V n I. On a donc pourntel quen max(n 0,n 1,p) tous lesv n et tous les termesw n sont dans l intervalle I, or pour tout n N p on aw n U n V n d où à partir du rangntous les termesu n I. D après la définition de la convergence d une suite on peut dire que (U n ) converge versl.