Cours et exercices de mathématiques EQUATIONS EXERCICES CORRIGES

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1 Cours et eercices de mathématiques EQUATIONS EXERCICES CORRIGES Une équation est une égalité mathématique utilisant des termes connus, et d autres inconnus, désignés par des lettres (en général ou y). Ces derniers sont appelés Inconnues Résoudre une équation, c est trouver la (les) valeur(s) de l inconnue pour laquelle (lesquelles) l égalité est vraie. Ces valeurs sont appelées Solutions de l équation METHODE GENERALE : Pour résoudre une équation, il faut la transformer en une équation équivalente, que l on sait résoudre, et ce au moyens d opérations élémentaires ) Equations du premier degré Ce sont les équations que l on peut transformer pour se ramener à la forme a + = (où a ), et qui ont pour solution =. Pour se ramener à cette forme, on peut utiliser les règles de développement et/ou réduction d une a epression, et de transposition d un terme d un memre à un autre. EQUATION RESOLUTION COMMENTAIRES + 5= 5 Le nomre 5 a été transposé de gauche à + 5= = 5 =. droite à l aide d une soustraction Le nomre a été transposé de gauche à droite à l aide d une division = = = ( ) = 5 produits en croi 6= = =. S = 6 ( ) 5(+ ) = 9 ( ) 9 = 5(+ ) 6 9= + 6 = = = =. S = = = ( + ) ( ) = = = 5+ = = =. S = + = ( )( + ) = + 6= + + = + 6 = =. S = Même eemple que précédemment, mais où se rajoute une technique visant à transformer une égalité de fraction en une égalité de produits. On aurait pu aussi multiplier les deu memres dès le déut, par, afin d «éliminer» les dénominateurs. Ainsi : 5 5 = = 5 = = = =. S = La variale peut se trouver d une part et d autre de l équation. On regroupe dans le memre de gauche ce qui la concerne, tandis que le reste est transposé à droite Attention! + est synonyme de ( + ) donc de Une autre solution est de séparer la fraction + = + = Cette équation est une «fausse» équation du second degré puisque les termes en carré s éliminent Page /

2 Cours et eercices de mathématiques ) Equations avec valeurs asolues Pour résoudre des équations faisant intervenir des valeurs asolues, deu méthodes sont possiles : ère méthode : Distinguer plusieurs cas (on appelle cela une DISJONCTION DES CAS), pour «enlever» les valeurs asolues, puisque, par définition, a = a ou a, selon que a ou a ème méthode : Interpréter les valeurs asolues en termes de distances. L inconvénient de cette méthode est qu elle n est plus efficace si plusieurs valeurs asolues interviennent. Enfin, ne pas oulier que a = a= ou a= Equation = En termes de distances = d ;, on cherche les nomres tels que Puisque ( ;) d =. On trouve = + = 5 et = = S={ ; 5} En utilisant les propriétés de la valeur asolue Puisque seuls et ont des valeurs asolues égales à, on a l'équivalence : = = ou = = + = 5 ou = = Par suite : S = { ; 5} Autres équations + 5 = 5 = + 5 = = 5 { 7;7} d 5; = = 5 = 7 ou = 5 + = 7 S = = 5 d ; = 5 d ; = 5 { } = + 5= 8 ou = 5=. S = ;8 L astuce d écriture + 5= ( 5 ) est souvent utilisée pour interpréter les additions en termes de distance. Cette résolution repose sur l égalité d ; = d ; 5 = Puisque pour tout réel, 5, l équation n admet pas de solution réelle. S = = + + = = + ou = 5ou = + S = = ( + ) = = = Etude simultanée des signes de + et de { ;5} Il faut donc étudier l epression + et résoudre l équation sur trois intervalles différents : Si ;, donc + = + ( ) + = + =, et donc =. L équation est donc équivalente à ( ) + = = 5= = =. Comme ;, cette solution est acceptale Si ;, + donc + = +, et donc =. L équation + = + = + = + = est donc équivalente à = =. Comme ;, cette solution est acceptale. Si ; +, + donc + = +, et = = + =. L équation [ [ donc = est donc équivalente à = + [ Comme 8 ;+ [, cette solution est à eclure. Finalement, + + = + 5= = 8 S = ; Page /

