Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17"

Transcription

1 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7

2 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 I) Produit scalaire Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé (,,, ) ) Définition et conséquences ( ) v ( ) O i j k de l espace Définition: Etant donnés deux vecteurs u ( x, y, z) et v ( x', y ', z '), on appelle produit scalaire de u et v, noté u v, le nombre réel u v = xx' + yy ' + zz ' Exemple : avec u ;; et ; ; on obtient u v = = Remarques : u u = x + y + z = u on note parfois u Si u ou v est nul alors u v = 0 Attention la réciproque est fausse! Par exemple avec u ( ;; ) et v ( ;; ), on obtient u v + = 0 Si u et v sont colinéaires, par exemple v = k u, alors u v = k u Autre expression du produit scalaire si u 0 et v 0, alors u v = u v cos u, v = Démonstration : Commençons par le cas où u et v sont colinéaires : Il existe donc k R tel que v = k u soit v = k u et u v cos u, v = k u cos u, v Or si u et v sont colinéaires, cos u, v si k > 0 ou si k < 0 Donc k cos u, v k et finalement : u v cos u, v = k u cos u, v = k u = u v Etudions maintenant le cas où les deux vecteurs ne sont pas colinéaires Aucun des deux vecteurs ne peut être nul Définissons alors i = u, u π j un vecteur coplanaire avec u et v tel que i, j = et i ( ) ( ) et enfin k orthogonal à i et j tel que i, j, k soit une base directe Dans cette base : u u,0,0 v v cos u, v, v sin u, v,0 et u v = u v cos u, v Exemple : On considère un cube ABCDEFGH d arête a Calculons AE DG en utilisant les différentes formules Propriété fondamentale : Les vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si u v = 0 Démonstration : π Comme u v = 0 u v cos ( u, v ) cos ( u, v ) = 0 ( u, v ) = modulo π

3 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 3 sur 7 ) Propriétés Propriété : Soient u et v deux vecteurs de l'espace et k R On a les proprités suivantes : Symétrie : u v = v u Bilinéarité : u + v w = w u + v = u w + v w et k u w = w k u = k u w Démonstration : immédiate avec la définition Exemple AB CD = BA CD Exemple : On considère ABCD un tétraèdre régulier d arête a Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales Exercice : On considère ABCDEFGH un cube d arête a Les vecteurs AH et CE sont-ils orthogonaux?

4 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 4 sur 7 3) L orthogonalité dans l espace Définition : Vecteur normal à un plan On appelle vecteur normal à un plan, un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs du plan Propriété : Un vecteur est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan Propriété : Plans et droites orthogonaux Deux droites de vecteurs directeurs u et v sont orthogonales si et seulement si u et v sont orthogonaux Deux plans de vecteurs normaux n et n sont orthogonaux si et seulement si n et n sont orthogonaux Une droite de vecteur directeur u et un plan de vecteur normal n sont orthogonaux si u et n sont colinéaires Propriété : Plans et droites parallèles Deux droites de vecteurs directeurs u et v sont parallèles si et seulement si u et v sont colinéaires Deux plans de vecteurs normaux n et n sont parallèles si et seulement si n et n sont colinéaires Une droite de vecteur directeur u et un plan de vecteur normal n sont parallèles si u et n sont orthogonaux Attention : Dans l espace certaines propriétés du plan sont fausses : F Si deux droites sont orthogonales à une même troisième alors elles sont parallèles entres elles V Si deux droites sont parallèles alors toute orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre Propriété : Projeté orthogonal Soient A un point et P un plan de l'espace Il existe un unique point H de P tel que AH soit un vecteur normal de P Ce point H est appelé projeté orthogonal de A sur P Admis Propriété : Plan médiateur Soient A et B deux points de l'espace L'ensemble des points M de l'espace qui vérifient MA = MB est un plan Ce plan est orthogonal au segment [ AB] et passe par son milieu Ce plan est appelé plan médiateur du segment [ AB] Admis

5 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 5 sur 7 Exercice : (BAC Inde, avril 008) On considère un tétraèdre ABCD vérifiant AB = CD, BC = AD et AC = BD Un tel tétraèdre est dit équifacial, ses faces sont des triangles isométriques On note I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD] On admettra que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes On note G leur point de concours PS : en fait le point G est l isobarycentre des points A, B, C et D ) Quelle est la nature des quadrilatères IJKL, IMJN et KNLM? En déduire que les droites (IJ) et (KL) sont orthogonales En déduire que les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales En déduire que les droites (KL) et (MN) sont orthogonales ) Montrer que (IJ) est orthogonale au plan (MKN) En déduire que (IJ) est orthogonale à (MK) En déduire que (IJ) est orthogonale à (AB) On admettra que (IJ) est orthogonale à (CD) 3) Montrer que G appartient aux plans médiateurs des segments [AB] et [CD] On admettra que G appartient aux plans médiateurs des segments [AD] et [BC] 4) Démontrer que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD A L I N G M D J B K C 4) Applications a) Equation cartésienne d un plan Définition : On appelle vecteur normal n à un plan un vecteur non nul dont la direction est orthogonale à ce plan Deux plans sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires Soit A un point du plan Pour tout point M du plan, comme n est normal au plan, n est orthogonal à AM On a donc AM n = 0 Caractérisation du plan : Le plan passant par A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M de l'espace vérifiant AM n = 0 Tout plan P admet une équation de la forme : ax + by + cz + d = 0 avec a, b, c non tous nuls Le vecteur n a, b, c est alors normal à ce plan Attention, une telle équation (dite cartésienne) n est pas unique Exemple 3 : Touver dans le repère orthonormé ( O, i, j, k ), une équation cartésienne du plan passant par A,, 3 et de vecteur normal n,, Cas particuliers : Les plans Oxy, Oxz et Oyz ont pour équations respectives : z = 0, y = 0 et x = 0 Exercice 3 : On considère le point A( 0,,4 ) et le vecteur n (,3, ) Déterminer une équation cartésienne du plan qui passe par A et de vecteur normal n Exercice 4 : On considère les points A(,, 0 ), B(,, ) et C ( 3,, ) Vérifier que les points ne sont pas alignés et déterminer une équation cartésienne du plan ( ABC )

