Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 2 page 1 LES DROITES.
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- Lucien Guillaume Lemieux
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1 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 2 page 1 LES DROITES. I. Positions relatives de deux droites : 2. 1 er cas : droites sécantes ou concourantes : 2. 2 ème cas : droites parallèles : 3 C. 3 ème cas : droites confondues : 4 II. 3 théorèmes ultra importants : 5. Théorème : 2 droites parallèles à une même droite. 5. Théorème : 2 droites perpendiculaires à une même droite. 6 C. Théorème : 2 droites parallèles coupées par une perpendiculaire. 7 D. 2 Remarques pratiques : 8
2 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 2 page 2 Poursuivons notre voyage dans le monde fascinant de la géométrie. On va s intéresser un peu plus en détail aux droites et à leur positionnement relatif. Commençons par 2 droites. I. POSITIONS RELTIVES DE DEUX DROITES :. 1 er cas : droites sécantes ou concourantes : 2 Définitions : On dit que deux droites d 1 sont sécantes (ou concourantes) lorsqu elles ont. seul point commun (elles se en un point). Cet unique point commun s appelle le point d inter ou point de concours des deux droites. 2 Figures : Dessinez deux droites sécantes en un point. Dessinez deux droites sécantes en formant à l intersection 4 angles de même mesure. Comment sont les deux droites du cas?.... Cas particulier ultra important : droites perpendiculaires. On dit que deux droites d 1 sont perpendiculaires lorsqu elles sont sécantes en formant 4 angles de même. Chacun de ces 4 angles de même mesure s appelle un angle et sa mesure vaut =... On note d 1. Et on code la figure par un seul petit bout de carré à l intersection des 2 droites perpendiculaires. Figure : En utilisant votre équerre, dessinez les deux perpendiculaires d 1 à la droite passant respectivement par les points et. N oubliez pas le codage! (voir aussi méthode p. 152) Comment semblent être d 1?..
3 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 2 page 3 Exercice : Dessinez dans les 2 cas la perpendiculaire à () passant par C. C C. 2 ème cas : droites parallèles : Définition : On dit que deux droites d 1 sont parallèles lorsqu elles n ont. point commun 1. On note d 1 //. Construction d une parallèle à une droite : Un droite est déjà tracée (d 1 sur la figure ci dessous), on veut tracer une droite qui sera parallèle à d 1. Méthode On pose l équerre contre la droite d 1. On place la règle contre le deuxième côté de l équerre, perpendiculairement à d 1. On fait coulisser l équerre contre la règle parallèlement à d 1 jusqu à l endroit souhaité (un point par exemple). On trace la droite grâce à l équerre. Sur la figure à droite, reporter les 4 numéros de la méthode. d 1 d 2 vous maintenant : dans les deux figures suivantes, dessinez en rouge, la parallèle à d 2 passant par. d 2 d 1 Comment semblent être d 1 et? 1 Cherchez dans un dico ce que veut dire exactement le mot commun.
4 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 2 page 4 C. 3 ème cas : droites confondues : Définition : On dit que deux droites sont confondues lorsqu elles ont tous leurs points en commun. Les deux droites forment une seule et même droite! Exercice : Placer 4 points distincts,,c et D sur cette droite. Comment sont les droites () et (CD)? Exercice récapitulatif : (d2) (d3) (d4) Sur la figure ci contre, il manque les noms de 4 points. On sait que : (d2) et (E) sont perpendiculaires en D. (C) et (E) sont parallèles. (d5) Placer les points C,, D et E (vérifiez bien!). (d1) On va maintenant s intéresser au positionnement relatif de 3 droites. Dessinez 3 droites pour chaque cas (au crayon) quelconques mais non confondues. Essayez de faire 4 cas différents en raisonnant par rapport au parallélisme (3 droites //, 2 droites //, etc). Normalement, vous avez les 4 cas suivants (corrigez vos figures si besoin) : Les 3 droites ne se coupent pas ( point commun et point d intersection). Parmi les 3 droites, 2 uniquement sont parallèles (.. point commun et.. point d intersection) ucunes droites parallèles. Les 3 droites se coupent 2 à 2 (pas de point commun mais points d intersection). ucunes droites parallèles. Les 3 droites se coupent en un même pt ( pt commun) On va maintenant s intéresser plus particulièrement au cas et dans ce qui va suivre 2. 2 Vous avez sûrement remarquez que le cas est celui des triangles! Il sera étudié plus loin.
