Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71. Rachid Regbaoui

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1 Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71 Rachid Regbaoui

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3 Chapitre 1 Rappels sur les suites et séries numériques 1.1 Suites numériques Généralités Dans la suite K désignera le corps des réels R ou celui des nombres complexes C. Définition Une suite numérique est une application de N (ou N privé d un nombre fini de points) dans K, qui à chaque entier n associe un élément noté u n N. La suite en tant qu application de N dans K sera notée (u n ). Définition Une suite numérique (u n ) est dite bornée s il existe une constante réelle C telle que u n C pour tout n N. Lorsque la suite (u n ) est à valeurs réelles (K = R) on dit qu elle est : minorée s il existe une constante réelle C telle que u n C pour tout n N, majorée s il existe une constante réelle C telle que u n C pour tout n N. Notons qu une suite à valeurs réelles est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée. Définition Une suite numérique (u n ) est dite convergente s il existe l K vérifiant la propriété suivante : ε > 0, n 0 N, tel que n N, n n 0 = u n l ε. Dans ce cas le nombre l est unique, et on l appelle la limite de la suite (u n ). On écrira l = lim u n. Une suite qui n est pas convergente est dite divergente. 1

4 2 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Remarque On ne modifie ni la nature (convergence ou divergence) d une suite ni la valeur de sa limite éventuelle si on modifie un nombre fini de ses valeurs. Exemples 1) La suite définie par u n = 1 n+1 est convergente de limite 0. 2) Les suites définies par u n = ( 1) n et v n = n sont divergentes. Nous avons la première propriété des suites convergentes : Proposition Toute suite convergente est bornée. Définition une suite (u n ) est dite de Cauchy si elle vérifie la propriété suivante : ε > 0, n 0 N, tel que (p, q) N N, p, q n 0 = u p u q ε Théorèmes généraux de convergence Théorème (Critère de Cauchy) Une suite numérique est convergente si et seulement si elle est de Cauchy. Proposition (Convergence et opérations algébriques) Soient (u n ) et (v n ) deux suites numériques convergentes de limites l 1 et l 2 respectivement. Alors pour tout α, β K, la suite (αu n + βv n ) est convergente de limite αl 1 + βl 2 la suite (u n v n ) est convergente de limite l 1 l 2 ( ) u si l 2 0, la suite n vn est bien définie pour n assez grand, et elle est convergente de limite l1 l 2. Proposition (Convergence et continuité des fonctions) Soit (u n ) une suite numérique convergente de limite l, et soit V K un voisinage de l. Si f : V K est une fonction continue en l, la suite (f(u n )) est bien définie pour n assez grand, et elle est convergente de limite f(l). Corollaire Si une suite numérique (u n ) est convergente de limite l, la suite ( u n ) est convergente de limite l. Remarque La réciproque du corollaire précédent est fausse ; il suffit de considérer la suite définie par u n = ( 1) n. Proposition (Convergence et inégalités) Dans cette proposition on suppose K = R. Soit (u n ) une suite numérique vérifiant u n C pour tout n n 0, où C est une constante réelle et n 0 est un entier naturel. Alors si (u n ) est convergente, sa limite l vérifie l inégalité l C. Inversement, si (u n ) est une suite numérique convergente de limite l vérifiant l < C, où C est une constante réelle, alors il existe un entier naturel n 0 tel que u n < C pour tout n n 0.

5 1.1. SUITES NUMÉRIQUES 3 Remarque Il découle de la proposition qu elle est aussi vraie si on remplace partout le symbole par et le symbole < par >. La deuxième partie de la proposition ne serait plus vraie si l on remplace les inégalités strictes par les inégalités larges. Théorème (Théorème d encadrement) Dans ce théorème on suppose que K = R. Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites numériques telles que u n v n w n pour tout n n 0, où n 0 est un entier naturel. Si les deux suites (u n ) et (w n ) sont convergentes et elles ont la même limite l, alors la suite (v n ) est convergente de limite l. Corollaire Soient (u n ) et (v n ) deux suites numériques telles que (v n ) soit à valeurs réelles et convergente de limite nulle. On suppose qu il existe n 0 N tel que : u n v n pour tout n n 0. Alors la suite (u n ) est convergente de limite nulle Suites monotones Dans ce paragraphe on suppose que K = R. Définition Une suite nuérique (u n ) est dite : croissante si pour tout n N, u n u n+1 décroissante si pour tout n N, u n+1 u n monotone si elle est croissante ou décroissante. On définit aussi des suites strictement croissantes et strictement décroissantes en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes dans la définition précédente. Une suite sera dite strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. Théorème (Critère de convergence des suites monotones) Soit (u n ) une suite croissante (resp. décroissante). Alors (u n ) est convergente si et seulement si elle est majorée (resp. minorée). Dans ce cas on a lim u n = sup u n (resp. lim u n = inf u n). n N n N Définition On dit que deux suites numériques sont adjacentes si l une est croissante, l autre est décroissante et leur différence est une suite convergente de limite nulle. Théorème Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite. Remarque Soient (u n ) et (v n ) deux suites adjacentes ; on suppose par exemple que c est (u n ) qui est croissante. On a donc (v n ) décroissante et lim (v n u n ) = 0. Si on note par l la limite commune des deux suites, on a en fait pour tout entier naturel n, u n l v n.