6 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 6 sur 7 Exercice 5 : On considère les points A(,,3 ) et B( 3,, 3) Déterminer le plan médiateur au segment [AB] Exercice 6 : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point B(,6,0 ) x + 3y z + 5 = 0 sur le plan d équation Tout plan P d'équation ax + by + cz + d = 0 avec a, b, c non tous nuls partage l'espace en deux demi-espaces: L'ensemble de tous les points M x, y, z tels que ax + by + cz + d 0 L'ensemble de tous les points M x, y, z tels que ax + by + cz + d 0 Exercice 7 : Montrer que les points (,3,3 ) et ( 3,, 4) x y = 0 b) Distance d un point à un plan A B sont situés de part et d autre du plan d équation Soit M x, y, z un point de l'espace et P un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 ax + by + cz + d La distance entre le point M et le plan P est égale à MH = On sait qu'un vecteur normal de P est n a, b, c Notons H x, y, z, le projeté orthogonal de M sur P H H H a + b + c H x0 = ka H = x0 + ka MH et n sont colinéaires, il existe donc un réel k tel que MH = kn : yh y0 = kb yh = y0 + kb zh z0 = kc H = z0 + kc Mais H P donc ax + bx + cx + d = 0 a x + ka + b y + kb + c z + kc + d = 0 H H H ax0 + by0 + cz0 + d ax0 + by0 + cz0 + d k = = a + b + d n Comme MH = kn, la distance entre M et le plan P est la distance MH = k n = ax + by + cz + d n Exemple 4 : Soit P le plan d équation x + 3y + 4z = 0 Déterminer la distance du point O au plan P Exercice 8 : Soit P le plan d équation x 3y z 5 0 Déterminer la distance du point A au plan P + + = et A ( ; ;)

7 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 7 sur 7 c) Equation d une sphère II) Barycentres Toute sphère de centre Ω x, y, z et de rayon r admet une équation de la forme : x x + y y + z z = r Remarque : cette équation est unique La sphère de diamètre [ AB] est l'ensemble des points M tels que MA MB = 0 Démonstration : MA MB = ( M Ω + ΩA) ( M Ω + Ω B) = M Ω + M Ω ( Ω A + Ω B) + ΩA Ω B = M Ω r = M Ω r M Ω + r Donc MA MB = 0 M Ω = r Exemple 5 : On considère les points A(,, 0 ), B(,, ) et C (,, 4) Déterminer une équation de la sphère de diamètre [AB] Exercice 9 : Déterminer l équation de la sphère de centre (,, 3) Le point (, ) est-il à l intérieur de la sphère? Exercice 0: A et de rayon Déterminer l équation de la sphère de centre A (,,0 ) et passant par (,, 4) Préciser le rayon Exercice : B Déterminer l équation de la sphère de diamètre [AB] avec A( 0,0, ), B(,, 3) Préciser le centre et le rayon Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé (,,, ) ) Définition Existence et unicité du barycentre {( A α ) } Soit, un système pondérés de masse totale m = α i i i n i i= O i j k de l espace n Si m 0, alors il existe un unique point G, appelé barycentre du système pondéré, tel que α GA = 0 Démonstration avec 3 points ) Propriétés Homogénéité Le barycentre d'un système pondéré reste inchangé si l'on remplace les coefficients par des coefficients proportionnels non nuls Démonstration vue en première S n i= i i

8 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 8 sur 7 Associativité barycentres partiels Le barycentre d'un système pondéré reste inchangé si l'on remplace certains des points par leur barycentre affecté de la somme non nulle des coefficients correspondants Démonstration vue en première S Exemple 6 : Si ABCD est un tétraèdre, situer le barycentre G du système {(,), (,), (,),(,3)} Propriété fondamentale du barycentre i= ( α ) i n i= A B C D Soit G le barycentre du système pondéré A, de masse totale m = α 0 n Alors pour tout point M de l'espace, α MA = mmg Démonstration avec 3 points Exemple 7 : Soient A, B, C trois points non alignés i i i i On note G la barycentre du système pondéré {(,), (,), (,)} A B C Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que MA + MB + MC = 8 Exercice : Soient A, B, C trois points non alignés On note G la barycentre du système pondéré {(,), (,), (,3)} i A B C ) Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que MA + MB + 3MC = 5AM ) Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que MA + MB + 3MC soit colinéaire à AB n Coordonnées du barycentre ( x y z ) ( α ) Soit G le barycentre du système pondéré A, de masse totale m = α 0 Notons,, les coordonnées des points A i i i i i i i n i i= n n n Alors les coordonnées du barycentre G sont : αixi, αi yi, αizi m i m i m = = i= Démonstration vue en première S n

9 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 9 sur 7 Exercice 3: (BAC Polynésie Juin 007) 4 On considère les points A ; 3; et B ;0; On note I le milieu du segment [AB] et S la sphère de diamètre [AB] ) Soit E le barycentre du système (A, ) (B,) a) Calculer les coordonnées du point E b) Montrer que l ensemble P des points M de l espace tels que MA + MB = 3 MO est le plan médiateur du segment [OE] c) Montrer qu une équation de P est y = ) a) Calculer le rayon de S et la distance entre I et P b) En déduire que l intersection C entre P et S n est pas vide En déduire la nature et les éléments caractéristiques de C c) Montrer qu une équation de C est x ( z ) 3) Lien avec droites, segments et plans Caractérisation barycentrique d'une droite Soit A et B deux points distincts ( AB) {( A α ) ( B β )} ( AB) α β s les barycentres du système {( A, α ),( B, β )} ) Le barycentre du système,,, est situé sur le droite si + 0 ) La droite est l'ensemble de tou pour α et β réels tels que α + β 0 Démonstration : {( A ) ( B )} ) Si α + β 0, notons G le barycentre système, α,, β β alors αga + β GB = 0 AG = AB α + β les vecteurs AG et AB sont colinéaires et les trois points alignés ( AB) ) Réciproquement, considérons un points quelconque de la doite Les vecteurs AM et AB sont colinéaires Il existe donc un réel k, tel que AM = k AB Alors AM k AB = 0 AM k AM kmb = 0 k AM kmb = 0 Comme k k = 0, alors M est le barycentre du système Caractérisation barycentrique d'un segment Soit A et B deux points distincts ( convexité) {( A k ) ( B k )},,, {( A ) ( B )} [ AB] si α + β 0 [ AB] {( A α ) ( B β )} ) Si α et β sont positifs, alors le barycentre du système, α,, β est situé sur le segment ) Le segment est l'ensemble de tous les barycentres du système,,, pour α et β réels positifs tels que α + β 0 Première partie vue en première S, réciproque admise

