AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES

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1 AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES Définition On appelle fonction affine par intervalles une fonction f définie et continue sur R pour laquelle il existe une subdivision a 1 < a 2 < < a n telle que f soit linéaire affine sur chaque intervalle de R créé par les points de la subdivision. Si f est affine par intervalles, une subdivision de R sera dite adaptée à f, si f est linéaire affine sur chaque intervalle défini par la subdivision. Si le seul intervalle obtenu est R, la fonction f est affine sur R, et donc dérivable sur R. Sinon, f est linéaire affine sur les intervalles ], a 1 ], [a n, + [ et, pour i compris entre 1 et n, sur [a i, a i+1 ]. Une telle fonction est donc dérivable sauf éventuellement aux points a 1,...,a n. Les points où f n est pas dérivable seront appelés les pointes de la fonction f. On remarquera que si l on a une subdivision adaptée à f, on en obtiendra une autre en ajoutant d autres points à la subdivision initiale. Proposition 1 L ensemble A des fonctions affines par intervalles est un espace-vectoriel sur R et un treillis pour la relation d ordre usuelle. On montre que A est un sous-espace vectoriel de l espace C (R) des fonctions continues sur R. Soit λ et µ deux nombres réels. Si f et g sont affines par intervalles. Soit A f et A g des subdivisions adaptées à f et g respectivement. Alors A f A g est une subdivision adaptée à la fois à f et à g, et sur chaque intervalle de la subdivision, f et g sont affines, donc λf + µg également. Soit un intervalle I sur lequel f et g sont toutes deux affines, il y a trois possibilités 1) Pour tout x de I, on a f(x) g(x) alors 2) Pour tout x de I, on a f(x) g(x) alors sup(f(x),g(x)) = f(x). sup(f(x),g(x)) = g(x).

2 AH 2 3) L équation f(x) = g(x) a une solution α dans I qui n est pas une des extrémités de l intervalle. Alors la solution est unique, et l on a, pour tout x de I, ou bien { f(x) si x α sup(f(x),g(x)) = g(x) si x α ou bien { g(x) si x α sup(f(x),g(x)) = f(x) si x α Donc sup(f,g) est affine par intervalles sur I. Il en résulte qu elle est affine par intervalle sur R. (On rajoute au plus un point dans chaque intervalle de la subdivision initiale). Si f est une fonction définie sur R, on notera ˇf, la fonction définie par ˇf(x) = f( x). Si a appartient à R, soit χ a la fonction définie par χ a (x) = x a. Cette fonction appartient à A et admet une pointe en a uniquement. Proposition 2 Soit a 1,...,a n des nombres réels deux à deux distincts. La famille (Id,1,χ a1,...,χ an ) est une famille libre de A. On peut supposer les a i ordonnés en croissant. Il est clair que si l on pose pour tout x réel, f = γ Id+δ + β i χ ai, avec b 1,...,b n non nuls, on obtient un élément de A, qui présente des pointes en a 1,...a n exactement. Donc si f est nul, on a nécessairement β 1 = = β n = 0. On en déduit f = γ Id+δ d où l on déduit que γ et δ sont nuls. La famille est bien une famille libre.

