FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

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1 CHAPITRE 4 FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE On appelle fonction numérique une application définie sur une partie D de R, à valeurs dans R. 1 Bornes d une fonction Définition 4.1 Soient D R et f : D R. f est dite majorée si M R x D, f (x) M ; minorée si m R x D, m f (x) ; bornée si m, M R x D, m f (x) M. Attention, m et M doivent être des constantes (c est-à-dire qu ils ne peuvent pas dépendre de x). f est bornée ssi f est majorée. Si A D, on dira que f est majorée sur A pour dire que f A est majorée (i.e. que M R x A, f (x) M). De manière plus générale, on dira «f vérifie une propriété P sur A» pour «f A vérifie la propriété P». Définition 4.2 Soient D R et f : D R. Si f est majorée, on appelle borne supérieure de f (sur D), et l on note sup D f, la borne supérieure de l ensemble { f (x), x D}. Si f est minorée, on appelle borne inférieure de f (sur D), et l on note inf f, la borne inférieure de l ensemble { f (x), x D}. Ces bornes existent d après la propriété de la borne supérieure. Définition 4.3 Soient D R et f : D R. Si { f (x), x D} admet un maximum M, on dit que M est le maximum de f (sur D) et l on note M = max D f. Si { f (x), x D} admet un minimum m, on dit que m est le minimum de f (sur D) et l on note m = min D f. D Lycée du Parc 851 1

2 Exemple 4.1 Soit f : R R x (x 1) 2. f n est pas majorée, donc n a pas de borne supérieure. On a inf f =, et comme cette borne inférieure est atteinte (en 1), on a en fait min f =. R On peut aussi s intéresser aux bornes sur [, 3[. On a inf f = min [,3] [,3[ contre pas de maximum sur cet intervalle (elle n atteint pas sa borne supérieure). R f = et sup f = 4. f n a par [,3[ 2 Limites d une fonction 2.1 Définitions Définition 4.4 Soient D R, f : D R et x et l deux réels. On dit que : f tend vers l en x si f tend vers + en x si f tend vers en x si ε > α > x D, x x α f (x) l ε A R α > x D, x x α f (x) A A R α > x D, x x α f (x) A f tend vers l en + si f tend vers + en + si ε > B R x D, x B f (x) l ε A R B R x D, x B f (x) A f tend vers en + si A R B R x D, x B f (x) A f tend vers l en si f tend vers + en si ε > B R x D, x B f (x) l ε A R B R x D, x B f (x) A f tend vers en si A R B R x D, x B f (x) A On note f l, f +,... suivant les cas. Oui, vous êtes censés connaître ces définitions... La propriété suivante permet cependant de les unifier. On peut utiliser des variantes de ces notations avec variables muettes : par exemple, f (x) + est x synonyme de f (w) + et de f +. w Lycée du Parc 851 2

3 Contrairement aux suites, on ne peut bien sûr pas omettre le point en lequel on étudie la limite : f 3 n a aucun sens puisque l on ne sait pas s il s agit d une limite en +, en, en 2,... Proposition 4.5 Soient D R, f : D R et x, l R. f l ssi pour tout voisinage U de l, il existe un voisinage V de x tel que f (D V) U. Proposition 4.6 Caractère local de la limite Soient D R, f : D R, x, l R et V un voisinage de x. On a f l ssi f D V l. Définition 4.7 Soit D R et x R. On dit que x est adhérent à D si tout voisinage de x rencontre D (i.e. est d intersection non-vide avec D). Si x D, alors x est adhérent à D. Si D est de la forme ]a, x [ ou ]x, b[ (ou contient un intervalle de cette forme), alors x est adhérent à D. C est une notion théorique importante mais nous n en ferons qu un usage très limité : elle nous permet de caractériser les points en lesquels il est pertinent d étudier les limites d une fonction. Si par exemple une fonction est définie sur D =]1, + [, on peut vouloir étudier sa limite éventuelle en 1, en 7 ou en + (qui sont tous adhérents à D) mais pas en ou (qui ne sont pas adhérents à D). Théorème 4.8 Unicité de la limite Soient D R, f : D R et x, l, l R. On suppose que x est adhérent à D. Si f l et f l, alors l = l. On peut alors parler de la limite de f en x, que l on notera lim f ou lim x f (x). Définition 4.9 Soient D R, f : D R, x R et l R. On dit que f tend vers l en x à gauche si f D ], [ l On note alors f l ou f l ou lim f = l. x x < On dit que f tend vers l en x à droite si f D ],+ [ l On note alors f x + l ou f > l ou lim x + f = l. Lycée du Parc 851 3

