T ES/L DEVOIR SURVEILLE 5 12 AVRIL 2013

Transcription

1 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 5 12 AVRIL 2013 Durée : 3h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Exercice 1-4,5 points - Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué. Une réponse exacte rapporte 0,75 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point et une absence de réponse n enlève aucun point. 1) Le réel ² 2 1 est égal à : 2 ² 0 2) est la fonction définie sur [0; 10] par : admet un point d inflexion de coordonnées : 2 ; ; ; 200 3) L ensemble de solution de l inéquation 3 1 est : 3 ; 1 3 ; 3 ]2 : 3[ 4) Une entreprise a un chiffre d affaire de d euros en 2008 et de euros en Le pourcentage moyen annuel d augmentation du chiffre d affaire entre 2008 et 2012 est : 36,6% 11,6% 10% Pour les deux questions suivantes, on considère la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 6; 6]. La droite (T) est tangente à la courbe au point I de coordonnées (0; 3). 5) Le nombre dérivé de en 0 est : ) On pose 26 < J < 32 5 < J < 6 6 < J < 8

2 Exercice 2-5,5 points - Une association caritative a constaté que, chaque année, 20% des donateurs de l année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don. On étudie l évolution du nombre de donateurs au fil des années. Lors de la première année de l étude, l association comptait 1000 donateurs. On note le nombre de donateurs lors de la -ième année ; on a donc ) Calculer et. 2) Montrer que pour tout entier naturel n, on a 0, ) Pour tout entier naturel n, on pose a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 500. b) Pour tout entier naturel n, exprimer en fonction de. c) Calculer la somme d) Calculer la limite de la suite. 4) A partir des questions précédentes : a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a , 8. b) Déterminer le nombre total de donateurs au cours des 4 premières années. c) Déterminer l évolution du nombre de donateurs de l association dans les années à venir. 5) a) Montrer que pour tout entier naturel 1, l inéquation 1450 est équivalente à 0, 8 0,1 b) Compléter, dans l annexe, l algorithme afin qu il affiche le nombre d années à partir duquel le nombre de donateurs dépassera les 1450 Initialisation U prend la valeur 1 N prend la valeur 1 Traitement Tant que U > Donner à N la valeur Donner à U la valeur 0, 8 Fin Tant Que Sortie Afficher c) Quel résultat obtient-on à l aide de cet algorithme? Quelle interprétation peut-on en donner?

3 Exercice 3-6 points - Partie A : Deux amis Matthieu et Simon se retrouvent tous les samedis chez Alexis, un ami commun. Matthieu est ponctuel et arrive à 14h précises tandis que Simon arrive de manière aléatoire entre 14h et 16h30. Soit X la variable aléatoire indiquant l heure d arrivée de Simon. 1) Préciser la loi suivie par X. 2) Quelle est la probabilité que Mathieu attende Simon plus de 15 minutes? 3) Un samedi, Matthieu attend depuis 30 minutes et, étant pressé, il décide de partir dans les 15 minutes suivantes. Quelle est la probabilité qu il rencontre Simon? Partie B : Un certain samedi, Alexis a inventé un jeu où la mise est de 1. Une partie se joue en deux temps. On tire une carte d'un paquet contenant un cœur, deux trèfles et quatre piques : si on tire un cœur, on gagne 11 si on tire un trèfle, on paye 5 si on tire un pique, on tire une deuxième carte sans avoir replacé la première. Si la deuxième carte est le cœur, on gagne 8. Sinon, on perd seulement la mise. 1) Construire un arbre pondéré qui représente toutes les éventualités de ce jeu. 2) Soit G le gain algébrique obtenu par le joueur. a) Quelles sont toutes les valeurs possibles pour G? b) Calculer la probabilité p de perdre seulement la mise. c) Etablir la loi de probabilité de G (les explications ne sont pas demandées) Valeurs possibles pour G : Probabilités : d) Calculer l'espérance mathématique de G. e) Ce jeu est-il équitable?

