COURS DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE S LE BARYCENTRE DANS LE PLAN. Frédéric Demoulin 1. Document diffusé via le site Bac à maths de Gilles Costantini 2

Transcription

1 COURS DE MTHÉMTIQUES PREMIÈRE S LE RYCENTRE DNS LE PLN Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 21 octobre 2006 Document diffusé via le site ac à maths de Gilles Costantini 2 1 frederic.demoulin@voila.fr 2 gilles.costantini@bacamaths.net

2 Table des matières 1 Quelques rappels sur les vecteurs Colinéarité Norme d un vecteur arycentre de deux points pondérés Théorème d existence et définition Propriétés du barycentre Homogénéité du barycentre Position du barycentre Réduction vectorielle de Leibniz Expression analytique du barycentre arycentre de trois points pondérés et plus Extension de la définition Extension des propriétés Homogénéité du barycentre Réduction vectorielle de Leibniz ssociativité du barycentre Isobarycentre et centre de gravité Expression analytique du barycentre arycentre et centre d inertie Notion de centre d inertie Détermination du centre d inertie d une plaque homogène Éléments de symétrie ssociativité Exemple Le barycentre dans le plan Page 1 Frédéric Demoulin

3 Le barycentre dans le plan La notion de barycentre (qui vient du grec barus qui signifie lourd, massif) a été introduite par rchimède 1 au III e siècle avant notre ère alors qu il s intéressait à l équilibre des leviers. C est d ailleurs à cette occasion qu il aurait prononcé la célèbre phrase «donnez-moi un point d appui, je soulèverai le monde». rchimède apporta une solution au problème simple (qu en pensez-vous?) proposé ci-dessous. G m m Sur une tige de masse négligeable, on suspend deux masses m et m en et en. Comment positionner le pivot G pour que l ensemble soit en équilibre? Les barycentres sont donc d abord considérés d un point de vue physique et concret. Il faut attendre le XIX e siècle pour les considérer d un point de vue purement mathématique. Le mathématicien ugust Ferdinand Möbius 2, dans son mémoire intitulé Der barycentrische Calcül rédigé en 1827, utilise des systèmes de points auxquels il affecte un coefficient, ou masse, pouvant être aussi bien positif que négatif. La notion de barycentre devient alors indépendante de la Physique. De nos jours, les applications des barycentres ne manquent pas... Les problèmes d équilibre de balance, de centre de gravité, de centre d inertie, de moyenne en statistique, la colorimétrie ainsi que les courbes de ézier 3 en CFO 4 sont autant de domaines dans lesquels intervient la notion de barycentre. 1 Quelques rappels sur les vecteurs 1.1 Colinéarité Définition 1.1 Soit,, C et D quatre points du plan. On dit que deux vecteurs non nuls u = et v = C D sont colinéaires s ils ont la même direction. Cela signifie que les droites () et (CD) sont parallèles (donc éventuellement confondues). Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur u. C u v D Théorème 1.1 Soit u et v deux vecteurs non nuls. Dire que u et v sont colinéaires équivaut à dire qu il existe un réel k tel que u = k v ou encore qu il existe un réel k tel que v = k u. 1 Illustre scientifique grec, mathématicien, physicien et ingénieur (287 av. J.C. 212 av. J.C.). 2 Mathématicien et astronome allemand, connu surtout pour sa découverte du ruban de Möbius ( ). 3 Ingénieur français chez Renault ( ). 4 cronyme de Conception et Fabrication ssistée par Ordinateur. Le barycentre dans le plan Page 2 Frédéric Demoulin