4 On dit que f tend vers l en x par valeurs distinctes si f D\{ } l On note alors f x l ou f l ou lim x f = l. On peut aussi donner des définitions directes (sans passer par la restriction de f ). Par exemple, f x 3 ssi ε > α > x D, x α x < x f (x) 3 ε. Proposition 4.1 Soient D R, f : D R, x R et l R. Si f l, alors f l, f l et f l. x x + x ( f l et f l ) f l. x x + x Si x D et f l, alors l = f (x ). Si x D et f x f (x ), alors f f (x ). Attention aux réciproques fausses. En particulier, on peut très bien avoir f x l et f x + l sans pour autant que f ne tende vers l en x (cf exemple 4.2). Les contraposées de ces propositions sont souvent utiles. En particulier, si f admet des limites différentes à gauche et à droite en x, alors f ne peut pas avoir de limite en x. Exemple 4.2 si x 2 Soient f : R R x x et g : R R x 1 si x = 2 1. Soit x Z. Que peut-on dire de lim f, lim f, lim f, lim f (existence et, le cas échéant, valeur)? x x + x Que dire si x R \ Z? 2. g a-t-elle une limite en 2 à gauche? à droite? par valeur distinctes? tout court? 2.2 Opérations sur les limites Proposition 4.11 Soient D R, f, g : D R, λ R et l, l R. Si f l et g l, alors : λ f λl ; si l + l est défini, alors f + g l + l ; si ll est défini, alors f g ll. Proposition 4.12 Soient A, D R, f : D R, g : A D et x, x 1, l R. Si g x 1 et f x1 l, alors f g l. Lycée du Parc 851 4

5 On peut ainsi obtenir la limite d un quotient (en composant avec la fonction inverse). On utilise souvent cette propriété sans expliciter la fonction f (en faisant un «changement de variable»). Se référer entre autres aux exercices 4.3 et 4.7. Ce théorème peut aussi être utilisé avec les limites à gauche, à droite ou par valeurs distinctes. Exercice 4.3 Étudier les limites à gauche et à droite en 1 de x 1 x 2 4x+3 et x x2 3x+2 x 2 4x Propriétés liées à l ordre Théorème 4.13 Passage à la limite Soient D R, f, g : D R et x, l, l R. On suppose que x est adhérent à D. Si f g, f l et g l, alors l l. Attention, pour utiliser cette propriété, il faut déjà savoir que f et g ont une limite en x. On prend souvent l une des deux fonctions égale à une constante. On rappelle que f g signifie x D, f (x) g(x). Exercice 4.4 Soit f : R R x 1. Déterminer sup f. 1+x 2 R Théorème 4.14 Limite par comparaison Soient D R, f, g : D R et x R. Si f g et g, alors f. Si f g et f +, alors g + Théorème 4.15 Limite par encadrement (dit «des gendarmes») Soient D R, f, g, h : D R, x R et l R. Si f g h, f l et h l, alors g l. Un corollaire immédiat et utile : si f l, que ϕ et que f g ϕ, alors g l. Étant donné le caractère local de la limite (propriété 4.6), ces trois théorèmes restent valables si l on a seulement f g au voisinage de x. Exercice Étudier les limites quand x + de x et de x 2 + x cos x. 2. Étudier les limites quand x de x cos ( ) 1 x et de x 1 x. Lycée du Parc 851 5

6 Théorème 4.16 Limite monotone Soient a, b R et f :]a, b[ R. Si f est monotone, alors f admet des limites (finies ou infinies) en a et en b. Si f est croissante : si f est minorée, alors lim f = inf f R, sinon lim f = ; a ]a,b[ a si f est majorée, alors lim f = sup f R, sinon lim f = +. b ]a,b[ b On a alors x ]a, b[, lim f f (x) lim f (et les inégalités sont strictes si f est strictement croissante). a b Si f est décroissante : si f est minorée, alors lim f = inf f R, sinon lim f = ; b ]a,b[ b si f est majorée, alors lim f = sup f R, sinon lim f = +. a ]a,b[ a On a alors x ]a, b[, lim f f (x) lim f (et les inégalités sont strictes si f est strictement décrois- b a sante). On en déduit que si f est monotone sur ]a, b[ elle admet des limites à gauche et à droite en tout point de ]a, b[. Contrairement à son homologue pour les suites, ce théorème est rarement utilisé directement (car on dispose de mieux pour les fonctions continues). 2.4 Lien avec les limites de suites Théorème 4.17 Caractérisation séquentielle de la limite Soient D R, f : D R et x, l R. On a f l ssi pour toute suite u telle que u x, f (u n ) l. n + La condition suffisante ne nous servira que rarement (voire jamais). La condition nécessaire est utilisée de deux manières : pour déterminer des limites de suites définies par leur terme général (ce que nous avons déjà fait dans le chapitre sur les suites) et pour montrer qu une fonction n a pas de limite. Exercice 4.6 Soient f : R R x sin x et g : R + R x sin ( 1 x). Montrer que f n a pas de limite en + et que g n a pas de limite en. 2.5 Limites de référence Les limites de référence de terminale pour les fonction usuelles (carré, inverse, ln, exp,...) sont admises et supposées connues. Proposition 4.18 Si α R et β >, on a Si α R et a > 1, on a xα a x (ln x)α x β. x +. x + Si α > et β R, on a x α ln x β x +. Lycée du Parc 851 6

