Corrigé des exercices sur la proportionnalité. a) Une barre de métal de 8 mètre pèse 24 kg. Combien pèsera une barre identique de 32 mètres?

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1 Corrigé des exercices sur la proportionnalité Ex 1 : Les procédures de résolution dépendent des nombres et des grandeurs en jeu a) Une barre de métal de 8 mètre pèse 24 kg. Combien pèsera une barre identique de 32 mètres? Pour résoudre ce problème, bien que la relation entre 8 et 24 soit simple à mettre en évidence, il est plus difficile de la mettre en mots pace que ce sont des mesures de grandeurs différentes. Il est plus facile de mettre en mots la relation entre 8 et 32 qui sont des mesures d une même grandeur : une barre 4 fois plus longue pèse 4 fois plus lourd b) Dans le cas du problème du mélange de café les deux grandeurs en jeu sont de même nature et de ce fait, le coefficient est plus facile à expliciter : le mélange contient 3 fois plus d Arabica que de Robusta. Dans ce cas pour 32kg de Robusta, il faudra mettre trois fois plus d Arabica soit : 3 x 32 kg = 96 kg. c) Pour faire un mélange de café, il faut mettre 8 kg de Robusta avec 13 kg d Arabica. Quelle quantité d Arabica faut-il mettre avec 32 kg de Robusta? La relation entre 8 et 32 est simple à mettre en évidence et dans ce cas, on utilisera les propriétés de linéarité : un mélange qui contient 4 fois plus de Robusta doit contenir 4 fois plus d Arabica. d) Pour faire un mélange de café, il faut mettre 19 kg de Robusta avec 57 kg d Arabica. Quelle quantité d Arabica faut-il mettre avec 24 kg de Robusta? Cette fois c est la relation entre 8 et 24 qui est facile à mettre en évidence (57 = 3x19) et on utilisera le coefficient de proportionnalité : le mélange de café contient 3 fois plus d Arabica que de Robusta. Ex 2 : Soient a, b, c les parts respectives reçues par chaque employé. Comme les parts sont réparties proportionnellement à leur ancienneté, les suites (a, b, c) et (3, 7, 8) sont a b c proportionnelles. On peut donc écrire : = = et d après les propriétés de linéarité relatives à l addition : a b c = = = Comme a+b+c = 2284,20, a + b + c a b 3 c = = = a + b + c ,20 = = 126, D où a = 3 x 126,90 = 380,70 ; b = 7 x 126,90 = 888,30 et c = 8 x 126,90 = 15,20. Ex 3 : Trois grandeurs interviennent : le poids de tomates en kg, le nombre de salades (c'est une grandeur scalaire, i.e. sans unité) et le prix du tout en euro. Les deux premières sont indépendantes mais la troisième est fonction "linéaire" des premières. Précisons : - Le prix de k lots (identiques) est égal à k fois le prix d'un lot (propriété de linéarité relative à la multiplication). - Le prix du lot1 et du lot2 est égal à la somme des prix de ces lots (propriété de linéarité relative à l addition). Le prix est proportionnel au couple formé des deux autres Les données sont les suivantes : 3 kg de tomates et 2 salades coûtent 8 (1) 5 kg de tomates et 1 salade coûtent 11 (2) En utilisant la propriété de linéarité relative à la multiplication à (1), on peut écrire : 9 kg de tomates et 6 salades coûtent 24 (3) En utilisant la propriété de linéarité relative à la soustraction) à (3) et à (2), on peut écrire : 4 kg de tomates et 5 salades coûtent (24-11 ) soit 13. 1