3 Cours et eercices de mathématiques ) Equations quotient Si l inconnue figure au dénominateur, il faut d aord déterminer les valeurs que l inconnue peut prendre, et éventuellement ne peut pas prendre (en particulier un dénominateur NE PEUT JAMAIS ETRE NUL). Ces valeurs seront appelées VALEURS INTERDITES Puis interviendra la propriété des produit en croi : Si a = c alors a d = c (produit en croi) d + La division par impose = Alors, pour tout, + + = = + = ( = = 6 = 6 {} 6 donc S = 6 5 La division par impose = Alors, pour tout, 5 = ( 5) = ( ) = + 5 = { } donc S = 8 Les divisions par 7 7 et imposent = 7 7. Alors, pour tout, 8 = 7 7 ( ) = 8(7 7) 56= 56 + = = impossile S = ) En présence d un quotient, il est impératif d eaminer la(les) valeur(s) qui annule(nt) le dénominateur, valeurs qui seront INTERDITES Ces valeurs ne pourront pas être prises par la variale, donc ne peuvent être en aucune mesure solution de l équation. \ = ; ; + est On dit que { } ] [ ] [ l ensemle de définition, ou l ensemle de validité de l équation D où l utilité de déterminer les valeurs interdites, qui permettent d «éliminer» d éventuelles solutions. ) Equations de degré se ramenant à une équation produit Si l équation à résoudre est de degré supérieur ou égal à, il faut : - Tout ramener dans le memre «de gauche» et laisser dans celui de droite - Factoriser le memre de gauche pour l écrire sous la forme d un produit - Appliquer la règle du produit nul : Pour qu un produit a soit nul, il suffit que l un au moins des deu termes a ou soit nul. On se ramène ainsi à des équations de degré inférieur 5 = 5 = ( 5 ) = Cette équation est une équation du second degré résolue par factorisation = ou 5 = et application de la règle du produit nul. L usage veut que l on classe les = ou =. S = ; 5 5 solutions dans l ordre croissant. 9 = ( )( ) 9 = = + = = ou + = = ou =. S = ; Cette équation est une équation du second degré résolue par factorisation grâce à une identité remarquale a = a a+ et application de la règle du produit nul Page /

4 Cours et eercices de mathématiques 5) Equations du second degré = 69 + = + 6= 8 = 69 = 69 ou = 69 c'est-à-dire = ou = + = = 6 = 6 ou = 6 c'est-à-dire = ou = + 6 = 8 = = ou = 5 + 7= = 6 = = impossile dans + = + = = Or pour tout réel,, donc l équation n a pas de solution réelle. S = 5 = = 5 = 9 = = = = ou = = = 5 5 = 5 5 = 6 = 9 = 9 ou = 9, c est-à-dire = ou = + = + = ( ) = Seuls les nomres nuls ont un carré nul = = 5 5 L équation a + + c = (a ) admet : Deu solutions réelles distinctes si = ac>, qui sont alors α + = et β =. a a Une solution réelle unique si = ac=, qui est alors γ = a Aucune solution réelle si = ac<. Les solutions sont alors complees = + 6 7= = + 9 7= ( ) ( ) + 6= Il s agit d une équation du second degré résolue grâce à la forme dite «canonique» de l epression On peut aussi rédiger en utilisant les formules : + 6 7= ( + )( + + ) = = 6 7 = 6 ( )( + 7) = > donc l équation admet deu solutions = ou = 7 réelles distinctes : S = { 7;} = = 7 et = = + = On calcule le discriminant du polynôme P = + : = = + = 6. > donc le polynôme admet deu racines réelles distinctes (ou encore, l équation admet deu solutions réelles distinctes) : = = et = =. On a donc S = { ;} + = On calcule le discriminant du polynôme P = + : = = =. > donc le polynôme admet deu racines réelles distinctes (ou encore, l équation admet deu solutions réelles + distinctes) : = = 7 et = =. On a donc S = { 7;}. Page /

