Langage mathématique et logique

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1 Table des matières 1 Langage mathématique et logique 2 1 Présentation du langage Expressions mathématiques Variables Valeurs de vérités et connecteurs logiques Valeurs de vérité La négation La conjonction La disjonction L implication L équivalence Remarque : la contraposée Quantificateurs Quantificateur universel Quantificateur existentiel Quantificateurs et négation Différents types de raisonnements Démontrer une proposition universelle Démontrer une proposition existentielle Démontrer une implication Démontrer par l absurde Démontrer une équivalence Exercices Connecteurs logiques et quantificateurs Implication, contraposée Négation Formulation Raisonnements Références

2 Chapitre 1 Langage mathématique et logique 1 Présentation du langage Le but de ce paragraphe est d attirer l attention sur le langage mathématique, sa construction, son maniement. C est un langage, il s écrit donc avec un alphabet qui contient l alphabet français, l alphabet grec ainsi qu un certain nombre de symboles. Les mots de ce langage ont une orthographe et une sémantique (sens donné aux mots permis) acceptées par la communauté mathématique. La manière de combiner ces mots suit une grammaire où l on retrouve les contraintes du langage naturel (sujet + verbe, sujet + verbe + compléments). Les mathématiques que nous écrivons peuvent avoir des objectifs variés (nommer, résoudre, convaincre, commenter, chercher,...). Elles peuvent être écrites presque exclusivement en langage naturel ou être insérées dans un discours qui relève du langage naturel ou encore n utiliser que des symboles et des expressions spécifiques aux mathématiques. 1.1 Expressions mathématiques Exemples et contre exemples d expressions : (1) x est un réel quelconque. (2) f est une fonction réelle définie sur R. Il existe un nombre réel t tel que tout intervalle ouvert contenant t contient toutes les valeurs f(x) quand x est assez grand. (3) exp est la fonction exponentielle réelle définie sur R. Il existe un nombre réel t tel que tout intervalle ouvert contenant t contient toutes les valeurs exp(x) quand x est assez grand. (4) Lorsqu elle existe, la limite d une suite est unique. (5) Posons S = 5 n=1 1 n. (6) Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats dépendent du hasard. (7) 3+ = π N (8) f est une fonction réelle définie sur I = [a,b]. f est croissante sur I si, quels que soient les deux réels de I, l ordre de ces deux réels est le même que l ordre des images par f de ces deux réels. 2

3 (9) 2 1 t 2 dt (10) La fonction f est-elle croissante sur I? Toute suite de symboles mathématiques ne forme pas automatiquement une expression mathématique. Parmi les suites de mots du langage naturel et de symboles mathématiques ci-dessus, certaines ne sont pas des expressions du langage mathématiques car elles ne respectent pas la syntaxe, comme par exemple (7). Certaines expressions sont des noms car elles nomment, elles désignent, des objets. C est le cas des expressions (5) et (9). D autres expressions sont des propositions car elles affirment des faits concernant un objet mathématique. Elles sont susceptibles d être vraies ou fausses. Par exemple, l expression (2) est un énoncé qui est vrai si la fonction f admet une limite finie en +. L expression (3) est un énoncé faux car exp(x) tend vers + quand x tend vers +. (Remarque, la formulation quand x est assez grand qui n est pas très opérationnel sera précisé en cours d analyse). L expression (4) est une proposition vraie quelle que soit la limite dont on parle. Les expressions (6) et (8) sont des définitions du langage mathématique. En langage plus formalisé (et plus concis) l expression (8) devient : f est une fonction réelle définie sur I = [a,b]. f est croissante sur I si x I, x I, x x f(x) f(x ). Les expressions (1) et (10) appartiennent au discours mathématique sans être un écrit mathématique ( quelconque n est pas un mot du langage mathématique). Elles permettent d attirer le lecteur sur un aspect de la variable x (on ne sait rien sur x en dehors du fait qu il est réel) ou de poser une question. Exemple de construction d expressions. À partir du nom : x On obtient la proposition : x = 0. Cette proposition est toujours fausse si la variable x est un nombre réel. Par contre, si x est un nombre complexe, on ne peut pas savoir si cette proposition est vraie ou fausse. On peut aussi écrire la proposition : L ensemble des réels x tels que x = 0 est vide. Cette proposition est vraie. L expression permet d écrire différents noms d un même objet comme {x C x = 0} et L ensemble des complexes x tels que x = 0 dont une autre écriture est {i, i}. 1.2 Variables Certaines des expressions contiennent des variables. Une variable est une lettre, éventuellement affectée d indice(s), que l on utilise quand on veut parler d un objet appartenant à un certain ensemble (un domaine) sans lui attribuer une valeur particulière (on dira alors que la variable est astreinte à cet ensemble, ce domaine). 3

4 Considérons la proposition (E1) : n est pair. Dans cette proposition n est une variable astreinte à l ensemble des entiers naturels. La proposition (E1) donne une propriété de n. Nous pouvons dire que cette proposition parle de n mais nous ne pouvons pas déterminer si la proposition est vraie ou fausse par manque d informations sur n. la variable n est libre. Par contre si on attribue à n la valeur 3, on obtient une nouvelle proposition 3 est pair dans laquelle il n y a plus de variable et qui est une proposition fausse. La proposition (E2) : Pour tout n N si n est pair alors n 2 est pair. n énonce pas un fait à propos d un nombre n particulier mais une propriété (vraie) de l ensemble N des entiers naturels. La variable n est une variable muette. On énonce la même proposition en écrivant : Pour tout p N, si p est pair alors p 2 est pair. Autre exemple. Dans la proposition (E3) suivante où f est une fonction réelle définie sur R : (E3) : Il existe un nombre réel M tel que pour tout x R, f(x) M. la variable f est astreinte à l ensemble des fonctions réelles et c est une variable libre. La proposition (E3) donne une propriété de f. Nous pouvons dire que cette proposition parle de f mais nous ne pouvons pas déterminer si la proposition est vraie ou fausse par manque d informations sur f. (Si nous savions par ailleurs que f est majorée, nous pourrions dire que la proposition est vraie.) La proposition (E3) contient aussi deux autres variables, les variables M et x qui apparaissent chacune deux fois dans cette proposition (on dit que ces variables ont deux occurrences dans la proposition). Cette proposition ne donne pas une propriété de M ou de x, mais une propriété d une fonction réelle f. Les variables M et x sont muettes. Le nom de ces variables peut être changé sans que la proposition ne change. Par exemple, la proposition (E3) peut s écrire : (E3) : Il existe un nombre réel P tel que pour tout u R, f(u) P. Les expressions il existe et pour tout sont des expressions qui rendent muettes les variables. D autres expressions ainsi que certains symboles mathématiques, comme le signe d intégrale ou le symbole de sommation, ont pour effet de rendre une variable muette. Exemples : A1. A partir de l expression x 2 7 = 0 où la variable x est libre (elle est différente de l expression y 2 7 = 0 car elle ne concerne pas la même variable), on obtient une nouvelle expression : L équation x 2 7 = 0 d inconnue x Dans cette expression on peut remplacer x par une autre lettre sans changer sa signification, c est caractéristique d une variable muette. l équation y 2 7 = 0 d inconnue y est le même objet que l équation x 2 7 = 0 d inconnue x. A2. L expression x 2 7 = 0 permet aussi de construire l expression : { x R x 2 7 = 0 } Cette expression permet de nommer un objet mathématique : l ensemble des nombres vérifiant l égalité x 2 7 = 0. La variable x est muette dans cette expression. On a : { x R x 2 7 = 0 } = { y R y 2 7 = 0 } 4

