Exploration de la géométrie hyperbolique.

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1 Lamothe, Jean-François Exploration de la géométrie hyperbolique. Acte de CabriWorld 2001 Atelier 404 Université du Québec à Trois-Rivières CANADA En ce 11 juin

2 La géométrie a pris naissance il y a environ 2500 ans. Euclide réunit tout le matériel mathématique de son époque en un seul ouvrage, Les Éléments. Les fondements de la géométrie s y trouvent. Selon Euclide, par un point hors d une droite, il ne passe qu une seule parallèle à la droite donnée. Pendant 2000 ans, les mathématiciens cherchèrent à prouver cet énoncé ou à le contredire. Lorsque Bolyai, Gauss et Lobatchevsky développèrent une géométrie à l intérieur de laquelle par un point hors d une droite, il passe plus qu une parallèle à la droite donnée, la géométrie hyperbolique voyait le jour. Cette géométrie s affirma davantage consistante lorsque Beltrami, Klein et Poincaré présentèrent leur modèle. Durant cet exposé, nous allons ensemble définir la géométrie neutre. Ensuite, nous aborderons la géométrie hyperbolique par le modèle de Poincaré. Nous verrons les caractéristiques des points, des droites, des triangles et des cercles hyperboliques. À l aide des transformations géométriques de la géométrie neutre, nous construirons les différentes macros que contient Cabri-Géomètre II. Finalement, nous démontrerons les propriétés hyperboliques, qui sont pour tout dire assez fascinantes. La Géométrie Neutre La géométrie neutre est la théorie axiomatique munie des axiomes d incidence, d ordre, de congruence et de continuité. Voici la liste de ces axiomes selon la formulation de Hilbert. Incidence I(1) : Par deux points distincts passe une et une seule droite. I(2) : Toute droite contient au moins deux points. I(3) : Il existe trois points non-incidents à une même droite. Ordre O(1) : Si A B C, alors A, B et C sont trois points distincts d une même droite et C B A. O(2) : Si A et B sont deux points distincts, alors il existe toujours un point C tel que A B C. O(3) : Si A, B et C sont trois points alignés distincts, alors l un des trois au plus est situé entre les deux autres. O(4) : Toute droite coupant un côté d un triangle coupe un second côté ou passe par le sommet opposé. 2

3 Congruence C(1) : De part et d autre d un point donné sur une droite, on peut construire un et un seul segment congruent à un segment donné. C(2) : Si C(3) : Si AB CD et AB EF, alors CD EF. De plus, chaque segment est congruent à luimême. A B C, A' B' C', AB A' B' et BC B'C', alors AC A'C'. C(4) : De part et d autre d une demi-droite, on peut construire un et un seul angle congruent à un angle donné. C(5) : Si A B et A C, alors B C. De plus, tout angle est congru à lui-même. C(6) : Deux s sont congrus lorsqu ils ont un angle congru compris entre deux côtés respectivement congrus. Continuité Axiome de Dedekind Supposons que l ensemble des points incidents à la droite m est l union 1 2 de deux sous-ensembles non-vides tel qu aucun point de 1 n est entre deux points de 2 et vice versa. Alors il y a un unique point O incident à m tel que P1 O P2 pour tout point P 1 de 1 et tout point P 2 de 2 si P 1 et P 2 sont différents de O. Les théôrèmes de la géométrie neutre sont indépendants des axiomes des parallèles. Lorsque nous voulons travailler en géométrie euclidienne, nous rajouterons l axiome euclidien des parallèles: Pour toute droite et pour tout point hors de la droite, il existe exactement une droite parallèle à la droite donnée passant par le point donné. Si nous voulons, par contre, travailler en géométrie hyperbolique, nous rajouterons l axiome hyperbolique des parallèles : Pour toute droite et pour tout point hors de cette droite, il existe deux et même une infinité de droites parallèles à la droite donnée passant par le point donné. Voyons à l aide du modèle de Poincaré, comment cet axiome s intègre à la géométrie neutre. 3

4 Le Modèle de Poincaré Ce modèle se situe à l intérieur d un cercle de référence appelé cercle horizon. Points : points intérieurs au cercle horizon. Droites : diamètres ouverts du cercle horizon la partie intérieure des cercles orthogonaux au cercle horizon. Il est facile de voir qu avec ce modèle tous les axiomes de la géométrie neutre sont vérifiés, et en plus l axiome hyperbolique des parallèles. Définissons et classifions les points, les droites, les triangles et les cercles hyperboliques. Définitions et Classifications Commençons par les points : Points.fig Passons à la classification des droites parallèles : -Deux droites sont dites parallèles lorsqu elles n ont aucun point incident en commun. Parallèles.fig -Soit une droite m et un point P hors de la droite m, on peut tracer deux droites parallèles asymptotiques à m passant par P. Nous les appelerons les droites parallèles limitantes de m. Maintenant, voyons les différents triangles : -Un triangle est l ensemble formé par trois sommets non-colinéaires et les trois segments reliants ces sommets deux à deux. Triangles.fig 4