5 Cours et eercices de mathématiques = On calcule le discriminant du polynôme + 6 = P = : = 6 9 =. = donc le polynôme admet une unique racine réelle (ou encore, l équation admet une unique solution réelle) : 6 = =. Ainsi S = = = 6 = < donc l équation n admet pas de solutions réelles. S = Il eiste cependant des solutions complees = On calcule le discriminant du polynôme P = : ( )( + + ) = ( )( ) 5 = = + = = + =5. > donc le polynôme admet deu racines réelles distinctes (ou encore, l équation admet deu solutions réelles distinctes) : = et =. On a donc S = ; = (Règle du produit nul) = ou = et on retrouve des équations du second degré «classiques» L équation est définie si et seulement si On pouvait aussi mettre en œuvre la et. technique des produits en croi : Pour tout \{ ;}, Pour tout \{ ;}, = = = ( ) 5 ( + )( 5 ) ( ) 5 ( + )( 5 ) = = ( ) 5 ( + )( 5 ) = (deu fractions égales ayant même dénominateur ont des numérateurs égau) (une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nulle) ( ) 5= ( + )( 5 ) = ( ) 5 ( + )( 5 ) = = et on retrouve une équations du second degré «classique» L équation est définie si et seulement si + = = 5 6 et. Pour tout \ { ; }, ( + )( + ) ( + )( ) = = ( + )( ) ( + )( ) ( + )( + + = (une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nulle) Pour cette dernière équation, on calcule = = + 8 = 5, donc l équation admet deu solutions réelles distinctes = = et = =. Ainsi S = ; Page 5/

6 Cours et eercices de mathématiques 6) Changements de variale On part de l équation : X + X 6=. > donc l équation admet deu solutions réelles distinctes : X = = et X = = A partir de l équation ci-dessus, on sait résoudre : + 6= En posant X =, puisque X = =, l équation devient équivalente à X + X 6=, que l on a résolu au dessus : X = ou X = En revenant à la variale on a : X = = = ou = X = =. Or pour tout réel,, donc l équation n a pas de solution réelle. Finalement, + 6= En posant X S = { ; } =, puisque X = =, l équation devient équivalente à X + X 6=, que l on a résolu au dessus : X = ou X = En revenant à la variale on a : X = = = X = =. Or pour tout réel positif,, donc l équation n a pas de solution réelle. Finalement, S = { } 7) Equations avec radicau : L équation a = n est définie que ssi a et sont positifs. Dans ce cas, elle est équivalente à l équation a= = L équation n est définie que si et seulement ; +. Pour tout ; +, = = = =. Comme ; +, S = { } + = L équation n est définie que si et seulement + et, donc si et seulement et, donc si et seulement ;. Pour tout ;, on a + = + = + = ou 7 = = = = Comme 7 ;, la seule solution est = donc S = { } Page 6/