4 Démonstration. On procède par double implication. Démontrons, dans un premier temps, que si u et v sont colinéaires, alors il existe un réel k tel que u = k v. Soient,, C et D quatre points du plan tels que et C D. On pose u = et v = CD. Si u et v sont colinéaires, alors () (C D). En particulier, il existe un point E appartenant à (C D) tel que C E soit un parallélogramme, c est-à-dire = CE. Comme E appartient à (CD), il existe un réel k tel que CE = kcd. On en tire donc = kcd. Il existe donc un réel k tel que u = k v. Démontrons, dans un second temps, que s il existe un réel k tel que u = k v, alors u et v sont colinéaires. Soient u et v deux vecteurs non nuls et k un réel tel que u = k v. Soient,, C et D quatre points du plan ( et C D) tels que = kcd. Soit E le point de la droite (CD) tel que CE = kcd. On a alors = CE. EC est donc un parallélogramme, d où () (CE) et par conséquent () (CD). et CD ont même direction, ils sont donc colinéaires. Puisque u et v sont non nuls, k est également non nul. On peut alors poser k = 1 k. insi, dire que u = k v revient à dire que v = k u. Remarque. Si l un au moins des vecteurs u et v est nul, alors u et v sont colinéaires. 1.2 Norme d un vecteur Définition 1.2 Soient et deux points du plan. La norme du vecteur u = est la longueur. On note u = =. Théorème 1.2 Soient et deux points du plan. (i) =0 =. (ii) Pour tout réel λ et pour tout vecteur u, λ u = λ u. Démonstration. Soient et deux points du plan. (i) Si = 0 alors = 0, les points et sont confondus. Réciproquement, si les points et sont confondus, alors = 0, d où =0. (ii) On pose u =. Soient λ un réel et C le point du plan tel que λ u = C. Par définition, si λ 0, la longueur du vecteur C est λ et λ si λ< 0. On en tire C = λ, d où λ u = λ u. Exemples. 2 = 2 =2 ; 3 = 3 =3. 2 arycentre de deux points pondérés 2.1 Théorème d existence et définition Théorème 2.1 Soient et deux points du plan, α et β deux réels tels que 0. Il existe un unique point G vérifiant : α G + βg = 0. Démonstration. On a : α G + β G = 0 α G + β ( G + )= 0 (relation de Chasles) () G + β = 0 () G = β () G = β β G = avec 0. Le barycentre dans le plan Page 3 Frédéric Demoulin

5 insi, chercher un point G vérifiant α β G + βg = 0 revient à chercher un point G tel que G =. Si 0, les points et ainsi que les réels α et β étant donnés, il existe un unique point G tel que G = β. Définition 2.1 Ce point G est appelé barycentre du système { ( ; α); ( ; β) }. On dit encore que G est le barycentre des points pondérés ou des points massifs ( ; α) et ( ; β). Remarques. Si =0, alors le barycentre n est pas défini. Pour construire le barycentre, on utilise la relation G= β. Exemples. [] est un segment de longueur 6 cm. Le barycentre G 1 de {( ; 1); ( ; 2)} vérifie G 1 = 2 = Le barycentre G 2 de {( ; 7); ( ; 1)} vérifie G 2 = 1 1 = G 2 G 1 Dans toute la suite, on supposera α + β Propriétés du barycentre Homogénéité du barycentre Théorème 2.2 Si G est le barycentre de { ( ; α); ( ; β) }, alors, pour tout réel k non nul, G est le barycentre de { ( ; kα); ( ; kβ) }. utrement dit, on ne change pas le barycentre de deux points en multipliant tous les coefficients par un même réel non nul. Démonstration. Soit k un réel non nul. On a : α ( G + βg = 0 k α G + βg )= 0 kα G + kβg = 0. Comme kα+kβ 0, G est aussi le barycentre de { ( ; kα); ( ; kβ) }. Exemple. Le barycentre du système {( ; 60); ( ; 12)} est encore le barycentre du système {( ; 5); ( ; 1)} Position du barycentre Théorème 2.3 Si G est le barycentre de { ( ; α); ( ; β) }, alors G est situé sur la droite (). Démonstration. D après le théorème 2.1, on a : α β G + βg = 0 G=. insi, G et sont colinéaires donc G appartient à la droite (). Théorème 2.4 Soit α un réel non nul. Le barycentre G de {( ; α); ( ; α)} est le milieu du segment []. Démonstration. Soit α un réel non nul. On a : Le barycentre dans le plan Page 4 Frédéric Demoulin