4 Exercice 4-5 points - Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d euros, réalisé en vendant centaines d objets fabriqués, est modélisé par la fonction définie et dérivable sur l intervalle [0,1 ;10] par : 10 Si est positif, il s agit d un bénéfice ; s il est négatif, il s agit d une perte. Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l écran suivant : (Commande) B(x) : = 10*(1+ln(x))/x (Réponse 1) 10 (Commande) deriver (B(x),x) (Réponse 2) 10 (Commande) résoudre(b(x) = 0,x) (Réponse 3) 1 (Commande) résoudre(b(x) > 0,x) (Réponse 4) 1 (Commande) maximum(b(x), [0,1 ;10]) (Réponse 5) 10 1) a) Traduire sur le graphique donné en annexe, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel. b) Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel pour l'entreprise. 2) a) Retrouver par le calcul l expression de. b) Déterminer le sens de variation de la fonction. c) En déduire le nombre d objets pour lequel le bénéfice mensuel est maximal. 3) a) Démontrer qu'une primitive de la fonction sur l'intervalle [0,1 ; 10] est la fonction définie sur [0,1 ; 10] par 5 2, b) Calculer, puis en donner une valeur approchée à 10 3 près.

5 T ES/L ANNEXE DS 5 12 AVRIL 2013 NOM : Prénom : Exercice 2 Initialisation U prend la valeur 1 N prend la valeur 1 Traitement Tant que U > Donner à N la valeur Donner à U la valeur 0, 8 Fin Tant Que Sortie Afficher Exercice 4

6 T ES/L CORRECTION DEVOIR SURVEILLE 5 12 / 04 / 2013 Exercice 1-4,5 points - Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué. Une réponse exacte rapporte 0,75 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point et une absence de réponse n enlève aucun point. 1) Le réel ² est égal à ² Rappels : 1 0 et Remarque On peut aussi utiliser la calculatrice en calculant 2 1 une valeur approchée de chacune des solutions proposées. Réponse : d une part et en cherchant 2) est la fonction définie sur [0; 10] par : admet un point d inflexion de coordonnées : ; ; ; La seule abscisse appartenant à Df = [0; 10] est celle de la première proposition ; Remarque : La courbe admet un point d inflexion si la dérivée seconde s annule et change de signe Calcul de On pose 100 et et on a 100 et Alors = = = = Calcul de f (x) On pose et 1 1 et on a et 1 1 Alors = = = = Comme En on déduit que est du signe de 2 Or Donc la courbe admet un point d inflexion au point d abscisse 2 Réponse : ;

7 3) L ensemble de solution de l inéquation 1 est : ; ; ]2 : 3[ est définie sur ]0;+ [ donc il faut 3 0 soit 3 On résout sur ] 1; 3[ ; 3 Remarque Avec la calculatrice dans le MENU TABLE, on peut saisir la fonction x 7! ln(3 x) puis chercher dans le tableau de valeurs les valeurs pour lesquelles Y1 < 1 Réponse : 3 ; 3 4) Une entreprise a un chiffre d affaire de d euros en 2008 et de euros en Le pourcentage moyen annuel d augmentation du chiffre d affaire entre 2008 et 2012 est : 36,6% 11,6% 10% Si on note t le pourcentage d augmentation annuel moyen, chaque année, on multiplie le chiffre d affaire par 1 On a alors ln 1 ln 4ln 1 ln 1 e ln 1 t t 10 Remarque Plus simplement, on peut appliquer successivement les pourcentages proposés à euros pour déterminer lequel permet d obtenir euros : Réponse : 10%

8 Pour les deux questions suivantes, on considère la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 6; 6]. La droite (T) est tangente à la courbe au point I de coordonnées (0; 3). 5) Le nombre dérivé de en 0 est : est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 0 donc 0 1 Réponse : 1 6) On pose 26 < J < 32 5 < J < 6 6 < J < 8 Sur [0; 2], est continue et 0 donc est l aire du domaine limité par la courbe, l axe des abscisses et les droites d équations 0 et 2. Une unité d aire représente 4 carreaux du quadrillage. L aire A contient 26 carreaux entiers soit 6,5 unités d aire L aire A est contenue dans 31 carreaux entiers Donc 6, 5 7, 75 Réponse : 6 < J < 8 soit 7,75 unités d aire

