Modélisation du poumon humain comme un arbre infini

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1 Modélisation du poumon humain comme un arbre infini B. Maury Orsay D. Salort (Paris 7), C. Vannier (Orsay) Collège de France, 5 décembre 2008

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3 Données Arbre dyadique à 23 générations Écoulement non inertiel à partir de la génération 5 ou 6 Au delà : modèle de Stokes (loi de Poiseuille) valide Régularité géométrique : homothétie de rapport h 0.85 (Weibel). 300 millions (>> 2 23 ) d alvéoles Surface d échange entre 80 et 200 m 2

4 3 u(x 0,x i ) = 0 i=1 x 2 x 3 x 0 x 1 p(y) p(x) = r(e)u(e) x e y Loi de Poiseuille sur les arêtes Loi des nœuds aux sommets Résistance r(e) proportionnelle à l(e)/d(e) 4 : homogénéité 3

5 Arbre infini résistif o

6 Trace dans des domaines fractals : Achdou, Sabot, Tchou (2008)

7 ω c p = 0 γ Γ

8 V ensemble des sommets, E V V ensemble des arêtes. Champ de résistances (r(e)) e E, symétrique, r(e) (0,+ ). Pression p : V R Flux u R E, (u(y,x) = u(x,y)), Opérateurs divergence et gradient : : R E R V u u, u(x) = u(x,y) y x : R V R E p p, p(e) = p(x,y) = p(y) p(x)

9 Loi de Poiseuille : u = r 1 p Loi de Kirchhoff : u = 0 Modèle de ventilation : u + c p = 0 u = 0 dans Ṫ p(o) = 0 +? Espaces fonctionnels (énergie dissipée finie) : { L 2 (T) = u R E, e r(e) u(e) 2 < + }, H 1 (T) = { p R V, p 2 1 = e c(e) p(y) p(x) 2 < + } L 2 : espace l 2 à poids H 1 : espace de Hilbert pour p 2 = p(0) 2 + p 2 1

10 Loi de Poiseuille : u = r 1 p u = k p Loi de Kirchhoff : u = 0 u = 0 Modèle de ventilation : u + c p = 0 u p(o) = 0 +? = 0 dans Ṫ Espaces fonctionnels (énergie dissipée finie) : { L 2 (T) = u R E, e u + k p = 0 u = 0 dans Ω p = 0 sur γ +CL sur Γ r(e) u(e) 2 < + }, H 1 (T) = { p R V, p 2 1 = e c(e) p(y) p(x) 2 < + } L 2 : espace l 2 à poids H 1 : espace de Hilbert pour p 2 = p(0) 2 + p 2 1

11 Version probabiliste Marche Aléatoire p3 x 3 p 1 x 0 x2 p 2 x 1 Probabilités : p i = c i /( c j ), avec c i = 1/r i. Cartier (71), Ancona (88), Mouton (00), Soardi (94).

12 T : arbre infini dyadique H 1 0 : adhérence de D(T) (champs à support fini) dans H1. Question : H 1 0 différent de H1? ( H 1/2 = H 1 /H 1 0 {0}?) Proba : H 1/2 {0} ssi la chaîne de Markov est transiente (Soardi) Autre critère : H 1/2 {0} la résistance effective est finie Cas d un arbre géométrique (r N = r 0 α N = r 0 /h 3N ) : Espace non trivial ssi h > 1/ N.B. 1/ 3 2 valeur critique Mauroy, Filoche, Weibel, Sapoval, Nature 2004 Poumon réel (Weibel) : h = 0.85 > 0.79.

13 Sous l hypothèse de résistance finie u + c p = 0 u = δ 0 γ 0 p = g on Γ est bien posé pour tout g H 1/2, mais purement abstrait. Approche semi-abstraite : H 1/2 peut être identifié à un sous-espace de L 2 (Γ), où Γ l espace des bouts (ensemble des géodésiques, identifiable à = {0,1} N ).

14 Base Hilbertienne de H

15 Définition de γ 0 Deux ingrédients - Décomposition de Royden (Soardi) p = p 0 }{{} H p 1 }{{} H 1 - γ 0 bien définie sur (ϕ nk ). Pour un arbre régulier, γ 0 se prolonge par continuité (L 2 ) sur H 1. γ 0 (H 1 ) L 2 (Γ).

16 Trace de la dérivée normale Équivalent pour T de c p/ n, qu on peut définir comme élément de H 1/2 (Γ) pour les champs p tels que c p est dans H div. Ici : on définit γ 1 (flux sortant) sur les champs H 1 harmoniques sur Ṫ = T \ {o}. Dualité naturelle : γ 1 (H 1 (Ṫ)) ( γ 0 (H 1 ) ) Formule de Green : γ 1 p, γ 0 p = énergie dissipée.

17 Arbre géométrique (Φ 0,Φ nk ) base de Haar de L 2 (Γ) (avec Γ = {0,1} N ). A r (Γ) = {f L 2 (Γ), n 0 autre définition (A. Cohen) 2 n 1 k=0 2 2nr c nk (f ) 2 < + },c nk (f ) = (Φ nk,f ). A r (Γ) = {f L 2 (Γ), (dist L 2(f,V n )2 nr ) n N l 2 }. avec V n espace des fonctions en escalier à l échelle 1/2 n.

