Expériences aléatoires indépendantes Expériences aléatoires répétées. 1 ère S. II. Expériences aléatoires successives

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1 1 ère Objectifs : Exériences aléatoires indéendantes Exériences aléatoires réétées II. Exériences aléatoires successives 1 ) Écriture des résultats our des exériences successives Pour des exériences aléatoires successives, on écrit le résultat global sous la forme d une liste ordonnée. Exemle : - Modélisation d exériences indéendantes et en articulier d exériences aléatoires réétées dans des conditions identiues indéendantes. - Influence du assé sur l avenir I. Introduction ) Utilisation d arbres ondérés 1 ) ituation étudiée On lance un dé cubiue arfaitement éuilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note le numéro obtenu. On réète cette exérience 10 fois. On a obtenu 10 fois le 6. ) Parmi ces hrases uelle(s) est (sont) celle(s) ui est (sont) vraie(s)? (1) La 11 e fois u on lance ce dé la robabilité d obtenir le 6 est lus grande ue celle d obtenir un autre nombre. () La 11 e fois u on lance ce dé la robabilité d obtenir le 6 est moins grande ue celle d obtenir un autre nombre. () La 11 e fois u on lance ce dé la robabilité d obtenir le 6 est la même ue celle d obtenir un autre nombre. ) éonses Les lancers sont indéendants. Il n y a aucune influence des lancers récédents sur les lancers suivants. Donc la 11 e fois u on lance le dé la robabilité d obtenir le 6 est la même ue celle d obtenir un autre nombre, c'est-à-dire 1 6. ) Bilan On eut dire ue le dé n a as de «mémoire». On eut dire aussi ue le assé n a as d influence sur l avenir. ) ègles d utilisation d un arbre ondéré Les règles suivantes récisent les conditions à resecter our construire un arbre ondéré rerésentant des exériences aléatoires successives et calculer les robabilités des événements. ègle 1 («Loi des nœuds») La somme des robabilités inscrites sur les branches issues d un même nœud vaut 1. ègle («Loi des chemins») La robabilité d une issue rerésentée ar un chemin est égale au roduit des robabilités inscrites sur les branches de ce chemin. ègle La robabilité d un événement A est la somme des robabilités des issues associées aux chemins ui conduisent à la réalisation de A. Autrement dit, our les règles et, dans 1e cas d exériences aléatoires successives rerésentées ar un arbre ondéré, les robabilités se calculent ainsi : - la robabilité d un événement corresondant à un chemin sur l arbre est obtenue en multiliant les robabilités ortées ar ces branches ; - la robabilité d un événement corresondant à lusieurs chemins est alors obtenue en ajoutant les robabilités des événements corresondants à chaue chemin. 1

2 III. Exériences aléatoires indéendantes 1 ) Définition On dit ue des exériences aléatoires sont indéendantes lorsue le résultat de l une n est as affecté ar les résultats des autres. ) tructure de l arbre À chaue niveau, le nombre de branches est le même et les robabilités sont les mêmes. ) Quelues résultats sur les exériences aléatoires indéendantes réétées a) Proriété ) Exemles - tirages successifs de boules dans des urnes distinctes - lancers successifs de dés distincts ) Contre-exemle Tirages successifs de boules dans une urne sans remise. ) Cas articulier imortant : réétition d une exérience aléatoire dans des conditions identiues indéendantes - tirages successifs dans une urne avec remise - lancers successifs d un dé oir aragrahe I. On considère une exérience aléatoire modélisée ar (, P). oit A un événement de cette exérience aléatoire. i on réète n fois (n 1), de manières indéendantes, cette même exérience aléatoire, alors la robabilité d obtenir n fois l événement A est égale à P A b) Corollaire n. La robabilité d obtenir au moins une fois l événement A est la robabilité de l événement contraire de «ne jamais obtenir l événement A». 1 P A n. Elle est donc égale à : c) Exemle 5 ) Princie multilicatif (admis sans démonstration) Dans des exériences aléatoires indéendantes, la robabilité d une liste ordonnée de résultats est égale au roduit des robabilités des résultats our chaue exérience aléatoire. On lance fois un dé cubiue non truué. La robabilité d obtenir au moins une fois le 6 est 0, La modélisation d exériences aléatoires successives indéendantes se fera surtout grâce à des arbres ondérés. I. Exériences aléatoires réétées dans des conditions identiues indéendantes Il s agit d un cas articulier d exériences aléatoires indéendantes. 1 ) Exemles d exériences aléatoires réétées dans des conditions identiues indéendantes - tirages successifs dans une urne avec remise - lancers successifs d un dé - marches aléatoires sur une droite, dans le lan... Ce genre d exérience aléatoire se rête articulièrement bien aux simulations (voir exercices). On ourra se référer aux simulations de tirages avec remise (cf. cours d algorithmiue). ) ariables aléatoires liées à des situations d exériences aléatoires réétées dans des conditions identiues indéendantes oir exercices.. Exemle-tye d exériences aléatoires réétées dans des conditions identiues indéendantes 1 ) ituation Une urne contient uatre boules rouges, trois boules vertes et deux boules noires indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux boules. ) Interrétation Les deux tirages constituent chacune une exérience aléatoire. Il s agit d une même exérience réétée deux fois dans des conditions identiues indéendantes. ) Arbre ondéré La réétition eut être rerésentée ar l arbre ondéré ci-dessous.