7 Cours et eercices de mathématiques 8-) Equations mêlant logarithmes et eponentielles Ces équations reposent sur deu règles qui traduisent la BIJECTIVITE des fonctions logarithme et eponentielle : Soient a et deu nomres strictement positifs. Alors ln a= ln a= a Soient a et deu nomres quelconques. Alors e = e a= On utilise, en outre, de nomreuses propriétés algériques de ces deu fonctions ln( + 5 ) = ln( + 6) L équation est définie si et seulement + 5 > > ; ; + ] 6; + [ = ; + + 6> > ] 6; + [ Pour tout ; + 5, ln( + 5 ) = ln( + 6) + 5= + 6 = =. Comme ; +, S = {} 5 ln ( ) + ln ( ) = ln L équation est définie si et seulement > > ] ; + [ ; + ; + = ; + > > ] ; + [ Pour tout ] ; + [, ln( ) + ln ( ) = ln () ( )( ) = = ( ) = = ou =. Mais ] ; + [ donc S = { } = L équation est définie si et seulement ] ; + [ ln ( + ln ) = ] [ ] [ ] [ ln = ln (car ln( a) + ln( ) = ln( a )) ln = ln = ln = ln e (car ln( e) = ) n ( a ) { } ln = ln e (car nln( a) = ln ) = e. S = e L équation est définie si et seulement ] ; + [ ( + ln ) = + ln = car une fraction est nulle ssi son numérateur l'est = = e = S = e e ln. ln + ln 6 = En posant X = ln, l équation devient équivalente à X + X 6=, que l on a résolu précédemment : X = ou X = En revenant à la variale on a : X = ln= = e ln( 5) = = ln = =. Finalement, S = { e ;e } X e 5 L équation est définie si et seulement 5> ; + e + 5 ln( 5) = ln( 5) = ln ( e) 5 = e = e Comme ; +, e + 5 S = Page 7/

8 Cours et eercices de mathématiques + e = e L équation est définie sur. Pour tout, + + e = e e = e + = =. S = e 7= L équation est définie sur. Pour tout, ln(7) ln( a) e = 7 e = e car pour tout a>, e =a. = ln(7). S = ln 7 { } Une autre manière de le rédiger aurait pu être : e = 7 ln e = ln 7 = ln(7). S = ln7 { } e 9= L équation est définie sur. Pour tout, e 9 = ln e = ln 9 = ln(9) = ln(9) = ln(). S = { ln } e + = L équation est définie sur. Pour tout, e + = e = impossile car pour tout, e >. Donc S = Une autre manière de le rédiger aurait pu être : Pour tout, e > donc e + > >, donc ne peut être égal = -, donc S = e ( e ) = L équation est définie sur. Pour tout, e e = e = ou e =. e Puisque pour tout, e > (donc ), l équation est équivalente à e =, donc ln l, donc S = ln = = n { } + e 6= L équation est définie sur. En posant X =, puisque e = e = X, l équation devient équivalente à X + X 6=, que l on a résolu précédemment : X = ou X = En revenant à la variale on a : X = e = =ln X = e = impossile, car pour tout, e > S = ln Finalement, { },5 = L équation est définie sur. Pour tout, ln(,5) ln,5 =,5 = e = e ln(,5) = ln ln ln ln = = = = S = { } ln(,5) ln ( ln ) + = L équation est définie sur. Pour tout, + ( ln ) ( + ln ) = e = e ln = + ln + ln + ln ln = = + = ln ln ln ln ln ln + = = ln ln ln ln = = + ln ln ln ln ln S = + ln ln Page 8/