3 AH 3 Théorème Soit f dans A. Il existe une suite finie strictement croissante a 1,...,a n de points de R et des réels γ,δ,,β 1,...,β n tels que les β i soient non nuls, et tels que, f = γ Id +δ + β i χ xi. Cette décomposition est unique, et les a i sont les points de R où f admet des pointes. Le coefficient c est nul si et seulement si la fonction f ˇf est constante pour x assez grand. Le coefficient d est nul si et seulement si la fonction f + ˇf est linéaire pour x assez grand. Unicité Si f admet une décomposition comme celle donnée dans le théorème, les a i sont les pointes de f. L unicité résulte alors du fait que la famille (Id,1,χ a1,...,χ an ) est une famille libre de A. Existence Nous allons la démontrer par récurrence sur le nombre de pointes de f. Si f ne présente aucune pointe, c est une application affine et donc f = γ Id+δ. Si f présente une seule pointe en a, on a { υx + ν si x a f(x) = υ x + ν si x a avec de plus On vérifie facilement que υa + ν = υ a + ν. Le théorème est donc vrai dans ce cas. f = 1 2 ((υ + υ )Id +(ν + ν ) + (υ υ)χ a ). Supposons le vrai pour une fonction présentant n 1 pointes, et soit f présentant n pointes a 1,...,a n. On a alors { υx + ν si an 1 x a f(x) = n υ x + ν si x a n avec υ distinct de υ. Soit alors la fonction h = 1 2 ((υ + υ )Id +(ν + ν ) + (υ υ)χ an ). D après ce qui précède, les fonctions f et h coïncident sur [a n 1, + [ et h ne présente pas de pointe en dehors de cet intervalle. Il en résulte que f h présente n 1 pointes en a 1,...,a n 1. En appliquant l hypothèse de récurrence à f h, il existe γ, δ, β 1,...,β n 1 tels que n 1 f h = γ Id +δ + β i χ xi,

4 AH 4 avec les nombres β i non nuls. Si l on pose alors alors, b n est non nul, et ce qui donne la décomposition à l ordre n. γ = γ (υ + υ ), δ = δ (ν + ν ), b n = 1 2 (υ υ ), f = γ Id +δ + β i χ xi, Etudions maintenant les conditions pour que γ ou d soient nuls. Pour x supérieur à a n et à a 1, on a Donc f(x) = γx + δ + β i (x a i ) et f( x) = γx + δ + f(x) f( x) = 2γx + 2 β i (x + a i ). ( β i a i ) et f(x) + f( x) = 2δ + 2 β i x. On obtient bien que γ est nul si et seulement si f ˇf est constant pour x assez grand, et que δ est nul si et seulement si f + ˇf est linéaire pour x assez grand. Remarque : la démonstration de l existence de la décomposition donne une méthode pratique pour décomposer une fonction affine par intervalles. Exemples 1) La fonction f définie par 0 si x 0 f(x) = x si 0 x 1 1 si x 1, se décompose sous la forme f(x) = 1 (1 + x x 1 ). 2 2) Autre exemple de décomposition : inf(1, x ) = 1 2 x 1 x = 1 + x ( x 1 x + 1 ). 2 Corollaire L ensemble de fonctions formé de Id, 1, et des fonctions χ a lorsque a parcourt R, est une base de A.

5 AH 5 Nous allons donner une autre démonstration du théorème. Remarquons tout d abord que si deux éléments de A ont les mêmes pointes a 1,...,a n, ont des coefficients directeurs égaux sur chacun des intervalles de la subdivision, et prennent la même valeur en un point x 0 de R, alors ils sont égaux. On se donne une fonction f de A de coefficients directeurs et l on cherche γ, δ, β i tels que f s écrive p 0 sur ], a 1 ], p i sur [a i, a i+1 ], p n sur [a n, + [, f = γ Id +δ + β i χ xi. On obtient un système de n + 2 équations à n + 2 inconnues. p 0 = γ β i j p j = γ + β i p n = γ + β i f(x 0 ) = γx 0 + δ + β i (1 j n 1) i=j+1 β i x 0 a i. Ecrivons le déterminant de ce système : x 0 1 x 0 a 1 x 0 a 2 x 0 a n 1 x 0 a n En développant par rapport à la deuxième colonne on obtient ( 1) n