7 Exercice 4.7 Étudier les limites suivantes. x 1. e x quand x x 4 x ln x quand x x x quand x à droite. 3 Comparaison de fonctions 3.1 Fonction négligeable devant une autre 3.1.a Définition 4.19 Définitions et notations Soient D R, f, g : D R et x R. On dit que f est négligeable devant g en x s il existe un voisinage V de x et une fonction ε : V R telle que x D V, f (x) = ε(x)g(x) et ε(x) x On note alors f = o (g), ou de manière équivalente f (x) = o x (g) Dire qu une fonction est négligeable devant une autre n a aucun sens si l on ne précise pas au voisinage de quel point on se place (cf exemple 4.8). Comme pour les limites, on peut parler de négligeabilité en x à gauche ou à droite. Proposition 4.2 Soient D R, f, g : D R et x R. Si g ne s annule pas au voisinage de x alors Si g s annule uniquement en x, alors. f = o (g) f g x f = o (g) f g x et f (x ) = Ce cas particulier est de loin le plus important. En pratique, pour montrer que f = o (g), on montre que le quotient f (x) g(x) tend vers quand x tend vers x. Dans le deuxième point, la condition f (x ) = n est pas nécessaire dès lors que f et g sont continues en x. En particulier, f = o (1) si et seulement si f. Exemple 4.8 Soit f : R R x x 2 et g : R R x x 3. On a g = o ( f ), mais f = o + (g). 3.1.b Comparaisons usuelles On peut reformuler une grande partie des limites remarquables en termes de négligeabilité. Lycée du Parc 851 7

8 Proposition 4.21 Si α R et β >, on a (ln x) α = o x + (x β ). Si α et β sont deux réels tels que α < β, on a x α = o x + (x β ). Si α R et b > 1, on a x α = o x + (b x ). Proposition 4.22 Si α et β sont deux réels tels que α < β, on a x β = o x (x α ) Si α R et β >, on a ln x α = o x ( 1 x β ). 3.1.c Proposition 4.23 Opérations sur les fonctions négligeables Soient f, g, h, f 1, g 1, f 2, g 2 des fonctions numériques et x R. Si f = o (g) et si g = o (h), alors f = o (h) (transitivité). Si f 1 = o (g) et si f 2 = o (g), alors f 1 + f 2 = o (g). Si f = o (g) et si λ R, alors λ f = o (g). Si f = o (g), on a f h = o (gh). Si f 1 = o (g 1 ) et si f 2 = o (g 2 ), alors f 1 f 2 = o (g 1 g 2 ). Ces propriétés ont déjà été vues dans le cas des suites. Proposition 4.24 Soient D, D R, f, g : D R et u : D D. Soient x et x 1 dans R. Si u(x) x 1 et si f (X) = o X x1 (g(x)), alors f (u(x)) = o x (g(u(x))). x C est une nouvelle variation sur le thème de la composition de limites. On peut reformuler la propriété de manière plus concise sans variables muettes : si f = o x1 (g) et si u x 1, alors f u = o (g u). En pratique, comme pour les limites, on utilise souvent cette propriété en «changeant de variable» plutôt qu en posant explicitement une fonction u. Exemple 4.9 On souhaite comparer ln ( ) 1 (x 1) et (x 1) pour x au voisinage de 1 à droite. On remarque qu alors ln ( ) 1 (x 1) = 2 ln(x 1) = 2 ln(x) et (x 1) = 1 en posant X = x 1. Or, quand x 1, X et l on sait que ln(x) = o X ( 1 X 1 2 ) X 1 2 car 1 2 >. On en déduit que ln ( 1 (x 1) 2 ) = ox 1 ( (x 1) 1 2 ). On note très souvent f = g + o (h) pour f g = o (h). Il faut faire très attention quand on manipule ce genre d «égalités» (qui n en sont pas) et ne pas hésiter à revenir aux définitions dans le doute. Exercice Montrer que (2x + 1) 2 + x ln x = 4x 2 + o x + (x 2 ). 2. Montrer que ( 1 x + ln x) (x + 2x 2 ) = 1 + o x ( x). Lycée du Parc 851 8

