Cours IV : Etude locale de fonctions

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1 ENIHP1 : mathématiques étude locale p.1 Cours IV : Etude locale de fonctions L'étude d'une fonction consiste à : I Plan d'étude d'une fonction - Définir l'ensemble de définition - Etudier la parité et la périodicité pour limiter l'ensemble d'étude - Déterminer le domaine de continuité et de dérivabilité - Calculer les limites aux bornes - Déterminer le sens de variation soit à l'aide de fonctions composées ou du signe de la dérivée. - Construire le tableau de variation - Etudier localement la fonction : asymptote, tangente, position relative - Construire la représentation graphique. Définition II Asymptote Soit f une fonction et C f sa courbe représentative dans un repère O ; i ; j Asymptote verticale : Si lim f x = + ou - alors C x a f admet la droite d équation x=a comme asymptote verticale. Asymptote horizontale : Si lim f x =b alors C x f admet la droite d équation y=b comme asymptote horizontale au voisinage de +. Asymptote oblique : Si lim x [f(x) (ax+b)] = alors C f admet la droite d équation y=ax+b comme asymptote oblique au voisinage de +.

2 ENIHP1 : mathématiques étude locale p.2 1/ Définition III Développement limité d une fonction au voisinage de. A: Définition et Propriétés Définition: Soit f une fonction définie sur un voisinage I de (sauf peut-être en ) et n un entier positif. On dit que f admet un développement limité (d.l.) d ordre n au voisinage de si il existe un polynôme d ordre n tel que pour tout x de I (sauf peut-être ) : f(x)=a +a 1 x+...+a n x n + x n ε(x) avec lim ε ( x) = Le polynôme a +a 1 x+...+a n x n le reste. s appelle la partie régulière du développement et x n ε(x) Exemple : Calculer le développement limité d'ordre 2 au voisinage de de (x+1) 4. (%i3) expand((1+x)^4) (%i3) taylor(f(x),x,,2); Propriété : Si une fonction admet un développement limité d ordre n au voisinage de, alors il est unique. Démonstration par l absurde: Remarque: Le développement limité d une fonction au voisinage de x=a peut s obtenir en écrivant f(x)=f(a+h), on recherche alors un développement limité au voisinage de. De même, Le développement limité d une fonction au voisinage de + peut s obtenir en écrivant f(x)=f( h 1 ), on recherche alors un développement limité au voisinage de.

3 ENIHP1 : mathématiques étude locale p.3 Exemple: Déterminer le développement limité de x 4 au voisinage de et de 1 à l ordre 2. (%i9) taylor(x^4,x,1,2); x + 3x² + 2x + Exemple: Déterminer le développement limité au voisinage de de 3 x (%i1) taylor((x^3+3*x^2+2*x+2)/x^3,x,inf,2); 3 2 en + à l ordre 2. 2/ Développement limité de référence: On admettra la formule suivante : Formule de Mac Laurin: Soit une fonction f de classe C n (dérivée nième continue sur I) sur un intervalle I contenant et h. On a alors: f(h)=f()+hf ()+ f ()+...+ f (n) ()+ h n ε (h) avec lim ε ( h) = h Développements limités de référence : formule à l'ordre n formule à l'ordre 5 n x e x = =! +xn ε(x) ln(1+x)= = = n 1 ( 1) +x n ε(x) = 1 x n x ( 1) +x n ε(x) (1+x) α = n = 1 Π (α i=! i) x +x n ε(x) n 1 2 sin x= = ( 1) x +x n ε(x) (n impair) (2 + 1)! n 2 cos x= = ( 1) 2 x +x n ε(x) (n pair) 2!

4 ENIHP1 : mathématiques étude locale p.4 Démonstration : 3/ Propriétés algébriques Soient deux fonctions f et g admettant un développement limité à l ordre n au voisinage de de partie régulière P et Q respectivement : f(x)=a +a 1 x+...+a n x n + x n ϕ(x) = P(x)+ x n ϕ(x) et g(x)=b +b 1 x+...+b n x n + x n φ(x) =Q(x)+ x n ϕ(x) On a alors : Somme : f+g admet un développement limité à l ordre n et (f+g)(x) = a +b + (a 1 +b 1 )x + (a n +b n )x n + x n θ(x) = (P+Q)(x)+ x n ϕ(x) Exemple: Déterminer le développement limité au voisinage de à l ordre 3 de sin x ln(1+x). (%i18) taylor(sin(x)-log(1+x),x,,5); (%i19) taylor(sin(x),x,,5)-taylor(log(1+x),x,,5); Produit: fg admet un développement limité à l ordre n dont les coefficients sont les coefficients de PQ en supprimant les termes de degré supérieur à n. Exemple : Déterminer le développement limité au voisinage de de sin x e x à l ordre 3 (%i2) taylor(sin(x)*exp(x),x,,3); (%i21) taylor(sin(x),x,,3)*taylor(exp(x),x,,3);