6 4 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Corollaire (Théorème des segments emboîtés) Soit I 0, I 1, I 2, une suite d intervalles compacts (fermés et bornés ) tels que 1) I 0 I 1 I 2 2) la suite des longueurs des intervalles : l n = longueur(i n ) vérifie lim l n = 0. Alors il existe un point et seul commun à tous les intervalles, i.e, il existe a R tel que I n = {a} Suites récurentes Définition Soit f : D D, où D K. On appelle suite récurente associée à f toute suite numérique (u n ) défine par u n+1 = f(u n ) pour tout n N, avec u 0 D. Remarque Une suite récurente associée à une fonction f est complètement déterminée par sa valeurs initiale u 0. Exemples classiques de suites récurentes 1) Suites affines : suites récurentes associées à f : K K défine par f(x) = ax + b, où a, b sont des constantes dans K. 2) Suites homographiques : suites associées à f : D D définie par f(x) = ax+b cx+d, où a, b, c, d sont des constantes dans K avec c 0, et où D est sous-ensemble de K\{ d c } tel que f(d) D. 3) ( Suite de Héron : suites récurentes associées à f : ]0, + [ ]0, + [ définie par f(x) = 1 2 x + a x), où a est une constante positive. Proposition Soit (u n ) une suite récurente associée à une fonction f : D D qu on suppose continue sur D. Si (u n ) est convergente, sa limite l est un point fixe de f, i.e, vérifie f(l) = l. Théorème Soit f : I I une fonction continue, où I est un intervalle compact de R, et soit (u n ) une suite récurente associée à f. Alors : 1) si f est croissante, la suite (u n ) est monotone et elle est convergente, dont la limite est un point fixe de f. 2) Si f est décroissante et si f f admet un seul point fixe dans I, la suite (u n ) est convergente dont la limite est l unique point fixe de f f (qui est aussi l unique point fixe de f).

7 1.1. SUITES NUMÉRIQUES Sous-suites Définition On appelle sous-suite extraite d une suite numérique (u n ) toute suite numérique (v n ) de la forme v n = u ϕ(n), où ϕ : N N est une application strictement croissante. Exemples (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u n 2) sont des sous-suites extraites de (u n ) mais la suite ( u [ n] ) n est pas une sous-suite de (u n ), ici [x] désigne la partie entière d un nombre réel x. Théorème (Caractérisation de la convergence des suites par des sous-suites) Une suite (u n ) est convergente de limite l si et seulement si toute sous-suite de (u n ) est convergente de limite l. On aussi le théorème suivant qui dit qu il suffit de considérer les sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) dans le théorème précédent : Théorème Une suite (u n ) est convergente de limite l si et seulement si les sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont convergentes de limite l chacune. On a aussi l un des thèorèmes les plus importants de l analyse : Théorème (Théorème de Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente. Définition On appelle valeur d adhérence d une suite (u n ) tout nombre réel l tel qu il existe une sous-suite (u ϕ(n) ) extraite de (u n ) convergente de limite l. Une valeur d adhérence l est dite point d accumulation si u n l pour tout n n 0, où n 0 est un entier naturel. Exemples 1) Soit u n = ( 1) n. Les nombres 1, 1 sont des valeurs d adhérence de (u n ) mais pas des points d accumulation. On peut vérifier que cette suite n admet pas de point d accumulation. 2) Soit u n = (n + 1) ( 1)n. On peut vérifier facilement que 0 est un point d accumulation de (u n ). Théorème (Caractérisation de la convergence d une suite bornée par l ensemble de ses valeurs d adhérence) Une suite numérique bornée est convergente si et seulement si elle admet un unique point d adhérence qui est sa limite.

8 6 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Exercices Exercice 1 Pour chacune des suites suivantes préciser le domaine de la valeur initiale u 0 pour que la suite soit bien définie et étudier sa nature : u n+1 = 4 ; u n+1 = u n 2 ( u2 n + 3) ; u n+1 = u 2 n + 1 ; u n+1 = ln u n ; u n+1 = cos u n. Exercice 2 Etudier la suite affine u n+1 = au n + b en fonction a, b et u 0. Exercice 3 Etudier la suite dite de Héron : u n+1 = 1 2 positive. ( u n + a u n ), où a est une constante Exercice 4 (moyenne arithmético-géométrique) Etant donnés deux nombres réels positifs ou nuls a et b, on notera (a n ) et (b n ) les deux suites définies par a 0 = a, b 0 = b et, pour n 0, par a n+1 = an+bn 2 b n+1 = a n b n. Lorsque a = 1 et b = x avec x 0, a n et b n sont des fonctions de x qu on notera respectivement u n et v n. 1) Démontrer que, pour tout n 1, on a 0 b n b n+1 a n+1 a n a n+1 b n (a n b n ). En déduire que les deux suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes pour n 1, et qu elles sont donc convergentes vers une limite commune que l on notera M(a, b). Ce nombre s appelle moyenne arithmético-géométrique de a et b. 2) Démontrer que pour tout a 0, b 0, λ 0 et pour tout entier k 0, on a M(a k, b k ) = M(a, b) M(a, b) = M(b, a) M(λa, λb) = λm(a, b). On définit la fonction f : [0, + [ R par f(x) = M(1, x) x 0. Déduire des formules précédentes que M(a, b) = af( b a ) pour tout a > 0 et tout b 0. 3) Démontrer que, pour tout n 0, les fonctions u n et v n sont continues. 4) Démontrer que, pour tout n 1 et tout x 0, on a 0 u n (x) f(x) 2 n x 1. (On pourra utiliser les inégalités démontrées dans la question 1) En déduire que f est continue.