10 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 0 sur 7 Caractérisation barycentrique d'un plan Soit A, B et C trois points distincts ( ABC ) {( A α ) ( B β ) ( C γ )} ( ABC) α β + γ les barycentres du système {( A, α ),( B, β ),( C, γ )} ) Le barycentre du système,,,,, est dans le plan si + 0 ) Le plan est l'ensemble de tous pour α, β et γ réels tels que α + β + γ 0 Caractérisation barycentrique d'un triangle Soit A, B et C trois points distincts ( convexité) {( A ) ( B ) ( C )} ) Si α, β et γ sont tous positifs le barycentre du système, α,, β,, γ est à l'intérieur du triangle ABC si α + β + γ 0 {( α ) ( β ) ( γ )} ) Le triangle ABC est l'ensemble de tous les barycentres du système A,, B,, C, pour α, β et γ réels positifs tels que α + β + γ 0 4) Représentation paramétrique d une droite La droite passant par A x, y, z et de vecteur directeur u a, b, c A A A = xa + at a pour équation paramétrique : y = ya + bt, t R = za + ct Ce système, qui dépend du réel t, est appelé équation paramétrique de la droite d Pour obtenir des points de la droite d, il suffit de remplacer le paramètre t par une valeur Démonstration : La droite est l'ensemble des points M de l'espace tels que AM = tu avec t R En coordonnées, ça donne: xa = at = xa + at y ya = bt y = ya + bt, t R z za ct = = za + ct Exemple 8 : Déterminer une équation paramétrique de la droite d passant par A,, et de vecteur directeur u 3,, Exercice 4 : On considère des droites d et d ' qui ont pour représentations paramétriques : = 3 t y = 4 + t, t R et y = t, t R = 4 + 3t = t ) Pour chacune des droites, déterminer des points leur appartenant et un vecteur directeur ) Montrer que les droites d et d ' sont sécantes 3) Montrer que les droites sont perpendiculaires Exercice 5 : On considère deux points A(,,0 ) et B (,,) du plan Déterminer une équation paramétrique de la droite (AB)

11 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 III) Divers cas d incidence ) Intersection de deux plans Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires Dans le cas contraire, ils sont sécants et leur intersection est une droite Attention deux plans parallèles peuvent-être confondus Exemple 9 : Soient P, Q, R trois plans d équations respectives x + y + z + = 0, x y + = 0 et x + y + z = 0 Etudier les incidences de ces trois plans Exercice 6 : Soient P et Q deux plans d équations respectives x 4y + 7 = 0 et x + y z + = 0 ) Montrer que ces plans sont sécants ) Déterminer les caractéristiques de leur intersection ) Intersection d une droite et d un plan Une droite est parallèle à un plan si et seulement un vecteur directeur de la droite est orthogonal à un vecteur normal du plan Dans la cas contraire, ils sont sécants et leur intersection est un point Attention une droite parallèle à un plan peut-être contenue dans le plan Exemple 0 : Soit P le plan d équation x z = 0 et la droite d d équation paramétrique : = + t y = 3 t, t R = Etudier l éventuelle intersection de P et d Exercice 7 : Soit P le plan d équation x + y + z = 0 et la droite d d équation paramétrique : 3t y = + t, t R = 3t + Etudier l éventuelle intersection de P et d 3) Intersection de deux droites Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires Dans la cas contraire, elles peuvent être non coplanaires ou sécantes Attention deux droites parallèles peuvent être confondues

12 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 Exemple : Etudier l intersection des droites d et d ' qui ont pour représentations paramétriques : = 3 t y = 4 + t, t R et y = t, t R = 4 + 3t = t Exemple 3 : Etudier l intersection des droites d et = t y = 0, t R et y + t, t R = t = 0 Exercice 8 : O i j k L espace est muni d un repère (,,, ) d ' qui ont pour représentations paramétriques : On considère des droites d et d ' qui ont pour représentations paramétriques : = 3 t y = 4 + t, t R et y = t, t R = 4 + 3t = t ) Montrer que les droites d et d ' sont sécantes ) Déterminer une équation cartésienne du plan P défini par les deux droites d et d ' Exercice 9 : O i j k L espace est muni d un repère (,,, ) On considère les points (,0,3 ), ( 0,, ) A B, le plan P d équation x + y z 5 = 0 et la droite qui a = t pour représentation paramétrique : y = 4 t, t R = 6 + t ) Déterminer l intersection de et P ) Déterminer une équation de la sphère de centre A et de plan tangent P 3) Etudier les positions relatives des droites (AB) et Exercice 0: (BAC Polynésie Septembre 006) On considère P et P les plans d équations respectives x + y + z 6 = 0 et x y + 4z 9 = 0 ) Montrer que P et P sont orthogonaux ) Soit D la droite intersection des plans P et P Montrer qu une équation paramétrique de D est : = t 7 y = 3t 8 = t 3) Soit M un point quelconque de D et soit A le point de coordonnées ( 9; 4; ) a) Vérifier que A n appartient ni à P, ni à P b) Exprimer AM en fonction du paramètre t c) Etudier les variations de la fonction f : t t t + 3 d) Pour quel point M la distance AM est-elle minimale? Quelles sont alors les coordonnées du point M qui réalise le minimum? Démontrer que M est alors le projeté orthogonal de A sur D

13 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 3 sur 7 CORRECTION DES EXEMPLES DU COURS : Exemple : On considère un cube ABCDEFGH d arête a Calculons AE DG en utilisant les différentes formules ) Avec la définition dans la base orthonormale AD, AB, AE a a a AE ( 0,0, a) et DG ( 0, a, a) donc AE DG = a ) Avec le cosinus : AE DG = AE DG cos ( AE, DG) = a a cos π = a a = a 4 3) Avec une des identités de polarisation : AE DG = ( AE + DG AE DG ) = ( a + a BA ) = ( 3a a ) = a Exemple : On considère ABCD un tétraèdre régulier d arête a Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales AB CD = AB CA + AD = AB CA + AB AD = AB AC + AB AD π π = a cos + a cos = Les deux côtés opposés sont donc orthogonaux A( ) n ( ) P Exemple 3 : Touver dans le repère orthonormé ( O, i, j, k ), une équation cartésienne du plan passant par,, 3 et de vecteur normal,, M x, y, z AM n = 0 x + y + z + 3 = 0 x + y + z + 3 = 0 Exemple 4 : Soit P le plan d équation x + 3y + 4z = 0 Déterminer la distance du point O au plan P x + 3y + 4z = 0 a =, b = 3, c = 4 : d = = = Exemple 5 : A B C Déterminer une équation de la sphère de diamètre [AB] On considère les points (,, 0 ), (,, ) et (,, 4)

