FONCTIONS EXPONENTIELLES

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1 FONCTIONS EXPONENTIELLES I. Fonction eponentielle de base q 1) Définition On considère la suite géométrique de raison q définie par u n = q n. Elle est définie pour tout entier naturel n. En prolongeant son ensemble de définition pour tout réel positif, on définit la fonction eponentielle de base q. Ainsi par eemple : Pour une suite, on a u 4 = 4 Pour une fonction, on a f (4) = 4 a aussi f (1,3) = 1,3 mais on Définition : La fonction base q. q, avec q > 0, s'appelle fonction eponentielle de Eemple : La fonction eponentielle de base 1, est définie sur R par 1,. Remarque : Avec la calculatrice, il est possible de calculer des valeurs d'une fonction eponentielle de base q. Propriété : La fonction eponentielle de base q est définie, strictement positive, continue et dérivable sur R.

2 ) Propriétés Relation fonctionnelle : Pour tout réel et y, on a q + y = q q y Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement. Propriétés : Pour tout réel et y, on a : a) q 0 = 1 et q 1 = q b) q = 1 q c) q y = q q y d) ( q ) n n = q avec n un entier relatif. Démonstration de b et c : b) q q = q = q 0 = 1 donc q = 1 q. c) q y = q +( y) = q q y = q 1 q y = q q y Méthode : Simplifier une epression Simplifier les epressions suivantes : A = C ( ),1,3 5 B =,33,3 5 = 4,8 4,8 3 6, A = = 4 3+(5) = 4 8 B =,33,3 5,3 5 =,33+(5),3 5 =,3,3 5 =,3 5 =,3 7 ( ),1 C = 4,8 4,8 3 6, = 4,8 4,8 3 (,1) 6, = 4,8 4,8 = 4,8 = 4,8 6,3 6, 6,3+ 6, 0,1

3 3) Variationsw q 0 < q < 1 q > 1 est décroissante sur R lim q = + et lim q = 0 + q est croissante sur R lim q = 0 et lim q = + + Remarques : - Si q = 1 alors la fonction eponentielle de base q est constante. En effet, dans ce cas, q = 1 = 1 - Quel que soit q, la fonction eponentielle de base q passe par le point (0 ; 1). En effet, q 0 = 1. - La fonction eponentielle de base q est convee. Méthode : Utiliser une fonction eponentielle de base q Suite à une infection, le nombre de bactéries contenues dans un organisme en fonction du temps (en heures) peut être modélisé par la fonction f définie sur [0 ; 10] par : f () = ,15. a) À l'aide de la calculatrice, donner un arrondi au millier près du nombre de bactéries après 3h puis 5h30. b) Déterminer les variations de f sur [0 ; 10]. c) À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de temps le nombre de bactéries a doublé? a) f (3) = , f (5,5) = ,15 5, b) 1,15 > 1 donc la fonction 1,15 est strictement croissante sur [0 ; 10]. Il en est de même pour la fonction f.

4 c) Le nombre de bactéries a doublé à partir de bactéries, soit au bout d'environ 5h. II. Fonction eponentielle de base e 1) Définition Propriété : Parmi toutes les fonctions q, il en eiste une seule dont la tangente à la courbe représentative au point (0 ; 1) a pour coefficient directeur 1. Définition : Cette fonction est la fonction eponentielle de base e, notée ep, telle que pour tout réel, on a ep : e. Le réel e est environ égal à,718. Remarques : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. Il est également possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction eponentielle :

5 Remarque : On verra que la fonction eponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi ep(1) dépasse le milliard. Comme π, le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique. Ses premières décimales sont : e, Le premier à s intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783), cidessus. C est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu il s agisse de l initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot eponentiel. Dans «Introductio in Analysin infinitorum» publié en 1748, Euler eplique que : e = ! + 1! + 1 3! +... Rappelons que par eemple 5! se lit "factoriel 5" et est égal à Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales eactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l irrationalité de e. ) Propriétés Propriétés : Pour tout réel et y, on a : a) e 0 = 1 et e 1 = e b) e > 0 c) e + y = e e y d) e = 1 e e) e y = e e y f) ( e ) n n = e avec n un entier relatif. Remarque : On retrouve les propriétés des puissances.

