Plan Général du Cours Stabilité des structures

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1 1 Plan Général du Cours Stabilité des structures Définition de la stabilité, bifurcation Système à un degré de liberté Système à nombre fini de ddls Extension au continu (interface fluide,...) Applications aux corps élancés : poutres, coques, membranes ENSTA

2 Introduction Introduction La stabilité : une notion intuitive? Donnons quelques exemples. ENSTA

3 Introduction Le pendule pesant : même vitesse initiale ENSTA

4 Introduction Trajectoire proche : mais décalage en temps. ENSTA

5 Le métronome Le métronome L C Déplacement de la masse pour changer la période L critique tel que Ω = 0 : perte de la périodicité ENSTA

6 Premiers élèments Premiers élèments La stabilité est donnée par l étude d un problème dynamique. Stabilité d une position d équilibre : notion intuitive Réponse dynamique à une petite perturbation : Stabilité si état perturbé proche de l équilibre. Stabilité d une trajectoire : Petite perturbation des conditions initiales Continuité par rapport aux C.I. Trajectoire proche / écart en temps et écart en espace....système entretenu ENSTA

7 Remarques Remarques Ecarts : Choix des normes et des distances. Espace de dimension finie : toutes les normes sont équivalentes. proche : petits mouvements : idée linéarisation... ENSTA

8 Objectif Objectif Présentation d une Méthode Générale d étude et d analyse de la stabilité des équilibres, de détermination des points de bifurcation, positions d équilibre commun à des trajets d équilibre fondée sur une approche en dynamique faiblement non-linéaire. ENSTA

9 Objectif Etude de la Stabilité d un Etat d Equilibre Un Problème difficile : Etat d équilibre pour un comportement non-linéaire au sens large, Etude dynamique autour de cet état. Mesure des écarts : choix de normes, de topologies Le système peut perdre son équilibre pour de grandes transformations. ENSTA

10 10 Etude de stabilité Equations de la Dynamique Un exemple simple Chemins d équilibre Notion de bifurcation Stabilité des positions d équilibre Une approche systèmatique. ENSTA

11 Systèmes conservatifs Systèmes conservatifs Les forces extérieurs et intérieurs dérivent d un potentiel de la position. E(q,λ) = W(q) λv (q) Equations de la dynamique L(q, q,λ) = K( q, q) E(q,λ) d ( L ) dt q L q = 0 ENSTA

12 Remarque Remarque Equations du mouvement : F int (q, q,t) + F ext (q, q,λ,t) = Γ On pose X = (q, q) Γ = m(q). q + F a (q, q) et on obtient la forme générale des équations du mouvement : Ẋ = F(X,λ,t) ENSTA

13 Remarque Système différentiel général : Ẋ = F(X,λ,t) Comparer deux solutions du système (X(t), X (t)). Définition d une Mesure de la distance entre deux solutions X(t) X (t) = ( i x i (t) x i(t) 2 ) 1 2 Donner une définition de la stabilité d une solution X (t) ENSTA

14 Stabilité au sens de Liapounov Stabilité au sens de Liapounov Définition La solution X (t) est stable pour t t o donné si et seulement si ǫ > 0 α > 0 X(t o ) X (t o ) < α X(t) X (t) < ǫ t t o. Stabilité d une position d équilibre Position d équilibre : si X (t) = X e, t t e est solution Utiliser la définition. ENSTA

15 Première approche Première approche Une solution de référence : Soit un écart petit x à la solution Ẋ o = F(X o,λ,t) X = X o + x Linéarisation des équations autour de la solution de référence X o + ẋ = F(X o + x,λ,t) alors ẋ = X F(X o (λ,t),λ,t).x = A(λ,t).x si la fonction F est suffisamment régulière ENSTA

16 Cas d un équilibre Cas d un équilibre Position d équilibre : F(X e,λ,t) = 0 Soit un écart petit x à l équilibre X = X e + x Linéarisation des équations autour de l équilibre: Ẋ = F(X,λ,t) alors ẋ = X F(X e,λ,t).x = A(λ,t).x Système est dit autonome si A ne dépend pas de t ẋ = A(λ).x ENSTA

17 Un exemple : système un ddl Un exemple : système un ddl une masse, un ressort linéaire et un amortisseur visqueux mẍ + cẋ + kx = 0 ẋ ẏ = 0 1 k m c m x y Système différentiel linéaire du premier ordre Ẋ = A.X Les propriétés des solutions dépendent de A. ENSTA

