Limites de fonctions, cours, terminale STI

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1 Limites de fonctions, cours, terminale STI F.Gaudon 7 octobre 2 Table des matières Limites nies à l'inni 2 2 Limites innies à l'inni 3 3 Opérations sur les limites à l'inni 5 3. Addition Multiplication Inverse Quotient Cas des limites à l'inni des fonctions polynômes ou rationnelles Limites en un réel 6 5 Limites de fonctions composées 8

2 Limites nies à l'inni Soit f une fonction dénie sur un intervalle [a; + [ où a R. Soit l un réel. On dit que f admet pour limite l en + (resp. ) si les valeurs de f(x) peuvent être rendues aussi proches que l'on veut de l à condition de prendre les valeurs de x susament grandes (resp. susament petites). On note alors lim x + f(x) = l (resp. lim x f(x) = l). On dit aussi que f(x) tend vers l quand x tend vers + (resp. tend vers ). Pour tout entier naturel k non nul, lim x + = et lim x k x = ; x k lim x + x = ; Pour tout entier naturel non nul k, lim x + = x k et lim x = x k Soit l R et soit C la courbe représentative d'une fonction f dans un repère. On dit que la droite d'équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C en + (resp. ) si lim x + f(x) = l (resp. lim x f(x) = l. Exemples : lim x + = x et lim x x et en. = donc la droite d'équation y = est asymptote à l'hyperbole en /x j O i http: // mathsfg. net. free. fr 2

3 2 Limites innies à l'inni f admet pour limite + en + (resp. en + ) si les valeurs de f(x) peuvent être rendues aussi grandes que l'on veut (resp. aussi petites que l'on veut) à condition de prendre les valeurs de x susament grandes. On note alors lim x + f(x) = + (resp. lim x + f(x) = ). On dit aussi que f(x) tend vers + (resp. tend vers ) quand x tend vers +. Remarque : On dénit de même les limites en. Propriétés : Pour tout entier naturel k non nul,lim x + x k = + ; lim x x = ; lim x x 2 = + ; lim x x 3 = ; lim x + x = x 3 4 j O i http: // mathsfg. net. free. fr 3

4 Soient a et b deux réels avec a. C est la courbe représentant une fonction f dans un repère. La droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe C en + (resp. ) si (resp. lim (f(x) (ax + b)) = x + lim x (f(x) (ax + b)) = ) Soit f la fonction dénie pour tout x R { 5 } par f(x) = 3x et soit D la droite d'équation 4 4x 5 y = 3x + 2. On a f(x) (3x + 2) = 4x 5 pour tout réel x R { 5} 4 et lim x + = donc D est 4x 5 une asymptote oblique à C f en + (même démonstration en ) x /(4x 5) j O i http: // mathsfg. net. free. fr 4

5 3 Opérations sur les limites à l'inni 3. Addition c désigne + ou. lim x c f(x) l R l R l R + + lim x c g(x) l R + + lim x c (f + g)(x) l + l + + indéterminée f(x) = x 2 + 3x. On a lim x + x 2 = + et lim x + 3x = + donc lim x + f(x) = +. Pour g(x) = x 2 3x en + on ne peut pas conclure en utilisant les règles précédentes. 3.2 Multiplication lim x c f(x) l R l R +/ lim x c g(x) l R +/ +/ +/ lim x c (fg)(x) ll +/ +/ indéterminée g(x) = x 2 3x. On a pour tout réel x, g(x) = x(x 3). Or lim x + x = + et lim x + x 3 = + donc lim x + g(x) = Inverse 3.4 Quotient lim x c f(x) l + +/ lim x c f(x) + l lim x c f(x) l l l +/ +/ +/ lim x c g(x) l +/ l +/ lim x c f(x) g(x) f(x) = 3 l l +/ indéterminée +/ +/ indéterminée 4x+5. On a lim x + 3 = 3 et lim x + 4x + 5 = + donc lim x + f(x) =. en +, on ne peut pas conclure en utilisant les règles précédentes. Pour g(x) = 3x2 +2 4x+ http: // mathsfg. net. free. fr 5

6 3.5 Cas des limites à l'inni des fonctions polynômes ou rationnelles Soit f une fonction polynôme dénie par f(x) = a + a x a n x n pour tout réel x avec a n et n entier. Alors sa limite en l'inni (+ ou ) est celle de son monôme de plus haut degré a n x n. Preuve : On le montre pour x tendant vers +, la démonstration restant la même pour x tendant vers. On écrit f(x) = x n ( a + a x n a n a + a x n x n ). On constate que lim a x + =, lim x n x + =, x a n..., lim n x + =. Comme a x n et que x n tend vers +, la limite en + est bien donnée par la limite de a n x n. Preuve : On écrit f(x) = xn En + et en, la limite de la fonction rationnelle f dénie par f(x) = anxn +a n x n +...+a b px p +b p x p +...+b avec a n et b p est donnée par la limite de anxn b px. p a a n n a x x p x n +a b p+ b p Preuve : g(x) = 3x2 +2 : g a la même limite que x 3x2 x+ x x b x +b et on raisonne comme dans la démonstration précédente. = 3x donc a pour limite + et +. 4 Limites en un réel On considère dans ce paragraphe une fonction f dénie sur un ensemble D f et a est l'extrémité d'un intervalle de D f. f admet pour limite lr (resp. + ) en a si les valeurs de f(x) peuvent être rendues aussi proches de l (resp. aussi grandes) que l'on veut à condition de prendre les valeurs de x susament proches de a. On note alors lim x a f(x) = l (resp. lim x a f(x) = +. f admet pour limite à droite l R (resp. + ) en a si les valeurs de f(x) peuvent être rendues aussi proches de l (resp. aussi grandes) que l'on veut à condition de prendre les valeurs de x supérieures à a susament proches de a. On note alors lim x > a f(x) = l (resp. lim x > a f(x) = + ). f admet pour limite à gauche l R (resp. + ) en a si les valeurs de f(x) peuvent être rendues aussi proches de l (resp. aussi grandes) que l'on veut à condition de prendre les valeurs de x inférieures à a susament proches de a. On note alors lim x < a f(x) = l (resp. lim x < a f(x) = + ). http: // mathsfg. net. free. fr 6

7 lim x > x = + lim x < x = 8 4 j O i /x Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère. On suppose que a D f mais que a est une extrémité de D f. On dit que la droite d'équation x = a est asymptote verticale à C si la limite ou la limite à droite ou à gauche de f en a est + ou. Soit f une fonction telle que f = g où g et h sont deux autres fonctions. h Si g tend vers une limite non nulle et h tend vers en un réel a, alors f tend vers l'inni, le signe restant à déterminer. lim x > x + = 2 et lim x > x = + donc lim x > x+ x = +. lim x < x + = 2 et lim x < x = donc lim x < x+ x = D'où la droite d'équation x = est asymptote verticale à la courbe C. Les opérations sur les limites à l'inni sont valables pour les limites en un réel, on se référera donc au paragraphe Opérations sur les limites à l'inni. http: // mathsfg. net. free. fr 7

8 5 Limites de fonctions composées a, b et l désignent des réel ou + ou. u et f sont deux fonctions. Si lim x a u(x) = b et lim x b f(x) = l, alors lim x a f u(x)) = l. On considère la fonction h dénie sur R par 3x On a lim x + 3x 2 +4 = + et lim X + X = donc lim x + h(x) =. Preuve : admise http: // mathsfg. net. free. fr 8