MATHÉMATIQUES II. Rappels, notations et objectifs du problème

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1 MATHÉMATIQUES II Rappels, notations et objectifs du problème Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et M n ( IC ) l ensemble des matrices carrées complexes d ordre n De plus : M n désigne l ensemble des matrices carrées réelles d ordre n ; si A M n ( IC ), on note A i, j le terme de A situé sur la ligne i et la colonne j ; pour ( α, β) IR 2, M( α, β) est la matrice α β ; β α si ( α 1,, α p ) et ( β 1,, β p ) sont dans IR p, on désigne par diag ( M( α 1, β 1 ), M( α 2, β 2 ),, M( α p, β p )) la matrice de M 2 p définie par blocs carrés d ordre 2 dont les seuls blocs éventuellement non nuls sont les blocs diagonaux M( α 1, β 1 ), M( α 2, β 2 ),, M( α p, β p ) ; I n est la matrice unité diag( 1,, 1) élément de M n ; On rappelle les trois types d opérations élémentaires sur les lignes d une matrice et leur codage : opérations codage échange des lignes i et j L i L j multiplication de la ligne i par α 0 L i αl i ajout de la ligne j, multipliée par le scalaire λ, à la ligne i ( i j) L i L i + λl j On définit de même trois types d opérations élémentaires sur les colonnes d une matrice Si A M n et si E est la matrice obtenue à partir de I n par utilisation d une opération élémentaire, alors EA (resp AE ) est la matrice obtenue à partir de A en effectuant la même opération élémentaire sur les lignes (resp colonnes) de A (on ne demande pas de démontrer ce résultat) Concours Centrale-Supélec /8

2 On confond respectivement : matrice et endomorphisme de IR n (resp IC n ) canoniquement associé, vecteur de IR n (resp IC n ) et matrice colonne de ses coordonnées, matrice de taille 1 et scalaire la constituant On rappelle qu une symétrie s de IR n est un automorphisme de IR n vérifiant s 2 = so s = Id n ; il existe alors deux sous-espaces supplémentaires E et tel IR 1 E 2 que s soit la symétrie par rapport à E 1 parallèlement à E 2, définie par : = et s E2 = Id s E1 Id E1 Préciser la symétrie s, c est déterminer les sous-espaces E 1 et E 2 associés On note ( ) la propriété : P A ( P A ) A E2 ne possède pas de valeur propre réelle Le but de ce problème est d étudier des matrices de vérifiant la propriété ( P A ) Après avoir établi quelques résultats préliminaires, on étudie des cas particuliers dans les parties I et II et un cas plus général dans la partie III Résultats préliminaires 1) On se propose de démontrer le résultat suivant : «deux matrices de M n semblables dans M n ( IC ) sont semblables dans M n» Soit donc A et B deux matrices de M n semblables dans M n ( IC ) et P un élément de GL n ( IC ) tel que A = PBP 1 a) Montrer qu il existe R, J M n tels que P = R+ ij avec i 2 = 1 b) Montrer que, pour tout t IC, A( R+ tj) = ( R+ tj)b c) Montrer qu il existe t 0 IR tel que det( R+ t 0 J) 0 d) En déduire que A et B sont semblables dans M n M n Concours Centrale-Supélec /8

