Perspective. Applications des mathématiques. h * N K F AB. F p F BC I 1(6)=O 1(9) C(0)=H 1(6) D(0)=J 1(6) E(0)=P 1(9) B(0)=N 1(9) l F(0)=K 1(6)

Transcription

1 Appications des mathématiques Perspective L F BC F p F AB h * Q N K G N M K G Q M * L 1 E(0)=P 1(9) L 1(13) D(0)=J 1(6) F(0)=K 1(6) I 1(6)=O 1(9) M 1(6)=Q 1(9) C(0)=H 1(6) A(0)=G 1(6) B(0)=N 1(9) (12) Jean-Marc Ledermann Lycée Denis-de-Rougemont

2 1 Géométrie cotée Avant de représenter des corps en perspective, i est nécessaire de décrire 'empacement de points et de droites dans 'espace. On utiise pour cea une méthode appeée géométrie cotée. Pour fixer 'empacement d'un point P de 'espace en géométrie cotée, on donne sa projection orthogonae P 1 sur e so (e so étant représenté par a feuie de papier) et on indique sa cote (hauteur). La cote du point peut être indiquée, entre parenthèse, à côté de sa projection sur e so, ou simpement donnée par un texte. P P 1 (cote) cote so P 1 Une droite d, définie par 2 points A et B, est donnée par sa projection d 1 sur e so compété par es cotes et es projections sur e so de A et de B. B 1 (3 cm) d 1 (2 cm) B d 3 cm 2 cm A B 1 d 1 Pour mesurer a vraie grandeur d'un segment AB donné es projections et cotes de A et de B, on "rabat" sur e so e pan vertica contenant ce segment. On obtient ainsi deux points, (A) (se dit A rabattu) et (B). Le segment rabattu (A)(B) est en vraie grandeur, i a a même ongueur que e segment AB. 3 cm B 1 (3 cm) d 1 2 cm (d) (B) (A) (2 cm) B d A 3 cm 2 cm 2 cm d 1 B 1 (B) 3 cm (A) I=I 1 Cette méthode de rabattement est utiisée pour toute mesure d une vraie grandeur. Géométrie cotée Perspective 1

3 Exercices 1 Une droite d de 'espace est donnée par a projection sur e so et a cote de 2 points A et B. En utiisant un rabattement de a droite d sur e so, a) déterminer a cote du point C de d, C donné par C 1 ; b) construire a projection D 1 sur e so d un point D de d dont a cote est 4 cm; c) construire e point E de d dont a cote est nue; d) construire a projection F 1 sur e so d un point F du segment AB, F situé à distance 4 cm de A. (2 cm) C 1 B 1 (5 cm) 2 On donne un cube ABCDEFGH d'arête 5 cm, dont a face ABCD est sur e so. M est e miieu de 'arrête AB et N e miieu de EF. Construire a vraie grandeur a) du triange CMN b) du triange CMF D = D 1 = H 1 C = C 1 = G 1 A = = E 1 B = B 1 = F 1 3 Un tétraèdre réguier ABCD dont a face ABC est sur e so est donné par A et B. Construire C 1 et D 1, puis trouver a cote du point D. B 1 B 1 4 On donne es points A (de cote nue), B (de cote 3 cm) et S (de cote 5 cm) ainsi qu une droite du so. Les droites SA et SB coupent e pan vertica contenant en A' et B'. Construire a vraie grandeur du segment A'B'. A= Géométrie cotée Perspective 2

4 2 Perspective d un objet On appee perspective d un objet O, a figure O de sa projection centrae sur un écran vertica. Le centre de a perspective est un point S par eque passent es ignes de projections. La droite d intersection de écran et du so est a igne de terre notée. Écran Objet O Lignes de projections Perspective O de objet O Centre S de a perspective (observateur) S So Ligne de terre Pour e représenter a perspective A d un point A sur une feuie (e so), on rabat 'écran autour de sur e so et on note encore A' e point obtenu. S A A A Perspective d un objet Perspective 3

5 On considère une perspective de centre S sur un écran vertica donné par sa igne de terre. Un point A étant donné, a construction de a perspective A' du point A se fait en utiisant un rabattement sur e so du pan vertica contenant es points S et A. A S (A) A (A ) (S) Marche à suivre de a construction de A (1 cm) Le point A est donné par sa cote et sa projection sur e so. La construction de a perspective A' de centre S (donné par et sa cote) dans 'écran vertica donné par peut se faire de a façon suivante. (2 cm) 1) Construire A' 1, intersection de a droite et de. (1 cm) A S A' 1 A 1 (2 cm) 2) Construire (A') en rabattant sur e so e pan vertica contenant S et A. (1 cm) 1 cm A S A' 1 (A) (A) (A ) A 1 (S) (2 cm) (A') 2 cm (S) Perspective d un objet Perspective 4

