TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

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1 TRINÔME DU SECOND DEGRÉ On appelle fonction polynôme, toute fonction f définie sur IR pour laquelle, il existe un entier naturel n et des réels a 0 ; a ; a 2 ;... ; a n avec a n 0 tels que : f(x) = a 0 + a x + a 2 x a n x n On dit que n est le degré de f. a 0 ; a ; a 2 ;... ; a n sont les coefficients de f. Par convention la fonction nulle est aussi considérée comme une fonction polynôme. Exemple f définie sur IR par : f(x) = + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 est une fonction polynôme de degré 5. f définie sur IR par : f(x) = 3x + 5 est une fonction polynôme de degré. f définie sur IR par : f(x) = - 2 est une fonction polynôme de degré 0. f définie sur IR par : f(x) = x 2 + x - 3 est une fonction polynôme de degré 2. 2 Un polynôme de degré 2 est aussi appelé trinôme du second degré. Exercice 0 Soit f et g les fonctions polynômes définies par : f(x) = x 2 + 3x + et g(x) = 2x 3 - x 2 + x - 5 Déterminer les fonctions : f + g ; f - g ; f x g Justifier que ces trois fonctions sont des fonctions polynômes et donner leur degré. Exercice 02 Répondre par VRAI ou FAUX aux affirmations suivantes. Expliquer. () Si f et g sont deux fonctions polynômes alors f - g est une fonction polynôme. (2) Si f et g sont des fonctions polynômes de degré 3 alors f + g est une fonction polynôme de degré 6 (3) Si f est une fonction polynôme de degré 2 et g une fonction polynôme de degré 3 alors f x g est une fonction polynôme de degré 6. (4) Si f et g ne sont pas des fonctions polynômes alors f + g n'est pas une fonction polynôme. (5) Si f et g sont des fonctions polynômes, alors f est une fonction polynôme. g (6) Toute fonction définie sur IR est une fonction polynôme. (7) Si f et g sont des fonctions polynômes de degré 3 alors f - g est une fonction polynôme de degré 2. (8) Si f est une fonction polynôme de degré 4 et g une fonction polynôme de degré 2 alors f x g est une fonction polynôme de degré 6. (9) La somme de deux fonctions polynômes est une fonction polynôme. (0) Une fonction affine est une fonction polynôme de degré. La somme, la différence et le produit de deux fonctions polynômes est une fonction polynôme. Le degré du produit de deux polynômes est la somme des degrés. Exercice 03 Soit f(x) = x 3 + x 2-7x + 5. Calculer f(). Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme f(x) = (x- )(ax 2 + bx + c) où a, b et c sont trois réels à déterminer. Propriété (voir démonstration 0) Deux fonctions polynômes non nulles sont égales si et seulement si elles ont le même degré et les mêmes coefficients. On appelle racine d'une fonction polynôme f tout réel x 0 pour lequel f(x 0 ) = 0. ères Trinôme du second degré page

2 Exercice 04 Déterminer un polynôme de degré 2 dont - et 3 soient racines. Exercice 05 Montrer que le polynôme -x 2 + 2x + a pour racine - 2. Exercice 06 On considère la fonction polynôme f définie par f(x) = 2x 3 + 8x 2-6x ) Démontrer que f a une racine entière α. (On pourra s'aider d'un graphique ou d'un tableau de valeurs obtenus avec une calculatrice) 2 ) Montrer que l'on peut écrire f(x) sous la forme f(x) = (x - α)(ax 2 + bx + c) où a, b et c sont trois réels à déterminer. 3 ) En déduire toutes les racines de f. Exercice 07 ) Donner les solutions de l'équation x 2-4x = 0. 2 ) Retrouver graphiquement ces solutions en utilisant la courbe de la fonction carré. 3 ) En utilisant la courbe de la fonction carré, déterminer graphiquement les solutions de l'équation x 2-4x + 2 = 0. 4 ) Déterminer des réels α et β tels que x 2-4x + 2 = (x - α) 2 + β. 5 ) En déduire une factorisation de x 2-4x + 2, puis déterminer les valeurs exactes des solutions de l'équation x 2-4x + 2 = 0. 6 ) Déterminer des réels α et β tels que x 2-4x + 5 = (x - α) 2 + β. Que peut-on en conclure pour l'équation x 2-4x + 5 = 0? Exercice 08 Compléter : x 2-2x + 3 = (x- ) 2 + x 2 + 6x - = (x + ) 2 - x 2-3x + 4 = (x- ) 2 + x 2 + 4x - 5 = (x + ) 2 - x 2 - x + 2 = (x- ) 2 + x x + = (x + )2 + On considère le trinôme f(x) = ax 2 + bx + c avec a 0 On peut écrire f(x) = a x 2 + b a x + c a = a x + b 2 b 2 donc f(x) = a x + b 2 b 2-4ac 4a 2 4a 2+ c a = a x + b 2 - b 2 4ac 4a2+ 4a 2 On considère le trinôme f(x) = ax 2 + bx + c avec a 0. On appelle discriminant du trinôme et on note le nombre réel = b 2-4ac. L'écriture f(x) = a x + b 2 4a 2 est appelée forme canonique du trinôme. L'expression de la forme canonique n'a pas a être mémorisée, mais il faut connaître l'expression du discriminant et connaître la méthode permettant d'arriver à la forme canonique. Exercice 09 Donner les formes canoniques de x 2 - x et de y 2 + 3y. En déduire l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) dans un repère orthonormal vérifient l'équation : x 2 - x + y 2 + 3y = 0. ères Trinôme du second degré page 2

