Projet Deloitte : Propriétés asymptotiques des processus à volatilité stochastique

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Valérie Lépine
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Nhung PHAM, Laura VINCKENBOSCH et Raghid ZEINEDDINE Semaine d étude

1 Projet Deloitte : Propriétés asymptotiques des processus à volatilité stochastique Proposé par Alan PICONE, Deloitte avec Paul CAZEAUX, Paul CHARTON, Nhung PHAM, Laura VINCKENBOSCH et Raghid ZEINEDDINE Semaine d étude Maths-Entreprises Nancy, le 15 février 2013 Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

2 Plan 1 Introduction 2 Processus GARCH 3 Existence d une loi stationnaire 4 Queue de la loi stationnaire 5 Conclusions et perspectives Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

3 Faits stylisés des séries financières - Résultat réel Rendements de l indice CAC 40(02/03/ /10/2008). Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

4 Modèle gaussien On considère un prix sécurisé S(t) et un log-return sur une période donnée, qui est définit par lns(t + 1) lns(t) r(t), σ h où σh 2 = 1 i=n r(i) 2. N i=1 Avec le modèle Black-Scholes en temps discret : On a r t = σζ t ; ζ t N (0, 1). Distribution Gaussienne des rendements r t Rendements r t indépendants La volatilité est constante Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

5 Loi de Pareto Le modèle gaussien ne reflète pas le comportement dans les extrêmes. Définition Une variable aléatoire Z suit une loi de Pareto d exposant µ lorsque sa densité de probabilité s écrit k(z) µaµ avec z A. 1+µ z Avec une telle loi de puissance, on observe un phénomène de "queue lourde" : les extrêmes sont plus fréquents. Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

6 Processus à volatilité stochastique En pratique, la volatilité n est pas constante. Lacune du modèle gaussien (Black-Scholes) Modèles de volatilité stochastiques : La volatilité dépend de l historique des rendements ceci permet de mieux décrire la réalité. La volatilité stochastique est utilisée dans le cadre de la finance quantitative, pour évaluer des produits dérivés, tels que des options. Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

7 Plan 1 Introduction 2 Processus GARCH 3 Existence d une loi stationnaire 4 Queue de la loi stationnaire 5 Conclusions et perspectives Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

8 Le processus GARCH(1,1) Considérons le cas d un modèle GARCH(1,1) : { r t = σ t ζ t, Où σ 2 t+1 σ2 = α(σ 2 t σ 2 ) + gr 2 t (ζ t ) est un processus de variables aleatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi gaussienne N (0, 1), (σ t ) est un processus appelé volatilité, σ t > 0 Les variables σ t et ζ t sont indépendantes g est le paramètre de couplage entre la volatilité et le rendement τ = 1/ ln(α) le temps de relaxation Les rendements sont distribués instantanément selon la loi gaussienne P(r r t r + dr) = 1 2πσ exp ( r 2 σ 2 ) dr Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

9 Comme σ t et ζ t sont indépendants et ζ t N (0, 1), alors : E[r t ] = E[σ t ζ t ] = E[σ t ]E[ζ t ] = 0 Var(r t ) = E[r 2 t ] = E[σ 2 t ]E[ζ 2 t ] = E[σ 2 t ] La moyenne de σ 2 t mesure la dispersion de r t autour de 0. On remarque aussi que le processus de rendement (r t ) est décorrélé : pour t 2 > t 1, E[r t1 r t2 ] = E[σ t1 σ t2 ζ t1 ζ t2 ] = E[σ t1 σ t2 ζ t1 ]E[ζ t2 ] = 0! Par contre, les rendements ne sont pas indépendants! En effet, pour t 1 t 2 on verra que E[r 2 t 1 r 2 t 2 ] E[r 2 t 1 ]E[r 2 t 2 ] 0. Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

10 Trajectoire des rendements 10 Trajectoire de r t pour α =0.93 et g= r t t Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

11 Trajectoire de la volatilité 9 Trajectoire de σ 2 t pour α =0.93 et g= σ 2 t t Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

12 Le cas g=0 Supposons ici que Alors : { g = 0. r t = σ t ζ t, σ 2 t+1 σ2 = α(σ 2 t σ 2 ) Donc, on remarque que la volatilité n est plus aléatoire : par exemple t 0, σ 2 t = σ 2 si σ 0 = σ. On en déduit que r t suit la loi normale de variance σ 2 0. Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

13 Kurtosis Etant donné une variable aléatoire X de moyenne µ. La kurtosis de X est défini par : κ := E [ (X µ) 4] E [(X µ) 2 ] 2 Dans le cas d une variable gaussienne ce coefficient est égale à 3. Donc, si une variable aléatoire possède une kurtosis différent de 3 alors elle n est pas gaussienne. Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