6 3) Reever (A') pour obtenir A'. La distance entre A' 1 et (A') est a même que cee entre A' 1 et A'. A S A' (1 cm) (A) (A) A A 1 (A ) (S) (2 cm) A' 1 (A') Exercices (S) 5 La face ABCD d'un cube ABCDEFGH est sur e so. Construire a perspective A'B'C'D'E'F'G'H' de ce cube sur 'écran vertica passant par, à partir du point S, de cote 4 cm. C=C 1 =G 1 D=D 1 =H 1 B=B 1 =F 1 A= =E 1 Perspective d un objet Perspective 5

7 6 La face ABC du tétraèdre réguier ABCD est dans e so. Construire C 1, D 1 et a cote de D. Construire ensuite a perspective A'B'C'D' du tétraèdre sur 'écran contenant à partir du point S. B 1 Cote de S Perspective d un objet Perspective 6

8 7 Construire a perspective de 2 droites horizontaes et paraèes a et b sachant que a est à hauteur 3 cm et b à hauteur 1 cm. Soit c,a paraèe à a et passant par S (de cote 6 cm). Construire e point d'intersection F de c et de 'écran. Ce point F est appeé e point de fuite de a direction des droites a, b et c. b 1 a 1 8 Construire a perspective de centre S (de cote 2 cm) de 2 droites paraèes a et b sachant que a passe par A (de cote 0) et B (de cote 2 cm) et que b passe par C (de cote 1 cm). Soit c a droite paraèe à a passant par S. Construire e point d'intersection F de c et de 'écran. a 1 b 1 B 1 C 1 Perspective d un objet Perspective 7

9 3 Points de fuite Les perspectives a' et b' de deux droites paraèes a et b se coupent en un point F appeé point de fuite. Les perspectives de toute es droites paraèes aux droites a et b passent par e même point de fuite. Le point de fuite F d'une droite a est 'intersection de a paraèe à a passant par S et de 'écran. a Droite paraèe à a et passant par S. b F Point de fuite des droites a et b. b' Imaginons que S représente œi d un observateur. S i suit du regard un point courant de a droite a qui s éoigne, son regard devient toujours pus paraèe à a droite a à mesure que e point tend vers infini. À a imite son regard sera paraèe à a et e point (à infini) aura sa perspective en F. s' a' Les points de fuite des droites horizontaes ont a même cote que S, is forment une droite horizontae dans écran nommée igne d'horizon et notée h. a 1 Exempe Deux droites a et b sont horizontaes et paraèes; a est sur e so, a cote de b vaut 1 cm et a cote de S est de 2 cm. b 1 a 1 On construit d abord a perspective a de a. La droite a' passe par intersection de a avec écran (sur e so, donc sur a igne de terre ) et par a perspective A d un point A de a. A' (A') a' b 1 2cm Points de fuite Perspective 8 (S)

10 On construit encore a perspective b de b. b' passe par intersection de b avec écran et par a perspective B d un point B de b. b' a 1 B a' 1cm B 1 b 1 (B) (B ) 2cm (S) On constate que es perspectives a et b des droites paraèes a et b se coupent en un point F, e point de fuite de ces droites. Ce point de fuite F est intersection de 'écran et d une paraèe aux droites a et b passant par S. Les droites étant horizontaes, F est situé sur a igne d horizon h. Toutes es paraèes à a ont des perspectives qui passent par F. b' F' a 1 a' h b 1 Remarque On utiise souvent e point de fuite pour construire a perspective d' d'une droite horizontae d. d est donnée par d 1 et sa cote, S par et h. La perspective d de d passe par es points E (intersection de d et de écran) et F (point de fuite de d). Intersection de d et de 'écran cote de d E d' d 1 F h Point de fuite de d Paraèe à d 1 passant par Points de fuite Perspective 9

11 Exercices 9 Construire a perspective de 'horizontae d (de cote 3 cm), a cote de S étant 5 cm. Marche à suivre: dessiner a igne d'horizon h ; construire A', perspective de 'intersection de d et de 'écran ; construire F, e point de fuite de d ; dessiner d' passant par A' et F. d 1 10 Construire a perspective des points A et B du so, puis du miieu M du segment AB. Trouver e point X du segment AB te que X' soit e miieu de A'B'. La cote de S est 5 cm. N effectuer aucun rabattement! B 1 = B = A Points de fuite Perspective 10

12 11 Un échiquier de 16 cases est peint sur e so. Construire, sur 'écran vertica donné par et à partir du point S, a perspective de cet échiquier. (4,5 cm) Points de fuite Perspective 11

13 4 Perspectives d'objets divers 12 Construire a perspective sur 'écran vertica donné par et à partir du point S, de a maquette d un bâtiment décrit ci-dessous. Les points ABCD sont dans e so, es points EFGH sont de cote 4 cm et es points I et J de cote 6 cm. Les faces du bâtiment sont opaques, sauf a face BFIGC. Dépacer en * avant de rabattre 'écran. La cote de S est 3 cm. * =A=E 1 J 1 D 1 =D=H 1 B 1 =B=F 1 I 1 C 1 =C=G 1 Perspectives d'objets divers Perspective 12