5 A3. A partir de l expression e iθ, on forme : θ e iθ qui est une expression permettant de nommer une fonction. La variable θ est muette, elle peut être remplacée par une autre lettre sans changer la fonction ainsi définie. Le fait que dans chacune des phrases modifiées, on peut échanger le nom de la variable dans chacune des occurrences sans changer le sens de l expression est caractéristique d une variable muette. Une expression mathématique qui comprend une ou plusieurs variables libres est une expression dite ouverte, dans le cas contraire, on parlera d expression close ou fermée. 1 2 Valeurs de vérités et connecteurs logiques 2.1 Valeurs de vérité Les mathématiques s intéressent à la valeur de vérité, V rai ou F aux, des propositions. Dans ce cours, les propositions ne comportant aucune variable libre seront toujours soit vraies, soit fausses. C est ce que l on appelle le principe du tiers-exclu. Par contre, une proposition qui comporte des variables libres astreintes à un ensemble X est vraie si pour chacune des valeurs possible de la variable, la proposition obtenue est vraie. Dans le cas contraire, on ne peut pas répondre à la question Cette proposition est-elle vraie? La réponse dépend des objets désignés par les variables. Exemple 1. 5 est pair et pour tout entier naturel n, 2n + 1 est impair sont des propositions sans variable libre (la première n a pas de variable, la deuxième a une variable n muette). La première proposition est fausse, la seconde vraie. Exemple 2. n est pair et n est décimal sont des propositions qui comportent une variable libre n. Si cette variable n est astreinte à N, on ne peut pas dire si la première proposition est vraie ou fausse, cela dépendra de la valeur prise par la variable n. Par contre, quel que soit soit la valeur prise par n dans N, la proposition n est décimal est vraie, on peut dire que quand n est astreinte à N, la proposition n est décimal est vraie. Il existe différents procédés pour construire une nouvelle expression à partir d une ou plusieurs expressions. Les principaux utilisent le recours aux connecteurs logiques : et, ou, implication, équivalence, négation. Lorsque la nouvelle expression est formée à partir de propositions, on obtient une nouvelle proposition dont on peut déduire la valeur de vérité à partir des valeurs de vérité des propositions qui la composent. 1 La plupart des expressions mathématiques utilisées dans les écrits mathématiques (cours, exercices, raisonnements,...) ne se présentent pas sous une forme fermée. La plupart du temps, le sens des variables intervenant dans les expressions mathématiques a été précisé auparavant, par le contexte de la production de cet écrit ou au cours du raisonnement qui a précédé l expression. Il appartient au lecteur (et en particulier à l étudiant) d être vigilant lorsqu il rencontre une variable dans un énoncé : quelle est la nature de cette variable? connait-on de façon explicite, ou implicite, sa valeur ou le domaine dans lequel elle évolue? 5

6 2.2 La négation En mathématique, la négation est un connecteur noté non, il est unaire, car il s applique à une proposition P pour obtenir la proposition nonp. En vertu du principe du tiers-exclu, une seule des deux propositions nonp et P est vraie, et si l une est vraie, l autre est fausse. Si on connait la valeur de vérité de P (V rai ou F aux), on connait la valeur de vérité de nonp. La définition du connecteur non peut être écrite en langage mathématique en donnant le tableau de vérité de ce connecteur. Tableau de vérité de nonp : P vrai faux nonp faux vrai Exemple : A partir de la proposition : n 5 on peut former la proposition non (n 5) que l on reformulera probablement en n > 5 2 Remarque. Quelle que soit la propriété P, les propositions non(nonp) et P sont toutes les deux vraies ou bien (ou exclusif) toutes les deux fausses. Exemples : 5 est pair est une proposition fausse donc 5 n est pas pair est une proposition vraie. n 5 est une proposition à laquelle on ne peut pas attribuer de valeur de vérité, on ne peut donc pas attribuer de valeur de vérité à sa négation non (n 5) que l on a reformulé en n > 5. Par contre, on peut dire que n 5 et non(n > 5) ont la même valeur de vérité. 2.3 La conjonction Dans la langue française on appelle conjonction de coordination les mots suivants : mais, ou, et, donc, or, ni, car. En mathématique, seul et est un connecteur appelé conjonction, le connecteur ou est appelé disjonction. Les autres conjonctions du langage naturel ne sont pas des connecteurs mathématiques mais peuvent se retrouver dans la mise en forme d écrits mathématiques. Le connecteur et est un connecteur binaire (il permet de relier deux expressions pour en obtenir une troisième). A partir de l expression P et de l expression Q, on peut former une nouvelle expression : P et Q. 3 Soient P et Q deux propositions données. La valeur de vérité de la proposition P et Q dépend de la valeur de vérité de chacune de ces deux propositions. La proposition P et Q est vraie dans le seul cas où les propositions P et Q sont toutes les deux vraies. 2 Une des difficultés dans le maniement de la négation sera justement la reformulation de la négation de l énoncé permettant de progresser dans le raisonnement. 3 En langage symbolique on note la conjonction avec le symbole : P Q. 6