18 Pour un arbre géométrique (r n = α n avec α < 2), on a On a naturellement Φ nk = γ 0 (ϕ nk ) ( ) 2 n/2 α γ 0 (H 1 (T)) = A s, avec s = (1 lnα/ln 2)/2. γ 1 (H 1 (Ṫ)) = A s. Opérateur Dirichlet Neuman C (pour Conductance) g A r (Γ) p H 1 (Ṫ) u = γ 1p A r (Γ). Loi de Poiseuille généralisée g 0 = C 1 }{{}}{{} u. saut de pression flux

19 Plongement de l arbre o Ω

20 Courtesy E.R.Weibel, University of Berne

21 On considère l ensemble F des fonctions asymptotiquement constantes par morceaux racine o (nez) Ω

22 On définit l application γ Ω 0 : F H 1 (T) L 2 (Ω). Prop. Arbre régulier, décomposition équilibrée, ( Ω n j = 2 n ) γ Ω 0 s étend par densité γ Ω 0 : H 1 (T) L 2 (Ω). Identification de γ Ω 0 (H1 (T))?

23 Régularité du champ de pression Décomposition régulière : (i) O équilibrée, (ii) Il existe C > 0 telle que, pour tout n N, k {0,...,2 n 1} (iii) Il existe C > 0 telle que τ h I1 Ωnk I1 Ωnk L 1 (Ω) diam(ω nk ) C2 n d. où τ h représente : τ h ϕ( ) = ϕ( + h). C h 2 n(d 1) d, h R d, n, k,

24 Prop. Arbre géométrique et décomposition équilibrée : γ Ω 0 (H1 ) = A r (Ω) avec r = (1 ln(α)/ln2)/2, Pour un arbre géométrique et une décomposition régulière : γ Ω 0 (H1 ) = H s (Ω) avec s = rd, tant que 0 < s < 1/2. Pour le poumon humain : d = 3, Coefficient de réduction : h 0.85 Résistances : α = 1/h On obtient s 0.45 : champ de pression dans H s (Ω).

25 Ventilation : opérateur Dirichlet-Neuman C pour un problème elliptique posé sur T, pour lequel Ω joue le rôle de frontière. g H 0.45 (Ω) pression prescrite dans le paremchyme Ω p solution de c p = 0 in T \ {o}, p(o) = 0, (p) = g. o γ Ω 0 C : g p = Cg = γ1 Ω p (flux en sortie ). Ω

26 Modèles constitutifs pour le paremchyme x 0 T i 1 T i T i+1 x i x i+1 x i 1 Si S i+1 S i 1 x 2 N L

27 Équation d évolution 1D (Grandmont, B.M., Meunier 06) tt η xx η x R x t η = 0. R = C 1 opérateur Neuman Dirichlet Ru(y) = p(y) = K(x,y)u(x)dx y R 1 R 2 R 3R3 r 0 R 2 R 1 R 0 R 1 R 2 R 2 R 2 R 1 R 2 R 2 R 2 R 0 = x + r 1 r 1 r 2 + r 2 r 2 r

28 nez Ω tt η σ(η) R t η = 0.

29 Approche Z 2 (avec F. Bernicot, D. Salort) But : proposer un cadre naturel pour rendre compte de la proximité (entre bouts) vis-à-vis de l arbre Résultats : définition naturelle des espaces de traces comme espace de Sobolev Formulation de l opérateur Neuman Dirichlet comme une convolution flux en sortie champ de pression

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32 Si z = 2 β z, z impair, z 2 = 2 α dist(z 1,z 2 ) = z 2 z /4 1/2 1 1/2

33 Γ N Z/2 N Z équipé de la distance ultramétrique z = 2 α y, 2 y, z 2 = 2 α, dist(z 1,z 2 ) = z 2 z 1 2. Γ n = Z/2 n Z, ϕ nm : z Γ m z Γ n ( z z mod 2 n ) n m. Γ est la limite projective des Γ n : { Γ = lim Γ n = (a n ) n N Γ n, ϕ nm (a m ) = a n n m = Z 2 }

34 Z 2

35 Z 2

36 /8

37 Champ de pression p R V, p = (p 0,p 1,...,p n,... ) n N RΓn, On définit p n R Z 2 par Alors p n (z) = p n (a) z a + 2 n Z 2. p H 1 (T) 1 p n+1 p n 2 0 α n 2 n Z 2 On en déduit = ( ) 2 n p n+1 p n 2 0 α < +. p H 1 (T) = ( p n ) de Cauchy dans H s ε (Z 2 ), s = (1 lnα/ln 2)/2. { ( } s H s (Z 2 ) = g L 2 (Z 2 ), 1 + ξ 2) 2 ĝ(ξ) 2 dµ < + Q 2 avec ĝ(ξ) = e 2iπxξ g(ξ)dµ. Q 2

38 Intégrale sur Z 2 basée sur Z 2 1 a+2 n Z2 dµ = 2 n Flux : µ M(Z 2 ) : µ(a + 2 n Z 2 ) est connu pour tout a, tout n. µ(y) p(x) = Rµ(x) = Z 2 x y log 2 (α) dy = G µ(x). 2 où G est un noyau de type Green (du type 1/ x y d 2 dans R d ). N.B. : pour R <, log 2 (α) (,1) En particulier log 2 (α) 0.7 pour α = 0.85 log 2 (α) < 1 : compacité de l opérateur (noyau intégrable dans Z 2 ).