6 α G + αg = 0 G + G = 0 G = 1 (d après le théorème 2.1). 2 Cette dernière relation prouve que G est le milieu du segment []. Définition 2.2 Le barycentre de et affectés du même coefficient non nul est appelé isobarycentre de et de. D après le théorème 2.4, l isobarycentre de et est aussi le milieu du segment []. La réciproque du théorème 2.3 permet de caractériser en termes de barycentre la droite (). Théorème 2.5 La droite () est l ensemble des points M barycentre de {( ; 1 k); ( ; k)} lorsque k décrit R. Démonstration. Soit M un point de la droite (). Il existe alors un réel k tel que M = k. Il vient : M = k ( ) M = k M+ M k M M+ k M = 0 (1 k) M + k M = 0 avec (1 k)+k 0 M = bar{( ; 1 k); ( ; k)}. On peut étudier plus précisément la position du barycentre G sur la droite () en fonction des valeurs de α et β. Théorème 2.6 Soit G le barycentre de { ( ; α); ( ; β) }. (i) Si α (resp. β) est nul, alors G et (resp. ) sont confondus. (ii) Si α et β sont de même signe, alors G appartient au segment []. (iii) Si α et β sont de signe contraire, alors G appartient à la droite () privée du segment []. (iv) Si α > β >0 (resp. β > α >0), alors G est «plus près» de que de (resp. de que de ). Démonstration. On a α G + β G = 0. (i) Si α=0, alors β G = 0 soit puisque β 0, G = 0. Les points G et sont confondus. (ii) Supposons α et β strictement positifs. Il vient 0<β<, d où, en passant aux inverses et en multipliant par β>0, 0< β β < 1. En multipliant par 0, il vient 0. D après le théorème 2.1, on a G = β β, d où G=. On en tire finalement 0 G. Le point G appartient donc au segment []. On procédera de manière analogue dans le cas où α et β sont strictement négatifs. (iii) Supposons α < 0 et β > 0. Deux situations sont possibles : β si >0, alors 0< <β, d où en passant aux inverses et en multipliant par β>0, > 1. En multipliant par 0, il vient G. β si < 0 alors < 0. Comme G = β, on en déduit que les vecteurs G et sont colinéaires de sens opposés. Dans ces deux situations, le point G se trouve sur la droite () privée du segment []. On procédera de manière analogue dans le cas où α>0 et β<0. (iv) On a α G + βg = 0 αg = βg. En traduisant cette égalité en termes de norme, on obtient α G = β G. Supposons α et β non nuls. On a alors α G = β G G = β α G. Si α > β, alors G < G, le point G est «plus près» de que de. Si α < β, alors G > G, le point G est «plus près» de que de. Le barycentre dans le plan Page 5 Frédéric Demoulin

7 2.3 Réduction vectorielle de Leibniz Théorème 2.7 Soit G le barycentre de { ( ; α); ( ; β) }. Pour tout point M du plan, on a : α M + β M = ( ) MG. Démonstration. Soit G le barycentre de { ( ; α); ( ; β) }. On a : α G + β G = 0 α ( GM+ M )+β ( ) GM+ α M + β M = 0 α M + β M = ( ) MG. ( GM+ M )= 0 pour tout point M du plan Remarque. Lorsque =0, le vecteur α M + β M est indépendant du point M. Ce théorème présente un intérêt fondamental en pratique. Il permet d affirmer que, quel que soit le point M, le vecteur α M + β M est toujours colinéaire à MG. Il est alors très utile dans la détermination de lieux géométriques. Exemples. Soient et deux points distincts du plan. 1. Déterminer l ensemble E 1 des points M du plan tels que les vecteurs 2 M + 3 M et M 6 M aient la même longueur. Soit G 1 le barycentre de {( ; 2); ( ; 3)} avec D après le théorème 1.7, pour tout point M du plan, on a : 2 M + 3 M = 5 MG 1. De même, soit G 2 le barycentre de {( ; 1); ( ; 6)} avec Pour tout point M du plan, on a M 6 M = 5 MG 2. On a alors : M E 1 2 M + 3 M = M 6 M 5 MG 1 = 5 MG 2 5 MG 1 =5 MG 2 MG 1 = MG 2 M appartient à la médiatrice du segment [G 1 G 2 ]. 2. Déterminer l ensemble E 2 des points M du plan tels que M + M = M M. Comme dans le 1, il s agit de réduire les sommes M + M et M M. Pour cela, on pose G 3 l isobarycentre de et. Pour tout point M du plan, on a M + M = 2 MG 3. Concernant la somme M M, on ne peut introduire le barycentre de {( ; 1); ( ; 1)} puisque 1 1 = 0. On procède en utilisant la relation de Chasles. Pour tout point M du plan, on a M M = ( ) M M + = M M =. On a alors : M E 2 M + M = M M 2 MG 3 = 2 MG 3 = MG 3 = 1 2 M appartient au cercle de centre G 3 et de rayon 1 2. Le barycentre dans le plan Page 6 Frédéric Demoulin

