MPSI Espaces vectoriels. Applications linéaires

Transcription

1 MPSI Espaces vectoriels Applications linéaires Exercice 1: Soit E un K-ev, f E,n IN,λ 1,,λ n K deux à deux distincts On note N i = Ker(f λ i Id E ) pour 1 i n Démontrer que les N i sont linéairement indépendants, c est-à-dire : (x 1,,x n ) N 1 N n,x x n = 0 x 1 = = x n = 0 Exercice 2: Soit E = IR[X] le IR-ev des polynômes à coefficients réels, f : E E P P P Montrer que f est un automorphisme et exprimer f 1 Exercice 3: Soient E un Kev, (a,b) K 2 tel que a b,f L(E) tel que (f aid) (f bid) = 0 1 Montrer qu il existe (λ,µ) K 2 et des projecteurs p,q de E tels que : p = λ(f aid), q = µ(f bid), f = bp + aq 2 Pour tout k IN, calculer f k en fonction de p,q,k,a,b Exercice 4: Soit E = IR[X] le IR-ev des applications polynômiales à coefficients réels On définit D: E E et I : E E P P P x 0 P(t)dt 1 Vérifier que D et I sont linéaires 2 Exprimer D I et I D 3 Etudier l injectivité, la surjectivité et la bijectivité de D et I Exercice 5: Soient n IN \ {0;1} 1 Vérifier que C n est un C-espace vectoriel pour les lois usuelles k fois {}}{ 2 Soit E 1 le sev de C n engendré par e = ( 1,,1,0,,0), et H = Vérifier que : E 1 H = C n { (x 1,,x n ) C n ; k i=1 } x i = 0 1

2 Exercice 6: Soit E un K-ev, E {0},f L(E) nilpotent et p son indice de nilpotence, c est-àdire : p IN,f p = 0,f (p 1) 0 On suppose p 2 1 Montrer que Ker(f) {0} 2 Montrer que la famille (Id E,f,,f (p 1) ) est libre Exercice 7: Soient E un Kev, f L(E) On suppose que, pour tout x de E, la famille (x,f(x)) est liée Montrer que f est une homothétie En déduire une description du commutant de L(E), c est-à-dire l ensemble des éléments de L(E) qui commutent avec tous les autres Exercice 8: Soient E un K-ev, p un projecteur de E, q = Id E p, et L = {f L(E); u L(E),f = u p} M = {g L(E); v L(E),g = v q} Montrer que L et M sont des sev supplémentaires dans L(E) Exercice 9: Soient E,F,G trois K-ev, f L(E,F),g,h L(F,G) Montrer : Ker(g f) = Ker(h f) Im(f) Ker(g) = Im(f) Ker(h) Exercice 10: Soient n IN \ {0;1} 1 Vérifier que C n est un C-espace vectoriel pour les lois usuelles 2 Soit E 1 le sev de C n engendré par e = (1,,1), { } n H = (x 1,,x n ) C n ; x i = 0 Vérifier que : E 1 H = C n i=1 Exercice 11: Soient E,F,G trois Kev, f L(E,F),g L(F,G) Montrer : 1 Ker(g f) = Ker(f) Ker(g) Im(f) = {0} 2 Im(g f) = Im(g) Ker(g) + Im(f) = F Exercice 12: Soient E un Kev, F,G,F,G des sev de E tels que : F et G sont supplémentaires dans E F et G sont supplémentaires dans E F G 2