9 1.1. SUITES NUMÉRIQUES 7 5) Montrer que, pour tout n 0, les fonctions u n et v n sont croissantes. En déduire que f est croissante. 6) Démontrer que, pour tout x 0, on a x f(x) x+1 2 (on pourra utiliser la monotonie des suites (u n (x)) et (v n (x)) pour chaque x 0 fixé ). En déduire la limite de f(x) lorsque x tend vers +. 7) Calculer f(0). Est-ce que f est dérivable en 0? Exercice 5 Soit (u n ) la suite numérique définie par u n = ! + 1 2! n! et soit v n = u n + 1 n!. 1) Montrer que les deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. 2) Soit e la limite commune des deux suites (u n ) et (v n ). Montrer que e Q. Exercice 6 Démontrer le théorème des segments emboîtés (corollaire 1.1.3). Exercice 7 Démontrer le théorème Exercice 8 Etudier les suites (u n ), (v n ), (w n ) définies par u n+1 = 1 2 (v n + w n ) v n+1 = 1 2 (u n + w n ) w n+1 = 1 2 (u n + v n ), où u 0, v 0, w 0 sont des nombres réels données. Exercice 9 Soit (u n ) une suite réelle vérifiant lim (u n+1 u n ) = 0, et soit A l ensemble de ses valeurs d adhérence. On veut montrer que si A, alors A est un intervalle. 1) Montrer que A est fermé. 2) Soient a, b A tels que a b. On suppose qu il existe c [a, b] tel que c A. i) Montrer qu il existe δ > 0 tel que [c δ, c + δ] A =. ii) Montrer qu il existe une sous-suite (u nk ) extraite de (u n ) telle que u nk tout k N. [c δ, c + δ] pour iii) En déduire une contradiction et conclure.

10 8 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES 1.2 Séries numériques Généralités Comme nous l avions déjà signalé dans la section précédente, toutes les suites numériques considérées ici sont à valeurs dans K = R ou C. Définition Etant donnée une suite numérique (u n ), on appelle série numérique de terme général u n, la suite notée u n dont les termes sont définis pour tout n N, par n S n = u 0 + u u n = u k. k=0 Dans la définition précédente, bien que la série u n et la suite (S n ) soient identiques, on appellera la suite (S n ) la suite des sommes partielles de la série u n. Définition On dit qu une série numérique u n est convergente si la suite des ses sommes partielles (S n ) est convergente. Sa limite S s appelle la somme de la série u n, elle sera notée La suite (R n ) définie par S = R n = S u n. n k=0 u k s appelle le reste de la série u n. Une série qui n est pas convergente est dite divergente. En appliquant le critère de Cauchy (pour la convergence des suites numériques) on a immédiatement la propriété suivante pour les séries convergentes. Proposition Soit u n une série convergente, alors la suite (u n ) est convergente et Exemples lim u n = 0. 1) La série de terme général u n = ( 1) n n est pas convergente puisque (u n ) ne converge pas vers 0.

11 1.2. SÉRIES NUMÉRIQUES 9 2) On appelle série géométrique la série dont le terme général est donné par la suite géométrique u n = a n, avec a K une constante. Cette série est convergente si et seulement si a < 1 et sa somme S = 1 1 a. 3) Une série u n est dite téléscopique s il existe une suite numérique (a n ) telle que u n = a n+1 a n pour tout n N. Une telle série est convergente si et seulement si dans ce cas sa somme vaut lim a n a 0. On a aussi le critère de Cauchy qui généralise la proposition précédente : lim a n existe, et Théorème (Crtitère de Cauchy pour les séries) Une série numérique u n est convergente si et seulement si pour tout ε > 0, il existe n 0 N tel que q p, q N, q p n 0 = u k ε. Exemple Grâce au critère de Cauchy on peut montrer que certaines séries sont divergentes. Par exemple, pour la série harmonique 1 n on a k=p 2n k=n 1 k = 1 n + 1 n n 1 2n + 1 2n n = 1 2, ce qui implique que cette série est divergente. Définition On dit qu une série convergente. u n est absolument convergente si la série En utilisant le critère de Cauchy on obtient la proposition suivante : u n est Proposition Si la série u n est absolument convergente, alors elle est convergente. De plus, on a u n u n. Remarque La réciproque de la proposition précédente est fausse ; il existe des séries convergentes sans être absolument convergentes. Un exemple typique de telles séries est celui de certaines séries alternées qu on va étudier dans les sections suivantes. Nous avons la proposition suivante sur les combinaisons linéaires de séries convergentes :

12 10 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Proposition Soient u n et v n deux séries convergentes et soient λ, µ K. Alors la série (λu n + µv n ) est convergente et sa somme vérifie (λu n + µv n ) = λ u n + µ v n Séries à termes positifs Les séries à termes positifs jouent un rôle important dans l étude des sésries numériques. Commençons par un critère simple concernant la convergence de ces séries. Proposition Soit u n une série à termes positifs, i.e la suite (u n ) est réelle et u n 0 pour tout n N. Alors cette série est convergente si et seulement si la suite des ses sommes partielles S n = u 0 + u u n est majorée. La proposition précédente a pour conséquence la règle de comparaison suivante, qui est très utlisée dans la pratique : Proposition (comparaison des séries à termes positifs) Soient u n et v n deux séries à termes positifs telles que u n v n pour tout n n 0, où n 0 est un entier naturel. Alors si la série v n est convergente, la série u n l est aussi, et sa somme vérifie u n Si la série u n est divergente, la série v n l est aussi. v n. On a le corollaire suivant : Corollaire Soit u n une série numérique et soit v n une série à termes positifs qui est convergente et telle que u n v n pour tout n n 0, où n 0 est un entier naturel. Alors la série u n est absolument convergente. On peut utiliser aussi les intégrales pour étudier la convergence d une série à termes positifs : Théorème (Comparaison avec une intégrale) Soit a R et soit f : [a, + [ R + une fonction continue et décroissante. Alors la série + f(n) et l intégrale f(x)dx sont de n n a 0 même nature (ici n 0 est un entier naturel tel que n 0 a).

