f f(a + h) f(a) (a) = lim

Transcription

1 3 Fice de syntèse sur le nombre dérivé Définition du nombre dérivé de la fonction f en a : Équation de la tangente à C f en a : f fa + fa a = = l 0 T a : y = f ax a + fa 4 Exercices et corrigés, 3, 6 p84 : Utiliser la définition 4 pour prouver l existence du nombre dérivé au point a de la fonction f indiquée, puis calculez sa valeur fx = x en a = fx = x 5x + 3 en a = 3 fx = x 3 3x en a un nombre donné quelconque Corrigé du ex p84 D après la définition, si f a existe, f a vérifie : f a = 0 fa+ fa Soient a et des réels tels que a R et a + R, c est-à-dire a 0 et a Il vient : fa+ fa = a+ a = a a+ aa+ aa+ = a a+ aa+ = a a aa+ = aa+ = aa+ Lorsque 0, on a En particulier pour a =, il vient f = Corrigé du ex3 p aa + aa + = a = = D après la définition, si f a existe, f a vérifie : f a = 0 fa+ fa Soient a et des réels tels que a R et R Il vient : a + 5a a 5a + 3 a + a + 5a a + 5a 3 a + 5 fa+ fa = = = = a + 5 = a + 5 Lorsque 0, on a a a + 5 = a 5 0 En particulier pour a =, il vient f = 5 = 4 5 = 53

2 Corrigé du 3 ex6 p84 D après la définition, si f a existe, f a vérifie : f a = 0 fa+ fa Soient a et des réels tels que a R et R Il vient : a + 3 3a + a 3 3a a 3 + 3a + 3a + 3 3a 3 a 3 + 3a 3a + 3a fa+ fa = = = = 3a +3a 3 = 3a + 3a 3 Lorsque 0, on a Et ceci pour tout a R 0 3a + 3a 3 0 3a + 3a 3 = 3a 3 D une manière générale, si fx = x n, on aura f a = na n C est bien pratique, surtout quand on sait que x = x et que x = x / n p77 :La courbe ci-dessous est celle d une fonction f Utilisez le quadrillage pour donner le nombre dérivé associé à la tangente en A et en B Corrigé du n p77 :La tangente en A a une pente de :lorsque l on se décale d un cran vers la droite, il faut monter de crans pour revenir sur la tangente, d où la pente + Donc le nombre dérivé associé est + La tangente en B a une pente de :lorsque l on se décale d un cran vers la droite, il faut descendre de / cran pour revenir sur la tangente, d où la pente -/ Donc le nombre dérivé associé est n p77 :La courbe représentative C d une fonction f passe par le point A; 3 La tangente à la courbe en A passe par le point B4; Calculez f Corrigé du n p77 : La tangente en A est une droite qui passe par les points A ;3 et B4 ;- Nous allons cercer une équation de cette droite pour trouver son coefficient directeur ; si nous cercons son équation réduite équation de la forme y = mx + p, nous aurons tout de suite son coefficient directeur m Pour cela, écrivons que les { points A et B appartiennent à la droite en mettant leurs coordonnées dans l équation y = mx + p ya = mx A + p y B = mx B + p c est-à-dire { : 3 = m + p = 4m + p On n a même pas besoin de résoudre entièrement le système, il suffit de trouver m, donc d éiner p, par exemple en soustrayant les équations membre à membre Il vient : 3 = m 4m + p p, c est-à-dire 4 = m, d où m = Donc f = la pente de la tangente au point A donne le nombre dérivé en x A n 3p77 :C est la courbe représentative d une fonction f On donne : f0 = ; f4 = 5 ; f7 = 3 ; f0 = 5 ; f 0 = ; f 4 = 0 ; f 7 = 0 ; f 0 = a Placez les points A, B, C, D d abscisses respectives 0 ; 4 ; 7 ; 0 b Tracez les tangentes à la courbe C en ces points 54

3 Dessinez une allure possible de C dans l intervalle [0 ;0] Corrigé du n 3p77 : n 4p78 :f est la fonction définie sur ] ; 0[ ]0; + [ par fx = x C est sa courbe représentative a Calculez f et f, à l aide de la définition du nombre dérivé voir n p84 b Tracez la tangente à la courbe C aux points A et B d abscisses respectives et Déterminez une équation de ces tangentes Corrigé du n 4p78 : a On a vu à l ex p84 que lorsque 0, on a 0 0 En particulier pour a =, il vient f = = et pour a =, il vient f = = 4 b = 4 aa + aa + = a On a déjà, grâce au nombre dérivé, le coefficient directeur de ces droites, c est-à-dire le nombre m dans une équation réduite du type y = mx + p Équation de T A, la tangente au point A On a m =, donc l équation est de la forme y = x + p Pour déterminer p, on met dans cette équation les coordonnées du point A; f, c est-à-dire A; Il vient : = + p, d où = + p, d où p = ; l équation de T A est y = x + ce qui est coérent avec notre grapique Équation de T B, la tangente au point B On a m = 4, donc l équation est de la forme y = 4x + p On détermine p grâce à la même métode, on met dans cette équation les coordonnées du point B ; f, c est-à-dire B ; 55