6 Méthode : Simplifier les écritures Simplifier l'écriture des nombres suivants : A = e7 e 4 ( ) 6 e 5 B = e e ( e ) 4 ( ) 1 1 e C = + e e 6 A = e7 e 4 = e74 e 5 = e3 e 5 = e 3(5) = e 8 e 5 ( ) 6 B = e e 5 3 = e e 5 ( 6) 3 = e e = e = e C = + e 3 ( e ) 1 e = + e e 4 1 e = e e 6 = e ( e ) ( 1) 3 6 e 3) Dérivabilité Propriété : Le nombre dérivé de la fonction eponentielle en 0 est égal à 1. Démonstration : Par définition, la tangente à la courbe représentative en 0 a pour coefficient directeur 1. Propriété : La fonction eponentielle est continue et dérivable sur R et ( ep ) ' = e Méthode : Dériver une fonction Dériver sur R les fonctions suivantes : a) f () = 4 3e b) ( ) g( ) = 1 e c) h() = e a) f '() = 4 3e b) '( ) 1 ( 1) g = e + e = e + e e = e

7 c) e e 1 e h '( ) = = ( 1) 4) Variations Propriété : La fonction eponentielle est strictement croissante sur R. Démonstration : Comme ( ) croissante. ep ' = ep > 0, la fonction eponentielle est strictement 5) Limites en l'infini Propriété : lim e = 0 et lim e = + + 6) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction eponentielle : + ep ' + ( ) ep 0 + 7) Résolution d'équations et d'inéquations Propriétés : Pour tout réel a et b, on a : a) e a = e b a = b b) e a < e b a < b Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation a) Résoudre dans R l'équation e 3 e = 0. b) Résoudre dans R l'inéquation e

8 a) e 3 e = 0 e 3 = e 3 = + 3 = 0 = 3 ou = 1 Les solutions sont -3 et 1. b) e e 4 1 e L'ensemble des solutions est l'intervalle 1 4 ;+. III. Fonctions de la forme e u Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. u La fonction e est dérivable sur I. Sa dérivée est la fonction ( ) u '( ) e u. Eemple : Soit f () = e alors f '() = 4e Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. u( ) Les fonctions u( ) et e ont le même sens de variation. Démonstration : On a (e u )' = u'e u Comme e u > 0, u' et (e u )' sont de même signe. Eemple : La fonction 1 e 1 est décroissante sur ;0 et sur 0;+ donc la fonction est également décroissante sur ;0 et sur 0;+.

9 Méthode : Etudier une fonction Soit f la fonction définie sur R par f () = e. a) Calculer la dérivée de la fonction f. b) Dresser le tableau de variation de la fonction f. c) Tracer la courbe représentative de la fonction f en s aidant de la calculatrice graphique. d) Déterminer une valeur approchée de l'abscisse du point d'infleion à la courbe. e) Démontrer que f ''( ) = 1 e. 4 f) En déduire l'abscisse du point d'infleion. 1 f '( ) = e + e = 1 e a) b) Comme e > 0, f '() est du signe de 1. f est donc croissante sur l'intervalle ; et décroissante sur l'intervalle ;+. On dresse le tableau de variations : + f '() f () e f () = e = e 1 = 1 e = e c)

10 d) Le point d'infleion semble avoir pour abscisse une valeur proche de f ''( ) = e + 1 e 1 1 = e e + e 4 = e + e 4 = 1 e 4 e) f) Comme e > 0, f ''() est du signe de 4 1. Donc f ''() 0 pour soit 4. f ''() 0 pour soit 4. Ainsi f ' est croissante sur 4;+ et donc f est convee sur cet intervalle. f ' est décroissante sur ;4 et donc f est concave sur cet intervalle. On en déduit que la courbe représentative de f possède un point d'infleion d'abscisse 4. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 1-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation epresse de l'auteur.