13 1.2. SÉRIES NUMÉRIQUES 11 Comme conséquence de ce théorème on a le critère de convergence des séries de Riemann : Corollaire La série de Riemann 1, s R, est convergente si et seulement si s > 1. ns Définition On dit que deux suites numériques (u n ) et (v n ) sont équivalentes s il existe une suite numérique (a n ) vérifiant lim a n = 1 telle que u n = a n v n pour tout n n 0, où n 0 est un entier naturel. Dans ce cas on écrit u n v n. Le fait que deux suites soient équivalentes est une relation d équivalentce sur l ensemble des suites numériques. En particulier elle est symétrique, i.e si u n v n alors v n u n. Dans la pratique pour vérifier si deux suites (u n ) et (v n ) sont équivalentes, on clacule la limite du rapport un v n (on suppose ici que v n 0 pour n n 0 ). Si cette limite vaut 1 les deux suites sont équivalentes. Nous avons la proposition suivante concernant deux séries dont les termes généraux sont deux suites équivalentes de même signe : Proposition Soient u n et v n deux séries à termes positifs telles que u n v n. Alors les deux séries sont de même nature. Il est très important que (u n ) et (v n ) soient à termes positifs dans la proposition précédente ; il existe des exemples de deux séries (changeant de signe) qui sont équivalentes mais l une converge et l autre diverge ( voir exemple en exercices). Nous terminons ce paragpraphe par deux autres règles classiques de convergence des séries à termes positifs. On les obtient en comparant avec des séries géométriques : Proposition (Règle de Cauchy) Soit u n une série à termes positifs et supposons que l = lim (u n) 1/n existe. Alors si l < 1, la série u n est convergente, et si l > 1 la série est divergente. Si l = 1, on ne peut pas conclure. Proposition (Règle de d Alembert) Soit u n une série à termes positifs et supposons u n+1 que l = lim existe. Alors si l < 1, la série u n est convergente, et si u n est divergente. Si l = 1, on ne peut pas conclure. l > 1 la série Dans les deux règles de Cauchy et de d Alemebert, on peut démontrer (voir exercices) que u n+1 u n si l une des deux limites lim (u n) 1/n ou lim existe, alors l autre existe aussi et elles sont égales. Il existe des versions plus générales des deux règles précédentes où les limites sont remplacées par la limite supérieure dans la règle de Cauchy et par la limite supérieure ou inférieure (selon que l < 1 ou l > 1) dans la règle de d Alembert.

14 12 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Séries à termes quelconques, séries alternées Lorsqu une série n est pas absolument convergente on doit trouver un autre moyen pour étudier sa convergence sans connaître sa limite éventuelle. Commençons par le cas d une famille de séries très connues : Définition On dit qu une série numérique u n est alternée si elle est réelle et ( 1) n u n garde un signe constant pour tout n N. Ainsi on a, pour tout n N, u n = ( 1) n+1 u n pour tout n N. u n = ( 1) n u n, ou Nous avons la proposition suivante concernant la convergence des séries alternées : Proposition Soit u n une série alternée telle que la suite ( u n ) soit décroissante et convergente vers 0. Alors la série u n est convergente et sa somme vérifie n N, S 2n ou n N, S 2n+1 où (S n ) est la suite de ses sommes partielles. u n S 2n+1 u n S 2n, On peut être plus précis dans la proposition précédente : si on considère la suite des sommes partielles S n, alors on peut vérifier (voir exercices) que les deux suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes et leur limite commune est la somme de la série alternée. Exemple En aplliquant la proposition précédente, on voit que la série alternée convergente si et seulement si s > 0. ( 1) n n s, s R, est Nous allons maintenant énoncer un théorème plus général que la proposition précédente, il est très utile lorsque les théorèmes sur les séries à termes positifs ne s appliquent pas. Théorème (Premier critère d Abel ) Soient (a n ) une suite réelle à termes positifs ou nuls, ( qui est décroissante et convergente vers 0, et soit (u n ) une suite numérique telle que la n ) n suite u k soit bornée, i.e, il existe une constante C 0 telle que u k C pour tout k=0 n N. Alors la série numérique a n u n est convergente. k=0