7 Le tableau de vérité de P et Q est donc le suivant : P Q P et Q vrai vrai vrai vrai faux faux faux vrai faux faux faux faux Le connecteur et est symétrique : l expression P et Q a le même sens que Q et P. Exemples : A partir des deux expressions suivantes : f est une fonction continue sur le domaine D ; le domaine D est un intervalle on peut former l expression : f est une fonction continue sur le domaine D et le domaine D est un intervalle que l on reformulera probablement en f est une fonction continue sur l intervalle D A partir des deux expressions suivantes : f est une fonction positive ; f est une fonction décroissante on peut former l expression : f est une fonction positive et f est une fonction décroissante. On peut également écrire cette expression sous la forme : f est une fonction positive et décroissante Le et dans l expression ci-dessus a la double fonction du et mathématique de conjonction et du et du langage courant permettant de lister les éléments d un ensemble (les propriétés de la fonction f) et permettant la mise en facteur d un élément (ici la fonction f). 4 Exemples : f est un fonction définie sur R +. La proposition : f est une fonction positive et f est une fonction décroissante où f est une variable libre n est ni vraie ni fausse. Si f est la fonction définie par x e x, la proposition f est une fonction positive et f est une fonction décroissante est fausse car la proposition f est une fonction décroissante n est pas vérifiée. Si f est la fonction définie par x 1 x, la proposition f est une fonction positive et f est une fonction décroissante est vraie car chacune des proposition f est une fonction positive et 4 C est le cas également dans l expression : f et g sont décroissantes. qui est la conjonction f est décroissante et g est décroissante. Mais ce n est pas le même et qui est en jeu dans l expression : x et y sont symétriques. où le et n est pas un connecteur mais sert à lier deux éléments auxquels s appliquent ici la propriété binaire être symétrique. Ce n est pas le même et non plus qui est en jeu dans l expression : Les solutions de l équation A(x) = 0 sont 1 et 2. où le et n est pas une conjonction mais sert à lister des éléments. Pour écrire les informations contenues dans cette expression à l aide de connecteurs il faut en utiliser au moins deux (essayez!). D autres et sont également présents dans la langue française mais ne relient pas des énoncés comme dans : Calculer la dérivée de f et en déduire le sens de variation de f. Le et de cette phrase indique une succession dans le temps et ne relie pas deux expression car Calculer la dérivée de f n est pas un écrit mathématique (même si la dérivée de f en est un) mais appartient au discours mathématique (cf.page 3). Donc, sans se montrer complètement rigide sur la rédaction d un écrit de mathématique, il faut rester vigilant sur ce que l on veut dire et ce que l on a réellement écrit. 7

8 f est une fonction décroissante est vraie. 2.4 La disjonction Comme le connecteur et, le connecteur ou est un connecteur binaire qui met en relation deux expressions. A partir de l expression P et de l expression Q, on peut former une nouvelle expression P ou Q 5. Ce connecteur est symétrique, l expression P ou Q a le même sens que Q ou P. Lorsque qu une proposition P ou Q est formée à partir de deux propositions, sa valeur de vérité dépend de la valeur de vérité de chacune de ces deux propositions. En particulier, on a que la proposition P ou Q est fausse dans le seul cas où les énoncés P et Q sont tous les deux faux (et donc elle est vraie dans les trois cas où l un au moins des deux énoncés P et Q est vrai) 6. Le tableau de vérité de P ou Q est donc le suivant : P Q P ou Q vrai vrai vrai vrai faux vrai faux vrai vrai faux faux faux Remarque. Le ou des mathématiques n est pas le ou exclusif du langage courant (comme dans l expression fromage ou dessert des menus de restaurant) mais le ou inclusif qui autorise les deux propriétés P et Q à être vraies en même temps. Exemples : A partir des deux expressions suivantes où n est un entier naturel : n est pair ; n 2 est inférieur à 10 on peut former l expression : n est pair ou n 2 est inférieur à 10 A partir des deux expressions suivantes où n est un entier naturel : n est pair ; n est un multiple de 3 on peut former l expression : n est pair ou n est multiple de 3. On peut également écrire cette expression sous la forme : n est un entier pair ou multiple de 3. Exemples : Pour n un entier positif, à partir des propositions P : n est impair, Q : n(n + 1)(n + 2) est multiple de 4 et R : n est pair on peut écrire les propositions : A = P ou Q : n est impair, ou n(n + 1)(n + 2) est multiple de 4. 5 En langage symbolique on note la disjonction avec le symbole : P Q. 6 Connaître la valeur de vérité de la proposition P et Q ou de la proposition P ou Q ne nous renseigne pas (en général) sur la valeur de vérité de P et de Q (il est par exemple clair que la proposition P ou nonp est toujours vraie, cela ne nous indique pas lequel entre les deux énoncés P et nonp est vrai. De même, la proposition P et nonp est toujours fausse, cela ne nous indique pas lequel entre les deux énoncés P et nonp est faux). 8

9 B = R ou Q : n est pair, ou n(n + 1)(n + 2) est multiple de 4. Pour la valeur 3, la proposition A est vraie car les deux propositions P et Q sont vérifiées, la proposition B est vraie car une des deux propositions est vérifiée. Pour la valeur 5, la proposition A est vraie car une des deux propositions, P, est vérifiée est vraie mais la proposition B est fausse car ni R ni Q ne sont vraies. Exercice : 1. Lois de De Morgan Soient P et Q deux propositions. A l aide d un tableau de vérité, montrer que : non(p ou Q) est logiquement équivalent 7 à non(p) et non(q) non(p et Q) est logiquement équivalent à non(p) ou non(q) 2. Distributivité de ou par rapport à et Soient P, Q et R trois propositions. Montrer que : P ou (Q et R) est logiquement équivalent à (P ou Q) et (P ou R) 3. Distributivité de et par rapport à ou Soient P, Q et R trois propositions. Montrer que : P et (Q ou R) est logiquement équivalent à (P et Q) ou (P et R) 2.5 L implication A partir de deux propositions, P et Q, et du connecteur d implication on peut former une nouvelle proposition P implique Q ou encore Si P alors Q 8 que l on peut noter avec le symbole : P Q. Ce connecteur indique une relation de causalité entre les propositions P et Q. La proposition P Q exprime que si P est vraie alors nécessairement Q est vraie, c est à dire, il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie. Ou encore, Q est nécessaire à P. La proposition P Q est donc fausse dans le cas où la proposition P est vraie et la proposition Q est fausse. Dans tous les autres cas, la proposition P Q est vraie 9. Remarque : L implication n est pas un connecteur symétrique, P Q peut être une proposition vraie sans que Q P le soit. Tableau de vérité de P Q : P Q P Q vrai vrai vrai vrai faux faux faux vrai vrai faux faux vrai 7 Deux propositions sont logiquement équivalentes si ces deux propositions sont en même temps vraies, en même temps fausses, quelles que soient les circonstances. On dit alors que les propositions sont équivalentes. 8 Remarque : Lorsqu on utilise un si... alors... en langage naturel, il y a souvent une notion de temporalité Si tu fais ceci (d abord) alors il se passera cela (au vu de la réalisation). Ce n est absolument pas le cas en mathématique où la temporalité n intervient pas dans une proposition. 9 En particulier lorsque P est fausse, que Q soit vraie ou non, la proposition P Q sera vraie. 9