9 3.2 Fonctions équivalentes 3.2.a Définition 4.25 Définitions et propriétés Soient D R, x R et f, g : D R. On dit que f est équivalente à g au voisinage de x s il existe un voisinage V de x et une fonction ε : V R telle que x D V, f (x) = (1 + ε(x))g(x) et ε(x) x On note alors f g, ou de manière équivalente f (x) g(x) x On peut, de manière équivalente, remplacer dans la définition 1 + ε(x) par α(x) avec α(x) x 1. Proposition 4.26 Soient f et g deux fonctions numériques et x R. f g si et seulement si g f (réflexivité) «f équivaut à g en x» est donc synonyme de «g équivaut à f en x» ; on dira plus simplement que f et g sont équivalentes en x. Proposition 4.27 Soient f et g deux fonctions numériques et x R. Si g ne s annule pas au voisinage de x, alors f g si et seulement si f g x 1. Si g s annule uniquement en x, alors f g si et seulement si f g x 1 et f (x ) =. Ce cas particulier est de loin le plus important : comme pour les petit-o, c est souvent l étude du quotient qui permet de montrer un équivalent. Proposition 4.28 Soient f et g deux fonctions numériques et x, l R. Si f l R et si f g, alors g l Si f l R, alors f g si et seulement si g l. En particulier, f l R si et seulement si f l. La notion d équivalent généralise donc en quelque sorte celle de limite. Dans le cas des limites finies non nulle, elle n apporte rien de nouveau, mais pour des fonctions tendant vers une limite nulle ou infinie, elle apporte des informations supplémentaires sur la «vitesse» à laquelle la fonction se rapproche de sa limite. Lycée du Parc 851 9

10 Proposition 4.29 f g si et seulement si f g = o (g) 3.2.b Proposition 4.3 Opérations sur les équivalents Soient f, f 1, f 2, g, g 1, g 2, h des fonctions numériques et x R. Si f g et si g h, alors f h Si f 1 g 1 et si f 2 g 2, alors f 1 f 2 g 1 g 2 Si f g et si n N, alors f n g n Si f g et si f ne s annule pas au voisinage de x, alors 1 f 1 g. Si f g, si α R et si f et g sont strictement positives au voisinage de x, alors f α g α. Si f = o (g), alors g f + g. Proposition 4.31 Soient D, D R, f, g : D R, u : D D et x, x 1 R. Si u(x) x 1 et si f (X) g(x), alors f (u(x)) g(u(x)). x X x1 x Ces règles font des équivalents un outil puissant pour calculer des limites. Cependant, il faut absolument retenir deux choses : on ne peut pas additionner des équivalents, et on ne peut pas composer des équivalents. Quand on a besoin de ce type d opération, on est obligé de revenir à la définition (et rien ne garantit que cela marche). On retiendra que dans une somme de fonctions, si l une est telle que chacune des autres est négligeable devant elle, alors la somme tout entière lui est équivalente. En particulier, en et +, un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré. Exemple 4.11 Exercice On a x x + x + ln x et x + 1 x + à x + ln x x(= ln x). x, et pourtant x x + 1(= 1) n est pas équivalent quand x + 2. On a x x + x + 1 et pourtant ex n est pas équivalent quand x + à e x+1. Montrer que si f + et si f g, alors ln f ln g. Exemple 4.13 On souhaite calculer la limite en + de (x 1)3 9x 2 +x+2. En commençant par chercher des équivalents x 2 (2x 2 +x ln x) simples des différents facteurs, on réduit très significativement la complexité du calcul. Exercice 4.14 Donner des équivalents simples des expressions suivantes : Lycée du Parc 851 1