3 etc. On recommence au maximum uatre fois. Au bout de uatre fois, le jeu s arrête. On considère l événement : «obtenir ile». P On note 1 (robabilité de l événement contraire ). La situation eut être modélisée ar l arbre suivant. Les issues de la réétition sont les listes : ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ). ) Calcul de robabilité (utilisation de l arbre) Par exemle, la robabilité de la liste ( ; ) est égale à : I. Loi géométriue tronuée et situation aarentées 1 ) ituation On disose une ièce telle ue la robabilité d obtenir ile en un lancer soit égale à ou est un réel aartenant à l intervalle ]0 ; 1[. On considère le jeu suivant : On lance une remière fois la ièce. i l on obtient ile, on a gagné et le jeu s arrête. i l on obtient face, on relance la ièce une deuxième fois. i l on obtient ile, on a gagné et le jeu s arrête. i l on obtient face, on relance la ièce une troisième fois. 5 6

4 ) tructure de l arbre L arbre est «bancal» ; il s arrête dès ue l événement barre aaraît On note X la variable aléatoire ui rend le numéro du lancer ou l on a obtenu le remier ile et 0 si l on n a as obtenu de ile. La loi de robabilité de X est donnée dans l arbre ci-dessous. x i ) Algorithme de simulation de la loi géométriue tronuée On disose d une ièce non truuée. On réalise l exérience aléatoire suivante. On lance une remière fois la ièce. i l on obtient ile, on a gagné et le jeu s arrête. i l on obtient face, on relance la ièce une deuxième fois. i l on obtient ile, on a gagné et le jeu s arrête. i l on obtient face, on relance la ièce une troisième fois. etc. P X xi Total 1 On recommence au maximum uatre fois. Au bout de uatre fois, le jeu s arrête. On désire écrire un algorithme ui simule l exérience aléatoire étudiée et donne en sortie la valeur rise ar X. ) ituations-tyes - marches aléatoires sur une droite, dans le lan et dans l esace (voir exercices) - jeux avec condition d arrêt ) imulations - à l aide de tables de chiffres au hasard - à l aide d un algorithme (rogramme) oir exercices 5 ) ituations aarentées à une loi géométriue tronuée Jeux avec condition d arrêt : on introduit une variable ui rerésente le gain (voir exercices) ariables : x, a, k : nombres Initialisations : a rend la valeur (on eut rendre n imorte uelle valeur autre ue 0) k rend la valeur 0 Traitement : Tantue ( a 0 et k ) Faire k rend la valeur k 1 a rend la valeur aléatoire 0 ou 1 ( 0 Pile et 1 Face ) FinTantue i a 0 Alors x rend la valeur k inon x rend la valeur 0 Fini ortie : Afficher x 7 8

5 Bilan : - dé ou ièce sans mémoire - influence du assé sur l avenir