CHAPITRE 5 TRIANGLES SEMBLABLES TRIANGLES ISOMÉTRIQUES

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1 HPITRE 5 TRINGLES SEMLLES TRINGLES ISOMÉTRIQUES I Triangles isométriques Définition ' Deux triangles sont isométriques s ils sont images l un de l autre par une symétrie (axiale ou centrale), rotation, translation, ou une combinaison de ces transformations (par exemple, une symétrie axiale suivie d une translation). ' ' onséquences : Si deux triangles et sont isométriques, alors : leurs côtés sont deux à deux de même longueur : = ; = et = ; leurs angles sont deux à deux égaux : = ; = et =. la réciproque de cette propriété est fausse : ce n est pas parce que les trois angles sont respectivement de même mesure dans deux triangles différents qu ils sont isométriques!!! Remarques : 1) Le mot «isométrique» vient du grec isos qui signifie «égal», et metron, «mesure». 2) Par commodité, on notera dans le même ordre les sommets qui se correspondent (par exemple, les fait de dire que et DEF sont isométriques signifiera que = DE, = DF, ou encore = FDE, etc.) 3) Si l on superpose deux triangles isométriques, deux sommets (ou deux côtés, ou deux angles) qui se correspondent sont dits homologues. Nous allons maintenant voir des propriétés qui nous serviront à affirmer que deux triangles sont isométriques ou non. hapitre 5 : Triangles semblables triangles isométriques ML 2 nde /2007 page 1

2 Propriété 1 : 1 er critère d isométrie Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement de même longueur, alors ils sont isométriques. ' Exemple : D est un parallélogramme. Les triangles D et D ont leurs côtés respectivement de même longueur. Ils sont donc isométriques. ' ' D Exercice : Dans l exemple précédent,y a-t-il d autres triangles isométriques? Remarque : On pourra remarquer que dans les deux cas, les deux triangles considérés sont images l un de l autre par la symétrie de centre I, centre du parallélogramme. Propriété 2 : 2 ème critère d isométrie Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ils sont isométriques. Propriété 3 : 3 ème critère d isométrie Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement de même mesure, alors ils sont isométriques. Remarque : Si l on connaît deux angles, on connaît nécessairement le troisième, la place du côté n a donc pas d importance en réalité ommentaire : On pourra retenir ces trois propriétés respectivement sous la forme «c-c-c», «c-a-c» et «a-c-a», ce qui évitera dans la pratique de considérer par exemple un angle qui ne soit pas compris entre deux côtés de même longueur. ette condition est très importante. En effet, comme le montre l exemple suivant, les deux triangles ont bien un angle de même mesure, ainsi que deux côtés respectivement de même longueur, mais ils ne sont pas isométriques : hapitre 5 : Triangles semblables triangles isométriques ML 2 nde /2007 page 2

3 Éléments de démonstrations : Propriété 1 : Si les longueurs sont conservées, on peut toujours trouver une combinaison de transformations qui fait passer d un triangle à l autre. La définition est vérifiée, les deux triangles sont donc isométriques. Propriété 2 : On considère les deux triangles dont on connaît un angle et les deux côtés qui l entourent. Ils forment déjà un point : celui qui forme l angle. Le fait de connaître une longueur d un côté de l angle détermine un second point des triangles, et la longueur connue de l autre côté de l angle détermine le dernier point des triangles. Puisque les deux derniers points sont définis, la longueur entre les deux l est aussi, et par la propriété 1, les deux triangles ont tous leurs côtés respectivement de même longueur, ils sont donc isométriques. Propriété 3 : On considère les deux triangles dont on connaît un côté et les deux angles qui le «touchent». Le côté connu donne déjà deux points des triangles. L un des angles donne une demidroite sur laquelle se trouve le dernier point, et l autre angle donne la demi-droite sur laquelle se trouve aussi le dernier point. On en déduit que ce dernier point se trouve à l intersection unique des deux demi-droites (unique parce que la somme des angles d un triangle étant égale à 180, l un des deux angles au moins est aigu, et les deux demi-droites se coupent). omme précédemment, les trois points des deux triangles sont déterminés de telle sorte que les trois longueurs soient respectivement égales, ils sont donc isométriques. II Triangles semblables (ou de même forme) Définition Deux triangles sont semblables (ou de même forme) si leurs trois angles sont respectivement de même mesure. ' ' ' Remarques : 1) Puisque la somme des angles d un triangle vaut 180, il suffit que deux angles de l un des triangles soient égaux à deux angles de l autre pour que ces triangles soient semblables. hapitre 5 : Triangles semblables triangles isométriques ML 2 nde /2007 page 3

4 2) omme pour les triangles isométriques, on notera dans le même ordre les sommets qui se «correspondent» (par exemple, si les triangles et HIJ sont semblables, alors on saura que = H, = I et = J). 3) Deux triangles isométriques sont toujours semblables, de même que deux triangles équilatéraux, demi-équilatéraux (angles respectivement de mesures 30, 60, 90 ) ou isocèles. Si deux triangles sont semblables, on peut construire deux triangles respectivement isométriques aux deux premiers formant une configuration de Thalès. ' ' ' configuration de Thalès Propriété 4 Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés respectifs sont proportionnelles. Démonstration : est ce qui précède. En effet, si les deux triangles ont leurs trois angles égaux deux à deux, alors on peut trouver un triangle isométrique au premier afin qu ils forment une configuration de Thalès (il est aisé grâce aux angles de montrer qu il s agit bien d une configuration de Thalès). La conclusion est ensuite évidente grâce au théorème de Thalès. Exemple : EFGH est un carré. I et J sont deux points respectivement de [EF] et [EH] à la même distance de E. E J H Les triangles EIJ et FEG sont semblables parce que leurs angles sont respectivement de même mesure (tous deux isocèles rectangles, dont un angle droit, et deux angles mesurant chacun 45 ). I Par la propriété précédente, les longueurs de leurs côtés respectifs sont proportionnelles, donc : FG EI = FE EJ = EG IJ. F G hapitre 5 : Triangles semblables triangles isométriques ML 2 nde /2007 page 4