10 Exemple : R est un quadrilatère du plan. A partir de propositions : R est un carré ; R est un rectangle ; R a cinq sommets on peut former les propositions suivantes : A : si R est un carré alors R est un rectangle B : si R est un rectangle alors R est un carré C : si R a cinq sommets alors R est un rectangle La proposition A est vraie car dès que R est un carré il est un rectangle, on ne peut pas trouver de R qui réalise la deuxième ligne du tableau de vérité. Remarque, si R n est pas un carré, il peut être ou pas un rectangle, il n y a pas de contradiction entre ne pas être un carré et être un rectangle ou pas. La proposition B est fausse car on peut trouver un R qui est un rectangle sans être un carré. Ce R réaliserait la deuxième ligne du tableau de vérité (ce qui n empêche pas d autres R de réaliser la première ligne du tableau). Aussi perturbant que cela puisse paraître, lorsque la figure R est un quadrilatère du plan, la proposition : Si R a cinq sommets alors R est un rectangle est une proposition vraie. En effet, la proposition R a cinq sommets n étant jamais vraie pour les quadrilatères, la proposition Si R a cinq sommets alors R est un rectangle ne peut pas être mise en défaut, on dit qu elle n a pas de contre-exemple, elle est donc vraie. On a vu que la proposition P Q est fausse seulement dans le cas où la proposition P est vraie et la proposition Q est fausse. On peut donc dire que P Q est la négation de P et non Q 10. La proposition P Q est logiquement équivalente à non(p et nonq). Comme, non(p et nonq) est logiquement équivalente à non(p ) ou non(nonq). Donc P Q est logiquement équivalente à nonp ou Q. Par exemple, la proposition si R est un carré alors R est un rectangle est équivalente à R n est pas un carré ou R est un rectangle. 2.6 L équivalence L équivalence est également un connecteur binaire symétrique. La proposition P Q est la conjonction de deux implications : (P Q ) et (Q P). P Q se lit P équivaut à Q ou encore P si et seulement si Q. La proposition P Q est vraie dans deux cas : lorsque les propositions P et Q sont toutes les deux vraies mais aussi lorsque les propositions P et Q sont toutes les deux fausses. 10 La négation de la proposition C : si R a cinq sommets alors R est un rectangle est la proposition R a cinq sommets et R n est pas un rectangle qui est une proposition toujours fausse dans l ensemble des rectangles. Si la négation de C est fausse, c est que C est vraie. 10

11 Tableau de vérité de P Q : P Q P Q vrai vrai vrai vrai faux faux faux vrai faux faux faux vrai En particulier on a : non(a et B) (nona ou nonb) non(a ou B) (nona et nonb) non(a B) (A et nonb) Cette dernière équivalence est particulièrement utile pour démontrer qu une proposition est fausse en montrant que sa négation est vraie. Exercice : Justifiez à l aide de tableaux de vérité que les trois équivalences ci-dessus sont vraies. Exemple : Pour u et v des réels on a (uv = 0 (u = 0 ou v = 0)) (uv 0 (u 0 et v 0)) Récapitulatif pour les couples de propositions P et Q : Tableau de vérité P Q P et Q P ou Q P Q Q P P Q vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux faux vrai faux vrai faux faux vrai faux vrai vrai faux faux faux faux faux faux vrai vrai vrai 2.7 Remarque : la contraposée On appelle contraposée de P Q la proposition nonq nonp La proposition P Q et sa contraposée nonq nonp sont équivalentes, c est à dire qu elles ont les mêmes valeurs de vérité. En effet, P Q est équivalente à nonp ou Q qui peut aussi s écrire Q ou nonp, ou même non(nonq) ou nonp, et ce dernier est équivalent à nonq nonp. On peut exprimer ce raisonnement en utilisant le tableau de verité suivant : P Q P Q nonq nonp nonq nonp vrai vrai vrai faux faux vrai vrai faux faux vrai faux faux faux vrai vrai faux vrai vrai faux faux vrai vrai vrai vrai Exemple : pour montrer que pour n dans N, n 2 est pair n est pair, il suffit de montrer que n n est pas pair n 2 n est pas pair ou, autrement dit, n est impair n 2 est impair (ce que l on peut facilement montrer en utilisant la caractérisation des nombres impairs : il existe k N tel que n = 2k + 1, voir 5.5.2, exemple 11). 11

12 3 Quantificateurs On a vu au paragraphe 1.2 qu à partir d une proposition contenant une variable libre on pouvait obtenir une nouvelle proposition à l aide d expressions de quantifications : pour tout, quel que soit, pour au moins un, il existe... tel que (sous entendu il existe au moins un... tel que ). 3.1 Quantificateur universel Si P (x) est une proposition contenant la variable x, et E l ensemble dans lequel x prend ses valeurs, on pourra écrire la proposition universelle Pour tout x dans E, P (x) à l aide du quantificateur universel : x E, P (x) On dira que la proposition pour tout x dans E, P (x) est vraie lorsque pour tous les éléments e de E, les propositions P (e) sont vraies. Exemple, si E = {a 1, a 2,..., a n } alors x E, P (x) est vraie si et seulement si P (a 1 ) et P (a 2 ) et... et P (a n ) est vraie. Une proposition universelle correspond à la conjonction de propositions, toutes les propositions formées à partir des éléments de E doivent être vraies. 3.2 Quantificateur existentiel Si P (x) est une proposition contenant la variable x, et E l ensemble dans lequel x prend ses valeurs, on pourra écrire la proposition existentielle il existe x dans E tel que P (x) (synonyme de Pour au moins un x de E, P (x) ) que l on note à l aide du quantificateur existentiel : x E, P (x) On dira que la proposition il existe x dans E tel que P (x) est vraie lorsque pour au moins un élément e de E la proposition P (e) est vraie. Exemples. Si E = {a 1, a 2,..., a n } alors x E, P (x) est vrai si et seulement si P (a 1 ) ou P (a 2 ) ou... ou P (a n ) est vraie. Une proposition existentielle correspond à la disjonction de propositions, une des propositions formées à partir des éléments de E doit être vraie. x R, x = 0 est fausse mais x C, x = 0 est vraie car la proposition i 3 C, (i 3) = 0 est vraie. (On aurait pu utiliser la proposition i 3 C, ( i 3) = 0 pour justifier que x C, x = 0 est vraie). Existence et unicité Exemple. La proposition E suivante Sur l intervalle I l équation f(x) = 0 a une unique solution s écrit aussi! x I, f(x) = 0! n est pas un quantificateur mais une façon d écrire la conjonction de deux propositions : l équation f(x) = 0 a une solution sur I 12