6 AH 6 Si on enlève la deuxième colonne à la première, puis la troisième à la deuxième, etc..., on trouve ( 1) n = ( 1) n 2 n Le système possède donc une solution et une seule. Sous-espaces de A Soit I = ]a, b[ un intervalle borné non vide. On appelle A I l ensemble des éléments de A dont les pointes sont dans I. On définit ainsi un sous-espace de A I. Si A = {a 1,...,a n } est un ensemble de points de I, l ensemble A I (A) désigne le sous-espace-vectoriel de A I dont les pointes appartiennent à A. Nous poserons alors a 0 = a et a n+1 = b, et nous noterons Φ A l application de A I dans R n+2 qui à f associe (f(a 0 ),...,f(a n )). L ensemble R n+2 est muni de la norme sup. Proposition 3 L application qui à f associe est une norme sur A I. f = sup f(x) x I On sait que l on obtient ainsi une semi-norme. Si de plus f est nul, alors f est nulle sur I, donc n a pas de pointes dans I, ni à l extérieur de I. Il en résulte que f est la fonction nulle. Proposition 4 Le sous-espace A I (A) est de dimension n + 2 et admet pour base (e 1,...,e n+1 ), où, pour 1 i n, on a e i = χ ai et e n+1 = Id, e n+2 = 1. C est une conséquence immédiate du théorème de décomposition.

7 AH 7 Proposition 5 L application Φ A est une application linéaire isométrique et bijective de A I (A) sur R n+2. De manière évidente, on a toujours Φ A (f) = sup f(a i ) f. 0 i n Si f est dans A I (A), elle est monotone sur chaque intervalle [a i, a i+1 ], donc Il en résulte que sup f(x) = max( f(a i ), f(a i+1 ) ). x [ a i, a i+1 ] f = sup sup f(x) = sup max( f(a i ), f(a i+1 ) ) = Φ A (f). 0 i n x [ a i, a i+1 ] 0 i n On en déduit que Φ A est une isométrie. Elle est donc injective, et puisque les deux espaces ont même dimension, elle est bijective. Corollaire coïncident. Sur A I (A), les topologies de la convergence simple et de la convergence uniforme L ensemble V ǫ = {f A I ; Φ A (f) < ε} constitue un voisinage de zéro pour la topologie de la convergence simple, mais ce n est autre que la boule de centre 0 et de rayon ε pour la norme infinie. Lemme Soit a, b, c trois nombres réels tels que a < b < c. Soit f ayant une pointe en b et pas d autre pointe dans ]a, c[. Il existe alors un voisinage de f pour la topologie de la convergence simple, tel que tout g de ce voisinage présente une pointe dans ]a, c[. On a avec λ distinct de λ. f(x) = { λ(x b) + f(b) sur [a, b] λ (x b) + f(b) sur [b, c],

8 AH 8 Soit ε tel que 0 < ε < 1 4 λ λ inf(b a,c b), et soit V = {g A I ; (g f)(a) < ε, (g f)(b) < ε, (g f)(c) < ε}. On obtient ainsi un voisinage de f pour la topologie de la convergence simple. Supposons qu il existe g dans V n ayant pas de pointe dans ]a, c[. On a donc, pour tout x de ]a, c[ Alors λ λ λ υ + λ υ = et en majorant à l aide de l inégalité triangulaire g(x) = υ(x b) + g(b). (λ υ)(a b) b a + ( λ υ)(b c) c b, λ λ 1 ( (υ λ)(a b) + g(b) f(b) + g(b) f(b) ) b a + 1 c b ( (υ λ )(c b) + g(b) f(b) + g(b) f(b) ) f(a) g(a) + f(b) g(b) + ( b a 1 2ε b a + 1 ). c b f(c) g(c) + f(b) g(b) c b Mais d après le choix de ε, on en déduit que d où une contradiction. λ λ < λ λ, Proposition 6 simple. Le sous-espace A I (A) est fermé dans A I pour la topologie de la convergence Soit f une fonction de A I n appartenant pas à A I (A), il existe donc une pointe b de f qui n appartienne pas à A. Donc il existe un intervalle ]a, c[ contenant b et dont l intersection avec A est vide. Alors d après le lemme, il existe un voisinage V de f pour la convergence simple tel que tout élément de V possède une pointe dans ]a, c[. Il en résulte que g n est pas dans A I (A). Donc le complémentaire de A I (A) dans A I est ouvert, ce qui donne le résultat.