9 Exercice 2-5,5 points - Une association caritative a constaté que, chaque année, 20% des donateurs de l année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don. On étudie l évolution du nombre de donateurs au fil des années. Lors de la première année de l étude, l association comptait 1000 donateurs. On note le nombre de donateurs lors de la -ième année ; on a donc. 1) Calculer et. Il y a 1000 donateurs au départ donc l année suivante 20% de ces 1000 donateurs ne renouvellent pas leur don donc 80% renouvellent leur don D où De même 2) Montrer que pour tout entier naturel n, on a,. 20% des donateurs ne renouvellent pas leur don donc 80% renouvellent leur don Ce qui correspond à 0, 8 Il faut ensuite ajouter les 300 nouveaux donateurs Donc, 3) Pour tout entier naturel n, on pose. a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme. Pour tout entier 1, on a : 1500 = , = , = , 8 = 0, = 0, 8 donc est une suite géométrique de raison 0, 8 et ( est une suite géométrique de raison 0, 8 et de premier terme b) Pour tout entier naturel n, exprimer en fonction de. est une suite géométrique de raison 0, 8 et de premier terme 500 0, 8 D où pour tout entier 1, on a :, c) Calculer la somme est une suite géométrique de raison 0, 8 et de premier terme Alors, , Donc S 4 = 1476 d) Calculer la limite de la suite. est une suite géométrique de raison q = 0, 8 avec 0 < q < 1 donc 4) A partir des questions précédentes : a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a,. Pour tout entier 1, on a : 1500 donc 1500 et 500 0, 8 donc,

10 b) Déterminer le nombre total de donateurs au cours des 4 premières années. On veut calculer Il y a eu 4524 donateurs au total les quatre premières années. c) Déterminer l évolution du nombre de donateurs de l association dans les années à venir , , , , , , , 8 0, , , 8 0, , 8 0, , 8 Pour tout entier 1, on a : 0, 8 0 et donc 0 donc est strictement croissante. Remarque est une suite géométrique de premier terme 0 et de raison q ]0; 1[ donc est strictement décroissante et 1500 donc est strictement croissante. 5) a) Montrer que pour tout entier naturel, l inéquation 1450 est équivalente à, 0, , , , 8 0, 8 0, , 0, 1 b) Compléter, dans l annexe, l algorithme afin qu il affiche le nombre d années à partir duquel le nombre de donateurs dépassera les 1450 Initialisation U prend la valeur 1 N prend la valeur 1 Traitement Tant que U > 0,1 Donner à N la valeur N+1 Donner à U la valeur, Fin Tant Que Sortie Afficher N c) Quel résultat obtient-on à l aide de cet algorithme? Quelle interprétation peut-on en donner? On trouve N= 12 Donc au bout de 12 années, le nombreux d adhérents sera supérieur à 1450.

11 Exercice 3-6 points - Partie A : Deux amis Matthieu et Simon se retrouvent tous les samedis chez Alexis, un ami commun. Matthieu est ponctuel et arrive à 14h précises tandis que Simon arrive de manière aléatoire entre 14h et 16h30. Soit X la variable aléatoire indiquant l heure d arrivée de Simon. 1) Préciser la loi suivie par X. Simon arrive de manière aléatoire entre 14h et 16h30 et X la variable aléatoire indiquant l heure d arrivée de Simon On en déduit que X suit la loi uniforme sur [14 ;16,5] 2) Quelle est la probabilité que Mathieu attende Simon plus de 15 minutes? On cherche donc 14,25 14,25 16,5 Or si X suit la loi uniforme sur [ a ;b] On a alors : 14,25 14,25 16,5,,,,, La probabilité que Mathieu attende plus de 15 minutes est égale à 0,9 0,9 3) Un samedi, Matthieu attend depuis 30 minutes et, étant pressé, il décide de partir dans les 15 minutes suivantes. Quelle est la probabilité qu il rencontre Simon?, 14,75,;,,;,,,,,,,,;,,,,,,,,;,,;,, 0,125 Un samedi, Matthieu attend depuis 30 minutes et, étant pressé, il décide de partir dans les 15 minutes suivantes. La probabilité qu il rencontre Simon est égale à 0,125 Partie B : Un certain samedi, Alexis a inventé un jeu où la mise est de 1. Une partie se joue en deux temps. On tire une carte d'un paquet contenant un cœur, deux trèfles et quatre piques : si on tire un cœur, on gagne 11 si on tire un trèfle, on paye 5 si on tire un pique, on tire une deuxième carte sans avoir replacé la première. Si la deuxième carte est le cœur, on gagne 8. Sinon, on perd seulement la mise. 1) Construire un arbre pondéré qui représente toutes les éventualités de ce jeu.