13 et une solution est unique (si elle existe la solution est unique) On peut exprimer cette dernière proposition sous la forme : si deux nombres sont solutions alors ils sont égaux, ce qui conduit à une reformulation de la proposition : x I, f(x) = 0 et ( y I, z I, (f(y) = 0 et f(z) = 0) y = z ) En pratique, on utilise le symbole! sauf lorsqu on a besoin d écrire la négation de la proposition. 3.3 Quantificateurs et négation Quel que soit la proposition P (x) dépendant de la variable x qui prend ses valeurs dans l ensemble E : non ( x E, P(x )) est équivalente à ( x E, nonp(x )). Dire qu il n est pas vrai qu une proposition est vraie pour tous les éléments d un ensemble E, c est dire qu il existe un élément dans E pour lequel cette proposition P est fausse, c est-à-dire qu il existe x tel que nonp (x) est vraie. Exemples. Soit f une fonction définie sur R. 1. La négation de ( x R, f(x) > 0) est ( x R, f(x) 0) 2. La négation de ( x 0, f(x) > 0) est ( x 0, f(x) 0) non( x E, P(x)) est équivalent à ( x E, nonp(x )). Dire qu il n est pas vrai qu une proposition est vraie pour au moins un élément de E, c est dire qu il n y a pas d élément pour lequel la proposition est vraie. La proposition n est vraie pour aucun élément. Cette proposition est donc fausse pour tous les éléments de E, c est-à-dire, pour tout x, nonp (x) est vraie. Exemples. Soit f une fonction définie sur R. 1. La négation de ( x R, f(x) = 0) est ( x R, f(x) 0) 2. La négation de ( x < 0, f(x) 12) est ( x < 0, f(x) > 12) Attention, la négation d une proposition qui comporte le symbole! est délicate car ce symbole est une façon d écrire la conjonction de deux propositions. Comme on a : (! x E, P (x)) ( x E, P (x)) et ( x E, y E, P (x)) et P (y) x = y) En passant à la négation, on obtient : 13

14 non(! x E, P(x )) ( x E, nonp(x )) ou ( x E, y E, P(x ) et P(y) et x y). Exemple. Soit f une fonction définie sur R. La négation de (! x R, f(x) = 0) est : x R, f(x) 0 ou x R, y R, f(x) = 0 et f(y) = 0 et x y. 4 Différents types de raisonnements Nous disposons de plusieurs techniques pour démontrer qu une proposition est vraie ou qu une proposition est fausse. La technique choisie dépend du type de propriété rencontrée. 4.1 Démontrer une proposition universelle Une proposition universelle est de la forme : Pour tout x dans E, on a P (x) ou encore x E, P (x). Pour démontrer que cette proposition est vraie il faut prouver que quel que soit l élément x de E que l on considère, il vérifie la propriété P (x). On va donc prendre un élément x qui a comme seule contrainte d être dans E. La démonstration commencera donc la plupart du temps par Soit x E... Exemple 1. Montrer que le successeur du carré d un nombre impair n est pas divisible par 4. On peut reformuler cette proposition sous la forme : Tout nombre entier n impair vérifie n n est pas divisible par 4. Si on note E l ensemble des nombres impairs, E = {n N, k N, n = 2k + 1}, on peut reformuler la proposition sous la forme : Démonstration. n E, p N, n p Soit n E. Il existe k N tel que n = 2k + 1. Alors n 2 = (2k + 1) 2 = 4k k + 1. Donc n 2 = 4(k 2 + k) + 1 = 4t + 1 où t N et n = 4t + 2. Or m N, 4m 4t + 2 donc n n est pas divisible par 4. 14

15 Exemple 2. On peut procéder par propositions équivalentes. Montrons que x R, x x On peut transformer la proposition x x en une proposition équivalente x x 0 et reconnaître le carré (x 1) 2 qui est toujours positif. Démonstration. x R, (x 1) 2 0 x R, x 2 2x car (x 1) 2 = x 2 2x + 1 x R, x x Exemple 3. Exercice : Montrer l inégalité de Cauchy : a R +, b R +, ab a + b 2 A-ton : a R, b R, ab a + b 2? Pour montrer qu une proposition universelle est fausse, il suffit de montrer que sa négation est vraie. Sa négation est une proposition existentielle, il suffit de trouver un élément x qui rende vraie cette négation, x est un contre-exemple à la proposition de départ. 4.2 Démontrer une proposition existentielle Une proposition existentielle est de la forme Il existe un x dans E, tel que P (x) c està-dire Pour au moins un x dans E, on a P (x) que l on peut noter x E, P (x). Pour démontrer que cette proposition est vraie il faut, soit trouver explicitement un élément a de E qui vérifie la propriété P, donc pour lequel P (a) est vrai (ce qui n est pas toujours facile), soit recourir à d autres propositions pour établir l existence d au moins un a tel que P (a) soit vrai. Exemple 4. Recours à une solution explicite. Montrons que x R, x x est une proposition fausse. Sa négation est la proposition existentielle : x R, x < 3x Démonstration. x R, x x est fausse si et seulement si x R, x < 3x est une proposition vraie. Or pour x = 1 on a = 2 et 3 1 = 3, l inégalité x < 3x est réalisée Donc x R, x < 3x est vraie. Et donc x R, x x est fausse. 15

