Fiche d exercices 6 : Fonction logarithme

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1 Fiche d exercices 6 : Fonction logarithme Exercice 1 Propriétés des fonctions logarithmes 1. Donner la définition, l ensemble de définition et la dérivée de ln ( x) 2. a. Quelle est la qualification de la fonction ln(x) pour la fonction exp(x)? b. Comment cela se traduit-il au niveau de leur représentation graphique? c. Représenter exp(x) et ln(x) dans un même repère en indiquant les valeurs particulières. 3. Quel est l ensemble de définition de ln ( exp( x) ) 4. Démontrer les formulations ou relations suivantes : a. La fonction ln(x) est strictement croissante sur son ensemble de définition * b. La fonction ln(x) est continue en 1 puis sur R + c. Donner la démonstration de (ln(x)) ln x + ln y = ln xy d. ( ) ( ) ( ) 1 x e. ln = ln( x) x y f. ln = ln( x) ln( y) ln n = pour n N puis n Z 5. Démontrer les limites suivantes : a. lim ( ln x) = + g. ( x ) n ln( x) x + b. lim ( ln x) = + x 0 ln x c. lim = 0 x + n x d. lim ( x ln x) = 0 + x 0 n ln 1+ e. lim h 0 h ( n IN* ) ( n IN* ) ( h) ln( x) = lim = 1 x 1 x 1 Exercice 2 Résoudre les équations et inéquations suivantes, après avoir déterminer l ensemble de définition. x 1 1. ln = 0 2x 3 2. ln ( 4x + 2) ln( x 1) = ln x 3. ln( 2x 3) + 2ln( x + 1) = ln( x 3) 4. 2ln 2 ( x ) ln( x) 3 < 0 5 4x 5. Ln = 1 x + 3 Exercice 3 Résoudre les équations et inéquations suivantes, après avoir déterminer l ensemble de définition. 1. Ln ( x + 3) = Ln( x + 1) 1/ Ln ( x) 7Ln( x) Ln ( x 4) Ln( 2) + Ln( x) 4. ( 7 x 5) Ln( x + 1) > 0 5. Ln ( 5 x) Ln( 3) + Ln( x 1) 0 Exercice 4 Déterminer chacune des limites de chacune des fonctions suivantes en 0 et f : x a 3. f : x a ln x ln x f : x a ln x 4. f : x a ( ln x) 2 ln x x Exercice 5 Rechercher chacune des limites suivantes : 3x lim ln x x 1 ln x 2. lim x + x + 2x lim x ln x + + x 0 x

2 Exercice 10 Exercice 6 Exercice 11 Exercice 7 Exercice 12 Exercice 8 Exercice 9 Exercice 13 Déterminer les fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes sur l intervalle I donné et étudier le signe de la fonction dérivée f : x a ln x +, sur I = ] 0;+ [ x 2. f : x x ln x x I = 0;+ 3. a, sur ] [ ln x f : x a, sur I = ] 0;+ [ x Exercice 14 2/14

3 Exercice 15 Problèmes de synthèse Exercice 19 Exercice 16 Exercice 20 Exercice 17 Exercice 18 Exercice 21 PARTIE A Soit g la fonction définie sur ]0 ;+ [ par : g( x) 1. Etudier les variations de g. = x ln x 2. En déduire que, pour tout x de ]0 ;+ [, on a g( x) 1 3/14

4 PARTIE B On considère la fonction f définie sur ]0 ;+ [ par : f ( x) ln x = x ln x 1. Justifier que f est bien définie sur ]0 ;+ [ 2. Déterminer les limites de f en 0 et en Etudier les variations de f et donner son tableau de variation. Exercice 22 1 x 1 Soit f la fonction définie sur ]1 ;+ [ par : f ( x) = x + ln 2 3x + 4 On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1. Déterminer les limites de f en 1 et en Etudier les variations de f et donner son tableau de variations a. Montrer que la droite d équation y = x ln 3 est asymptote à C. b. Etudier la position de C par rapport à. 4. Tracer la droite et la courbe C. 5. Soit g la fonction définie sur ]- ;-1[ ]1 ;+ [ par ( x) f ( x ) 2 g =. a. Justifier que g est une fonction paire. b. Déduire de l étude de f le tableau complet des variations de g. c. Expliquer comment on obtient la courbe représentative Γ représentative de g à partir de la courbe C puis tracer Γ. Exercice 24 Exercice 23 4/14

5 Exercice 25 Exercice 26 Exercice 27 5/14

6 Exercice 28 Exercice 29 Exercice 30 6/14

7 Exercice 31 Exercice 32 7/14

8 Exercice 33 Exercice 34 Exercice 35 8/14

9 Exercice 36 Exercice 37 Exercice 38 9/14

10 Exercice 39 10/14

11 Exercice 40 Antilles-Guyane 22 Juin 2015 Annales baccalauréat Exercice 41 Métropole, La réunion 22 Juin /14

12 Exercice 42 Amérique du Nord 2 Juin /14

13 Exercice 42 Amérique du Nord 30 mai 2013 Exercice 43 Nouvelle Calédonie 16 novembre /14

14 14/14

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