15 1.2. SÉRIES NUMÉRIQUES 13 Exemple En utilisant le critère d Abel précédent on peut vérifier que la série e inθ n, θ R, converente si et seulement si θ 2πZ. En prenant les parties réelle et imaginaire de cette série on voit que les deux séries cos(nθ) et sin(nθ) sont convergentes si et seulement si θ 2πZ. n n Nous terminons cette section avec le second critère d Abel : est Théorème (Second critère d Abel ) Soient (u n ) une suite numérique telle que la série u k soit convergente, et soit (v n ) une suite numérique telle que la série v n+1 v n soit convergente, alors la série numérique u n v n est convergente Exercices Exercice 1 Etudier la nature des séries suivantes : ( n ) n 2 n + 1 ; n 2 1 n α ln n ; ( 1 cos 1 ) n ; n 2 1 ln(n 2 + n + 1) 1 2 ; n Arctg n n ; (n!) 2 (2n)! ; n 2 ( ) ln n 1 ln n Exercice 2 Etudier la nature des séries suivantes et calculer leurs sommes 1 Arctg n 2 + n + 1 ; ln cos 2π 2 n. 1 Exercice 3 Etant donné α > 0, trouver β R pour que les deux séries n α et ( ) 1 n β 1 (n + 1) β soient de même nature. En déduire une condition sur la convergence de la série de Riemann 1 n α. Exercice 4 Soit P et Q deux polynômes de degrés p et q respectivement. Montrer que 1) la série P (n) Q(n) est convergente si et seulement si p + 2 q, où n 0 est un entier assez grand n n 0 pour que Q(n) 0 n n 0. 2) La série ( 1) n P (n) est convergente si et seulement si p + 1 q. Q(n) n n 0

16 14 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Exercice 5 Soit ( 1) n u n une série alternée telle que la suite ( u n ) soit décroissante et convergente vers 0, et soit (S n ) la suite de ses sommes partielles. Montrer que les deux suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes, et en déduire la convergence de la série ( 1) n u n. Exercice 6 Montrer que les deux suites u n = ( 1)n n les deux séries ( 1) n n et ( 1) n n + 1 n et v n = ( 1)n n + 1 n ne sont pas pas de même nature. sont équivalentes mais Exercice 7 Soit (u n ) une suite de réels positifs ou nuls. En utilisant la définition de la convergence d une suite numérique, montrer que si l une des deux limites lim (u n) 1/n u n+1 ou lim u n existe, alors l autre existe aussi et elles sont égales. Exercice 8 Soit (u n ) une suite numérique telle que u n > 0 n N, et soient v n = un w n = 1+u n, un 1+u. Montrer que les deux séries u 2 n et v n sont de même nature. Peut-on dire de n même pour les deux séries u n et w n?

17 Chapitre 2 Rappels sur les suites et séries de fonctions 2.1 Suites de fonctions Généralités Comme au chapitre précédent, on désigne par K le corps des réels R ou celui des nombres complexes C. Définition Soit D un sous-ensemble de K. Une suite de fonctions sur D est la donnée pour chaque entier n N d une fonction f n = D K. Cette suite sera notée par (f n ). Lorsque f n est à valeurs réelles pour chaque n N, on dit que (f n ) est une suite de fonctions réelles. Définition Soit (f n ) une suite de fonctions définies dans D. 1) On dit que (f n ) converge simplement vers une fonction f : D K si pour chaque x D, la suite numérique (f n (x)) converge vers f(x), i.e lim (f n(x) f(x)) = 0. 2) On dit que (f n ) converge uniformément vers une fonction f : D K si lim sup f n (x) f(x) = 0. x D Remarque La convergence uniforme implique la convergence simple mais pas l inverse (voir exemples ci-dessous). Exemples 1) Soit f n : R R définie par f n (x) = n n+x. Cette suite converge simplement vers la fonction 2 f 1 mais pas uniformément. 2) Soit f n = [0, 1] R définie par f n (x) = x n+1 x n + x. Cette suite converge uniformément vers la fonction f : [0, 1] R définie par f(x) = x. 3) La suite de fonctions f n : R C définie par f n (x) = e inx ne converge simplement vers aucune fonction f = R C. Il en est de même pour les suites définies par g n (x) = cos nx et h n (x) = sin nx sur R. 15

18 16 CHAPITRE 2. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS Convergence et continuité Théorème Soit (f n ) une suite de fonctions de fonctions continues sur D K, convergeant uniformément vers f : D K. Alors f est continue sur D. Exemple La suite de fonctions continues f n : R R définies par f n (x) = la fonction non continue f définie par f(x) = 1 x si x 0 et f(0) = 0. nx 1+nx 2 converge simplement vers Lorsqu il s agit de suites monotones de fonctions réelles, le premier théorème de Dini suivant est une sorte de réciproque pour le théorème : Théorème (Premier théorème de Dini) Soit (f n ) une suite de fonctions réelles et continues sur un compact D K, telles que que la suite (f n (x)) soit croissante pour tout x D, i.e f n (x) f n+1 (x) n N. Si la suite (f n ) converge simplement vers une fonction continue f : D K, alors cette convergence est uniforme. Remarque Le premier théorème de Dini reste valable si la suite de fonctions est supposée décroissante au lieu de croissante. Il est important aussi de noter qu il faut supposer D compact et que la fonction limite f est continue. Le second théorème de Dini concerne le cas d une suite de fonctions (f n ) définies sur intervalle compact [a, b] de R, et cette fois-ci on suppose que chaque f n est une fonction croissante sur [a, b] (au lieu de supposer la suite (f n (x)) croissante pour chaque x [a, b]). Plus précisément, nous avons : Théorème (Second théorème de Dini) Soit (f n ) une suite fonctions réelles et croissantes sur un intervalle compact [a, b] R, i.e pour tout n N, la fonction f n est croissante sur [a, b]. Si la suite (f n ) converge simplement vers une fonction continue f : [a, b] R, alors cette convergence est uniforme. Remarque Remarquons que contrairement au premier théorème de Dini, dans le second théorème on n a pas besoin de la continuité des f n. Le second théorème de Dini reste aussi valable si on remplace le mot croissantes par le mot décroissantes dans les hypothèses. Il est important aussi de noter qu il faut supposer que [a, b] est un intervalle compact de R et que la fonction limite f est continue. Exemples 1) Soit f n (x) = x n, x [0, 1]. La suite (f n ) satisfait toutes les hypoth`ses du premier théorème de Dini sauf la dernière : elle converge simplement vers la fonction non continue f définie par f(x) = 0 si x 1 et f(1) = 1. La convergence de (f n ) n est pas uniforme. 2) Soit f n (x) = n n+x, x [0, + [. Toutes les hypothèses du second théorème de Dini sont satisfaite sauf qu ici l intervalle [0, + [ n est pas compact. La convergence n est pas uniforme.