11 1. x 2 + ln x x e x quand x + 2. x x quand x + 3. x + 1 x quand x x 3 ln x quand x, x > 5. x 2 + x ln x + x quand x, x > 6. x quand x c Équivalents usuels On a reformulé un certain nombre de limites usuelles avec des petit-o ; les autres peuvent s énoncer en terme d équivalents. Proposition 4.32 ln(1 + x) x x e x 1 x x Si α, (1 + x) α 1 αx x sin x x x 1 1 cos x x 2 x2 De manière plus générale, on a f (x) f (x ) x f (x )(x x ) si f est dérivable en x avec f (x ). Cette propriété est aisée à montrer à partir des définitions, et sera revue lors du chapitre sur la dérivation. Exemple 4.15 Donner un équivalent simple de : 1. ln(x + 1) ln x quand x + ; 2. ln(cos x) quand x. 3. e sin(1/x) 1 quand x +. 4 Continuité 4.1 Continuité en un point Définition 4.33 Soient D R, f : D R et x D. f est dite continue en x si f f (x ). Pour qu une fonction soit continue en un point, il faut déjà qu elle y soit définie. Si x D et f l R, alors on a nécessairement f (x ) = l et f continue en x. Attention, c est faux si x D, si l R ou si l on a seulement f l. x La continuité est une propriété locale : on peut remplacer f par f V, où V est un voisinage de x. Définition 4.34 Soient D R, f : D R et x D. f est dite continue à gauche en x si f x f (x ). f est dite continue à droite en x si f x + f (x ). Lycée du Parc

12 f est continue à gauche en x D ssi f ], ] est continue en x. Proposition 4.35 Soient D R, f : D R et x D. f est continue en x ssi elle est continue à gauche et à droite en x. Exemple 4.16 Soit f : R R x x. f est continue en tout point de R \ Z. En un point de Z, elle est continue à droite mais pas à gauche. Proposition 4.36 Soient D R, f, g : D R, D R tel que f (D) D, ϕ : D R, x D et λ R. Si f et g sont continues en x, alors λ f + g aussi. Si f et g sont continues en x, alors f g aussi. Si f est continue en x et ϕ est continue en f (x ), alors ϕ f est continue en x. SI f est continue en x et si f (x ), alors 1 f est continue en x. Le dernier point est un cas particulier de l avant-dernier, en prenant pour ϕ la fonction inverse qui est continue en tout point de R. Définition 4.37 Soient D R, f : D R et x D, adhérent à D. On dit que f est prolongeable par continuité en x si f admet une limite finie en x. Dans ce cas, l application f : D {x } R f (x) si x D x lim f si x = x est continue en x et est appelée prolongement par continuité de f en x. Exercice 4.17 Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité en? 1. f 1 : R R x sin x 2. f 2 : R R x 3. f 3 : R R x x cos x 1 x 2 1 cos x x 4. f 4 : R R x xe 1 x 5. f 5 : R R x xe 1 x Attention, si une fonction est définie en x, elle ne saurait y être prolongeable par continuité. Par exemple, x ln x si x > aucune des deux fonctions f : R + R x si x = et g : R x ln x si x > + R x 3 si x = n est prolongeable par continuité en, puisqu elles sont déjà définies en. En l occurrence, f est continue en alors que g ne l est pas. Lycée du Parc

13 4.2 Fonctions continues Définition 4.38 Soit D R. Une fonction f : D R est dite continue si elle est continue en chaque point de D. On note C(D) l ensemble des fonctions continues de D dans R : C(D) = { f : D R, f continue} Si D, D R, on notera parfois C(D, D ) = { f : D D, f continue }. Proposition 4.39 Soient D R, f, g : D R, λ R, D R tel que f (D) D et ϕ : D R. Si f, g et ϕ sont continues, alors λ f + g est continue ; f g est continue (sur D) ; si g ne s annule pas, f g est continue ; ϕ f est continue. Proposition 4.4 Les fonctions élémentaires (polynômes, sin, cos, tan, ln, exp,, n ) sont continues. Il en est de même des fonctions obtenues par somme, produit et composition de fonctions élémentaires. Définition 4.41 Soient D R et f : D R. Si I est un intervalle inclus dans D, on dira que f est continue sur I si f I est continue. Proposition 4.42 Soient D R, f : D R et [a, b] D. f est continue sur [a, b] ssi f est continue en tout point de ]a, b[ ; f est continue à droite en a ; f est continue à gauche en b. f peut donc être continue sur [a, b] sans être continue en tout point de [a, b]. Exemple 4.18 La fonction partie entière est continue sur [, 1 2] (et également sur [, 1[), alors qu elle n est pas continue en. En revanche, elle n est pas continue sur [, 1]. Exercice 4.19 ax si x 2 Soit a R et f : R R x x 2 ax si x > 2 Montrer que f est continue sur ], 2] et sur ]2, + [ et déterminer a pour que f soit continue sur R. Lycée du Parc