5 ENIHP1 : mathématiques étude locale p.5 Fonctions composées: On suppose que f admet un développement limité au voisinage de à l'ordre n et g un développement limité en f() à l'ordre n. -f( x) admet un développement limité au voisinage de à l ordre n et f( x)=a +a 1 ( x)+ a 2 ²x²+...a n n x n +x n ε(x) - f(x p )admet un développement limité au voisinage de à l ordre n et f(x p )=a +a 1 x p + a 2 x 2p +...+x n ε(x) en conservant les puissances inférieures à n. - gof(x) admet un développement limité au voisinage de à l ordre n dont la partie régulière est QoP en ne conservant que les monômes de degrés inférieurs à n. Exemple : Calculer le développement limité au voisinage de de e 2x, e x², e sin x à l ordre 3 Quotient: cas 1: f ne s annule pas au voisinage de admet un développement limité au voisinage de à l ordre n et on utilise alors le développement limité de cas 2: f s annule au voisinage de et admet une limite finie au voisinage de admet un développement limité au voisinage de à un ordre inférieur à n. On simplifie alors les développements limités de f et g. Exemple: Déterminer le développement limité au voisinage de à l ordre 2 de et (%i25) 1/taylor(exp(x),x,,2);(%o25) 1-x+x^2/2+... (%i26) taylor(1/exp(x),x,,2); (%i27) taylor(log(1+x)/sin(x),x,,2); (%i29) taylor(log(1+x),x,,3)/taylor(sin(x),x,,3);

6 ENIHP1 : mathématiques étude locale p.6 4/ Dérivation et Intégration Propriété : Intégration Soit f une fonction dérivable sur I contenant. Si f admet un développement limité au voisinage de d ordre n au voisinage de : f (x)=a +a 1 x+...+a n x n + x n ε(x) avec lim ε ( x) = alors f admet un développement limité d ordre n+1 au voisinage de en intégrant terme à terme: f(x)=f()+a x+a 1 x²/2+...+a n x n+1 /(n+1)+ x n+1 ε(x) avec lim ε ( x) = Exemple : Calculer le développement limité au voisinage de d ordre 3 de arctan. (%i32) taylor(atan(x),x,,3) (%i33)integrate(taylor(1/(1+x^2),x,,2), x); Propriété : Dérivation Soit f une fonction de classe C n sur I contenant. Si f admet un développement limité d ordre n+1 au voisinage de, et Si l on sait que f admet un développement limité d ordre n au voisinage de, alors la partie régulière du développement limité d ordre n de f est la dérivée de la partie régulière d ordre n+1 de f:

7 ENIHP1 : mathématiques étude locale p.7 f(x)=a +a 1 x+...+a n+1 x n+1 + x n+1 ε(x) avec lim ε ( x) = f (x)=a a n+1 x n + x n ε(x) avec lim ε ( x) = Exemple: Calculer le développement limité au voisinage de d ordre 1 de : f(x)= arctan(x) et g(x)=x² sin x 1. Que peut-on dire du développement limité de leur dérivée? (%i55) diff(taylor(atan(x),x,,3),x); (%i56) taylor(diff(atan(x),x),x,,2); B Applications des développements limités 1/ Calcul de limites : En présence de formes indéterminées (/), on remplace les fonctions par le développement limité : Exemple : Calculer la limite au voisinage de de (%i58) limit((sin(x)-x)/x,x,);(%o58) (%i59) taylor((sin(x)-x)/x,x,,1);(%o59) / Tangente au voisinage de (T ): Propriété : Soit f une fonction admettant un développement limité d ordre n au voisinage de. f(x)=a +a 1 x+...+a n x n + x n ε(x) avec lim ε ( x) = Alors C f admet pour tangente (T ) au point d abscisse la droite d équation y= a +a 1 x

8 ENIHP1 : mathématiques étude locale p.8 3/ Position relative au voisinage de : Méthode : La position relative de C f et (T ) au voisinage de dépend du signe de f(x)-(a +a 1 x). La position relative dépend donc du premier terme non nul de f(x)-(a +a 1 x). Exemple : On pose f(x)=cos x ln(1+x). Déterminer une équation de la tangente à C f en x= et étudier leur position relative. 4/ Asymptote oblique Méthode : On utilise le développement limité de la fonction au voisinage de +. Exemple: Déterminer l'asymptote oblique en + de la fonction f(x) = x ² 3x + 1 et en déduire leur position relative au voisinage de +. (%i64) taylor(sqrt(x^2-3*x+1),x,inf,2); (%i66) wxplot2d([sqrt(x^2-3*x+1),x-1.5],[x,1,1])