14 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 4 sur 7 Exemple 6 : Si ABCD est un tétraèdre, situer le barycentre G du système {(,), (,), (,),(,3)} Considérons le centre de gravité H de la face ABC { } { } { } Alors H est le barycentre du système A,, B,, C, et G le barycentre du système H,3, D,3 Par homogénéité, G est aussi le barycentre du système H,, D,, c'est à dire le milieu du segment [ HD] Exemple 7 : Soient A, B, C trois points non alignés On note G la barycentre du système pondéré {(,), (,), (,)} A B C D A B C Déterminer l ensemble des points M du plan tels que MA + MB + MC = 8 Exemple 8 : Déterminer une équation paramétrique de la droite d passant par A,, et de vecteur directeur u 3,, La droite est l'ensemble des points M de l'espace tels que AM = tu avec En coordonnées, ça donne: x = t 3 + 3t y = t ( ) y = t, t R z t = + t λ R Ce système, qui dépend du réel t, est appelé équation paramétrique de la droite d Pour obtenir des points de la droite d, il suffit de remplacer le paramètre t par une valeur Exemple 9 : Soient P, Q, R trois plans d équations respectives x + y + z + = 0, x y + = 0 et x + y + z = 0 Etudier les incidences de ces trois plans P : x + y + z + = 0 a pour vecteur normal p(,, ) Q : x y + = 0 a pour vecteur normal q (,,) R : x + y + z = 0 a pour vecteur normal r (,, ) Comme n et r sont colinéaires, les plans P et R sont parallèles Si je pose x = y = 0 dans l'équation de P, j'obtiens z = Le point A 0,0, P Est-ce que ce point appartient au plan R? Pour répondre à cette question, je remplace x, y, z par les coordonnées de A dans l'équation de R : = 0 P : x + y + z + = 0 a pour vecteur normal p(,, ) Q : x y + = 0 a pour vecteur normal q (,,) R : x + y + z = 0 a pour vecteur normal r,,

15 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 5 sur 7 Comme n et r sont colinéaires, les plans P et R sont parallèles Si je pose x = y = 0 dans l'équation de P, j'obtiens z = Le point A 0,0, P Est-ce que ce point appartient au plan R? Pour répondre à cette question, je remplace x, y, z par les coordonnées de A dans l'équation de R : = 0 Les deux plans sont donc distincts Comme p et q ne sont pas colinéaires, les plans P et Q sont sécants Un point M x, y, z appartient à ce plan si et seulement si ses coordonnées vérifient le système + y + z + = 0 x y + = 0 En posant x = t et on obtient une représentation paramétrique de la droite intersection : = t y + t = 3t C'est donc la droite passant par A 0,, et de vecteur directeur,, 3 Comme q et r ne sont pas colinéaires, les plans Q et R sont sécants ( ) u ( ) Un point M x, y, z appartient à ce plan si et seulement si ses coordonnées vérifient le système x y + = 0 x y + = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0 En posant x = t et on obtient une représentation paramétrique de la droite intersection : = t y + t = 3t C'est donc la droite passant par B 0,, et de vecteur directeur,, 3 ( ) u ( ) Les plans P et R étant parallèles, il est normal d'obtenir deux droites parallèles Exemple 0 : Soit P le plan d équation x z = 0 et la droite d d équation paramétrique : = + t y = 3 t, t R = Etudier l éventuelle intersection de P et d P : x z = 0 a pour vecteur normal n,0, = + t d : y = 3 t a pour vecteur directeur u (, 3,0) = Vérifions d'abord que la droite ne soit pas parallèle au plan: n u = = 0 A( x y z) La droite n'est donc pas parallèle au plan, les deux sont donc sécants en un point,, ( t) x z = 0 + = 0 t = x t = + x = + t x = + vérifiant : y = 3t y = 3t y = 3 = 6 z = z = = Le point d'intersection est donc le point A, 6,

16 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 6 sur 7 Exemple : Etudier l intersection des droites d et d ' qui ont pour représentations paramétriques : = 3 t y = 4 + t, t R et y = t, t R = 4 + 3t = t On cherche un éventuel point x, y, z appartenant aux deux droites Ses coordonnées vérifient : = 3 t y = 4 + t, t R y = u, u R Attention il ne faut pas prendre le même paramètre!!! z = 4 + 3t = u On obtient alors un système à inconnues et trois équations : 3 t t = 4 + t = 3 + 3u u = 4 3t u + = u = Comme le système admet une solution, l'intersection existe et ses coordonnées sont : x = 3 y = 4 + = 0 = = Exemple 3 : Etudier l intersection des droites d et d ' qui ont pour représentations paramétriques : = t y = 0, t R et y + t, t R = t = 0 On cherche un éventuel point x, y, z appartenant aux deux droites Ses coordonnées vérifient : = t y = 0, t R y + u, u R Attention il ne faut pas prendre le même paramètre!!! z t = = 0 On obtient alors un système à inconnues et trois équations : t t 0 + u u = c'est impossible t 0 = t = 0 Comme le système admet pas de solution, l'intersection n'existe pas Soit les droites sont parallèles, soit elles sont non coplanaires = t y = 0, t R a pour vecteur directeur u (,0,) = t y + u, u R a pour vecteur directeur v ( 0,,0 ) = 0 Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles Finalement, les droites ne sont pas coplanaires

17 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 7 sur 7 Ce que dit le programme :

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan Produit scalaire de deux vecteurs de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan 1.1 Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0 (Attention! On

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

Géométrie analytique dans l espace

Géométrie analytique dans l espace Généralités Points coplanaires Quatre points de l espace sont dits coplanaires s ils appartiennent à un même plan (rappel : 3 points d un plan sont dits alignés s ils appartiennent à une même droite) Vecteurs

Plus en détail

GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN

GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN WORKBOOK PCD -GEOMETRIE ANALYTIQUE DU PLAN 016 GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN 1 Déterminer l'équation du cercle centré en C et de rayon r si : a) C (0; 0) et r = 1; b) C = (1; ) et r c) C (3; -4) et

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace 1 Géométrie dans l espace Table des matières 1 Rappels sur les vecteurs 1.1 Définition................................. 1. Propriétés................................. Le produit scalaire dans l espace

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace Produit scalaire dans l'espace Terminale S Olivier Lécluse Mai 2014 1.0 Table des matières Introduction 3 I - Notion de produit scalaire dans l'espace 4 1. Définition et propriétés... 4 2. Exercice : Calcul

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales.

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales. PRODUIT SCALAIRE I Produit scalaire Définition ( voir animation ) Soient et deux vecteurs du plan. On considère trois points O, A et tels que : OA = u et O =. On appelle produit scalaire du vecteur par

Plus en détail

1 Équations cartésiennes, équations polaires d un ensemble de points

1 Équations cartésiennes, équations polaires d un ensemble de points Plans, cercles, droites et sphères Ce chapitre aborde les objets fondamentaux utilisés en géométrie : droites et cercles dans le plan, plans, droites et sphères dans l espace. Les objectifs du chapitre

Plus en détail

Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace

Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace I. Produit scalaire Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace 1) Produit scalaire dans l'espace Définition : Soient u et v deux vecteurs de l'espace et A, B, C trois points tels que u= AB et v= AC. Les

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace Produit scalaire dans l'espace Il y a de la géométrie dans l'espace au bac tous les ans. Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère (O, ı, j, k ) orthonormal de l'espace. Introduction L'espace,

Plus en détail

Cours de Terminale S /Produit scalaire et orthogonalité. E. Dostal

Cours de Terminale S /Produit scalaire et orthogonalité. E. Dostal Cours de Terminale S /Produit scalaire et orthogonalité E. Dostal Mars 2015 Table des matières 10 Produit scalaire et orthogonalité 2 10.1 Produit scalaire.......................................... 2 10.2

Plus en détail

Chapitre 4: Géométrie analytique dans l'espace

Chapitre 4: Géométrie analytique dans l'espace GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE 35 Chapitre 4: Géométrie analytique dans l'espace Prérequis: Géom. vectorielle dans V 3, géom. analytique dans le plan Requis pour: Algèbre linéaire, examen de maturité.