14 13 Un paraéépipède rectange ABCDEFGH de hauteur 3 cm est posé sur e so. Construire sa perspective sur un écran dépacé de en *. Compéter cette perspective en trouant e voume comme indiqué ci contre. La cote de S est 4 cm. 3 cm 3 cm 1,5 cm 4 cm 6 cm * C 1 = G 1 D 1 = H 1 B 1 = F 1 = E 1 Perspectives d'objets divers Perspective 13

15 Remarques 1) Pour construire a perspective d'un segment, on peut e proonger jusqu'à ce qu'i coupe 'écran. Exempe Construction de a perspective d un segment horizonta AB de cote 2 cm. h A' B' F AB h B 1 B 1 2cm 2) Pour construire a perspective d'un point, on utiise souvent une droite auxiiaire qui passe par e point, en généra une droite perpendicuaire à 'écran. Exempe Construction de a perspective A' d'un point A de cote 2 cm, en utiisant une droite p perpendicuaire à 'écran et passant par A. h A' p F p h 2cm p 1 Perspectives d'objets divers Perspective 14

16 14 On donne un cube ABCDEFGH posé sur e so par a perspective A'B' d'une arête dans e so. Construire a perspective du cube. h B' A' Perspectives d'objets divers Perspective 15

17 15 Construire a perspective de 'objet ABCDEFGHI formé d'un paraéépipède rectange de hauteur 4 cm surmonté d'une pyramide droite de hauteur 4 cm égaement. La cote de S est 10 cm. La base ABCD de objet est posée sur e so. h C 1 =G 1 D 1 =H 1 I 1 B 1 =F 1 =E 1 Perspectives d'objets divers Perspective 16

18 16 Un édifice à 2 bocs est posé sur e so. La hauteur du grand boc inférieur est 3 cm, cee du petit boc supérieur est 2 cm. La cote de S est 4 cm. Construire a perspective de cet édifice. * Perspectives d'objets divers Perspective 17

19 17 Une rue est bordée de bâtiments paraéépipédiques rectanges dont on donne a hauteur (en cm). La cote de S est 4 cm. Construire a perspective de cette scène. * Perspectives d'objets divers Perspective 18

20 18 Un tronc de pyramide réguière à base hexagonae est posé sur e so, sa hauteur est de 3.5 cm. Construire sa perspective. h* * Perspectives d'objets divers Perspective 19

21 19 On donne un paraéépipède rectange ABCDEFGH posé sur e so par sa perspective ainsi que a perspectives de 3 points, K, un point de a face AEHD, L, un point de a face ABFE et M, un point de a face EFGH. Construire a perspective M 1 de a projection de M sur e so, puis de construire a perspective de a section du paraéépipède avec e pan contenant KLM. H G M F E D K L B A Perspectives d'objets divers Perspective 20

22 20 On donne a perspective A'B'CD' d'une pyramide posée sur e so. Construire a projection B 1 C 1 D 1 de cette pyramide sur e so et donner a cote de D. D' h cote de S C' B' D' 1 A' Perspectives d'objets divers Perspective 21

23 21 1 Construire a perspective intérieure de a maquette de a chambre ci-dessous. La cote de S est 4 cm. h* * La chambre, d'une hauteur de 6 cm, comporte une porte d'une hauteur de 5 cm, une armoire munie d'une porte d'une hauteur de 3 cm et d'une deuxième armoire d'une hauteur de 2 cm. 1 D'après un exercice d'un cours de perspective de a section d'architecture de 'EPFL. Perspective 22

24 5 Utiisation du ogicie Cabri 22 Avec e ogicie Cabri, dessiner une droite, un point S, un point P ainsi qu'un segment représentant a cote de S, comme représenté dans a figure ci-dessous. a) Construire a perspective P' du point P du so, puis cacher es traits de construction. Indication : pour reporter a cote de S, séectionner "Compas" b) Tracer un cerce, puis faire appartenir e point P à ce cerce (via outi "Redéfinir un objet") puis faire dessiner e ieu géométrique du point P' orsque e point P parcourt e cerce. c) Construire a perspective d'un cerce c contenu dans un pan horizonta ainsi que cee de a projection c 1 de ce cerce dans e so. Faire encore tracer e ieu géométrique des segments verticaux qui reient un point P du cerce à sa projection dans e so P 1 orsque P parcours e cerce c. 23 Dans Cabri, se donner une droite, un point S, un segment représentant a cote de S ainsi qu'un carré ABCD, comme représenté dans a figure ci-dessous. Le carré est formé de 4 segments, perpendicuaires deux à deux et de même ongueur. Construire a perspective du cube ABCDEFGH de base ABCD posée sur e so. Indications : construire a perspective d'un point (par exempe E), créer ensuite a macro permettant de construire a perspective de ce point, puis appiquer cette macro aux autres sommets du cube. 24 Refaire, en utiisant e ogicie Cabri, une ou autre des constructions des exercices précédents. Utiisation du ogicie Cabri Perspective 23