12 2) Soit G le gain algébrique obtenu par le joueur. a) Quelles sont toutes les valeurs possibles pour G? Les valeurs possibles pour G sont : - 6 ; - 1 ; 7 et 10 b) Calculer la probabilité p de perdre seulement la mise. 1 La probabilité p de perdre seulement la mise est égale à c) Etablir la loi de probabilité de G (les explications ne sont pas demandées) Valeurs possibles pour G : Probabilités : 2/7 10/21 2/21 1/7 Explications (non demandées) : ( cf question précédente) pour trouver p( G = 7) soit on utilise le fait que la somme des probabilités est égale à 1 d où : 7 1 soit on utilise l arbre 7 d) Calculer l'espérance mathématique de G. Elle est égale à : L'espérance mathématique de G est égale à e) Ce jeu est-il équitable? Ce jeu n est pas équitable car E(G) est différent de zéro. De plus ce jeu est défavorable au joueur car E(G) < 0. En jouant un grand nombre de fois, le joueur perd en moyenne environ 0,095 soit environ 0,10.

13 Exercice 4-5 points - Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d euros, réalisé en vendant centaines d objets fabriqués, est modélisé par la fonction définie et dérivable sur l intervalle [0,1 ;10] par : Si est positif, il s agit d un bénéfice ; s il est négatif, il s agit d une perte. Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l écran suivant : (Commande) B(x) : = 10*(1+ln(x))/x (Réponse 1) 10 (Commande) deriver (B(x),x) (Réponse 2) 10 (Commande) résoudre(b(x) = 0,x) (Réponse 3) 1 (Commande) résoudre(b(x) > 0,x) (Réponse 4) 1 (Commande) maximum(b(x), [0,1 ;10]) (Réponse 5) 10 1) a) Traduire sur le graphique donné en annexe, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel. b) Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel pour l'entreprise. 0,1 ; ln 0 ln 1 0 Interprétation : Le bénéfice est égal à 0 pour centaine d objets soit 0,3679 centaines d objets : 36,79 objets. Donc le bénéfice ne peut jamais exactement être égal à 0. Il est environ égal à 0 pour 37 objets.

14 2) a) Retrouver par le calcul l expression de. On a 10 Alors dérivable sur 0,1; 10 comme quotient de fonction dérivable sur 0,1; 10 On a 10 Alors 10 ² avec 1 ln 1 D où ² ² ² ² b) Déterminer le sens de variation de la fonction. On cherche le signe de la dérivée 10 ² D où la fonction B est strictement croissante sur [0,1 ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; 10] c) En déduire le nombre d objets pour lequel le bénéfice mensuel est maximal D après le tableau de variation, le bénéfice est maximal pour 1 en centaines soit pour 100 objets. Le bénéfice maximal est égal à 10 milliers d euros : euros. 3) a) Démontrer qu'une primitive de la fonction sur l'intervalle [0,1 ; 10] est la fonction définie sur [0,1 ; 10] par Pour montrer que est une primitive de sur, il faut montrer que la dérivée de est égale à, c'est-à-dire que pour tout,. On calcule donc la dérivée de. On a 5 2 est dérivable sur 0,1 ; 10 comme produit de fonctions dérivables de [0,1 ;10] On a 5 avec ln ln 2 Alors 5 D où 5 ln 2 ln 5 ln 2 ln 5 2 ln 2

15 Donc 10 ln 1 10 Donc pour tout réel de l'intervalle 0,1 ;10 D où F est bien une primitive de B sur, ;. b) Calculer, puis en donner une valeur approchée à 10 3 près., On sait que F est une primitive de B sur 0,1 ;10.,,, 1,50,5,, 5ln1,5ln1,525ln0,5ln0,52,,,,