8 2.4 Expression analytique du barycentre On munit le plan d un repère ( O ; ı, j ). Soient (x ; y ) et (x ; y ) deux points du plan. Théorème 2.8 Le barycentre G de { ( ; α); ( ; β) } a pour coordonnées : x G = αx + βx et y G = αy + βy. utrement dit, G a pour coordonnées la moyenne pondérée des coordonnées de et. Démonstration. Soit G le barycentre de { ( ; α); ( ; β) }. On a : α ( ( G + βg = 0 α GO+ O )+β GO+ O )= 0 ( ) GO+ αo + βo = 0 α OG = O + β O x G = αx + βx y G = αy + βy. Exemple. (1; 3) et (2; 1) sont deux points du plan. Le barycentre G de {( ; 1); ( ; 2)} a pour coordonnées : x G = x + 2x 1+2 = = 3 et y G = y + 2y 1+2 = = 1. 3 arycentre de trois points pondérés et plus L étude faite au paragraphe précédent se généralise à trois points pondérés ou plus. Nous n énoncerons la définition et les propriétés que dans le cas de trois points pondérés. 3.1 Extension de la définition Théorème 3.1 Soient, et C trois points du plan, α, β et γ trois réels tels que +γ 0. Il existe un unique point G vérifiant : α G + βg+ γgc = 0. Démonstration. On a : α ( G + βg+ γgc = 0 αg + β G + ( +γ ) ( ) +γ ( ) +γ G = )+γ G + β+ γc = 0 G = β γc G= β γc β γ + C +γ +γ ( G + C )= 0 (relation de Chasles) avec +γ 0. insi chercher un point G vérifiant α β G +βg+γgc = 0 revient à chercher un point G tel que G = + +γ γ C. +γ Si +γ 0, les points, et C ainsi que les réels α, β et γ étant donnés, il existe un unique point G tel que β γ G = + C. +γ +γ Définition 3.1 Ce point G est appelé barycentre du système de points pondérés { ( ; α); ( ; β); (C ; γ) }. Dans toute la suite, on supposera +γ 0. Le barycentre dans le plan Page 7 Frédéric Demoulin