2 Ex 4 : a) C est un problème de proportionnalité double : une grandeur varie (ici le nombre de pains) proportionnellement à deux variables indépendantes (le nombre de boulangers et la durée). On traite le problème en fixant une donnée (ici le temps) et en travaillant sur les deux autres : Si 4 boulangers font 4 pains en 4 minutes, 12 (12 = 3x4) boulangers font 3 fois plus de pains pendant la même durée soit 12 pains en 4 minutes. Puis on fait varier la troisième donnée : Comme 12 min = 3 x 4 min, 12 boulangers font 3 fois plus de pain soit 3x 12 = 36 pains durant une durée trois fois plus longue : 12 minutes. On utilise la propriété de linéarité relative à la multiplication. b) C est un problème de proportionnalité composée : une grandeur (ici le poids de pain) varie proportionnellement à une autre grandeur (le poids de farine) qui elle-même varie proportionnellement à une troisième grandeur (ici le poids de blé). Pour résoudre ce problème, on traite successivement deux problèmes de proportionnalité : Pour obtenir 30 kg de pain, il faut 25 kg de farine. Comme 450 kg = 15x30 kg, pour obtenir 15 fois plus de pain, il faudra 15 fois plus de farine, soit 15x25 kg de farine soit 375 kg de farine. Pour obtenir 75 kg de farine, il faut kg de blé. Comme 375 kg = 5x75 kg, pour obtenir 5 fois plus de farine, il faudra 5 fois plus de blé soit 500 kg. Il faut donc 500 kg de blé pour obtenir 450 kg de pain. c) C est à nouveau un problème de double proportionnalité. L aire d un rectangle est proportionnelle à chacune de ses dimensions qui sont généralement indépendante. Si on multiplie l une des dimensions par 2, l aire du nouveau rectangle sera 2 fois plus grande que l aire du premier. Si on multiplie l autre dimension par 2, l aire du nouveau rectangle sera 2 fois plus grande que l aire du rectangle précédent. L aire du dernier rectangle sera donc 4 fois plus grande que l aire du premier. Ex 5 : S il y a plus d ouvriers, ils mettront moins de temps pour paver le même tronçon de rue. La durée est ici inversement proportionnelle au nombre d ouvriers. Si 15 ouvriers peuvent faire le travail en 8 h, 3 ouvriers mettront 5 fois plus de temps (puisque 15 = 3x5) soit 40 h. Si 3 ouvriers mettent 40 h pour faire le travail, 12 ouvriers mettront 4 fois moins de temps (puisque 12 = 4x3), soit h. Ex 6 : a) Si a est la valeur de la grandeur avant augmentation. Soit b la valeur de la grandeur après augmentation : b = a + a x = a x (1+ ) = a x (1 + 0,25) = a x 1,25. Augmenter de 25%, c est multiplier par 1,25. b) Si a est la valeur de la grandeur avant diminution. Soit b la valeur de la grandeur après diminution : b = a a x 25 =a x (1-0,25) = a x 0,75. Diminuer de 25%, c est multiplier par 0,75. c) Soit a la valeur initiale, soit b la valeur obtenue après la première augmentation : D après ce qui précède : b = a x 1,12. Soit c la valeur obtenue après la seconde augmentation : D après un raisonnement analogue à celui de b) c = 1,27x b, soit en remplaçant b par sa valeur : 42, 24 c = (1,27) x (1,12) x a = 1,4224 x a = a x (1 + augmentation de 42%. ) ce qui correspond approximativement à une d) le rapport entre la quantité d eau et la quantité de limonade de varie pas : il y a donc 80% d eau dans un demi-litre de limonade. 2

3 Ex 7 : a) Soit P le prix de l article avant augmentation. Après augmentation de 25%, il devient 1,25 x P. 125 Pour qu il redevienne P, il faut diviser le prix augmenté par 1,25 = soit donc le multiplier par 125. Comme = 0,8 = 1-0,2 = 1-, il doit donc diminuer de 20%. b) Soit P le prix de l article avant diminution. Après diminution de 25%, il devient 0,75x P. Pour qu il redevienne P, il faut le diviser par 0,75= 3 4 soit le multiplier par soit en pourcentage d environ 33,3%. ce qui correspond à une augmentation de Ex 8: Il y a 25 élèves dans la classe. S il y avait élève dans la classe, soit 4 fois plus que 25, il y aurait 4 fois plus de filles, soit 4x15 = 60 et 4 fois plus de garçons soit 4x = 40. Il y a donc 60% de filles et 40% de garçons dans cette classe. Ex 9 : Remarque : la relation qui lie la vitesse moyenne v, la durée t et la distance parcourue d est d = v x t. La distance parcourue est donc proportionnelle à la durée mise pour la parcourir. Soit d la distance parcourue à l aller. La distance parcourue au retour est la même. A l aller le cycliste parcourt la distance d à la vitesse de 20 km/h. Soit t la durée mise pour parcourir cette distance, on peut écrire que d = 20 x t soit t = d/20. Au retour, il parcourt cette distance d à la vitesse de 30 km/h. Soit t la durée mise pour la parcourir, on peut écrire que d = 30 x t soit t = d/30. Le cycliste met la durée (t+t ) pour parcourir la distance totale du parcours soit 2d. La vitesse moyenne v sur le parcours aller et retour est donc telle que 2d = v x (t + t ). Comme t + t = d/20 + d/30 = 5d/60 = d/12, on peut écrire que 2d = v x d/12 et donc que v = 24 La vitesse moyenne du cycliste sur le parcours aller et retour est 24 km/h. Ex : Le premier raisonnement est erroné : la photo obtenue est plus grande mais elle va être déformée puisque le rapport entre les deux dimensions du rectangle n est pas conservé : 4 6 n est pas égal à 9 11 En géométrie, «agrandir», ce n est pas «ajouter». «Agrandir» impose de respecter les formes et donc les proportions entre les longueurs des éléments composant la figure initiale et la figure agrandie. Le second raisonnement est correct et se base sur l utilisation des propriétés de linéarité. On aurait pu utiliser le produit en croix pour trouver la longueur de l agrandissement ou encore le coefficient de proportionnalité