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE Cours Terminale S 1 Produit scalaire de deux vecteurs 1) Définition Définition 1 : Le produit scalaire dans l espace se définit de la même façon que dans le plan Les trois

Plus en détail

M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition:

M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition: Produit scalaire dans l espace : Définition: Soit A, B et C trois points, le produit scalaire des vecteurs AB et AC est le réel défini par : AB AC = si AB = 0 ou AC = 0 AB AC = si AB 0 et AC 0 Conséquence

Plus en détail

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace Terminale S Ch.8 PARTIE Géométrie dans l'espace Ú La perspective cavalière C'est un ensemble de règles permettant de représenter un volume dans un plan; ce n'est pas ce que nous voyons dans la réalité.

Plus en détail

Livre : Chapitre 12 p. 319

Livre : Chapitre 12 p. 319 TABLE DES MATIÈRES Produit scalaire dans l espace D. Péron 14 Livre : Chapitre 12 p. 319 Table des matières 1 Diérentes expressions du produit scalaire.................................. 2 2 Orthogonalité

Plus en détail

Annales sur la géométrie dans l espace

Annales sur la géométrie dans l espace Annales sur la géométrie dans l espace Exercice I : France juin 200 Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que : OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O, OA = OB = OC

Plus en détail

Géométrie de l'espace

Géométrie de l'espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 07 Enoncés Géométrie de l'espace Notions communes Exercice 7 [ 0878 ] [Correction] Soient D et D deux droites distinctes sécantes de l'espace. Montrer

Plus en détail

Géométrie de l espace

Géométrie de l espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Géométrie de l espace Notions communes Exercice [ 087 ] [Correction] À quelle(s) condition(s) simple(s) l intersection de trois plans de l

Plus en détail

Sujets de bac : Géométrie dans l espace 1

Sujets de bac : Géométrie dans l espace 1 Sujets de bac : Géométrie dans l espace Sujet n : La Réunion juin 23 On considère un cube d arête. Le nombre désigne un réel strictement positif. On considère le point de la demi-droite défini par. ) Déterminer

Plus en détail

Feuille de TD n o 13. Géométrie

Feuille de TD n o 13. Géométrie Mathématiques BCPST1 Lycée Roland Garros 2016-2017 πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ Feuille de TD n o 13. Géométrie πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ

Plus en détail

( ) ( BIG ) est : Produit scalaire et espace La droite ( OA ) avec A( 2; 4; et le plan P. Exercice 1 - qcm

( ) ( BIG ) est : Produit scalaire et espace La droite ( OA ) avec A( 2; 4; et le plan P. Exercice 1 - qcm ENSM cours pi Marc Bizet 0-04 Exercice - qcm Produit scalaire et espace ABCDEFGH est un cube d arête de longueur et on EF considère les milieux I et J des arêtes [ EH ] et [ ] La longueur BI 5 5 vaut BG

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace et applications, cours, terminale S

Produit scalaire dans l'espace et applications, cours, terminale S Produit scalaire dans l'espace et applications, cours, terminale S F.Gaudon 27 avril 2017 Table des matières 1 Distance dans un repère orthonormé de l'espace 2 2 Produit scalaire dans l'espace 2 3 Orthogonalité

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace

Produit scalaire dans l espace Chapitre G Produit scalaire dans l espace Contenus Capacités attendues Commentaires Produit scalaire Produit scalaire de deux vecteurs dans l espace : définition, propriétés. Vecteur normal à un plan.

Plus en détail

Mathématiques Terminale C Calcul Vectoriel Résumé de cours

Mathématiques Terminale C Calcul Vectoriel Résumé de cours . arycentre I- arycentre de deux points pondérés I. 1. Définition 1: Soit (, ) et (, ) deux points pondérés tels que + 0, Il existe un point unique G tel que G G 0 ; le point G est appelé barycentre des

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace L-P-Bourguiba detunis Chapitre 6 Fiche6 Résumé du cours Produit scalaire Définition : l espace E est orienté dans le sens direct Prof :Ben jedidia chokri Classe :4 Math Géométrie dans l espace * Soit A,

Plus en détail

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE On se place dans un repère orthonormal du plan ( O ; i, j, k ) I Équation de plan Exercice 1 : On considère le point A ( 0;1;4) et le vecteur n ( ;3; ) Déterminer une équation du

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation )

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) PRODUIT SCLIRE I Produit scalaire : définition Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Soient et v deux vecteurs du plan. On considère trois points O, et tels que : O = u

Plus en détail

Terminale S Géométrie dans l espace

Terminale S Géométrie dans l espace Terminale S Géométrie dans l espace 1 Positions relatives de droites et de plans 1.1 Positions relatives de deux droites Deux droites de l espace sont : soit..................... elles sont alors soit...............

Plus en détail

Produit scalaire de l'espace. Applications.

Produit scalaire de l'espace. Applications. 1.... p2 2. Équations cartésienne d'un plan... p4 3. Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires... p9 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés 1. Produit scalaire de l'espace 1.1.

Plus en détail

Classe de Terminale S

Classe de Terminale S Pˆr o dˆuˆiˆt Œs c a l aˆiˆr e d e l e sœp a c e Classe de Terminale S I. GÉNÉRALISATION DU PRODUIT SCALAIRE À L ESPACE. Exercice 1 ABCDEFGH est un cube d arête 1, O est le centre de la face EFGH. 1. a)

Plus en détail

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 1 R D Q C Soit un carré ABCD. On construit un rectangle AP QR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ; AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (P

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de première session 01 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

NOM : BARYCENTRES 1ère S

NOM : BARYCENTRES 1ère S Exercice 1 ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C ; 3) et (D ; 3). Construire le point G. Expliquer. D. LE FUR 1/ 50 Exercice 2 ABC est un triangle. 1) G est le barycentre

Plus en détail

Définition. Dans le plan muni d un repère (O;! i,! j ), les coordonnées d un vecteur! u sont les coordonnées de l unique point M tel que. OM=! u.