3 Propriété (voir démonstration 02) La représentation graphique d'une fonction trinôme définie par f(x) = ax 2 + bx + c est une parabole. Son sommet a pour abscisse et pour ordonnée f = - 4a. Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut. Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas f est strictement décroissante sur et strictement croissante sur - ; ; + f est strictement croissante sur et strictement décroissante sur - ; ; + ( voir animation ) Le nombre de solutions de l'équation ax 2 + bx + c = 0 dépend de la position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses. La forme canonique a x + b 2 4a 2 permet de résoudre l'équation ax 2 + bx + c = 0, c'est-à-dire de trouver les racines du trinôme ax 2 + bx + c. a > 0 2 solutions x et x 2 solution (double) x 0 pas de solution a < 0 2 solutions x et x 2 solution (double) x 0 pas de solution Exercice 0 Donner la forme canonique, puis trouver les racines des trinômes : x 2-4x + 3 ; 6x 2-48x + 35 ; 4x 2 + 4x + 5 ; 9 x2 + 3 x ères Trinôme du second degré page 3

4 Propriété (voir démonstration 03) ( voir animation ) On considère le trinôme f(x) = ax 2 + bx + c avec a 0. Soit son discriminant : = b 2-4ac. Si < 0, le trinôme n'a pas de racines. Le trinôme ne peut pas se factoriser. Le trinôme est toujours du signe de a. x - + signe de ax 2 + bx + c signe de a Si = 0, le trinôme a une racine double x 0 =. Le trinôme peut se factoriser sous la forme f(x) = a (x - x 0 ) 2 Le trinôme est du signe de a sauf en x 0 où il s'annule. x - x 0 + signe de ax 2 + bx + c signe de a 0 signe de a Si > 0, le trinôme a deux racines x et x 2 qui sont égales à : - Le trinôme peut se factoriser sous la forme f(x) = a (x- x )(x- x 2 ) Le trinôme est du signe de -a lorsque x est entre les racines et du signe de a lorsque x est à l'extérieur des racines. et +. Le calcul du discriminant n'est pas toujours indispensable pour déterminer les racines d'un trinôme. Lorsqu'une méthode plus simple est possible il faut l'utiliser. Par exemple lorsque b = 0 ou lorsque c = 0, le calcul du discriminant n'est pas utile. Exercice Résoudre les équations suivantes : x 2 + 2x - 3 = 0 x 2-5x = 0 2x 2 - x + = 0 -x 2 + 5x - 6 = 0-3x 2 + x = - 5 3x 2 + 2x + 30 = 0 9x 2-24x + 6 = 0 2 x2 + 2x = x 2 = 0 Exercice 2 x - x x 2 + signe de ax 2 + bx + c signe de a 0 signe de -a 0 signe de a Résoudre les inéquations suivantes : 2x 2-2x + 3 > 0 2x 2 + 3x + ³ 0 x 2-3x - 7 < 0-2x 2 + 3x x2 > 5 3x x 4 Exercice 3 Résoudre les équations et inéquations suivantes : x 2 + x - = 0 + x = x + x3 - x = 0 + x + x 2 0 -x 2 < 2 x x - x 2 ³ 0 ères Trinôme du second degré page 4

5 Exercice 4 Factoriser, lorsque c'est possible, les polynômes suivants : x 3-2x -x 2-3x + 7 x 4-3x 2 + 2x x 3-3x 2 + 6x -x 2 + 7x + 60 Exercice 5 Soit f définie sur IR par f(x) = 2x 2 + 3x - 5. Tracer, en la justifiant, la représentation graphique de f. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) ³ 0, puis retrouver les résultats par le calcul. Exercice 6 On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = (2 - x)(2x 2-5x + ). ) Résoudre l'équation f(x) = 0. 2 ) Donner suivant les valeurs de x, le signe de f(x). 3 ) Déterminer, sans faire de calculs, le signe de f(25) et le signe de f(2,0005). Exercice 7 Soient f et g définies sur IR par : f(x) = - x 2 + 4x - 5 et g(x) = 2 - x. ) Résoudre f(x) > 0 ; f(x) -2 ; f(x) g(x). 2 ) Représenter graphiquement f et g. (on justifiera les représentations) Retrouver graphiquement les résultats de la question précédente. Exercice 8 On considère les fonctions f et g définies par f(x) = (x - 2)(x 2 + 0x - 5) et g(x) = -x 2 + x + 2. ) En utilisant une calculatrice ou un grapheur, déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) g(x). 2 ) Résoudre l'inéquation f(x) g(x). Exercice 9 Sur le dessin ci-contre sont représentées deux fonctions trinômes du second degré f et g. ) On sait que le discriminant de f est positif et celui de g négatif. Indiquer, en justifiant, laquelle des deux courbes représente f et laquelle représente g. 2 ) f a pour racines 0 et 5 et de plus f() = 2. Déterminer l'expression de f(x). 3 ) Les courbes de f et de g se coupent aux points A(2 ; 3) et B(4 ; 2). De plus g a un minimum en 7 2. Déterminer l'expression de g(x) O Exercice 20 Un bateau a une vitesse propre de 8 km.h -. Il navigue sur une rivière, descend le courant sur une distance de 24 km, puis remonte le courant sur la même distance. Il met une heure de plus pour remonter que pour descendre. Montrer que la vitesse V du courant est solution d'une équation du second degré. Résoudre cette équation. ères Trinôme du second degré page 5

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