18 Système linéaire à un ddl Système linéaire à un ddl Position d équilibre : X e = 0 Opérateur : A : ẋ = A.x Polynôme caractéristique : P(µ) = det(a µi) P(µ) = 0 = µ 2 Sµ + P; δ = S 2 4P Polynôme à coefficients réels: ENSTA

19 Système linéaire à un ddl Discussion Deux valeurs propres distinctes µ 1,µ 2 : x = x 1 e µ 1t + x 2 e µ 2t Une valeur propre associée à un noyau de dimension 2 ou 1 x = (at + b)e µt Deux valeurs propres complexes conjuguées. CONCLUSION x = 0 est stable si Rµ 0 ENSTA

20 Le système général Le système général Position d équilibre : F(X e,λ,t) = 0 La dynamique linéarisée autour de l équilibre ẋ = A(λ,t).x Cas du Système Autonome (indépendance / temps): ẋ = A(λ).x A dépend du paramètre λ : Conséquence sur la stabilité de l équilibre x = 0 Etude d une structure simple ENSTA

21 Le métronome Le métronome Notion de chemin (branche) d équilibre Point de bifurcation Comportement Postcritique Conditions de Stabilité ENSTA

22 Le métronome λ λ Μ L θ Ressort non linéaire : W(θ), W(0) = 0,W (0) = 0 Effort extérieur : λl(cos θ 1) Energie cinétique K = 1 2 ML2 θ2 ENSTA

23 Energie potentielle Energie potentielle Système conservatif Deux sources de non linéarité E(θ,λ) = W(θ) + λl(cos θ 1) Le ressort Le potentiel des efforts extérieurs ENSTA

24 Energie potentielle Energie Potentielle: W(0) = 0,W (0) = 0 E(θ,λ) = W(θ) + λl(cos θ 1) Energie cinétique : K = 1 2 ML2 θ2 Equation du mouvement ML 2 θ + W (θ) λlsin θ = 0 Trajet fondamental : (θ = 0,λ) Courbe d équilibre :f(θ,λ) = W (θ) λlsin θ = 0 ENSTA

25 Equilibre-Unicité Equilibre-Unicité Equilibre : f(θ,λ) = W (θ) λlsin θ = 0 Unicité : θ(λ) F(λ) = f(θ(λ),λ) = 0 Définition implicite de la position d équilibre : Condition d unicité : f θ 0 Dérivée à tout ordre de F est nulle : Développement de la réponse θ(λ) (Taylor) ENSTA

26 Perte d unicité : point critique Perte d unicité : point critique Perte d unicité le long du trajet fondamental (θ = 0,λ): f θ (θ,λ) = W (θ) λlcos θ = 0 Valeur critique : λ c = W (0)/L La dérivée seconde de l énergie potentielle s annule. Nécessité d aller à un ordre supérieur pour une étude complète ENSTA

27 Forme de l énergie Forme de l énergie Energie du ressort : θ petit W = 1 2 C 1θ C 2θ C 3θ Equilibre : f = W λlsin θ, sin(θ) = θ(1 θ2 6 ) +... f = θ ((C 1 + C 2 θ + C 3 θ ) λl(1 θ2 ) ) Trajet fondamental : (0,λ) = 0 Branche secondaire: (C 1 + C 2 θ + C 3 θ ) λl(1 θ ) = 0 ENSTA

28 Branche secondaire Branche secondaire λ = λ c + λ 1 θ + λ 2 θ 2 + λ 3 θ 3... λ c = C 1 L = W (0)/L, λ 1 = λ c C 2 C 1, Point de bifurcation : (0,λ c ) : λ 2 = λ c ( C 3 C )... Intersection des deux branches d équilibre. ENSTA

29 Diagramme de bifurcation Diagramme de bifurcation λ λ λ λ c λ c λ c θ θ θ C 2 0 λ 1 = 0, λ 2 0 λ 1 = 0, λ 2 0 ENSTA

30 Conclusion sur les trajets d équilibre Conclusion sur les trajets d équilibre Deux branches d équilibre. θ e,λ e trajet fondamental (θ = 0,λ) branche secondaire (θ,λ = λ c + λ 1 θ +...) Un point de bifurcation (0,λ c ): f θ = 0 Etude de Stabilité de l équilibre (θ e,λ e ) ENSTA