4 Il vient : = 4 + p, d où = + p, d où p = 4 ; l équation de TB est y = 4x 4 ce qui est coérent avec notre grapique n 5p78 :f est la fonction définie sur [0; + [ par fx = x C est sa courbe représentative a Pour étudier la ite du taux de variation comme dans les exercices à 3, multiplier le numérateur et le dénominateur du taux de variation fa + fa a + a = par a + + a, qui s appelle la quantité conjuguée de a + a Utiliser ensuite le produit remarquable a ba + b = a b Finalement, calculer f et f 4 b Tracer la tangente à la courbe C aux points A et B d abscisses respectives et 4 Déterminer une équation de ces tangentes Corrigé du n 5p78 : ad après la définition, si f a existe, f a vérifie : f a = 0 fa+ fa Soient a et des réels tels que a R + et tel que a + R + Il vient : fa+ fa = a+ a = a+ a a++ a a++ a = a+ a a++ a = a+ a a++ a = a++ a = a++ a Lorsque 0, on a 0 a++ a Et ceci pour tout a R + Donc f = = et f 4 = 4 = 4 b 0 = a + + a a Les pentes des tangentes sont coérentes avec les résultats trouvés à la question précédente On applique la même métode qu à l exercice 4, en recercant des équations réduites y = mx + p dont on a déjà le coefficient directeur m Équation de T A : y = mx + p avec m = On cerce la valeur de p en mettant les coordonnées du point A; f, ie A; dans cette équation ; il vient : = + p p = p = Ce résultat est coérent avec le grapique ordonnée à l origine Équation de T B : y = mx + p avec m = On cerce la valeur de p en mettant les coordonnées du point B4; f4, 4 ie B4; dans cette équation ; il vient : = 4 + p p = p = 4 Ce résultat est coérent avec le grapique ordonnée à l origine 56

5 n 6p78 :f est la fonction définie sur R par fx = x 3 C est sa courbe représentative A et B sont des points de C d abscisses respectives et Calculez f et f Tracez les tangentes en A et B à C 3a Quelle conjecture faites-vous concernant ces tangentes? 3b Prouvez-le Corrigé du n 6p78 : acomme au 6p84, d après la définition, si f a existe, f a vérifie : f fa+ fa a = 0 Soient a et des réels tels que a R et R Il vient : fa+ fa = a+3 a 3 = a3 +3a +3a + 3 a 3 = 3a +3a + 3 = 3a + 3a + Lorsque 0, on a 0 3a + 3a + Et ceci pour tout a R Donc f = 3 = 3 et f = 3 = 3 0 3a + 3a + = 3a 3aLes tangentes semblent parallèles 3b Les tangentes SONT parallèles, car elles ont le même coefficient directeur on l a calculé à la ère question! Inutile de faire de gros calculs 57

6 n 30p84 : Les fonctions suivantes sont dérivables en x = Lire f Corrigé du n 30p84 : On lit la pente de la tangente a f = 3 b f = 0 c f = 0 d f = n 3p84 : La fonction suivante est dérivable sur son domaine de définition Par lecture grapique, donner la pente de cacune des tangentes tracées, puis donner une équation de cacune de ces tangentes Corrigé du n 3p84 : On lit la pente des tangentes : T A a pour pente m A = 0 T B a pour pente m B = 3 T C a pour pente m C = 3 T D a pour pente m D = 4 Équations des tangentes : On a déjà, grâce au nombre dérivé, le coefficient directeur de ces droites, c est-à-dire le nombre m dans une équation réduite du type y = mx + p Équation de T A, la tangente au point A On a m A = 0, donc l équation est de la forme y = 0x + p Pour déterminer p, on met dans cette équation les coordonnées du point A ; 6 Il vient : p = 6 ; l équation de T A est y = 6 ce qui est coérent avec notre grapique Équation de T B On a m B = 3, donc l équation est de la forme y = 3x + p On détermine p grâce à la même métode, on met dans cette équation les coordonnées du point B; Il vient : = 3 + p, d où = 3 + p, d où p = 5 ; l équation de T B est y = 3x + 5 ce qui est coérent avec notre grapique Équation de T C On a m C =, donc l équation est de la forme y = x + p 3 3 On détermine p grâce à la même métode, on met dans cette équation les coordonnées du point C3; Il vient : = 3 + p, d où = + p, d où p = 0 ; l équation de 3 TC est y = x ce qui est coérent avec 3 notre grapique 58

7 Équation de T D On a m D = 4, donc l équation est de la forme y = 4x + p On détermine p grâce à la même métode, on met dans cette équation les coordonnées du point D5; Il vient : = p, d où = 0 + p, d où p = 9 ; l équation de T D est y = 4x 9 ce qui semble coérent avec notre grapique n 35, 36, 37, 38 p84 : f est une fonction et a un nombre donné f est dérivable en a Déterminez une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a : fx = 3x + 5x et a = fx = 7x x et a = 5 3 fx = x et a = 9 4 fx = x 3 et a = Corrigé des n 35, 36, 37, 38 p84 : f x = 6x + 5, donc f a = + 5 = 7 De plus, fa = 0, d où T a y = 7x +, ie T a y = 7x 4 f x = x 7, donc f a = 3 De plus, fa = 5, d où Ta y = 3 x 5 5, ie Ta y = 3 x 0 3 f x = x, donc f a = 6 De plus, fa = 3, d où Ta y = 6 x 9 + 3, ieta y = 6 x f x = 3x, donc f a = De plus, fa = 8, d où T a y = x + 8, iet a y = x 6 59