14 4.3 Théorèmes fondamentaux Théorème 4.43 Théorème des valeurs intermédiaires Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R continue. Si f (a) f (b) (respectivement si f (b) f (a)), alors pour tout y de [ f (a), f (b)] (resp. de [ f (b), f (a)]), il existe x dans [a, b] tel que f (x) = y. Deux formulations alternatives de ce théorème (toujours sous les hypothèses a < b, f : [a, b] R continue) : si f (a) f (b) (resp. f (b) f (a)), alors [ f (a), f (b)] f ([a, b]) (resp. [ f (b), f (a)] f ([a, b])). tout élément de [ f (a), f (b)] (resp. [ f (b), f (a)]) a au moins un antécédent par f dans [a, b]. Proposition 4.44 Soient I un intervalle de R et f C(I). f (I) est un intervalle. Autrement dit, l image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Exercice 4.2 Soit f : R R telle que f admette des limites l et l en et + avec ll <. Montrer que f s annule sur R. Exercice 4.21 Montrer que l équation x = cos x admet au moins une solution dans R. Théorème 4.45 Soient a, b R, a < b et I un intervalle d extrémités a et b. Soit f : I R continue. Si f est strictement croissante : si I = [a, b], f (I) = [ f (a), f (b)] ; si I = [a, b[, f (I) = [ f (a), lim b f [ ; si I =]a, b], f (I) =] lim a f, f (b)] ; si I =]a, b[, f (I) =] lim a f, lim b f [ ; Si f est strictement décroissante : si I = [a, b], f (I) = [ f (b), f (a)] ; si I = [a, b[, f (I) =] lim b f, f (a)] ; si I =]a, b], f (I) = [ f (b), lim a f [ ; si I =]a, b[, f (I) =] lim b f, lim a f [ ; Tout cela est assez naturel si l on pense au tableau de variations de f. Par convention, dans un tableau de variations, une flèche ascendante signifie que f est continue et strictement croissante sur l intervalle correspondant (je vous laisse deviner ce à quoi correspond une flèche descendante). Proposition 4.46 Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R continue. Si f (a) f (b), alors f s annule sur [a, b]. Lycée du Parc

15 Autrement dit, si une fonction continue a changé de signe entre a et b, alors elle a pris la valeur au moins une fois entre a et b. Si f (a) f (b) <, alors f s annule sur ]a, b[ (nécessairement, puisqu elle ne s annule ni en a ni en b). Il faut retenir que la traduction «algébrique» de «x et y sont de signe contraire» est «xy». Exercice 4.22 Soit f : [, 1] [, 1] continue. Montrer que f a un point fixe. Théorème 4.47 Soient a, b R et f : [a, b] R continue. f est bornée et atteint ses bornes. Un intervalle de la forme [a, b] (fermé et borné) est appelé segment. On retiendra qu une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. On a alors f ([a, b]) = Exercice 4.23 [ min f, max f [a,b] [a,b] ]. Soit f : [, 1] R + continue. 1. Montrer que f et 1 f sont bornées. 2. Donner un contre-exemple si f : ], 1[ R + (i.e. trouver dans ce cas f telle que ni f ni 1 f ne soit bornée). Théorème 4.48 Théorème de la bijection monotone Soient I un intervalle et f : I R. Si f est continue et strictement monotone, alors : f réalise une bijection de I sur f (I) sa bijection réciproque f 1 est continue, strictement monotone, de même monotonie que f. «f réalise une bijection de I sur f (I)» signifie que l application f : I f (I) x f (x) est bijective. Sauf si f (I) se trouve être égal à R, f n a par contre aucune raison d être bijective. En pratique, on n utilisera pas de notation du type f mais l on prendra garde à préciser f bijective de tel intervalle sur tel autre intervalle. Le seul point réellement nouveau de ce théorème est la continuité de f 1, qui n a rien d évident. Il est aisé de déterminer f (I) en utilisant le théorème 4.45 ( f (I) est un intervalle de même nature que I, ses bornes sont les limites de f aux bornes de I). On peut résumer toutes les informations données par le théorème en dressant le tableau de variation de f 1 (avec limites aux bornes). Exercice 4.24 Soit f : R R x x 4 x. Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle I que l on précisera et déterminer la limite ainsi qu un équivalent de f 1 en +. Lycée du Parc