31 Stabilité des positions d équilibre. Stabilité des positions d équilibre. Dynamique linéarisée autour de (θ e,λ e ) θ = θ e + ψ ML 2 θ + W (θ) λ e Lsin θ = 0 ( ) ML 2 ψ +W (θ e ) λ e Lsin(θ e )+ W (θ e ) λ e Lcos(θ e ) ψ = 0. Ordre 0 en ψ : W (θ e ) λ e Lsin(θ e ) = 0 i.e. Branches d équilibre! ENSTA

32 Ordre 1 en ψ Ordre 1 en ψ Equation du mouvement ) ML 2 ψ + (W (θ e ) λ e Lcos(θ e ) ψ = 0. Conclusion Si ( ) W (θ e ) λ e Lcos(θ e ) > 0 stabilité Etude des deux branches d équilibre. ENSTA

33 Trajet fondamental θ e = 0 Trajet fondamental θ e = 0 ML ψ + (λ c λ e )ψ = 0, λ c = W (0)/L La pulsation des vibrations libres est nulle au point critique. Si λ e < λ c la position ψ = 0 est stable. Si λ e > λ c la position ψ = 0 est instable. Si égalité? ENSTA

34 Branche secondaire Branche secondaire ( ) W (θ e ) λ e Lcos(θ e ) > 0 λ e = λ c + λ 1 θ e + λ 2 θ 2 e +... = C 1 L + C 2 L θ e + C 1 L (C 3 C )θ2 e +... W (θ e ) λ e Lcos θ e = (C 1 + 2C 2 θ e + 3C 3 θ 2 e +...) C 1 (1 + C 2 C 1 θ e + ( C 3 C )θ2 e +...)(1 1 2 θ2 e +...) Discussion suivant C 2... = C 2 θ e + 2C 1 ( C 3 C )θ2 e +... ENSTA

35 C 2 0 C 2 0 λ e = λ c + λ 1 θ e +... L équation du mouvement se réduit à λ 1 = C 2 /L ML 2 ψ = C2 θ e ψ = λ 1 Lθ e ψ Stabilité si λ 1 θ e > 0 ie λ e λ c > 0 ENSTA

36 C 2 = 0 C 2 = 0 ( λ e = λ c 1 + ( C ) 3 )θe C 1 W (θ e ) λ e Lcos θ e = 2C 1 ( C 3 C )θ2 e = 2Lλ 2 θ 2 e, Deux positions d equilibre Stabilité est déterminée par le signe de λ 2 λ 2 > 0 stabilité ENSTA

37 Conclusion Conclusion λ λ λ S I λ c S I S I λ c S I S λ c I S I θ θ θ λ 1 < 0 λ 1 = 0, λ 2 > 0 λ 1 = 0, λ 2 < 0 Point de bifurcation est un point de perte de stabilité du trajet fondamental. ENSTA

38 Conclusion Remarque Deux fois le même développement Un pour l équilibre - un pour la stabilité. Chercher une méthode systématique. ENSTA

39 La méthode systèmatique 1 La méthode systèmatique Un développement asymtotique adapté Discussion du système dynamique Choix de l échelle de temps Méthode générale. ENSTA

40 Développement asymptotique Développement asymptotique Introduction de ξ : écriture de la solution λ = λ o + λ 1 ξ + λ 2 ξ 2... θ(t) = θ 1 (t)ξ +... Equation du mouvement ML 2 θ + W (θ) λlsin θ = 0 ML 2 θ1 ξ = (λ o λ c )Lθ 1 ξ + (Lλ 1 C 2 θ 1 )θ 1 ξ 2... Discussion ordre de ξ ENSTA

41 Ordre un Ordre un ML 2 θ1 = (λ o λ c )Lθ 1 λ o < λ c, θ e = 0, A = (λ o λ c )L < 0 Stabilité du trajet fondamental, instabilité au delà. λ o = λ c, ordre supérieur ENSTA

42 λ o = λ c λ o = λ c Equation du mouvement ML 2 θ1 = (Lλ 1 C 2 θ 1 )θ 1 ξ +... Incompatibilité des ordres, entre l inertie et le comportement Nécessité de changer l échelle de temps ENSTA

43 Echelle de temps Echelle de temps Introduire ω 2 = (λ λ c )/ML, ML 2 θ = L(λ λc )θ + o(θ) θ = θ(ωt) alors θ = ω 2 θ (ωt) θ = θ Développement de λ(ξ) λ c = λ k ξ k La pulsation est de la forme ω = ξ k 2 (Ωo + ξω ) ENSTA