3 2) a) Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins une racine réelle b) En déduire que s il existe une matrice A de M n vérifiant ( P A ), alors n est pair Dans toute la suite du problème, on suppose n pair et on note n = 2 p avec p IN \{ 0} Partie I - IA - Dans cette section IA1, on se place dans IR 2 et on désigne par ( e 1, e 2 ) la base canonique, avec e 1 = ( 10, ) et e 2 = ( 01, ) IA1) On considère la matrice M( 01, ) = 0 1 morphisme associé 1 0 et on désigne par u l endo- a) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de s 1, symétrie par rapport à la droite parallèlement à la droite b) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de l application uo s 1 En déduire qu il existe une symétrie s 2, qu on précisera, telle que u = s 2 o s 1 IA2) On considère la matrice A = a) Montrer que A est semblable à M( 01, ) et donner une matrice P de M 2 à coefficients entiers et de déterminant 1 telle que M( 01, ) = P 1 AP b) Montrer que A est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu on précisera Soit α et β des nombres réels tels que β 2 α 2 = 1 et B = α β β α c) Montrer que B est semblable à M( 01, ) et donner une matrice Q de M 2 telle que M( 01, ) = Q 1 BQ Indication : on pourra calculer Be 1 = B 1 0 d) Montrer que B est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu on ne demande pas de préciser Concours Centrale-Supélec /8

4 IA3) On considère la matrice M( αβ, ) = α β où α et β sont des nombres réels tel que α 2 + β 2 = 1 β α Montrer que M( αβ, ) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu on ne demande pas de préciser IA4) On considère à présent la matrice M( αβ, ) = α β où α et β sont des β α nombres réels tels que α 2 + β 2 0 Montrer que M( αβ, ) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d une homothétie IA5) Soit A = ab cd appartenant à M 2 a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de A pour que ( P A ) soit réalisée b) En supposant que A vérifie ( P A ), et en étudiant la diagonalisation dans M 2 ( IC ) de A, montrer qu il existe une unique matrice, semblable à A, du type M( αβ, ) avec α réel et β réel strictement positif Expliciter α et β en fonction de a, b, c et d c) Que peut-on dire de det( A) si A vérifie ( P A ) et est dans M 2? d) Montrer que A est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d une homothétie IA6) On suppose que IR 2 est muni de sa structure euclidienne orientée canonique (ie ( e 1, e 2 ) est orthonormée directe) Que sont alors les endomorphismes de matrice M( αβ, ) (avec α et β réels tels que α 2 + β 2 0 ) dans la base canonique? IB - Soit B une matrice de M p vérifiant B 2 = I p Soit A la matrice de M n définie par blocs sous la forme A = 2B 5B B 2B IB1) Montrer que B est diagonalisable dans M p et qu il existe une matrice Q de M p inversible, des entiers naturels q et r tels que Q 1 BQ soit sous la I forme d une matrice par blocs q 0 0 I r On convient que cette matrice vaut I p lorsque r = 0 et q = p et qu elle vaut lorsque q = 0 et r = p I p Concours Centrale-Supélec /8

5 IB2) Déterminer une matrice par blocs P de M n inversible et constituée de multiples de I p telle que : P 1 AP = 0 B B 0 IB3) En déduire que A est semblable dans M n à la matrice 0 I q 0 0 I r I q 0 0 I r 0 IB4) Montrer alors que A est semblable dans M n à une matrice du type diag( M( 01, ), M( 01, ),, M( 01, )) IB5) Exemple : on considère dans la matrice A = M 4 a) Déterminer une matrice inversible M de M 4 telle que M 1 AM = diag( M( 01, ), M( 01, )) b) En utilisant la technique vue à la question IA1, montrer que A est la matrice, dans la base canonique de IR 4 de la composée de deux symétries qu on précisera Partie II - IIA - Dans cette question, A désigne une matrice de M n telle que A 2 = I n IIA1) Montrer que ( P A ) est réalisée IIA2) Si E est obtenue à partir de I n par utilisation d une opération élémentaire, comment déduit-on EAE 1 de A? On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme : a) L i L j, b) L i αl i avec α IR, c) L i L i + λl j avec λ IR Concours Centrale-Supélec /8