19 2.1. SUITES DE FONCTIONS Convergence et dérivabilité Théorème Soit f n une suite de fonctions dérivables sur un intervalle I R non réduit à un point, et supposons qu il existe un point x 0 I tel que la suite (f n (x 0 )) soit convergente. On suppose en outre que la suite (f n) converge uniformément sur tout intervalle compact [a, b] I vers une fonction g : I K. Alors la suite (f n ) converge uniformément sur tout intervalle compact [a, b] I vers une fonction dérivable f : I K vérifiant f (x) = g(x) pour tout x I. Remarque Il est important que la suite des dérivées soit uniformément convergente dans le théorème précédent. La convergence de (f n ) ( même uniforme ) vers une fonction f ne garantit pas la dérivabilité de f (voir exemple ci-dessous). Exemple Soit f n (x) = 1 n 1 + n2 x 2, x R. La suite (f n ) converge uniformément vers x qui n est pas dérivable en 0. Pour les fonctions holomorphes sur un ouvert de C la situation est différente : Théorème Soit (f n ) une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert D C qui converge uniformément sur chaque compact K D vers une fonction f : D C. Alors f est holomorphe sur D et la suite des dérivées (f n) converge uniformément sur chaque compact K D vers f Convergence et intégrale Théorème (Théorème de convergence dominée) Soit (f n ) une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle compact [a, b] qui converge simplement vers une fonction f : [a, b] K continue par morceaux. On suppose qu il existe une fonction continue par morceaux g : [a, b] R + telle que f n (x) g(x) pour tout x [a, b] et tout n N. Alors on a b lim a f n (x)dx = b a f(x)dx. On a le corollaire suivant lorsqu on a convergence uniforme : Corollaire Soit (f n ) une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle compact [a, b] qui converge uniformément vers une fonction f : [a, b] K. Alors on a b lim a f n (x)dx = b a f(x)dx. Le thérème rest vrai si on travaille dans un intervalle non compact, mais à condition que les intégrales généralisées soient absolument convergentes. Plus précisément, on a :

20 18 CHAPITRE 2. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS Théorème (Théorème de convergence dominée pour des intervalles quelconques) Soit (f n ) une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle I qui converge simplement vers une fonction f : I K continue par morceaux. On suppose qu il existe une fonction continue par morceaux g : I R + telle que f n (x) g(x) pour tout x I et tout n N, et que l intégrale g(x)dx est absolument convergente. Alors les inégrales f(x)dx sont absolument convergentes (pour tout n N) et l on a lim I I I f n (x)dx et I f n (x)dx = f(x)dx. I On a aussi le théorème suivant lorsqu il s agit de suite monotone de fonctions : Théorème (Théorème de convergence monotone) Soit (f n ) une suite croissante de fonctions continues par morceaux sur un intervalle compact [a, b], i.e f n (x) f n+1 (x) pour tout x [a, b] et tout n N. Si (f n ) converge simplement vers une fonction f : [a, b] K continue par morceaux, alors on a lim b a f n (x)dx = b a f(x)dx. Remarque Le théorème précédent reste valable si la suite (f n ) est supposée décroissante au lieu de croissante Approximation des fonctions continues Théorème (Théorème de Weierstrass) Toute fonction continue sur intervalle [a, b] est limite uniforme d une suite de polynômes. On a aussi le théorème suivant très utile pour l intégration : Théorème Toute fonction continue sur un intervalle compact [a, b] est limite uniforme d une suite de fonctions en escaliers Exercices Exercice 1 Etudier la convergence (en précisant sa nature) de chacune des suites de fonctions suivantes f n (x) = 1 n2 + x n 2 sin nx, x R ; f n (x) = n x, x > 0 ; f n(x) = cos x sin n x, x R. Exercice 2 Soit f n (x) = e n 1 n x, x R. Montrer que (f n ) converge uniformément sur tout intervalle de la forme ], A]. Est-ce qu on a convergnece uniforme sur R?