14 Plan 1 Introduction 2 Processus GARCH 3 Existence d une loi stationnaire 4 Queue de la loi stationnaire 5 Conclusions et perspectives Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

15 Trajectoires r t 30 Trajectoire de r t pour α =0.9 et g= Trajectoire de r t pour α =0.94 et g= r t 5 r t t t 8 Trajectoire de r t pour α =0.9 et g= Trajectoire de r t pour α =0.93 et g= r t 0 r t t t

16 existence et unicité Théorème Si 0 α < 1, alors : 1 il existe une distribution stationnaire pour le processus GARCH(1,1) si et seulement si γ = E [ ln(α + gζ 2 1 )] < 0. 2 si il existe une distribution stationnaire pour le processus GARCH(1,1), alors elle est unique. Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

17 Plan 1 Introduction 2 Processus GARCH 3 Existence d une loi stationnaire 4 Queue de la loi stationnaire 5 Conclusions et perspectives Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

18 Existence de moment d ordre p Théorème La loi stationnaire du processus GARCH(1,1) a un moment d ordre p > 0 si et seulement si : [ ] E (α + gζ1) 2 p 2 < 1. (1) Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

19 Si (r t ) t Z est un processus GARCH(1,1) stationnaire, admettant les moments nécessaires alors : E[rt 2 (1 α) σ2 ] = 1 α g E[rt 4 3(1 α) 2 σ 4 (1 + α + g) ] = (1 α g)(1 α 2 2αg 3g 2 ) 1 (α + g) 2 κ = 3 1 α 2 2αg 3g 2 Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

20 Queue de la loi stationnaire Théorème Si (r t ) t Z est un processus GARCH(1,1) stationnaire, alors : P( r t > x) Cx 1 µ, t, où µ est l unique solution strictement positive de : [ (α ) µ ] E + gζ = 1 Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

21 Exposant de la distribution Valeur de µ α = 0.89 α = 0.91 α = 0.93 α = 0.95 α = 0.97 α = Valeur du paramètre g Valeur obtenue en résolvant numériquement la condition (1) : [ E (α + gζ 2 ) µ/2] = 1 Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

22 Histogrammes x Histogramme des rendements (en valeur absolue) densite empirique loi normale 1.8 x Histogramme des rendements (en valeur absolue) densite empirique loi normale x Histogramme des rendements (en valeur absolue) densite empirique loi normale x Histogramme des rendements (en valeur absolue) densite empirique loi normale

23 Réplicats de régression pour plusieurs valeurs de paramètres On fait 100 estimations i.i.d. du paramètre µ par régression linéaire Nombre de pas de temps : T = 10 7 α g α + g µ mean (ˆµ reg ) std (ˆµ reg ) Simu 1 : Simu 2 : Simu 3 : Simu 4 : Remarque : Plus le µ théorique est grand, plus on a du mal a faire l estimation. Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

24 Plan 1 Introduction 2 Processus GARCH 3 Existence d une loi stationnaire 4 Queue de la loi stationnaire 5 Conclusions et perspectives Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

25 Bilan : L exposant µ est un paramètre asymptotique. Formules fermées (bibliographie étendue) Modèle bien documenté avec beaucoup d avantages Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

26 Bilan : L exposant µ est un paramètre asymptotique. Formules fermées (bibliographie étendue) Modèle bien documenté avec beaucoup d avantages Perspectives : Simulations dans les extrêmes, Problème inverse Autres estimateurs, Modèles plus complexes Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

27 Merci de votre attention! Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

28 Christian Francq and Jean-Michel Zakoian. A tour in the asymptotic theory of Garch estimation. Handbook of Financial time series 2009, pp : Timo terasvirta. An introduction to univariate Garch models. Handbook of Financial time series 2009, pp Bojan Basrak and Richard A.Davis and Thomas Mikosch. Regular variation of Garch processes. Stochastic processes and their applications (May, 2002), Vol. 99, issue 1, p : Thomas Mikosch and Catalin Starica. Limit theory for the sample autocorrelations and extremes of a Garch(1,1) process. The annals of statistics 2000, Vol. 28, No. 5, Richard A.Davis and Thomas Mikosch. Extreme value theory for Garch processes. Handbook of Financial Time Series 2009, pp Harry Kesten. Random difference equations and renewal theory for products of random matrices. Acta Mathematica 1973, Vol. 131, issue 1, pp Eric Zivot. Practical issues in the analysis of univariate garch models. Handbook of Financial time series 2009, pp : Alexender M.Lindner. Stationarity, mixing, distributional properties and moments of Garch(p,q)-processes. Handbook of Financial time series 2009, pp : Mokkadem, A. (1990) Propriétés de mélange des processus autoregressifs polynomiaux. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist , pp : Projet Deloitte SEME 2013 Nancy, le 15 février / 26

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