5 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 5 II. 3 THEOREMES ULTR IMPORTNTS :. Théorème : 2 droites parallèles à une même droite. Voici une droite d 1. Tracer en rouge une droite parallèle à d 1 et une droite parallèle aussi à d 1. d 1 Comment semblent être?. Théorème (2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion) Quand // d 1 alors.. // d 1 utrement dit : Lorsque 2 droites sont parallèles à une même troisième, alors ces deux droites sont forcément parallèles entre elles. Utilité : ce théorème sert à prouver que deux droites sont Exercice 1 : CD est un parallélogramme. Tracer en rouge la parallèle à (C) passant par M. Comment sont et (D)? Justifier en utilisant le théorème! Figures M D C C Exercice 2 : ED et CGF sont des rectangles. Comment sont (D) et (CG)? Justifier en utilisant le théorème! D E F G
6 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 6. Théorème : 2 droites perpendiculaires à une même droite. Tracer en rouge les perpendiculaires et à d 1 passant respectivement par et. (codage!) Comment semblent être ces deux droites rouges? d 1 Théorème (2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion) Quand d 1 alors.. d 1 utrement dit : Lorsque 2 droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors ces deux droites sont forcément parallèles entre elles. Utilité : Ce théorème sert à montrer que deux droites sont.. Exercice 1 : u compas, placer le point C de telle sorte que CD soit un carré. Tracer la perpendiculaire à () passant par P. Comment sont et (C)? Justifier en utilisant le thm! D Figures P Exercice 2 : On sait que d 1 et que // // d 4 et que d 5. Placer les codages manquants. Comment sont d 1 et d 5? Justifier en utilisant le théorème! d 1 d 4 d 5
7 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 7 C. Théorème : 2 droites parallèles coupées par une perpendiculaire. Voici une droite d 1 et un point M. Tracer en vert la parallèle à d 1 passant par M. Tracer en rouge la perpendiculaire à d 1 passant par M. (codage en vert!). d 1 Comment semblent être et? (coder en rouge!) M Théorème (2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion) Quand // d 1 alors.. d 1 utrement dit : Lorsque 2 droites sont parallèles entre elles, alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Utilité : Ce théorème sert à montrer que deux droites sont... Exercice 1 : u compas, placer le point C de telle sorte que CD soit un parallélogramme. Tracer la perpendiculaire à (C) passant par P. Comment sont les droites et (D)? Justifier en utilisant le théorème! D Figure P Exercice 2 : En reprenant la figure de l exercice 2 du II. p.12, et en utilisant le théorème, montrer que : d 5 d 1 d 4
8 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 8 D. 2 Remarques pratiques : Comment mémoriser les 3 théorèmes : En regardant bien les hypothèses et conclusions de ces 3 théorème très importants, on remarque que : // et // donne // lorsque les signes sont pareils, on obtient. (théorèmes et ) et donne // // et donne lorsque les signes sont différents, on obtient.. (théorème ) Comment choisir le bon théorème dans un exercice : il faut regarder la conclusion des théorèmes! Si on vous demande de prouver que deux droites sont, on peut utiliser le théorème... Si on vous demande de prouver que deux droites sont //, on peut utiliser : le théorème.. quand on a 3 droites // le théorème.. quand on a deux perpendiculaires à une même troisième. Terminons par une citation et une petite blague avant d attaquer les triangles : «La logique est l'hygiène des mathématiques.» ndré Weil ( ) «Un cercle est une droite arrondie avec un trou au milieu.»
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