Première STMG. Dérivation. sguhel

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1 Première STMG Dérivation sguhel

2 ... 0 Chapitre 7 : Dérivation Introduction Equation de droite, coefficient directeur Vers la notion de tangente Approche du nombre dérivé et de la fonction dérivée avec le logiciel Geogebra Tangente Nombre dérivé Fonction dérivée Nombre dérivé en x des fonctions usuelles Fonction dérivée Opérations sur les fonctions dérivables Signe de la dérivée et sens de variation Théorème fondamental Application Application Equation de la tangente à une courbe en un point Exercices

3 Chapitre 7 : Dérivation 1 Introduction 1.1 Equation de droite, coefficient directeur Chapitre 7 : Dérivation 2

4 1.2 Vers la notion de tangente Introduction 3

5 1.3 Approche du nombre dérivé et de la fonction dérivée avec le logiciel Geogebra On considère la fonction définie pour tout réel par ( ) = ² et on note représentative dans un repère orthonormé. sa courbe Construction de la figure A l aide du logiciel Geogébra, tracer la courbe curseurs pour a de 3 à 3 et h de 3 à 3 avec un incrément de 0,1. en introduisant ( ) = ² dans la barre de saisie. Créer deux Créer le point A en introduisant : A = (a, (a)) dans la barre de saisie. Créer le point M en introduisant : M = (a + h, (a + h)) dans la barre de saisie. Tracer la droite (AM). Calculer le coefficient directeur m de la droite (AM) en introduisant : m = dans la barre de saisie. Nombre dérivé pour a = 1 Dans cette partie, le point A est fixe, d abscisse a =1. Manipuler le curseur h pour faire bouger le point M d abscisse 1 + h. 1) Compléter le tableau suivant : h 2 1 0,5 0,2 0,1 0,1 0,2 0,5 1 2 m 2) a. Que fait le logiciel pour h = 0?.. b. Pourquoi m n est-il pas calculé pour h = 0?. 3) Comment doit-on choisir h pour que M soit très proche de A? Introduction 4

6 4) Faire se rapprocher M de A. La sécante (AM) tend vers une position limite appelée tangente à la courbe au point A. a. Quel est le coefficient directeur de cette tangente?.. b. On appelle coefficient directeur de cette tangente, nombre dérivé de f en 1 et on le note 1. c. Quelle est la valeur de 1? Vers la fonction dérivée 1) En manipulant le curseur a et en procédant comme dans la partie précédente, compléter le tableau suivant : a ,5 0 0, (a) 2) Pour a quelconque, proposer une expression de a) en fonction de a. 2 Tangente 2.1 Nombre dérivé La courbe ci-dessous représente une fonction f. Tangente 5

7 La tangente en A à la courbe a pour coefficient directeur : on dira que le nombre dérivé de f en 4 est et on notera f (4) =. Cette droite a un autre point d intersection avec : le point C. Il est clair que cette droite n est pas tangente à en C De même, le nombre dérivé de f en 3 est. : on note : Définition : On appelle nombre dérivé d une fonction f en a le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a. On note ce nombre f (a). Si une fonction f admet en a un nombre dérivé, on dit que f est dérivable en a. 3 Fonction dérivée 3.1 Nombre dérivé en x des fonctions usuelles Les résultats suivants sont admis : f(x) f (x) a (constante) 0 a x a x+ b a a x² 2 x x 3 3 x² Exemples : 1) Si f (x) = x 3 alors f (x) =.. 2) Si f (x) = alors f (x) = Fonction dérivée Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en toute valeur de I. La fonction qui à tout x de I associe f (x) est appelée fonction dérivée de f et in la note f. Fonction dérivée 6

8 3.3 Opérations sur les fonctions dérivables Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un nombre réel fixé. Les théorèmes suivants sont admis : Théorème : La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v) = u + v La fonction ku est dérivable et (ku) = k u 4 Signe de la dérivée et sens de variation 4.1 Théorème fondamental Observation d un graphique Le théorème suivant généralise les observations précédentes : Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. Si f < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I. Si f = 0 sur I, alors f est constante sur I. Signe de la dérivée et sens de variation 7

9 4.2 Application 1 Soit f la fonction définie sur par f(x) = x² 4x ) Déterminer f (x) ou f est la dérivée de la fonction f. 2) Etudier le signe de f (x). 3) En déduire les variations de f et donner son tableau de variation. 4) Déterminer l extremum de la fonction f. 4.3 Application 2 Soit f la fonction définie sur par f(x) = x 3 + 7,5 x² 18 x ) Déterminer f (x) ou f est la dérivée de la fonction f. 2) Etudier le signe de f (x). 3) En déduire les variations de f et donner son tableau de variation. 4) Déterminer l extremum de la fonction f. 5 Equation de la tangente à une courbe en un point Propriété : La tangente au point A(xA ;ya) à la courbe représentative d une fonction polynôme f de degré 2 a pour équation : y = f (a) (x xa) + ya 6 Exercices Voir livre : exercices 1 à 8 p 139 Equation de la tangente à une courbe en un point 8

10 Dans chacun des exercices qui suivent : a) Déterminer f ( ), où f est la dérivée de la fonction f ; b) Etudier le signe de f ( ) ; c) Etudier les variations de la fonction f et donner son tableau de variation ; Exercice C1 f est définie sur par f( ) = ; Exercice C2 f est définie sur par f( ) = 2 ² ; Exercice C3 f est définie sur par f( ) = 5 ² ; Exercice C4 f est définie sur par f( ) = ² ; Exercice C5 f est définie sur par f( ) = 7 ² ; Exercice C6 f est définie sur par f( ) = 4 ² ; Exercice C7 f est définie sur par f( ) = 7 ² ; Exercice C8 f est définie sur par f( ) = ² ; Exercice C9 f est définie sur par f( ) = 4 ² ; Exercice C10 f est définie sur par f( ) = ² ; Exercice C11 f est définie sur par f( ) = ,5 ² ; Voir livre : exercices p Exercices 9

11 Exercices 1 0

12 Exercices 1 1