9 3.2 Extension des propriétés Homogénéité du barycentre Théorème 3.2 Si G est le barycentre de { ( ; α); ( ; β); (C ; γ) } alors, pour tout réel k non nul, G est le barycentre de { ( ; kα); ( ; kβ); (C ; kγ) }. Démonstration. Soit k un réel non nul. On a : α ( G + βg+ γgc = 0 k α G + βg+ γgc )= 0 kα G + kβg+ kγgc = 0. Comme kα+kβ+kγ 0, G est aussi le barycentre de { ( ; kα); ( ; kβ); (C ; γ) } Réduction vectorielle de Leibniz Théorème 3.3 Soit G le barycentre de { ( ; α); ( ; β); (C ; γ) }. Pour tout point M du plan, on a : α M + β M+ γ MC = ( +γ ) MG. Démonstration. Soit G le barycentre de { ( ; α); ( ; β); (C ; γ) }. On a : α ( ( ( G + βg+ γgc = 0 α GM+ M )+β GM+ M )+γ GM+ MC )= 0 pour tout point M du plan ( +γ ) GM+ αm + βm+ γmc = 0 α M + β M+ γ MC = ( +γ ) MG. Remarque. Lorsque +γ=0, le vecteur α M + β M+ γ MC est indépendant du point M ssociativité du barycentre Théorème 3.4 Soit G le barycentre de { ( ; α); ( ; β); (C ; γ) } et H le barycentre de { ( ; α); ( ; β) } avec 0. lors G est le barycentre de { (H ; ); (C ; γ) }. utrement dit, on ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d entre eux par leur barycentre affecté de la somme (non nulle) des coefficients correspondants. Démonstration. Soit H le barycentre de { ( ; α); ( ; β) } avec 0. On a α H + β H = 0 (1). Soit G le barycentre de { ( ; α); ( ; β); (C ; γ) }. On a : ( ) GH+ H + γ GC = 0 GC+ αh + βh = 0 α ( G + βg+ γgc = 0 α GH+ H )+β ( ) GH+ γ ( ) GH+ γ GC = 0 d après (1) On en déduit que G est le barycentre de { (H ; ); (C ; γ) }. Cette propriété d associativité (encore appelée théorème du barycentre partiel) permet de ramener la construction du barycentre de trois points (ou plus) à celle du barycentre de deux points. Exemple. Soient G le barycentre de {( ; 1); ( ; 4); (C ; 3)} et H le barycentre de {( ; 4); (C ; 3)}. En remplaçant et C par la somme de leurs coefficients (c est-à-dire par 4 3 = 1), on établit que G est aussi le barycentre de {( ; 1); (H ; 1)}. Cette propriété permet également de démontrer que des droites sont concourantes (voir démonstration du théorème 3.5) ou que des points sont alignés. Le barycentre dans le plan Page 8 Frédéric Demoulin

10 3.2.4 Isobarycentre et centre de gravité Définition 3.2 L isobarycentre de trois points, et C est le barycentre de {( ; α); ( ; α); (C ; α)} où α est un réel non nul. Théorème 3.5 L isobarycentre G de trois points, et C non alignés est le centre de gravité du triangle C. Il vérifie : G + G+ GC = 0. Démonstration. Soient I, J et K les milieux respectifs des côtés [C], [C] et []. I est alors le barycentre de {( ; 1); (C ; 1)}, J celui de {( ; 1); (C ; 1)} et K celui de {( ; 1); ( ; 1)}. L isobarycentre G des points, et C est le barycentre de {( ; 1); ( ; 1); (C ; 1)}. D après la propriété d associativité, il vient : G barycentre de {( ; 1); (I ; 2)} donc G (I ) ; G barycentre de {( ; 1); (J ; 2)} donc G ( J) ; G barycentre de {(C ; 1); (K ; 2)} donc G (CK ). On en déduit que les trois médianes (I ), ( J) et (CK ) sont concourantes en l isobarycentre G du triangle C. K G J I C 3.3 Expression analytique du barycentre On munit le plan d un repère ( O ; ı, j ). Soient (x ; y ), (x ; y ) et C(x C ; y C ) trois points du plan. Théorème 3.6 Le barycentre G de { ( ; α); ( ; β); (C ; γ) } a pour coordonnées : x G = αx + βx + γx C +γ et y G = αy + βy + γy C. +γ Démonstration. Soit G le barycentre de { ( ; α); ( ; β); (C ; γ) }. Pour tout point M du plan, on a : α M + β M+ γ MC = ( +γ ) 1 ( MG MG = α M + β M+ γ ) MC. +γ En posant M = O, il vient 1 ( OG = α O + βo+ γoc ). +γ En traduisant cette égalité en termes de coordonnées, il vient : x G = αx + βx + γx C +γ et y G = αy + βy + γy C. +γ On retrouve le fait que G a pour coordonnées la moyenne pondérée des coordonnées de, et C. Exemple. ( 1; 3), (2; 4) et C(1; 2) sont trois points du plan. Le barycentre G de {( ; 1); ( ; 2); (C ; 3)} a pour coordonnées : y x G = x + 2x + 3x C y G = y + 2y + 3y C = = = 1 = 5 6. j O G i x 4 arycentre et centre d inertie C 4.1 Notion de centre d inertie Considérons le mouvement d un solide lancé de manière quelconque au voisinage de la Terre. Étudier le mouvement de ce solide revient à connaître le mouvement de chacun des points matériels le constituant. Dans le Le barycentre dans le plan Page 9 Frédéric Demoulin