Définition. Dans le plan muni d un repère (O;! i,! j ), les coordonnées d un vecteur! u sont les coordonnées de l unique point M tel que. OM=! u. Interprétation Propriété Coordonnées d un vecteur Dans le plan muni d un repère (O; i, j ), les coordonnées d un vecteur u sont les coordonnées de l unique point M tel que OM= u. On écrit u (x; y) pour

Plus en détail

Droites et plans de l espace - Vecteurs

Droites et plans de l espace - Vecteurs Chapitre 8 Droites et plans de l espace - Vecteurs Objectifs du chapitre : item références auto évaluation étude de la position relative de droite(s) et de plan(s) vecteurs de l espace formules dans un

Plus en détail

Géométrie vectorielle.

Géométrie vectorielle. . Ensemble des vecteurs de l'espace... p 6. Calcul vectoriel... p5. Vecteurs colinéaires... p 7. Géométrie analytique... p8. Vecteurs coplanaires... p 4. Plan défini par point et vecteurs directeurs...

Plus en détail

i, j, k ) un repère orthonormal direct de l'espace.

i, j, k ) un repère orthonormal direct de l'espace. EXERCICES DE CLCUL VECTORIEL DNS LE PLN ET L'ESPCE EUCLIDIEN Exercice 1 On considère, dans l'espace, les points (0 ; 1 ; 1), B(6 ; 1 ; 9) et C(1 ; 0 ; 0) 1. Déterminer une équation cartésienne du plan

Plus en détail

Géométrie dans l espace. Complément au chapitre «géométrie élémentaire du plan et de l espace»

Géométrie dans l espace. Complément au chapitre «géométrie élémentaire du plan et de l espace» Chapitre 9 truc Géométrie dans l espace Complément au chapitre «géométrie élémentaire du plan et de l espace» Prérequis On suppose ici connue toute la géométrie de collège et de lycée, en particulier les

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Produit scalaire dans l espace

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Produit scalaire dans l espace Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Produit scalaire dans l espace Notes : dans cette synthèse de cours, on suppose connues les notions du programme de 1 ère S relatives au produit scalaire dans

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

Géométrie vectorielle et analytique plane

Géométrie vectorielle et analytique plane Géométrie vectorielle et analytique plane 1 Chapitre 1 Produit scalaire 1.1 Définitions produit scalaire et norme Le produit scalaire est une notion importante en géométrie pour traiter des questions

Plus en détail

Équations cartésiennes de plans et de droites

Équations cartésiennes de plans et de droites Chapitre 4 Équations cartésiennes de plans et de droites Sommaire 4.1 Équation cartésienne d un plan........................................... 25 4.1.1 Équation cartésienne d un plan........................................

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. : la perspective cavalière Pour représenter un objet de l espace par une figure plane, on adopte un mode de représentation appelé «perspective cavalière» qui est

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Chapitre 11 Géométrie dans l espace Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 1ère partie Droites et plans Positions relatives de droites et de plans : intersection

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths Droites et plans de l espace

Synthèse de cours PanaMaths Droites et plans de l espace Synthèse de cours PanaMaths Droites et plans de l espace Droites de l espace Définition Soit A un point de l espace et u un vecteur non nul. La droite ( d ) passant par A et de vecteur directeur u est

Plus en détail

Chapitre 1. Produit scalaire. 1.1 Définitions produit scalaire et norme

Chapitre 1. Produit scalaire. 1.1 Définitions produit scalaire et norme Géométrie métrique plane 1 Chapitre 1 Produit scalaire 1.1 Définitions produit scalaire et norme Le produit scalaire est une notion importante en géométrie pour traiter des questions de longueurs, angles

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace I Modes de repérage dans l espace 1 I.A Coordonnées cartésiennes...................... 1 I.B Coordonnées cylindriques...................... 2 I.C Coordonnées sphériques.......................

Plus en détail

Le déterminant dans le plan

Le déterminant dans le plan 1 1994-95 Le déterminant dans le plan Leçon (supprimée en 1993): Définition et propriétés du déterminant de deux vecteurs du plan. Expression dans une base orthonormée. Applications géométriques. Je propose:

Plus en détail

Géométrie du plan. 1 Questions de cours. 2 Applications du cours. 3 Exercices

Géométrie du plan. 1 Questions de cours. 2 Applications du cours. 3 Exercices Géométrie du plan 1 Questions de cours 1 Énoncer et démontrer l inégalité de Schwarz Énoncer et démontrer l inégalité triangulaire pour la norme euclidienne 3 Soit u un vecteur unitaire du plan Combien

Plus en détail

Baccalauréat S Géométrie Index des exercices de géométrie de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Géométrie Index des exercices de géométrie de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Géométrie Index des exercices de géométrie de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application 1 Asie juin 2012 2 Centres étrangers

Plus en détail

Geométrie dans l espace

Geométrie dans l espace Geométrie dans l espace Quelques règles Montrer qu une droite est perpendiculaire à un plan il faut montrer qu elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan Une droite perpendiculaire à un plan

Plus en détail

DES EXERCICES DE GÉOMÉTRIE

DES EXERCICES DE GÉOMÉTRIE DES EXERCICES DE GÉOMÉTRIE A.LES ÉNONCÉS Exercice I On considère deux réels a et b ainsi que les parties de l espace donnés par leurs équations dans un repère cartésien : { { x z a = 0 D : et D x + 2y

Plus en détail

Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Elles ont un point commun.

Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Elles ont un point commun. Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs I Positions relatives de droites et de plans Positions relatives de deux droites Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l espace ; ; ;. Partie A : Repère et vecteurs coplanaires

Plus en détail

Orthogonalité de droites et de plans

Orthogonalité de droites et de plans Orthogonalité de droites et de plans Par Mathtous Ce mini cours s'adresse en priorité aux élèves de première. Il a pour objectif de rappeler les propriétés essentielles des droites orthogonales et des

Plus en détail

BARYCENTRE GA + 3. le vecteur 2 GB = 0? AG = AB. Avec M = B, on obtient BG = α + β

BARYCENTRE GA + 3. le vecteur 2 GB = 0? AG = AB. Avec M = B, on obtient BG = α + β BARYCENTRE Exercice 01 Soient A et B deux points. 1 ) Montrer qu'il existe un et un seul point G tel que GA + Placer le point G sur un dessin. Soit M un point. Écrire en fonction du vecteur MG le vecteur

Plus en détail

Lycée Denis-de-Rougemont Neuchâtel et Fleurier. Exercices de révision Mathématiques de niveau 1 GÉOMÉTRIE

Lycée Denis-de-Rougemont Neuchâtel et Fleurier. Exercices de révision Mathématiques de niveau 1 GÉOMÉTRIE Lycée Denis-de-Rougemont Neuchâtel et Fleurier Exercices de révision Mathématiques de niveau 1 GÉOMÉTRIE 2002 Exercice 1 On donne une sphère s par son équation (x 1) 2 + (y + 1) 2 + z 2 = 9 et les points

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7

PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7 PRODUIT SCALAIRE Première S - Chapitre 7 Table des matières I Expressions du produit scalaire I 1 Exercice de motivation....................................... I Norme d un vecteur........................................