16 Exemple 5. Recours à un théorème d existence. Montrons que l équation 3x 3 7x 2 3x + 4 = 0 d inconnue x a des solutions réelles. Démonstration. La fonction définie sur R par x 3x 3 7x 2 3x + 4 est continue sur R. Or f(4) = = 4 qui est strictement positif et x = 0 et f( 1) = = 3 qui est strictement négatif. Donc f( 1) < 0 < f(4). D après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel a appartenant à l intervalle [ 1; 0] tel que f(a) = 3a 3 7a 2 3a + 4 = 0. L équation 3x 3 7x 2 3x + 4 = 0 a donc au moins une solution réelle. Lorsqu il est difficile de déterminer directement un élément qui vérifie la propriété P, ou d utiliser un théorème d existence, on peut rechercher une ou des propriétés Q vérifiées par une solution potentielle. On cherche ensuite les solutions satisfaisant Q, puis on vérifie si certaines de ces solutions sont des solutions de P. Exemple 6. Montrons qu il existe un réel positif x tel que x = x + 6, c est-à-dire Démonstration. x R +, x = x + 6 Comme x = x + 6 x 6 = x, et x 6 = x (x 6) 2 = ( x) 2, on a ( x R +, x = x + 6) ( x R +, x 2 13x + 36 = 0 ). Les solutions de l équation x = x + 6 sont à chercher parmi les solutions positives de x 2 13x + 36 = 0. Or x 2 13x + 36 = 0 est une équation du second degré de discriminant positif. Ses solutions sont 4 et 9. Donc, si le réel positif x vérifie l équation x = x + 6 alors (x = 4 ou x = 9). (Attention, (x = 4 ou x = 9) est une condition nécessaire, mais pas forcément suffisante.) On teste les valeurs 4 et 9. Le nombre 4 ne vérifie pas l équation x = x + 6 mais le nombre 9 la vérifie. On a trouvé une valeur pour laquelle x = x+6, la proposition x R +, x = x+6 est donc vraie. On a prouvé l existence mais aussi l unicité de la solution de l équation. Cette démarche se généralise dans le raisonnements par Analyse-Synthèse où l on détermine un ensemble auquel appartient les solutions du problème (Analyse) puis on vérifie que tous les éléments de cet ensemble sont solutions. 16

17 Exercice 7. On cherche les fonctions dérivables de R dans R vérifiant : (x, y) R 2, f(x + y) = f(x) + f(y) 1. Montrer que si f est solution du problème alors pour tout y dans R f (y) = f (0). A quel ensemble de fonctions appartiennent les fonctions f solution? 2. Montrer que seules les fonctions de cet ensemble sont solutions. 4.3 Démontrer une implication Une implication est une proposition universelle de la forme x E, A(x) B(x). Lorsqu il n y a pas d ambiguïté sur l ensemble dans lequel varie la variable x, il se peut que la proposition soit écrite sous la forme A(x) B(x). Remarque, si P (x) est une proposition dépendant de la variable x d un ensemble F contenant E, la proposition ( x E, P (x)) est l implication ( x F, x E P (x)). A. Démonstration directe d une implication Pour démontrer que x E, A(x) B(x), il faut montrer que pour chaque élément a de E, la proposition (A(a) B(a)) est vraie. Si A(a) n est pas vraie, on a vu (cf remarque 9 page 9) que l implication (A(a) B(a)) est vraie (que B(a) soit vraie ou fausse), il reste donc à vérifier que quand A(a) est vraie, B(a) est vraie également. Exemple 8. Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle réel I et à valeur dans R. Montrer que si f et g sont croissante sur I alors la fonction fg est décroissante sur I. On veut montrer que si f et g sont croissante sur I alors : x I, x I, x x f(x)g(x) f(x )g(x ) Démonstration. Soient x et x dans I tels que x x, comme f et g sont croissantes alors f(x) f(x ) et g(x) g(x ). De plus f et g sont à valeur dans R, donc f(x) f(x ) 0 et g(x) g(x ) 0. Donc, en multipliant les deux premières inégalités par le nombre négatif g(x) et les deux dernières inégalités par le nombre négatifs f(x ) on obtient : f(x)g(x) f(x )g(x) 0 et f(x )g(x) f(x )g(x ) 0. D où f(x)g(x) f(x )g(x ) 0. On peut donc conclure que fg est décroissante sur I (et à valeur dans R + ). 17

18 B. Démonstration par contraposée d une implication Nous avons vu (cf. 2.7 Contraposée) que la proposition x E, A(x) B(x) et sa contraposée x E, nonb(x) nona(x) sont des propositions équivalentes. Donc, pour démontrer qu une implication est vraie, il suffit de montrer que sa contraposée est vraie (ce qui peut, parfois, être plus facile à démontrer). Exemple 9. Montrer que si x est un réel qui vérifie ( ɛ > 0, x ɛ) alors x 0. On veut montrer que : x R, ( ɛ > 0, x ɛ) x 0 Démonstration. La contraposée de [ x R, ( ɛ > 0, x ɛ) x 0 ] est [ x R, x > 0 ( ɛ > 0, x > ɛ) ] Soit x un réel. Si x > 0 on peut poser ɛ = x 2. On a trouvé un ɛ > 0 tel que x > ɛ. La contraposée [ x R, x > 0 ( ɛ > 0, x > ɛ) ] est vérifiée donc la proposition x R, ( ɛ > 0, x ɛ) x 0 est vraie. C. Démonstration par disjonction des cas Pour démontrer que x E, A(x) B(x) ou que x E, P (x), il peut être plus simple d envisager différents cas qui recouvrent toutes les situations des éléments de E. Par exemple, pour E = R, comme x R (x < 0 ou x = 0 ou x > 0), il peut être intéressant de raisonner sur chacun des trois cas possibles pour démontrer une propriété. Exemple 10. Montrer que pour tout nombre réel x, on a l inégalité Démonstration. Soit x un nombre réel. Premier cas : supposons x 2. x 2 < x 2 2x + 3. On a x 2 = x 2 et dans ce cas x 2 2x + 3 x 2 = x 2 3x + 5 Or x 2 3x + 5 = (x 3 2 ) > 0 donc 0 < x2 2x + 3 x 2. Par conséquent, x 2 < x 2 2x + 3. Second cas : supposons x < 2. On a x 2 = x + 2 et x 2 2x + 3 x 2 = x 2 x + 1 Or x 2 x + 1 = (x 1 2 ) > 0 donc 0 < x2 2x + 3 x 2. Par conséquent, x 2 < x 2 2x + 3. Nous avons montré que pour tout nombre réel x, on a l inégalité x 2 < x 2 2x