5 Définition Soient et deux triangles semblables. Le rapport, que l on note k, est appelé rapport de similitude. Plus précisément, (i) si k > 1, alors k est appelé coefficient d agrandissement ; (ii) si k < 1, alors k est appelé coefficient de réduction. onséquence : Le rapport des aires des triangles et est alors k 2. Propriété 5 Pour que deux triangles soient semblables, il faut et il suffit qu ils vérifient l une des caractéristiques suivantes : 1. les longueurs de leur côté proportionnelles (cas 1) ; 2. deux angles respectivement de même mesure (cas 2) ; 3. un angle de même mesure compris entre deux côtés de longueurs proportionnelles (cas 3) ; 4. leurs côtés parallèles deux à deux (cas 4). Exemple : Les droites (EF), ( ) et ( ) sont parallèles, et l angle mesure 50. * Les triangles et EF sont semblables (cas 2) parce que l angle leur est commun, et = FE. Ils ont deux angles de même mesure. ' ' * Les triangles, et EF ont leurs côtés parallèles deux à deux. Ils sont donc semblables (cas 4). E F hapitre 5 : Triangles semblables triangles isométriques ML 2 nde /2007 page 5

6 anque d exercices Exercice 1 est un triangle équilatéral. M, N et P sont des points des [], [], [] tels que M = N = P. 1. Démontrer que les triangles MP, NM et PN sont deux à deux isométriques. 2. En déduire que MNP est équilatéral. P M N Exercice 2 D est un carré de centre O, M un point de []. On mène par la perpendiculaire à (M) qui coupe (D) en P. 1. a) Démontrer que M = P. b) En déduire que les triangles M et P sont isométriques et que M = P. 2. a) Démontrer que les triangles OM et OP sont isométriques. b) En déduire que le triangle POM est rectangle et isocèle. Exercice 3 est un triangle isocèle en. La médiatrice de [] coupe la droite () en D. Le point E de la droite (D) est tel que E = D. 1. Démontrer que les triangles D et E sont isométriques. 2. En déduire que le triangle DE est isocèle. Exercice 4 D est un carré, (DM) est tangente au cercle c de diamètre []. 1. Démontrer que les triangles OD et OMD sont isométriques. 2. Démontrer que les triangles DMR et DR sont isométriques. En déduire la nature du triangle MR. Exercice 5 D est un parallélogramme, N un point du segment [D] distinct de D et. La droite (N) coupe () en M. 1. Démontrer que les triangles DN et M sont des triangles semblables. 2. En déduire que DN M = D. Exercice 6 c est un cercle de centre O de rayon r, est un triangle inscrit dans tel que l angle est aigu. H est le projeté orthogonal de sur []. La droite (O) recoupe en D. 1. Démontrer que les triangles D et H sont semblables. 2. On pose = c, = b et H = h. En déduire de la question précédente que bc = 2rh. hapitre 5 : Triangles semblables triangles isométriques ML 2 nde /2007 page 6

7 Exercice 7 1. Quel théorème permet de montrer que les triangles D et E ci-dessous sont semblables (les mesures sont en mm)? 2. Quel est le rapport des aires de ces deux triangles? Exercice 8 Deux cercles c et c de centre O et O se coupent en et. Une droite passant par coupe, comme l indique la figure cidessous, en M et en M. 1. a) Démontrer que (OO ) est la médiatrice de []. b) En déduire que M = OO. 2. a) Démontrer que les triangles OO et MM sont des triangles semblables. b) En déduire que, si r et r sont les rayons respectifs de c et c, M M = r r. Exercice 9 Dans un repère orthonormé,,,, E, F, G sont les points dont voici les coordonnées : ( 4 ; 0) ; (3 ; 11) ; (6 ; 6) ; E(0 ; 5) ; F (1 ; 4) ; G(3 ; 6). 1. Démontrer que les triangles et EFG sont de même forme. 2. alculer l aire de. 3. alculer de deux façons différentes l aire de EFG. Exercice 10 Sur la figure ci-dessous, est un triangle, H le projeté orthogonal de sur [], H = 45, H = 30 et H = 6 cm. Le cercle c de diamètre [H] et de centre O coupe () en D et () en E. 1. alculer et, puis montrer que E = 3 3 cm. a) Démontrer que HE = DE = 60, puis que et ED sont semblables. 6 b) En déduire que est le rapport de réduction qui fait passer des triangles à ED alculer, et en déduire que DE = 3 ( 6 + 2) cm On note F le point diamétralement opposé à D sur. a) Démontrer que DFE = b) En déduire que sin 75 = 4 ( 3 + 1). hapitre 5 : Triangles semblables triangles isométriques ML 2 nde /2007 page 7