5 À présent, les cercles : -Un cercle de centre O et de rayon OP est l ensemble des points X tels que OX OP. -On peut le définir aussi comme l ensemble des points X tels que la médiatrice de XP passe par le centre O. Cercles.fig * Il est important de noter que le cercle hyperbolique est la représentation d un cercle euclidien. La seule différence est que le centre hyperbolique du cercle ne coïncide pas avec le centre euclidien. Transformations géométriques Définissons bien chaque transformation géométrique, et appliquons-les au modèle de Poincaré. Symétrie orthogonale(appelée symétrie axiale dans Cabri II) par rapport à une droite m : -Transformation du plan notée R m définie par R m (A) = A si A est incident à m, sinon R m (A) est l unique point A ' tel que perpendiculaire à m passant par A. A' M A et A' M MA où M est le pied de la *Notons que notre œil est habitué à la géométrie euclidienne. Les symétriques hyperboliques ne semblent pas toujours de même longueur, mais ils le sont bel et bien. Nous verrons, plus tard, dans les propriétés hyperboliques, la formule de distance dans le modèle de Poincaré. Symétrie centrale par rapport à un point O : -Transformation du plan qui à tout point P du plan fait correspondre le point P ' tel que le point O soit le milieu du segment PP '. Entre d autres mots, O, P et P ' sont colinéaires et PO OP'. On peut considérer la symétrie centrale comme une rotation de

6 Rotation autour du point O : -Transformation du plan résultante du produit de deux symétries orthogonales dont les axes sont sécants au point O. Si l angle formé par les deux axes est droit, la rotation est de 180, c est donc une symétrie centrale. Sinon, la rotation sera de deux fois la valeur de l angle aigu formé par les axes des symétries orthogonales. Translation le long de la droite t : -Transformation du plan résultante du produit de deux symétries orthogonales dont les axes possèdent une perpendiculaire commune. En euclidien, la translation sera de deux fois la valeur de la distance entre les deux droites. En hyperbolique, elle sera plus grande que deux fois cette distance. Inversion par rapport au cercle H : -Soit H un cercle de rayon r et de centre O, pour tout point P O l inverse de P par rapport à H est l unique point P' sur la demi-droiteop tel que OP = 2 ' OP r. En euclidien, cela transforme des cercles en droites, et réciproquement, des droites en cercles. Cependant en hyperbolique, étant donné que nos droites sont déjà des arcs de cercles, l inversion coïncide avec la symétrie orthogonale. Déplacement parallèle autour de Ω (seulement en hyperbolique) : -Transformation du plan résultante du produit de deux symétries orthogonales dont les axes possèdent un point idéal Ω commun. Constructions des macros hyperboliques de Cabri-Géomètre II. Étudions à présent, les macros hyperboliques de Cabri. Commençons tout d abord par la droite hyperbolique, qui peut être construite de deux manières différentes: H-droites(1).fig H-droites(2).fig 6

7 Passons à la construction de la perpendiculaire à une droite passant par un point. Ici aussi, deux manières différentes peuvent être utilisées : -Deux droites sont dites perpendiculaires si à leur point de concourance, elles forment 4 angles congrus, en d autres mots, 4 angles droits. Perpendiculaire(1).fig Perpendiculaire(2).fig Maintenant, regardons la macro de la perpendiculaire commune à deux parallèles divergentes : *Notons que contrairement à la géométrie euclidienne, il n existe pas toujours une perpendiculaire commune entre deux parallèles. Elles doivent être des parallèles divergentes. Perpencomm(1).fig À présent, la médiatrice : -Une droite m est dite la médiatrice d un segment AB si m est la perpendiculaire à la droite-support de AB passant par le point-milieu du segment AB. Médiatrice.fig 7

8 Finalement, les cercles : H-cercle.fig H-horocycle.fig H-equidistante.fig Les Propriétés Hyperboliques 1) Analyse de la distance hyperbolique. La constante c vaut 1 dans Cabri-géomètre. Analyse distance.fig 2) Droite de clôture ou de fermeture : Cette droite effectue une séparation du plan : d un côté toutes ses droites parallèles sont comprises à l intérieur de l angle et de l autre côté aucune de ses droites parallèles ne l est. 3) Angle de parallélisme : Toute droite passant par P(le point hors de la droite de clôture) et par un point intérieur à l angle formé des deux demi-droites limitantes à la droite de clôture est sécante à cette dernière. L angle de parallélisme est la moitié de cet angle. 8