44 Nouveau développement Nouveau développement λ = λ o + λ 1 ξ + λ 2 ξ , θ(t) = θ 1 (τ)ξ + θ 2 (τ)ξ , τ = ξ m Ω(ξ) t, Ω = ω o + ω 1 ξ + ω 2 ξ ENSTA

45 λ o = λ c, Linéarisation λ o = λ c, Linéarisation ML 2 ξ 2m+1 ωoθ 2 1 = (Lλ 1 C 2 θ 1 )θ 1 ξ alors m = 1 2, ω2 o = λ 1 ML deux positions d équilibre, θ 1 = sign(λ 1 )(1 C 2 Lλ 1 θ 1 )θ 1 θ 1 (τ) = θ 1e + ψ(τ) ENSTA

46 λ o = λ c, λ 1 0, i.e C 2 0 λ o = λ c,λ 1 0, i.e C 2 0 θ 1 = sign(λ 1 )(1 C 2 Lλ 1 θ 1 )θ 1 θ 1 (τ) = θ 1e + ψ(τ) Trajet Fondamental : θ 1e = 0, ψ = sign(λ1 )ψ Branche secondaire : θ 1e = λ 1 L/C 2, ψ = sign(λ1 )ψ ENSTA

47 λ o = λ c, λ 1 0, i.e C 2 0 La solution autour du point critique λ = λ c + λ 1 ξ θ(t) = (θ 1e + ψ(τ))ξ +... τ = ξ 1/2 (ω o +...)t Trajet Fondamental : θ 1e = 0, ψ = sign(λ 1 )ψ Branche secondaire : θ 1e = λ 1 L/C 2, ψ = sign(λ 1 )ψ ENSTA

48 Ordre supérieur pour λ o = λ c et λ 1 = C 2 = 0 Ordre supérieur pour λ o = λ c et λ 1 = C 2 = 0 Equation du mouvement ML 2 ω 2 oθ 1ξ 2m+1 = ( ( 1 6 Lλ c + C 3 )θ λ 2 L)θ 1 ξ 3 m = 1 Trois positions d équilibre : θ = θ e + ψ, θ e = 0, θ 2 e = λ 2 L/(C 3 + C 1 /6) ENSTA

49 Ordre supérieur pour λ o = λ c et λ 1 = C 2 = 0 Discussion Trajet fondamental : θ e = 0 ML 2 ω 2 oψ 1 = λ 2 Lψ Stabilité du trajet fondamental si λ 2 < 0 Branche secondaire : θ 2 e = λ 2 L/(C 3 + C 1 /6) ML 2 ω 2 oψ = ( ( 1 6 Lλ o + C 3 )(θ e + ψ) 2 + λ 2 L)(ψ + θ e ) = 2θ 2 e(c 3 + C 1 /6)ψ = 2λ 2 Lψ Stabilité de la branche secondaire si λ 2 > 0. ENSTA

50 Conclusion Conclusion λ λ λ S I λ c S I S I λ c S I S λ c I S I θ θ θ λ 1 < 0 λ 1 = 0, λ 2 > 0 λ 1 = 0, λ 2 < 0 Point de bifurcation est un point de perte de stabilité du trajet fondamental. ENSTA

51 Conclusion La méthode proposée utilise les développements λ = λ o + λ 1 ξ + λ 2 ξ , θ(t) = θ 1 (τ)ξ + θ 2 (τ)ξ , τ = ξ m Ω(ξ) t, Ω = ω o + ω 1 ξ + ω 2 ξ On reporte dans l équation du mouvement et on discute les ordres successifs. ENSTA

52 Conclusion Conclusion Deux sources de non linéarité : comportement - chargement Grands déplacements / grandes déformations- petites déformations Influence du comportement et de la géométrie La dynamique associée à l opérateur linéarisé n est pas suffisante. La méthode systèmatique permet l ensemble de l analyse. ENSTA

53 Conclusion Difficulté : position d équilibre dans le cas général Système à un ddl n est pas représentatif : conservatif/non conservatif. L amortissement n est pas un facteur nécessairement stabilisant. Le choix de la modélisation et des paramètres est important. ENSTA

54 Suite Suite Etendre la méthode systèmatique : Système à n ddls : courant (élèments finis) Généralisation de la méthode : l opérateur A Détermination de la charge critique Construction de la réponse post-critique? Etudier la stabilité le long des branches d équilibre. Puis : cas du milieu continu... ENSTA