16 Exercice 4.25 Étudier les limites suivantes. Travaux dirigés 1. x x 1 x quand x xe 1 x x quand x ( ) x+2 2x x quand x +. sin(3x) 1 2 cos x quand x π 3. Exercice 4.26 Déterminer des équivalents simples en et en + des fonctions définies par : Exercice f : R + R x x+1 x 2 +2x 2. g : R + R x x + x 3. h : R + R x x ln x Déterminer les limites suivantes à l aide d équivalents. ( 1. lim x x2 + x + 1 ) x + ( 2. lim x + x2 + x + 1 ) x tan (x x cos x) 3. lim x sin ( x + cos x ( 1 )) 4. lim ( tan 2x + tan x + π x π 4 sin 2 π 4 x) 4 4 x x 5. lim x x x x 6. lim x + ( x2 + 3x + 1 x 2 + x ) 4. u : R + R x ln x + (ln x) 2 5. v : R R x e x + sin x 6. w : R + R x x + 1 x 7. lim x π 3 tan x tan ( x π cos x 8. lim (cos x) 1 x 2 x ln ( sin 2 x ) 9. lim x π ( 2 π 2 x) 2 ( ( πx )) x 2 1. lim sin x + 2x + 1 ) Exercice 4.28 Étudier le domaine de définition et la continuité des fonctions suivantes : Exercice f : x x + x x 2. g : x x + x x. Soient f, g : R R + et x R. On suppose que f g et que f l R. Exercice Montrer que l R + {+ }. 2. Montrer que si l R + \ {1}, alors ln( f ) ln(g). 3. Montrer que si l = ou l = +, alors ln( f ) ln(g). 4. Que dire si l = 1? Soit f : [, 1] R telle que f () = f (1). Montrer que x [, 1 2], f ( x + 1 2) = f (x). Lycée du Parc

17 Exercice 4.31 Soit f : R + R x x e x Dresser le tableau de variation de f et tracer l allure de la courbe de f dans un repère orthonormé. 2. a. Montrer que f réalise une bijection de R + sur un intervalle I que l on précisera. b. Dresser le tableau de variation de f a. Montrer que, pour tout entier n 2, l équation f (x) = n admet une unique solution dans R +. On notera cette solution x n. b. Construire les valeurs de x 2, x 3 et x 4 sur le graphique du 1. c. Déterminer la limite de la suite (x n ) n 2. d. Montrer que e x n n. n + e. En déduire x n ln n. n + Exercice 4.32 Pour tout n N, on pose : f n : R R x x n + x 1 Exercice Pour n N, Étudier f n sur [, 1]. 2. En déduire que pour tout n N, il existe un unique x n [, 1] tel que f n (x n ) =. 3. Montrer que (x n ) n N est croissante. 4. En déduire que (x n ) n N converge et calculer sa limite. Soit f : R R telle que x R, f (2x) = f (x). 1. Montrer que si f est continue en, alors f est constante sur R. Exercice Montrer que ce n est pas nécessairement vrai si f n est pas supposée continue en. Soit f : R R continue telle que x R, f (x + 1) = f (x) Montrer que toute fonction continue et périodique sur R est bornée. 2. En déduire la limite quand x + de f (x) x. On pourra s intéresser à g : x f (x) x. Lycée du Parc

18 Exercice 4.35 On considère l équation Études x 2 x ln x = 2 (E) Résolution approchée d une équation d inconnue x R + que l on souhaite résoudre numériquement (c est-à-dire de manière approchée). Partie 1 On considère la fonction 1. Montrer que f est continue sur R Déterminer un équivalent simple de f en +. f : R + R x 2 x ln x 2 si x > x 2 si x = 3. Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite en Justifier que f réalise une bijection de R + sur un intervalle que l on précisera. 5. En déduire que (E) a une unique solution α et justifier que α [ 3 2, 2]. On donne ln 2,69 et ln 3 1,1. Partie 2 On considère la fonction g : R + R x 2 x + ln x. 1. Montrer que α est l unique solution de l équation g(x) = x (d inconnue x R +). 2. Dresser le tableau de variation de g en précisant les limites aux bornes. 3. On pose I = [ 3 2, 2]. a. Montrer que I est stable par g (i.e. que si x I, alors g(x) I). b. Montrer que x I, g (x) 2 9. On admettra que l on peut en déduire : x, y I, g(x) g(y) 2 x y. 9 Partie 3 On définit la suite (u n ) n N par u = 3 2 n N, u n+1 = g(u n ) 1. Montrer que u est bien définie et que n N, u n I. 2. Écrire une fonction Scilab prenant en entrée un entier n et renvoyant la valeur de u n. 3. Montrer que n N, u n+1 α 2 9 u n α. 4. En déduire à l aide d une récurrence que n N, u n α ( 2 n. 9) 5. Montrer alors que u converge vers α. 6. Soit ε >. À partir de quelle valeur de n peut-on garantir que u n α ε? 7. En déduire une fonction Scilab prenant en entrée un réel e > et renvoyant une valeur approchée de α à e près. À l aide de cette fonction (ou d une méthode similaire utilisant votre calculatrice), donner une valeur approchée de α à 1 6 près. Lycée du Parc