21 2.1. SUITES DE FONCTIONS 19 Exercice 3 Soit f n (x) = x 3 (1 + x 2 ) n. 1) Montrer que (f n ) converge uniformément sur [0, + [. 2) On pose F n (x) = x 0 f n(t)dt, x [0, + [. Montrer que (F n ) converge simplement vers une fonction F qu il faudra déterminer. 3) Montrer que la convergence de (F n ) vers F est uniforme. Exercice 4 On définit par récurence la suite de fonctions f n : [0, 1] R comme suit f 0 0 f n+1 (x) = f n (x) (x f n(x)), 2 x [0, 1], n N. 1) Montrer que pour tout n N, la fonction f n est un polynôme dont il faudra déterminer le degré. 2) Montrer que (f n ) converge simplement vers une fonction f qu il faudra déterminer. 3) Montrer que pour tout n N et tout x [0, 1], on a 0 f(x) f n+1 (x) f(x)(1 f(x)) n. 4) En déduire que la convergence de (f n ) vers f est uniforme. Exercice 5 Soit f n : [0, 1] R définie par f(x) = n 2 max(0, 1 2n x 1 n ). 1) Montrer que (f n ) converge simplement vers une fonction f qu il faudra calculer. A-t-on convergence uniforme? 2) Calculer lim 1 0 f n (x)dx. Exercice 6 Soit f une fonction continue sur intervalle compact [a, b]. Monrer que b lim a f(x) sin nxdx = 0. (On pourra commencer par le cas d une fonction f en escaliers sur [a, b]) Exercice 7 Soit f une fonction continue sur intervalle I (quelconque ). Montrer qu il existe une suite de polynômes (f n ) qui converge vers f uniformément sur chaque intervalle compact [a, b] I.

22 20 CHAPITRE 2. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 2.2 Séries de fonctions Généralités Définition Soit D un sous-ensemble de K. Une série de fonctions sur D est la donnée pour chaque x D d une série numérique f n (x) où (f n ) est une suite de fonctions définies sur D. Elle est notée f n. Lorsque f n est à valeurs réelles pour chaque n N, on dit que la série f n est une série de fonctions réelles. Définition Soit f n une série de fonctions sur D. 1) On dit que f n (x) converge simplement sur D si pour chaque x D, la série numérique f n (x) est convergente. Pour chaque x D, sa somme f(x) = f sur D qui s appelle somme de la série f n. f n (x) définit une fonction 2) On dit que f n (x) converge simplement absolument sur D si pour chaque x D, la série numérique f n (x) est convergente. 3) On dit que la série f n converge uniformément sur D si la suite des sommes partielles S n (x) = n f k (x) converge uniformémement sur D, i.e k=0 4) On dit que la série où f n = sup f n (x). x D lim sup S n (x) f(x) = 0. x D f n converge normalement sur D si la série f n est convergente, On a la proposition suivante concernant les différents types de convergence. Proposition Sur un même ensemble D, la convergence normale entraîne la convergence uniforme qui entraîne la convergence simple. La convergence normale entraîne aussi la convergence simple absolue qui entraîne la convergence simple. Remarque La convergence normale implique la convergence uniforme mais pas l inverse (voir exemples ci-dessous). Il est aussi important de noter que la convergence uniforme entraîne la convergence simple mais pas la convergence simple absolue.

23 2.2. SÉRIES DE FONCTIONS 21 Exemples e inx 1) Soit la série de fonctions, x R. En utilisant le critère d Abel uniforme (voir n exercices) on peut montrer que cette série converge uniformément sur chaque compact K R \ 2πZ, mais elle ne converge pas normalement (sur aucun ensemble K R ) ni simplement absolument. 2) Soit la série de fonctions e inx n 2, x R. Cette suite converge normalement sur R. Le critère d abel concernant les séries numériques se généralise aussi pour les séries de fonctions : Théorème ( critère d Abel uniforme) Soit (a n ) une suite de fonctions réelles positives ou nulles dans D K, qui est décroissante et convergente uniformément ( vers la fonction f 0, et n ) soit (u n ) une suite de fonctions dans D telle que la suite u k (x) soit uniformément bornée, k=0 n i.e, il existe une constante C 0 telle que sup u k (x) C pour tout n N. Alors la série x D k=0 de fonctions a n u n est uniformément convergente sur D. Exemple La série de fonctions tout compact K R \ 2πZ. e inx n α, x R, où α > 0, est uniformément convergente sur Convergence et continuité Théorème Soit f n une série de fonctions de fonctions continues sur D K, qui est uniformément convergente. Alors sa somme f(x) = f n (x) est une fonction continue sur D. Exemple La séries de fonctions continues x 1 + (2n + 1)x 2, x R, converge simplement + n(n + 1)x4 vers la fonction non continue f définie par f(x) = 1 x si x 0 et f(0) = Convergence et dérivabilité Théorème Soit f n une série de fonctions de fonctions dérivables sur un intervalle I R non réduit à un point, et supposons qu il existe un point x 0 I tel que la série f n (x 0 )soit

24 22 CHAPITRE 2. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS convergente. On suppose en outre que la suite f n converge uniformément sur tout intervalle compact [a, b] I. Alors la série f n converge uniformément sur tout intervalle compact [a, b] I et sa somme f(x) = f n(x) pour tout x I. f n (x) est une fonction dérivable sur I, vérifiant f (x) = Remarque Il est important que la série des dérivées soit uniformément convergente dans le théorème précédent. La convergence de f n ( même uniforme ) ne garantit pas la dérivabilité de sa somme (voir exemple ci-dessous). Exemple 1) (Fonction de Riemann) Soit la série de fonctions n=1 sin(2πn 2 x), x R. Cette série converge normalement sur R vers une fonction continue f : R R, mais on peut démontrer que f n est dérivable nulle part. 2) (Fonction de Weierstrass) Soit la série de fonctions N n=1 1+6π n 2 sin(2πn n x) λ n, x R, où λ est une constante réelle et N un entier pair tels que 1 < λ <. Comme pour la fonction de Riemann, cette série converge normalement sur R vers une fonction continue f : R R, mais on peut démontrer que f n est dérivable nulle part. Pour les fonctions holomorphes sur un ouvert de C nous avons le théorème suivant : Théorème Soit f n une série de fonctions holomorphes sur un ouvert D C qui converge uniformément ( resp. normalement) sur chaque compact K D. Alors la série des dérivées f n converge aussi uniformément (resp. normalement) sur chaque compact K D. De plus, la fonction f(z) = z D. f n (z) est holomorphe sur D et vérifie f (z) = f n(z) pour tout Convergence et intégrale Théorème Soit f n une série de fonctions continues par morceaux sur un intervalle compact [a, b] qui converge uniformément sur [a, b]. Alors on a b f n (x)dx = b a a f(x)dx.