19 D. Démonstration par récurrence Ce type de démonstration sera traité au chapitre 3 Utilisation de l ensemble des entiers naturels. 4.4 Démontrer par l absurde Pour démontrer une propriété A (existentielle ou universelle) par l absurde, on va utiliser le principe du tiers-exclu et montrer que non(a) ne peut pas être vraie donc A sera vraie. Pour montrer que non(a) ne peut pas être vraie, on va supposer que non(a) est vraie et montrer qu alors on obtient un résultat qui est en contradiction avec non(a). Exemple 11. Montrer que le produit d un irrationnel par un rationnel non nul est toujours un irrationnel. On peut reformuler cet énoncé sous la forme : x R\Q, y Q, xy R\Q On va montrer que xy ne peut pas être un nombre rationnel. Rappel y est un nombre rationnel n Z et p Z, y = n p. Démonstration. Soit x R\Q et y Q. Alors, n Z et p Z, y = n p. Supposons que xy soit un rationnel, alors a Z et b Z, xy = a b. Or y = n p, donc xy = x n p = a b. Et donc x = a b p ap, c est à dire x = n bn. Or ap bn Q. Donc x Q. Impossible car x R\Q. Si on suppose que xy est rationnel, on obtient une contradiction donc xy n est pas un rationnel. On a montré que le produit d un irrationnel par un rationnel non nul est toujours un irrationnel. 4.5 Démontrer une équivalence Pour démontrer une équivalence, on peut : Faire un raisonnement par équivalence. A chaque étape du raisonnement, les propositions écrites sont équivalentes. Exemple 12. En reprenant l énoncé de l exemple 5. 19

20 Montrons qu il existe un réel positif x tel que x = x + 6. x = x + 6 x 6 = x et x 6 0 (car x est positif) (x 6) 2 = ( x) 2 et x 6 (pour conserver l équivalence, il faut écarter le cas où x 6 = x) x 2 13x + 36 = 0 et x 6 (x = 4 ou x = 9) et x 6 x = 9 On a montré, non seulement qu il existe un réel positif x tel que x = x+6, mais également que ce réel est unique et qu il est égal à Démontrer en utilisant deux implications. P Q est équivalent à (P Q et Q P ). Pour montrer que P Q est vraie, on peut donc montrer deux implications : - P Q et Q P. - P Q et nonp nonq (car nonp nonq est la contraposée de Q P ) - Q P et nonq nonp (car nonq nonp est la contraposée de P Q) Exemple 13. Montrons que Pour tout n N, n 2 est impair si et seulement si n est impair. n N, n 2 impair n impair On va montrer ( n N, n impair n 2 impair) et on va montrer ( n N, n 2 impair n impair) en montrant que sa contraposée ( n N, n pair n 2 pair) est vraie. Démonstration. Montrons que n N, n impair n 2 Si n est impair alors p N, n = 2p + 1. impair. On a n 2 = (2p + 1) 2 = 4p 2 + 4p + 1 = 2(2p 2 + 2p) + 1 Donc k = 2p 2 + 2p N tel que n 2 = 2k + 1. Donc n 2 est impair. Montrons que n N, n pair n 2 Si n est pair alors p N, n = 2p. On a n 2 = (2p) 2 = 4p 2 = 2(2p 2 ) Donc k = 2p 2 N tel que n 2 = 2k. pair. Donc n 2 est pair. On a donc montré que n N, n 2 est impair n est impair. 20

21 5 Exercices 5.1 Connecteurs logiques et quantificateurs. Exercice 1 On considère les expressions suivantes : A : Pour au moins un réel y l équation x 3 xy = 3b d inconnue x a une solution. B : {b R b 2 + y = 0} C : Si x est un nombre réel, le plus grand des nombres x et x s appelle la valeur absolue de x. D : x e (yt + b) dt x 1. Pour chacune de ces expressions, indiquer s il s agit d un nom, d une définition ou d une proposition. 2. Pour chacune de ces expressions, dire si les variables x, y et b sont libres ou muettes. Justifier. 3. Donner une nouvelle expression des quatre expressions en remplaçant l occurrence de chacune des variables muettes par une nouvelle variable. Exercice 2 Indiquer les connecteurs logiques implicites ou explicites dans les propositions suivantes en précisant les et et les ou qui ne sont pas des connecteurs logiques. Puis réécrire chacune des phrases en faisant apparaître explicitement les quantificateurs et les connecteurs logiques. - Les droites A et B sont perpendiculaires. - Les ensembles A et B sont non vides et disjoints. - Les parties A et B de E sont cofinies , 3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3 ou inférieurs à 10. (Cette proposition est ambiguë, pourquoi?) - Les nombres non divisibles par 5 sont ceux dont le chiffre des unités n est ni 0 ni 5. - Les solutions de l équation(x 1)(x 3) = 0 sont 1 et difficile de décider lorsqu on ne connait pas la définition du mot cofinie qui n est d ailleurs pas du programme de licence! 21

22 Exercice 3 Soit L l ensemble des langues vivantes enseignées dans un établissement scolaire déterminé. Soit E l ensemble des élèves de cet établissement. Si l élève x étudie la langue l, on note : x φ l. Dire ce que signifient les propositions suivantes : a) x E l L x φ l b) x E l L x φ l c) x E l L x φ l d) x E l L x φ l e) l L x E x φ l f) l L x E x φ l g) l L x E x φ l h) l L x E x φ l Traduisez en language mathématiques les phrases suivantes: - Tous les élèves étudient au moins deux langues. - Mathieu étudie toutes les langues. - Tous les élèves étudient l anglais. Exercice 4 Parmi ces propositions, préciser celles qui sont vraies et celles qui sont fausses. 1. n N, p N, n p. 2. n N, p N, n p. 3. n N, p N, n p. 4. n N, p N, n p. Exercice 5 Soient A[x] et B[x] deux énoncés qui dépendent d une variable libre notée x. On forme deux nouvelles propositions à l aide d un connecteur et de quantificateurs. Les deux nouvelles propositions obtenues sont-elles équivalentes? a. x (A[x] et B[x]) et x A[x] et x B[x] b. x (A[x] ou B[x]) et x A[x] ou x B[x] c. x (A[x] et B[x]) et x A[x] et x B[x] d. x (A[x] ou B[x]) et x A[x] ou x B[x] 22

23 5.2 Implication, contraposée. Exercice 6 1. On considère les propositions suivantes : A : m et n sont des entiers pairs B : m + n est un entier pair La proposition A est-elle : - une condition nécessaire pour que l on ait B? - une condition suffisante pour que l on ait B? - une condition nécessaire et suffisante pour que l on ait B? 2. Même question avec les propositions : A : n + 2n = 4 B : n = 2 Exercice 7 A et B sont des propositions qui permettent de former les deux propositions suivantes : (E1) : A B et (E2) : B A Pour chacun des propositions ci-dessous, indiquez à laquelle des propositions E1 ou E2 l énoncé est équivalent. (a) Pour que A il faut que B. (b) A est une condition nécessaire pour B. (c) Si A alors B. (d) A seulement si B. (e) A dès que B. (f) Toujours A quand B. (g) Pour que A il suffit B. Exercice 8 u et v désignent deux nombres réels. On donne cinq propositions numérotées de 1 à 5. 1) u 2 = v 2 2) u = v 3) u = v ou u = v 4) u = v et u = v 5) u = 0 et v = 0 (Nota bene : L implication 1 2 signifie u 2 = v 2 implique u = v ) (a) Quelles sont les implications vraies du type 1...? 23