6 IIA3) a) En utilisant IIA1, montrer qu il existe i 2 tel que A i, 1 0 b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu il existe P M n inversible telle que si A = PAP 1 alors A i, 1 = 0 si i 2 et A 21, = 1 c) Montrer alors que A i, 2 = 0 si i 1 et A 12, = 1 IIA4) Montrer qu il existe Q M n inversible telle que QA Q 1 soit de la forme par blocs M( 01, ) 0 avec B M n 2 0 B IIA5) Montrer que A est semblable à une matrice du type diag( M( 01, ), M( 01, ),, M( 01, )) IIA6) Exemple : en utilisant la méthode décrite dans cette partie, trouver une matrice M inversible de M 4 telle que MAM 1 = diag( M( 01, ), M( 01, )) où A est la matrice de la question IB5) On fera apparaître clairement les opérations élémentaires utilisées IIB - Dans cette question A est une matrice de M n vérifiant ( A αi n ) 2 + β 2 I n = 0 avec ( αβ, ) IR IR IIB1) Montrer que A vérifie ( ) P A IIB2) Montrer que A est semblable à la matrice d ordre n diag( M( αβ, ), M( αβ, ),, M( αβ, )) Que peut-on dire de det( A)? IIC - Soit u l endomorphisme de IR n 1 [ X ] défini par : pour tout polynôme P de IR n 1 [ X ], up ( ) vérifie : x IR, up ( )( x) x n 1 P 1 = x IIC1) Déterminer pour quelles valeurs de i et j dans { 0,, n 1}, le plan vect ( X i, X j ) est stable par u IIC2) En déduire que la matrice A de M n telle que A n + 1 i, i = ( 1) i 1 si 1 i n, les autres coefficients de A étant nuls, est semblable à diag( M( 01, ), M( 01, ),, M( 01, )) Concours Centrale-Supélec /8

7 Partie III - Dans toute cette partie, A désigne une matrice de M n vérifiant ( P A ) On se propose de montrer l équivalence entre les trois propositions suivantes : i) A est semblable à une matrice du type * diag( M( α 1, β 1 ), M( α 2, β 2 ),, M( α p, β p )) avec ( α k, β k ) IR IR + pour 1 k p ii) Il existe un polynôme réel à racines simples complexes non réelles annulé par A iii) Tout sous-espace vectoriel de IR n de dimension 2 stable par A possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par A IIIA - Dans cette section IIIA, on montre que (i) (ii) IIIA1) Montrer que si ( αβ, ) IR IR, le polynôme ( X α) 2 + β 2 ne possède que des racines simples complexes non réelles IIIA2) En déduire que (i) (ii) IIIB - Dans cette section IIIB, on montre que (ii) (iii) On suppose donc que A vérifie (ii) Soit E un sous-espace vectoriel de IR n de dimension 2 et stable par A Soit ( f 1, f 2 ) une base E que l on complète en une base ( f 1, f 2,, f n ) de IR n IIIB1) Montrer que dans la base ( f 1, f 2,, f n ) de IR n, l endomorphisme canoniquement associé à A a une matrice s écrivant par blocs : A B 0 C avec A M 2 IIIB2) Vérifier que A ne possède pas de valeur propre réelle et en déduire que A est semblable à une matrice du type M( αβ, ) avec ( α, β) IR IR IIIB3) Montrer que E est inclus dans Ker( ( A αi n ) 2 + β 2 I n ) IIIB4) Montrer que Ker( ( A αi n ) 2 + β 2 I n ) possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par A dans IR n IIIB5) En utilisant une technique analogue à celle vue dans les parties IIA3 et IIA4, montrer que E possède un supplémentaire stable par A dans Ker( ( A αi n ) 2 + β 2 I n ), puis conclure que iii) est réalisé Concours Centrale-Supélec /8

8 IIIC - En raisonnant par récurrence, montrer que (iii) (i) IIID - Exemple : Soit A = En admettant que A annule ( X 2 + 1) ( X 2 4 X + 5), déterminer une matrice inversible M de M 4 et des réels α, β, α et β tels que A = M M( αβ, ) 0 0 M( α, β ) M 1 FIN Concours Centrale-Supélec /8