4 On pourrait aussi utiliser les raisonnements suivants : Construire un rectangle ABCD de dimensions 4 cm et 6 cm. Puis, placer le point A sur la demi droite [DA) situé à 9 cm du point D. On trace la droite parallèle à (AB) passant par A. Elle coupe (DB) en B. On trace la droite parallèle à (AD) passant par B. Elle coupe la droite (DC) en C. D après le théorème de Thalès appliqué aux triangles DAB et DA B : DA' A' B' = DA AB DA' Comme DA 9 = 4, on en déduit que A' B' 9 = AB 4 et comme AB = 6 cm, A B = 9 x6cm = 13,5 cm 4 A B A B D C C Extraits de sujets récents : EXERCICE1 : 1) cm sont tracés en 2,8s.La durée du tracé et sa longueur sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité est : la durée pour tracer 28cm est donc 2,8x soit 7,84s. On peut aussi raisonner en cherchant le temps mis pour tracer 2cm en divisant 2,8 par 5 soit 0,56s puis le temps mis pour tracer 8 cm en multipliant cette durée par 4 : soit 2,24s.Puis on utilise la linérarité additive : pour tracer 28cm c'est-à-dire ++8 cm on mettra 2,8+2,8+2,24 s soit 7,84s. 28 2) longueur tracée en 3,5s :3,5 : = 12,5 cm On peut aussi l obtenir en remarquant que cm sont tracés en 2,8s donc 2,5cm en 0,7s(en divisant par 4,linéarité multiplicative) et 12.5cm en 3,5s(en multipliant par 5) 3) on peut remarquer que 6,3s = 3,5 s + 2,8s ou 6,3s = 0,7s +2x2,8s On peut donc conclure qu en 6,3s ont été tracés 12,5cm + cm,ce qui correspond à un rectangle dont les dimensions sont : 6.25cm et 5 cm Ou qu en 6,3s ont été tracés 2.5cm et 2xcm ce qui correspond à un rectangle de dimensios :1.25cm et cm. 4) si la diagonale mesure 6 cm, le côté mesure 3 2 cm, le temps mis pour tracer le carré est donc 4x3 2 x2,8 s soit au dixième près : 4,8s 4

5 5) il faut calculer la longueur CD : Soit I le milieu de [BD] le triangle CID est rectangle en I et ID = HE et IC=HC- HI donc ID= 3 et IC= 4 en utilisant le théorème de pythagore, on obtient : IC² + ID²= CD² d où CD = 5 cm. Le temps mis pour tracer est donc celui pour 5 changement, pour deux segments de 5cm soit cm et pour 3 segments de 6 cm soit 18cm donc 9x2 cm d où le résultat suivant : 0,1x5 + 2,8 + 0,56x9 = 8,34s EXERCICE2 : Partie A 1) Le volume de l'aquarium est 1 0,30 0,45 = 0,135 m 3 = 135 dm 3 = 135 litres. Le volume d'eau est donc 135 0,8 = 8 litres. 2) a) Le premier jour il faut verser gouttes pour 20 litres, c'est à dire 1 goutte pour 2 litres, donc pour 8 litres ( = 2 54) il faut verser 54 gouttes. b) Au bout des trois jours, il aura versé, pour 20 litres, = 20 gouttes, c'est à dire 1 goutte par litre d'eau. Pour 8 litres, il aura versé 8 gouttes. Partie B 1) La longueur, L, et la largeur, l, de l aquarium étant exprimées en décimètres, son volume est L l 4,5 (en dm 3, c'est à dire en litres). Le volume d'eau est donc L l 4,5 0,8 = L l 3,6 litres. Or il faut verser 1 goutte pour 2 litres d'eau et 3,6 = 2 1,8, pour L l 3,6 litres il faut donc verser L l 1,8 gouttes. 2) 3 : 2 largeur longueur 50 cm 75 cm cm 150 cm 30 cm 27 gouttes 40 gouttes 54 gouttes 81 gouttes cm 36 gouttes 54 gouttes 72 gouttes 8 gouttes : 2 5

6 Partie C 1) Notons N 30 et N 40 le nombre de gouttes à verser le premier jour pour des aquariums de largeur, respectivement, 30 cm ou 40 cm. Alors, L étant la longueur de l'aquarium en cm, N 3 (L) = 0,54 L et N 4 (L) = 0,72 L. 2) a) Dans un aquarium de longueur 120 cm et de largeur 40 cm il faut verser 86 gouttes le premier jour N 40 (L) = 0,72 L 86 N 30 (L) = 0,54 L Nombre de gouttes L en cm (théoriquement 86,4). b) Dans un aquarium de longueur 90 cm et de largeur 30 cm il faut verser 49 gouttes le premier jour (théoriquement 48,6). 6