3 Montrer que F,F,G G sont en somme directe Exercice 13: Soient E un Kev, n IN,F 1 F n des sev de E 1 Montrer que si, F 1,,F n sont en somme directe et si, pour tout i {1,,n}, L i est une famille libre de F i alors n i=1 L i est libre dans E 2 Montrer que si, F F n = E et si, pour tout i {1,,n}, G i est une famille génératrice de F i, alors n i=1 G i est génératrice de E 3 Montrer que si, F 1,,F n sont en somme directe et de somme égale à E et si, pour tout i {1,,n}, B i est une base de F i alors n i=1 B i est une base de E Exercice 14: On considère le IR-ev IR IN formé des suites réelles Soit r 1 IR, on pose L = { (u n ) n IR IN ; n 0,u n+2 2r 1 u n+1 + r 2 1u n = 0 } Vérifier que L est un sev de E Montrer que L est de dimension 2 On considère les suites u = (r n 1 ) n et v = (nr n 1 ) n Montrer que (u,v) est une base de L Exercice 15: 1 Soient E un K-ev de dimension finie, f L(E) Montrer qu il existe un automorphisme g de E et un projecteur p de E tels que f = g p 2 Soit E un K-ev, p un projecteur de E,f L(E) Montrer : p f = f p Ker(p) et Im(p) sont stables par f Exercice 16: Soient n IN \ {0;1}, E le IR-ev des polynômes de IR[X] de degré n, et f : E E P P(X + 1) + P(X 1) 2P(X) 1 Vérifier que f est linéaire Déterminer Im(f), rg(f) et Ker(f) 2 Soit Q Im(f) Montrer qu il existe P E unique tel que f(p) = Q et P soit divisible par X 2 Exercice 17: 1 Soient λ K \ {0; 1}, E un K-ev, p un projecteur de E Montrer que p λid est un automorphisme de E 2 Soit E un K-ev de dimension 3,f L(E) tel que f 2 = 0,f 0 Montrer que le rang de f vaut 1 3

4 Exercice 18: Soient E un K-ev, f L(E),ϕ f : L(E) L(E) g f g g f 1 Vérifier que ϕ f L(L(E)) 2 Montrer que si f est nilpotent (il existe n tel que f n = 0) alors ϕ f l est aussi Exercice 19: Soit f L(IR 3 ) tel que f 2 = 0 Montrer qu il existe a IR 3 et une forme linéaire ϕ sur IR 3 tels que : x IR 3,f(x) = ϕ(x)a Exercice 20: Soit E un K-ev, F un sev de E Montrer que si F est de dimension finie alors : f L(E),F f(f) F = f(f) Trouver un contre-exemple à ce qui précède si l on ne suppose pas que F est de dimension finie Exercice 21: Soient E,F,G trois K-ev de dimension finie, f L(E,F),g L(F,G) Ker(g Im(f) ) = Ker(g) Im(f) En déduire : rg(g f) = rf(f) dim(ker(g) Im(f)) Montrer : rg(g f) rf(f) + rg(g) dim(f) Exercice 22: Soient E un K-ev, F,G deux sev de E, f : F G F + G (x,y) x + y 1 Vérifier que f est linéaire surjective 2 Montrer Ker(f) F G 3 En déduire que si F et G sont de dimensions finies alors F + G aussi et dim(f + G) = dim(f) + dim(g) dim(f G) Exercice 23: On considère le IR-ev IR IN formé des suites réelles Soit r 1,r 2 IR On pose L = { (u n ) n IR IN ; n 0,u n+2 (r 1 + r 2 )u n+1 + r 1 r 2 u n = 0 } Vérifier que L est un sev de E Montrer que L est de dimension 2 On considère les suites u = (r n 1 ) n et v = (r n 2 ) n Montrer que (u,v) est une base de L 4

5 Exercice 24: Soient E un K-ev et ϕ,ψ E \ {0} Montrer : Ker(ϕ) = Ker(ψ) λ K \ {0},ψ = λϕ Exercice 25: Soient E un K-ev et ϕ E telle que ϕ 0 Montrer que ϕ est surjective Soit F un sev de E Montrer : H est un hyperplan ϕ E,ϕ 0,H = Kerϕ Soient E un K-ev et ϕ,ψ E \ {0} Montrer : Ker(ϕ) = Ker(ψ) λ K \ {0},ψ = λϕ 5