9 Cours et eercices de mathématiques 8-) Equations mêlant logarithmes et eponentielles ) Développer l epression : A = ( )( + )( ) ) Résoudre les équations suivantes : (a) e e e + = () e (c) ln ( ) ln ( + = + ). (d) ln ( + ) = ln ( + ) (e) ln ( + ) = ln ( + ). (f) ln ( ) ln ( ) + =. + + = e CORRECTION A = + = = + ) ) (a) On pose X = e. L équation e e e ( e ) ( e ) e + = + = devient alors équivalente à X X X + = X X + X = (d après la factorisation de la question ()) Pour qu un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu au moins l un d entre eu le soit. X X + X = X = ou X = ou X =. En «revenant» à l inconnue, on a donc Ainsi e = ou e = ou e =. Puisque pour tout réel, e >, l équation e = n admet pas de solutions réelle. En revanche e = = et e ln. Ainsi S = ;ln = = { } () Par ijectivité de la fonction eponentielle, e = e + = + + = a + + D après la factorisation de la question (), ( )( ) + = + =. Pour qu un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu au moins l un d entre eu le soit. ou ou S = ;; Ainsi ( )( + )( ) = = = =. Donc { } (c) Eaminons d aord l ensemle de définition de l équation ln ( ) ln ( ) + = +. > + > > L équation est ien définie si et seulement si + > ( + ) > ; ] ; + [ L ensemle de définition de l équation est donc ; ] ; + [. Par ijectivité de la fonction logarithme népérien, pour tout ; ] ; + [, ln ( + ) = ln ( + ) + = + + =. On connaît les solutions de cette dernière équation (cf question ()), et elles sont toutes les trois compatiles avec S = ;; l ensemle de définition. Ainsi { } (d) L équation est définie sur c, puisque les quantités remarquant que pour tout réel, ( + ) = ( ) + + = + ln ln ln ln avec la condition + et + sont strictement positives. En =, on va poser X =. L équation devient alors équivalente à ln ( X ) ln ( X X). + = +, X (puisque X = ). D après la question (c), on a X=- ;. La valeur X=- est éliminée par la condition X (l équation = n admet pas de solution). En «revenant» à l inconnue, on a donc X = = = ou = ou X = = ou = =. Ainsi S = { ; ;; } (e) Eaminons d aord l ensemle de définition de l équation ln ( ) ln ( ) Notons f = + et g. En remarquant que par. On otient ( )( ) aoutie égale à f ( )( )( + ) dresser le taleau de signes de f : d + = +. = + f ( ) =, on peut donc factoriser f ( ) f =, d où une factorisation =, qui nous permet de Page 9/

10 Cours et eercices de mathématiques Ainsi ; f > ; + = + > ] ; [ ] ; + [. L étude du signe de g est plus simple puisque pour tout réel, g =, donc g Les deu conditions devant être réalisées simultanément, l ensemle de définition de l équation est donc ; ; + Par ijectivité de la fonction logarithme népérien, ln + = ln + + = + + = Cette dernière équation ayant pour solution ; et, par compatiilité avec l ensemle de définition de S = ; l équation, on otient { } e (f) Eaminons d aord l ensemle de définition de l équation ln ( ) ln ( ) Le memre de gauche ln ( + ) est défini si et seulement si ; ; + =. + (cf question (e)), tandis que le memre de droite est défini si et seulement si > ] ;[. Les deu conditions devant être réalisées simultanément, l ensemle de définition de l équation est donc ;. Pour tout ;, par ijectivité de la fonction logarithme népérien, ( + ) = ( ) ( + ) = ( ) ln ln ln ln + = + + = Cette dernière équation ayant pour solution ; et, par compatiilité avec l ensemle de définition de S = l équation, on otient { } f Page /

11 Cours et eercices de mathématiques 9) Equations trigonométriques Les équations trigonométriques, qui possèdent en général une infinité de solutions (sauf si on restreint l intervalle de définition), se résolvent presque eclusivement en utilisant les équivalences suivantes : a= + kπ a= + kπ cos a= cosou et sin a= sin ou, a = + kπ, k a = π + kπ, k ainsi qu à partir de certaines formules de trigonométrie π cos( ) = Puisque cos =, on a donc π = + kπ, k π cos = cos = cos π ou = + kπ sin ( ) = π Puisque sin =, on a donc 6 π sin = sin = sin 6 π π kπ kπ, k = +, k 6 = + 8 π 5π kπ ou = π kπ, k + ou = Ne surtout pas oulier de diviser également kπ par! π π cos + = cos + cos = sin ( ) π π cos + = cos + π π π π kπ, k + = + + k, k = + π π π π π ou + = + + kπ ou = + kπ π π = + kπ = + kπ 7π 7π kπ ou = + kπ ou = + 8 π En utilisant la propriété cos X = sin X, l équation devient équivalente à π π kπ, k 5 kπ, k π = + cos = + = cos π π = + + kπ = + kπ, k π kπ π kπ = +, k, k 5 = + 5 π π = kπ, k = + k π, k (avec k = k) Page /