Plus en détail

1S DS 4 Durée : 2h. ( 5,5 points ) Exercice 1

1S DS 4 Durée : 2h. ( 5,5 points ) Exercice 1 1S DS Durée : h Exercice 1 (, points ) Dans un repère orthonormé (annexe exercice 1), on donne la droite (d) d équation x 3y + 6 = 0, le point A(1; 7) et le vecteur v (; 3). 1. Pour tracer (d) on peut

Plus en détail

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE CHPITRE 6 : PRODUIT SCLIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan 1. Généralités Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan non nuls, et, B, C trois points du plan tels que Le produit scalaire

Plus en détail

b) Déterminer les valeurs de m pour lesquelles la distance de A à P m est égale à

b) Déterminer les valeurs de m pour lesquelles la distance de A à P m est égale à 4 éme Année *** Maths Série d exercices Prof : Dhahbi. A *, Por : 97441893 Géométrie dans l espace Dans tous les exercices, 1'espace est rapporté à un repère orthonormé ( 0, i, j, k ). EXER CICE N 1 :

Plus en détail

MESURES ALGÉBRIQUES ET BARYCENTRES. I Mesures algébriques 2. 1 Définition 2. 2 Propriétés 2. II Barycentres 3

MESURES ALGÉBRIQUES ET BARYCENTRES. I Mesures algébriques 2. 1 Définition 2. 2 Propriétés 2. II Barycentres 3 MESURES ALGÉBRIQUES ET BARYCENTRES Table des matières I Mesures algébriques 2 1 Définition 2 2 Propriétés 2 II Barycentres 3 1 Barycentre d un système de deux points pondérés 3 1.1 Définitions.......................................................

Plus en détail

l espace II) Addition des vecteurs de l espace 3 ème Maths et 3 ème sciences exp. AB DC ABCD est un parallélogramme.

l espace II) Addition des vecteurs de l espace 3 ème Maths et 3 ème sciences exp. AB DC ABCD est un parallélogramme. Prof : Boufares Amor Cours de géométrie dans l espace 3 ème Maths et 3 ème sciences exp. I) d un vecteur de l espace Soit A et B deux points distincts de l espace. On appelle vecteur de représentant (A,

Plus en détail

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace Géométrie dans l'espace 1. Rappels de géométrie dans l'espace 1.1. Positions relatives de droites et plans 1.1.1. Position relative de deux plans Définition : On dit que deux plans sont strictement parallèles

Plus en détail

Commun à tous les candidats. Première partie

Commun à tous les candidats. Première partie EXERCICE 4 (6 points ) Commun à tous les candidats Première partie L espace est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j, k ) On considère : les points A(0; 0; 3), B(2; 0; 4), C( 1; 1; 2) et D(1; 4; 0)

Plus en détail

Chapitre 2 Géométrie plane

Chapitre 2 Géométrie plane Chapitre 2 Géométrie plane I. Colinéarité de deux vecteurs 1) Vecteurs colinéaires Définition : Soit u et v deux vecteurs non nuls. Les vecteurs u et v sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre

Plus en détail

Résumé du cours. Droites et plans de l espace. Positions relatives P P P P

Résumé du cours. Droites et plans de l espace. Positions relatives P P P P Résumé du cours roites et plans de l espace ans l espace un plan est caractérisé par la donnée de trois points non alignés, deux droites sécantes ou strictement parallèles. Un plan passant par trois points

Plus en détail

TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours. Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace

TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours. Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours I. Vecteurs de l espace 1. Notion de vecteur dans l espace Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace Deux vecteurs

Plus en détail

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du

Plus en détail

5. Géométrie analytique de l'espace

5. Géométrie analytique de l'espace 43 5. Géométrie analytique de l'espace 5.1. Droites Équations paramétriques Il n'existe pas d'équation cartésienne d'une droite dans l'espace.. Le point A est appelé le point d'ancrage. N'importe quel

Plus en détail

1 Révisions de géométrie

1 Révisions de géométrie Université Paris 7 Premier semestre 2008-2009 L MASS - Groupe M4 MA - Algèbre et Analyse élémentaires TD 7 : Matrices. Orthogonalité et distances Révisions de géométrie Exercice. a) Distance de l origine

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs

Produit scalaire de deux vecteurs Index Prérequis... 2 I- Présentation du produit scalaire... 2 I-1- Vocabulaire... 2 I-2- Quoi, pourquoi, comment?... 2 I-3- Quelques calculs :... 3 I-3-1- Travail d'une force... 3 1er cas : La force est

Plus en détail

Première S 2 mai 2011

Première S 2 mai 2011 Première S mai 011 Exercices 11 1 Homothétie 1 Mathématiques Soit ABC un triangle, ( Γ ) son cercle circonscrit et O le centre de ( Γ ) Soit H le milieu de [BC] et D le point de ( Γ ) diamétralement opposé

Plus en détail

() Compléments de géométrie 1 / 33

() Compléments de géométrie 1 / 33 Compléments de géométrie () Compléments de géométrie 1 / 33 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 2 / 33

Plus en détail

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC). Première S 2010-2011 Exercices sur le produit scalaire, équations de droite et de cercles Exercice 1 : Distance d'un point à une droite. On se donne une droite ( ) dont l'équation cartésienne est de la

Plus en détail

Cours de Géométrie Pour BCPST 1

Cours de Géométrie Pour BCPST 1 Cours de Géométrie Pour BCPST 1 Année scolaire : 2004/2005 16 juin 2005 Mohamed TARQI Table des matières 1 Géométrie 2 1.1 Repère. Changement de repère......................... 2 1.1.1 Bases et repères..............................

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I)Produit scalaire de deux vecteurs. 1. Définition

PRODUIT SCALAIRE. I)Produit scalaire de deux vecteurs. 1. Définition PRODUIT SCALAIRE I)Produit scalaire de deux vecteurs 1. Définition Définition : Si u et v sont deux vecteurs non nuls, on appelle produit scalaire de u par v, le réel noté u. v = u v cos( u, v) u. v défini

Plus en détail

Chapitre 1. Géométrie

Chapitre 1. Géométrie Chapitre 1 Géométrie 1.1. On donne les points a = (1, ), b = (4, 4) et c = (4, 3) du plan. Déterminer a. les composantes des vecteurs ab et ba ; b. les coordonnées du milieu du segment ab ; c. les coordonnées

Plus en détail

Exercices sur la géométrie affine

Exercices sur la géométrie affine Soit ABCDEFGH un cube de l espace Déterminer S o S AFG BCH Exercices sur la géométrie affine Soit ABC un triangle indirect dans le plan orienté A l extérieur de ce triangle, on construit les points I et

Plus en détail

BARYCENTRE, PRODUIT SCALAIRE

BARYCENTRE, PRODUIT SCALAIRE 1 re STI Ch04 : Barycentre et produit scalaire 006/007 BARYCENTRE, PRODUIT SCALAIRE Table des matières I Barycentre 1 I.1 Barycentre de deux points pondérés.............................. 1 I. Caratérisations

Plus en détail

EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE. Dans toute cette série d'exercices, les repères considérés sont tous orthonormaux.

EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE. Dans toute cette série d'exercices, les repères considérés sont tous orthonormaux. EXERIES SUR LE PRODUIT SLIRE Dans toute cette série d'exercices, les repères considérés sont tous orthonormaux. Exercice 1 Soit un carré D. On construit un rectangle PQR tel que : P et R sont sur les côtés

Plus en détail

(Isométrie et produit scalaire)

(Isométrie et produit scalaire) 1. Définitions et propriétés Définition (d une isométrie) Soit f une application du plan dans lui-même. On dit que f est une isométrie du plan si elle conserve la distance c est-à-dire pour tous points

Plus en détail

Correction Baccalauréat S Amérique du Nord Mai 2008 http ://www.maths-express.com

Correction Baccalauréat S Amérique du Nord Mai 2008 http ://www.maths-express.com Correction Baccalauréat S Amérique du Nord Mai 28 http ://www.maths-express.com Exercice. Voir la figure finale à la fin de l exercice! 2. (a) Le cercle Γ est l ensemble des points M du plan tels que AM

Plus en détail

I. Propriétés de géométrie analytique.

I. Propriétés de géométrie analytique. I. Propriétés de géométrie analytique. Activité 1 Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), a. Distance entre deux points. Dans un repère orthonormée (O ; I ; J) on considère deux point A(2 ; 1) et B(5 ;

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. I- Droites et plans de l espace : Rappels des règles de base Par deux points distincts de l espace, passe une unique droite. Par trois points non alignés passe un

Plus en détail

Cours : SIMILITUDES PLANES.

Cours : SIMILITUDES PLANES. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : définir une similitude plane à partir de la conservation des rapports des distances. en déduire la définition du rapport de similitude. faire le lien

Plus en détail

BAC BLANC DE MATHEMATIQUES Durée : 4 heures

BAC BLANC DE MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Terminale S Jeudi 1 avril 2010 BAC BLANC DE MATHEMATIQUES Durée : 4 heures L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet comporte pages. Exercice 1 (6 points) : Pour les candidats n ayant pas suivi

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace Types Bac

Produit scalaire dans l espace Types Bac Lycée Paul Doumer 2013/2014 TS 1 Exercices Produit scalaire dans l espace Types Bac Exercice 1 Pondichery avril 2012 Dans le repère orthonormé les plans P et P d équations : de l espace, on considère :

Plus en détail

* Addition de deux vecteurs : 1) La relation de Chasles : 2) La règle du parallélogramme :

* Addition de deux vecteurs : 1) La relation de Chasles : 2) La règle du parallélogramme : I Rappels- Les vecteurs I-1 Généralités : * tout couple de points (,B dans un plan, est associé un vecteur B Soit u un représentant de B, alors u = B Lorsque = B,alors u = 0 * La norme du vecteur B est

Plus en détail

Produit Scalaire. Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Produit Scalaire. Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Produit Scalaire Site MathsTICE de dama Traoré Lycée Technique amako I- Norme d un vecteur 1 ) Définition : u étant un vecteur de représentant le bipoint (;), on appelle norme de u le nombre réel positif

Plus en détail

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Les outils collège : Tous les axiomes d Euclide, les résultats sur les angles ; les quadrilatères particuliers ; les triangles isocèles ; équilatéraux

Plus en détail

Les similitudes. Table des matières

Les similitudes. Table des matières Les similitudes Table des matières 1 Rappels sur les nombres complexes 3 1.1 Expression d un nombre complexe................... 3 1.2 Représentation d un nombre complexe................. 3 1.3 Opérations

Plus en détail

1 Norme d un vecteur. 2 Produit scalaire. 2.1 Definition. #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2 ) = #» u #» v cos( #» u, #» v )

1 Norme d un vecteur. 2 Produit scalaire. 2.1 Definition. #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2 ) = #» u #» v cos( #» u, #» v ) 1 Norme d un vecteur Définition 1. Soit #» u un vecteur, A et B deux points du plan tels que #» AB = #» u. On appelle norme du vecteur #» u, que l on note #» u, la longueur du segment [AB] : #» u = AB

Plus en détail

Géométrie dans l' espace

Géométrie dans l' espace Exercice 1 Le repère ( A, AB, AD,AF ) formé sur le cube ABCDEFGH est orthonormé direct Calculer les produits vectoriels suivants AB AD, AB AC, AC BD et AC FH Dans tous les exercices qui suivent, l espace

Plus en détail

Barycentre. αg + βg = 0. On appelle isobarycentre le barycentre de la famille de points pondérés {(A ; k) ; (B ; k)} avec k 0.

Barycentre. αg + βg = 0. On appelle isobarycentre le barycentre de la famille de points pondérés {(A ; k) ; (B ; k)} avec k 0. Barycentre 1. Savoir 1.1. Barycentre de deux points 1.1.1. Définitions On appelle barycentre de deux points A et B affectés des coefficients a et b, tels que a b 0, l unique point défini par : α β = 0

Plus en détail

NOM : GEOMETRIE DANS L ESPACE 1ère S

NOM : GEOMETRIE DANS L ESPACE 1ère S Exercice 1 On donne A(2 ; 1 ; 3), B(1 ; 2 ; 0), C( 2 ; 1 ; 2) et D( 1 ; 2 ; 5). 1) ABCD est-il un parallélogramme? Un rectangle? 2) Calculer les coordonnées de l isobarycentre du quadrilatère ABCD. Figure

Plus en détail

Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension 3. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications.

Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension 3. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications. Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension 3. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications. Chantal Menini 18 mai 2009 Avant de vous lancer dans cet exposé assurez-vous

Plus en détail

Barycentre. Table des matières

Barycentre. Table des matières 1 Barycentre Table des matières 1 Rappels sue les vecteurs 2 1.1 Définition................................. 2 1.2 Opérations sur les vecteurs....................... 2 1.2.1 Somme de deux vecteurs....................

Plus en détail

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel.

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel. I Colinéarité de deux vecteurs Définition 1: Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel. Exemples : Les vecteurs u -5 3 et v 15-9 sont colinéaires car

Plus en détail