19 Exercice 4.36 On appelle F l ensemble des fonctions continues f de R dans R satisfaisant Un exemple d équation fonctionnelle x, y R, f (x + y) f (x y) = [ f (x) f (y) ] 2 (R 1 ) et G l ensemble des fonctions continues g de R dans R satisfaisant x, y R, g(x + y) + g(x y) = 2 [ g(x) + g(y) ] (R 2 ) Partie 1 1. On considère ϕ : R R x exp ( x 2). Montrer que ϕ F. 2. On considère ψ : R R x x 2. Montrer que ψ G. Partie 2 Soit f un élément de F. 1. a. En utilisant (R 1 ) avec des valeurs bien choisies de x et de y, montrer que f () {; 1}. b. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : (1) f () = ; (2) f est l application nulle. 2. a. Justifier que x R, f (2x) f () = f (x) 2 f () 2. ( ( a )) b. Soit a R. En considérant la suite f 2 n, montrer que si f (a) =, alors f () =. 3. En considérant le cas x = dans (R 1 ), déterminer la parité de f. 4. Montrer que si f n est pas l application nulle, alors on a soit f (R) R +, soit f (R) R. Partie 3 Soit g un élément de G. 1. Montrer que g() =. 2. Montrer que g est paire. 3. Soit x R. a. Montrer que pour n N, on a g(nx) = n 2 g(x). b. En déduire pour n N une expression de g ( x n) en fonction de n et de g(x). c. Montrer alors que p Z q N, g ( p q x) = p2 q 2 g(x). d. On admet que tout réel est limite d une suite de rationnels. Soient alors α R et (α n ) n N une suite de rationnels convergeant vers α. Déduire des questions précédentes une relation entre g(αx) et g(x). 4. Montrer finalement qu il existe une constante réelle λ telle que α R, g(α) = λα Déterminer l ensemble G. Partie 4 1. Montrer que si g G, alors exp g F. 2. Montrer que si f F et que f n est pas la fonction nulle, alors il existe g G telle que x R, f (x) = e g(x). 3. En déduire l ensemble f. n Lycée du Parc

20 Exercice 4.37 Exercices supplémentaires Pour n N, on définit f n : R + R x 1 + n k=1 xk. 1. Montrer que pour tout n N, il existe un unique x n [, 1] vérifiant f n (x n ) =. On définit ainsi une suite (x n ) n 1. Exercice Étudier le comportement asymptotique de (x n ). On commencera par s intéresser au sens de variation de (x n ). Soient a, b R et f : R R x x + ax + b. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que f soit bijective. Exercice 4.39 Soit f : R R x x + x x. Montrer que f est bien définie, continue, bijective et déterminer f 1. Exercice 4.4 Soient f, g C (R) telles que : f = g ; f ne s annule pas. Montrer que f = g ou f = g. Si cela vous semble évident, c est que vous n avez pas compris l enjeu. Dans ce cas, essayez de trouver un contre-exemple si l on enlève l une ou l autre des hypothèses. Exercice 4.41 Soient f, g : [, 1] R, continues, telles que f () = g(1) = f (1) = g() = 1 x ], 1[, f (x) > et g(x) > Montrer que λ R +, x [, 1], f (x ) = λg(x ). Exercice 4.42 Soit I un segment non réduit à un point de R et f, g C (I) telles que x I, f (g) > g(x). 1. Montrer que m >, x I, f (x) g(x) + m. Exercice Montrer que cela n est pas nécessairement vrai si l on ne suppose plus que I est un segment. On donnera un contre-exemple dans le cas où I = R et un autre pour I = ], 1[. Soit f : R R continue et décroissante. Montrer que f admet (au moins) un point fixe sur R. Exercice 4.44 Soient a, b R avec a < b et f :]a, b[ R x 1 1. Montrer que f est bijective. x a + 1 x b. Lycée du Parc 851 2

21 Exercice Déterminer f 1 dans le cas a = 1 et b = 1. Un randonneur parcourt vingt kilomètres en quatre heures. Montrer que l on peut trouver une période d une heure durant laquelle il a parcouru exactement cinq kilomètres. Exercice 4.46 Soit f : [, 1] [, 1] continue. 1. Montrer que n N, a n [, 1], f (a n ) = a n n. Exercice Montrer que si f est décroissante, alors n N,!a n [, 1], f (a n ) = a n n. On considère Montrer que f est bijective et déterminer f 1. f : R R x ex +1 e x 1 Lycée du Parc