9 4) Formule de Bolyai-Lobatchevsky : Soit α la valeur d un angle de parallélisme et d la distance hyperbolique entre P(le sommet de l angle de parallélisme) et la droite de clôture à l angle, la formule de Bolyai- Lobatchevsky est : tan (α/2) = e d/c. c est la constante utilisé dans la formule de distance. Cabri-géomètre a déterminé c = 1. 5) Les angles de sommets d un quadrilatère de Saccheri sont toujours congrus. Ils sont droits en géométrie euclidienne et aigus en géométrie hyperbolique. 6) On peut associer un quadrilatère de Saccheri à chaque triangle hyperbolique. quadrilatère associé.fig 7) Il est possible de prouver, par des triangles semblables, que la somme des angles d un triangle hyperbolique vaut 2 fois la valeur de l angle d un sommet de son quadrilatère de Saccheri associé. Donc les triangles hyperboliques ont une somme d angles toujours plus petite que 180 degrés. 8) Comme tout quadrilatère peut être séparé en deux triangles, et que la somme des angles des triangles est plus petite que 180 degrés, la somme des angles de tous quadrilatères hyperboliques est plus petite que 360 degrés. Donc il n existe aucun rectangle en géométrie hyperbolique. 9) Tous les triangles semblables sont congrus. AAA est un critère de congruence. 10) La différence entre la somme des angles d un triangle et 180 est le défaut du triangle. 11) Il est possible de prouver que la formule d aire des triangles hyperboliques est : π * c 2 / 180 * défaut. Notons que Cabri-géomètre a défini la valeur de c à 1. 9

10 C est fascinant de voir qu en géométrie euclidienne, il est nécessaire de définir la valeur unitaire du segment et la valeur unitaire de l angle, tandis qu en géométrie hyperbolique, il s agit d en définir qu une seule et l autre y est dépendante. Par exemple, on peut définir le segment unitaire comme la distance entre un point P et une droite AB lorsque l angle de parallélisme au point P par rapport à AB vaut 45 degrés. Dans cette situation, la valeur c vaudra 1/arcsinh(1). 10

11 Annexe 1 Géométrie Neutre : Droites parallèles : Triangle : Cercle : Horocycle : Perpendiculaire : Médiatrice : Courbe équidistante : Droite de clôture : Angle de parallélisme : Quadrilatère de Sacherri : La géométrie neutre est la théorie axiomatique munie des axiomes d incidence, d ordre, de congruence et de continuité. Deux droites sont dites parallèles lorsqu elles n ont aucun point ordinaire incident en commun. Un triangle est l ensemble formé par trois sommets non-colinéaires et les trois segments reliant ces sommets deux à deux. Un cercle de centre O et de rayon OP est l ensemble des points X tels que OX OP. L ensemble des points X tels que la médiatrice de XP passe par le centre O. Un horocycle est un cercle hyperbolique dont le rayon est infini et son centre est un point idéal. Deux droites sécantes sont dites perpendiculaires si à leur point incident commun, elles forment 4 angles congrus, en d autres mots, 4 angles droits. Une droite m est dite la médiatrice d un segment AB si m est la perpendiculaire à la droite support de AB passant par le point-milieu du segment AB. La courbe équidistante de l passant par P est l ensemble des points X d un côté donné de l tel que la distance de l à X est congru à la distance de P à l. La droite de clôture m par rapport à un angle est la droite parallèle asymptotique aux deux demi-droites qui forment l angle donné. L angle de parallélisme au point P par rapport à la droite m est la moitié de l angle formé par les deux demi-droites limitantes à la droite m passant par P. Un quadrilatère dont les angles de la base sont droits et dont les deux côtés adjacents à la base sont congrus est un quadrilatère de Saccheri. 11

12 Bibliographie BORCEUX, Francis, Initiation à la géométrie, Ciaco éditeur, GREENBERG, Marvin Jay, Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Development and History, 3 e edition, W.H.Freeman, JORDAN, Meyer et PRENOWITZ, Walter, Basics Concepts of Geometry, Ardsley House, MANNING, Henry Parker, Introductory Non-Euclidean Geometry, Dover, MESERVE, Bruce E., Fundamentals Concepts of Geometry, Addison-Wesley, MOISE, E. E., Elementary Geometry from an Advanced Standpoint, Addison-Wesley, SIBLEY, Thomas Q., The Geometric Viewpoint, A Survey of Geometries, Addison-Wesley,