25 2.2. SÉRIES DE FONCTIONS 23 On a aussi le théorème suivant : Théorème Soit f n une série de fonctions continues par morceaux sur un intervalle compact [a, b] qui converge simplement absolument sur [a, b]. Alors on a b f n (x)dx = b a a f(x)dx. Exemple En utilisant le théorème 2.2.5, on peut calculer la somme de la série alternée ( 1) n n, en utilisant la série de fonctions ( 1) n x n dont la somme est la fonction f(x) = 1 1+x, x > Séries entières Définition On appelle série entière toute série de fonctions de la forme a n x n, x K, où (a n ) est une suite numérique. Nous avons la propriété très importante suivante concernant les séries entières : Proposition Soit a n x n une série entière, alors il existe R [0, ] tel que 1) La série entière a n x n converge normalement sur tout compact K D(0, R), où D(0, R) est le disque de centre 0 et de rayon R (si R =, on pose D(0, ) = K). 2) La série entière a n x n diverge pour tout x K tel que x > R. Le nombre R s appelle rayon de convergence de la série entière a n x n. Le disque D(0, R) s appelle disque de convergence de la série entière. Remarque Soit a n x n une série entière de rayon de convergence R. Lorsque x = R, on ne peut rien dire sur la convergence de la série (voir exemples). Exemples 1) Le rayon de convergence de la série du cercle z = 1 sauf en z = 1. z n, z C, est R = 1. La série converge en tout point n

26 24 CHAPITRE 2. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 2) Le rayon de convergence de la série du cercle z = 1. 3) Le rayon de convergence de la série point du cercle z = 1. 4) Le rayon de convergence de la série 5) Le rayon de convergence de la série z n, z C, est R = 1. La série converge en tout point n2 z n, z C, est R = 1. La série ne converge en aucun z n, z C, est R =. n! n!z n, z C, est R = 0. Nous avons la formule suivante pour la calcul du rayon de convergence Proposition Le rayon de convergence d une série entière a n x n est donné par la formule 1 R = lim sup a n. 1/n Nous avons la proposition suivante pour la somme d une série entière. Proposition ) Supposons K = C et soit a n z n une série entière de rayon de convergnece R. La somme f(z) = on a pour tout k N et tout z D(0, R), a n z n définit une fonction holomorphe dans le disque D(0, R) et f (k) (z) = n=k z n k a n n! (n k)!, la série dans cette formule étant normalement convergente sur tout compact K D(0, R). 2) Supposons K = R et soit a n x n une série entière de rayon de convergnece R. La somme f(x) = a n x n définit une fonction réelle analytique dans le disque D(0, R) et on a pour tout k N et tout x ] R, R[, f (k) (x) = n=k x n k a n n! (n k)!, la série dans cette formule étant normalement convergente sur tout compact K ] R, R[.

27 2.2. SÉRIES DE FONCTIONS Exercices Exercice 1 Etudier la convergence des séries de fonctions suivantes en précisant sa nature (convegence simple, uniforme, normale) et son domaine : sin nt n 2 + x 2, x R ; e inx n α, α > 0, x R ; ( ) ( 1) n x ln 1 +, x 0 n(x + 1) n 2 xe nx ln n, x 0 ; x n 2 + x 2, x R. Exercice 2 Etudier la nature de la convergence de la série ne nx, x R, et calculer sa somme. Exercice 3 On considère la série de fonctions f n (x) avec (x ln x) n si x > 0 f n (x) = n! 0 si x = 0. 1) Montrer que cette série converge uniformément sur [0, 1]. 2) En déduire la formule 1 0 x x dx = n=1 ( 1) n+1 n n. Exercice 4 On considère la fonction ζ de Riemann réelle définie par ζ(x) = n=1 1 n x, x R. 1) Montrer que ζ est bien définie sur D =]1, + [ et qu elle est strictement croissante sur D. 2) Montrer que ζ C (]1, + [) et qu elle est convexe. 3) Montrer que que pour tout x D, on a + [t] ζ(x) = x dt. 1 tx+1 où [t] désigne la partie entière de t. En déduire que où {t} = t [t]. ζ(x) = 5) Déduire de la question précédente que x + x 1 x {t} dt, 1 tx+1 lim (x 1)ζ(x) = 1. x 1

28 26 CHAPITRE 2. RAPPELS SUR LES SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 4) Tracer le graphe de ζ en précisant les asymptotes et branches infinies éventuelles. 5) Montrer que ζ se prolonge en une fonction C sur ]0, + [\{1}. Exercice 5 Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes : P (n)x n, P (n) polynôme ; x 2n+1 2 n (n + 1) ; (ln n)x n ; n ( 1)n x n