11 référentiel terrestre, ces points peuvent avoir un mouvement complexe. Il se trouve qu un point a un mouvement toujours bien plus simple que les autres, c est le centre d inertie du solide. Définition 4.1 Le centre d inertie de points matériels est le barycentre de ces points pondérés de leurs masses respectives. Exemple. On considère un système formé de deux points matériels 1 et 2 de masses respectives m 1 et m 2. Le centre d inertie du système est le barycentre de {( 1 ; m 1 ); ( 2 ; m 2 )}. Le centre d inertie est «le point d équilibre des masses», autrement dit c est le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. Remarque. En Physique, le centre de gravité de n points matériels est le barycentre de ces points pondérés par leurs poids propres respectifs. Il est donc fondamentalement lié au champ de gravité dans lequel le corps est plongé. u voisinage de la Terre ou d un astre, on confondra centre d inertie et centre de gravité. 4.2 Détermination du centre d inertie d une plaque homogène On qualifiera d homogène une plaque d épaisseur négligeable dans laquelle la masse est répartie uniformément. Les aires seront donc proportionnelles aux masses Éléments de symétrie fin de localiser le centre d inertie d une plaque homogène, on admettra le théorème suivant. Théorème 4.1 Si la plaque possède un élément de symétrie matériel, cet élément de symétrie contient le centre d inertie. utrement dit : si la plaque possède un centre de symétrie, alors son centre d inertie se trouve en ce point ; si la plaque possède un axe de symétrie, alors son centre d inertie se trouve sur cet axe. Exemples. Le centre d inertie d une tige homogène est le milieu de cette tige. Le centre d inertie d une plaque triangulaire homogène est le centre de gravité du triangle ssociativité Considérons deux plaques homogènes P 1 et P 2 juxtaposées d aires respectives a 1 et a 2. On admettra le théorème suivant. Théorème 4.2 Le centre d inertie I de la plaque P, réunion des plaques P 1 et P 2, est le barycentre de {(I 1 ; a 1 ); (I 2 ; a 2 )} où I 1 et I 2 sont les centres d inertie respectifs de P 1 et P 2. I 1 I I 2 P 1 P 2 Remarques. Cette propriété se généralise au cas de n plaques. Les aires peuvent être prises comme coefficient puisque les plaques sont homogènes. Le barycentre dans le plan Page 10 Frédéric Demoulin

12 4.2.3 Exemple On se propose de déterminer le centre d inertie I d une plaque homogène (voir figure ci-dessous) formée : d un rectangle CE avec = 4 et C = 2 ; d un triangle C DE équilatéral. D E C Le rectangle CE a pour centre d inertie le milieu I 1 de ses diagonales [C] et [E]. Soit a 1 son aire. On a a 1 = E = 8 unités d aires. Le triangle CE a pour centre d inertie son centre de gravité I 2, point d intersection des médianes. Soit P le pied de la hauteur issue de D. Comme le triangle CDE est équilatéral, P est le milieu de [EC]. Soit a 2 son aire. On a a 2 = 1 EC PD. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle PCD rectangle en 2 P, on établit que PD = 2 3. On en déduit que a 2 = 4 3 unités d aires. { D après le théorème 3.2, I est le barycentre de {(I 1 ; a 1 ); (I 2 ; a 2 )}, soit de (I 1 ; 8); (I 2 ; 4 } { 3) ou encore de (I 1 ; 2); (I 2 ; } 3). On en tire que I 1 I = 3 2+ I1 I 2. 3 D I 2 E P I C I 1 Le barycentre dans le plan Page 11 Frédéric Demoulin