24 (b) Quelles sont les implications vraies du type... 1? (c) Quelles sont les propositions équivalentes? Exercice 9 Reformuler les énoncés suivants en faisant apparaître la quantification de façon explicite : a) Les réels négatifs sont solutions de l inéquation 2x 1 0. b) On peut trouver un réel négatif qui est solution de l inéquation 2x 1 0. c) Deux réels non nuls et leurs inverses sont rangés dans l ordre contraire. d) Les solutions de l inéquation (x 2)(x 5) 0 sont les éléments de l intervalle [2; 5]. d) Une solution de l inéquation (x 2)(x 5) 0 est un élément de l intervalle [2; 5]. e) Lorsque a et c sont de signes contraires, l équation a(x b) 2 + c = 0 admet deux solutions. Exercice 10 Dans les propositions suivantes, f désigne une fonction de R dans R. A. Indiquer parmi les propositions suivantes celles qui sont équivalentes : 1) La fonction f s annule sur R. 2) La fonction f n est pas la fonction nulle. 3) La fonction f n est pas de signe constant sur R. 4) La fonction f est strictement positive sur R. 5) x R, f(x) > 0. 6) x R, f(x) 0. 7) x R, f(x) 0. 8) x R, f(x) = 0. 9) x R, y R, f(x)f(y) > 0. 10) x R, y R, f(x)f(y) < 0. 11) x R, y R, f(x)f(y) < 0. 12) x R, y R, f(x)f(y) > 0. B. À quelle propriété de f correspondent les propositions orphelines? 24

25 Exercice Comment interpréteriez-vous l écriture A B C? 2. Montrer que les propositions ((A B) C) et (A (B C)) sont logiquement équivalentes. 3. Les propositions de la question 2. sont-elles équivalentes à la proposition : ((A B) et (B C)) Exercice 12 Dans les propositions suivantes, f désigne une fonction de R dans R. Pour chacune des propositions suivantes, donner une proposition équivalente en utilisant seulement les quantificateurs, les connecteurs, des variables et les symboles d inégalité large ou stricte. 1) La fonction f est croissante sur l intervalle I. 2) La fonction f n est pas croissante sur l intervalle I. 3) La fonction f est strictement décroissante sur l intervalle I. 4) La fonction f admet un maximum sur I. 5) La fonction f est bornée sur l intervalle I. Exercice 13 Parmi les propositions suivantes, indiquer celle qui correspondent à une implication et indiquer leur contraposée. a. Les réels qui sont positifs sont les valeurs absolues d un réel. b. Si x > 0 et y > 0 alors ln(xy) = ln x + ln y c. Si x > 0 et y > 0 alors f(x) < f(y) dès que g(x) < g(y) d. La solution de l équation ax 2 +x+2 = 0 d inconnue x est unique seulement si g(a) = 0. Reformuler les énoncés ci-dessus en langage symbolique. Exercice 14 On note P la proposition : La courbe C d équation y = e 2+3 ln x a pour tangente à C au point d abscisse e la droite D d équation y = e 4 x + e Compléter la proposition E suivante : Si T est la tangente à C au point d abscisse e alors T passe par le point (... ;...). 2. Ecrire la contraposée de E 3. La proposition P est-elle vraie? (Justifier). 25

26 Exercice 15 f est une fonction numérique définie sur R telle que On note C f la courbe de f. a R, b R, x R, f(x) = ax 3 + bx 2 + c. 1. Ecrire la contraposée de la proposition H suivante : S il existe deux points distincts de C f ayant une tangente horizontale alors b Démontrer que H est vraie. 3. T est la proposition : Il existe deux points distincts de C f si b 0. T est-elle vraie? (Justifier). ayant une tangente horizontale si et seulement 5.3 Négation. Exercice 16 Donner la négation des propositions suivantes, et dire si elles sont vraies ou fausses. 1. x R, y R, xy = y. 2. y R, x R, xy = y. 3. x R, y R, x + y = y R, x R, x + y = 0. Exercice 17 On considère la phrase P : Tous les élèves ont un téléphone portable. Parmi les phrases N1, N2, N3, N4, N5 lesquelles sont la négation au sens mathématique de cette phrase P? N1 : Tous les élèves n ont pas un téléphone portable. N2 : Tous les élèves n ont pas de téléphone portable. N3 : Certains élèves n ont pas de téléphone portable. N4 : Certains élèves ont un téléphone portable. N5 : Aucun élève n a un téléphone portable. Pourriez-vous proposer une meilleure formulation (moins ambiguë) de la négation de P? 26

27 Exercice 18 Expliciter la négation des propositions suivantes où f est une fonction définie sur R, n est un entier relatif et x, y et z sont des réels. 1. n Z, n 2 + n + 1 > x < 0, x 2 < x > 0 ou y > x = y = z 5. x > y > z 6. x + 2y + z = 0 et (x < z ou y < z). 7. x R, (x 2 1 > 0 et x 0) f(x) < 0. Énoncer la contraposée de la proposition Formulation. Exercice 19 Voici une phrase P extraite d un raisonnement à propos de deux nombres réels a et b : P : a > 0, donc b > 0 Parmi les phrases suivantes quelles sont celles qui veulent dire exactement la même chose que la phrase P? Phrase A : a > 0 car b > 0. Phrase B : b > 0 parce que a > 0. Phrase C : Si a > 0 alors b > 0. Phrase D : Puisque a > 0, on a aussi b > 0. Phrase E : Comme b > 0, on en déduit que a > 0. Phrase F : b > 0 dès que a > 0 Expliquez pourquoi les propositions non retenues ne conviennent pas. Exercice 20 Voici une phrase Q extraite d un raisonnement à propos de deux nombres réels a et b : Q : x > 1, f(x) < 0. Parmi les phrases suivantes quelles sont celles qui veulent dire exactement la même chose que la phrase Q? Phrase A : f(x) est négatif dès que x > 1. Phrase B : x > 1 car f(x) < 0. Phrase C : x > 1 donc f(x) < 0. Phrase D : Pour tout x 1 on a f(x) 0. Phrase E : Pour que f(x) < 0, il faut que x > 1. Phrase F : Pour que f(x) < 0, il suffit que x > 1. Phrase G : Pour tout y > 1, on a f(y) < 0. Phrase H : Si x > 1 alors f(x) < 0. Expliquez pourquoi les propositions non retenues ne conviennent pas. 27

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