Memento sur les fonctions holomorphes

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1 Memento sur les fonctions holomorphes Il s agit simplement ici d énoncer les résultats que l on utilisera par la suite. Les preuves, très classiques, se trouvent dans tout manuel d analyse complexe à une variable (par exemple : Rudin, Analyse réelle et complexe ; Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques ; Amar, Matheron, Analyse complexe). Fonctions C-dérivables, fonctions analytiques. Fonctions C-dérivables Soit z 0 C et U un ouvert au voisinage de z 0. On dit qu une fonction f : U C est R-différentiable (resp. C-dérivable) au point z 0 si : où ε(w) w 0 f(z 0 + w) = f(z 0 ) + l(w) + w ε(w), 0 et l est R-linéaire (resp. C-linéaire). L application l est la différentielle de f en z 0, notée df z0 (resp. la dérivée complexe de f en z 0, notée f (z 0 )). REMARQUE La C-dérivabilité implique la R-différentiabilité, qui implique la continuité. Les deux réciproques sont fausses (pour la première, voir z z). Si f est R-différentiable en z 0 : df z0 (w) = f x (z 0) Re w + f y (z 0) Im w = [ f 2 x (z 0) i f ] y (z 0) w + [ f 2 x (z 0) + i f }{{} =: f z (z 0) ] y (z 0) } {{ } =: f z (z 0) Ainsi, f est C-dérivable en z 0 si et seulement s il n y a pas de terme anti-linéaire dans df z0, c est-à-dire si f z (z 0) = 0. Dans ce cas : df z0 (w) = f (z 0 ) w Jac R f(z 0 ) := det(df z0 ) = f (z 0 ) 2 En posant z 0 = x 0 + iy 0 et u = Re, f, v = Im f, on obtient les conditions de Cauchy- Riemann : w.

2 f est C-dérivable en z 0 si et seulement si u et v sont R-différentiables en (x 0, y 0 ) et { u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). Soit U C un ouvert. Une fonction f : U C est dite holomorphe lorsqu elle est C-dérivable en tout point de U..2 Fonctions analytiques Soit U C un ouvert et f : U C. On dit que f est analytique si elle est localement développable en série entière, i.e. : pour tout a U, il existe un voisinage U a de a dans U tel que f Ua soit la somme d une série entière autour de a. En particulier, analytique implique holomorphe. De plus, toute somme de série entière sur un disque (a, R) est analytique sur ce disque (faire un changement d origine). Les zéros d une fonction analytique non nulle sur un ouvert connexe sont isolés (principe des zéros isolés). REMARQUE 2 La connexité permet d obtenir une propriété globale. 2 Théorème de Cauchy (sur un convexe) 2. Intégrale curviligne Un chemin est une application γ continue, de classe C par morceaux, d un intervalle fermé [a; b] R dans C. On dit que γ est un chemin fermé si γ(a) = γ(b). Si f : γ([a; b]) C est continue, on note : γ f(z)dz := b a f(γ(t))γ (t)dt l intégrale de f le long de γ (elle est indépendante du paramétrage choisi). 2

3 Attention néanmoins à l orientation : si le chemin est parcouru en sens inverse, c està-dire si l on considère γ (t) = γ(a + b t), alors f(z)dz = f(z)dz. γ γ Soit γ un chemin fermé, Ω = C \ Imγ et z Ω. L indice de z par rapport à γ est Ind γ (z) := dw w z. γ L indice de z par rapport à γ correspond en fait au nombre de tours faits autour du point z lorsque l on parcourt γ. PROPOSITION La fonction Ind γ prend des valeurs entières. Elle est constante sur chaque composante connexe de Ω, et vaut 0 sur la composante infinie de Ω. Remarquons que puisque Imγ est compact, il est inclus dans un disque D, et puisque C \ D est connexe, C \ D est inclus dans une composante connexe de C \ Imγ : on peut donc bien parler de la composante infinie de Ω. 2.2 Théorème de Cauchy (sur un convexe, mais il existe des versions plus générales sur un ouvert étoilé, un ouvert simplement connexe...) THÉORÈME Soit Ω un ouvert convexe de C, p Ω et f continue sur Ω, holomorphe sur Ω \ {p}. Alors il existe F Hol(Ω) telle que f = F. Par conséquent, pour tout chemin fermé γ dans Ω : f(z) dz = 0. γ REMARQUE 3 Même si par la suite on montrera que, sous ces hypothèses, f est nécessairement holomorphe sur Ω entier, on a pour l instant besoin de pouvoir supposer uniquement la continuité en p de façon à montrer la formule de Cauchy (en appliquant le théorème de Cauchy à une fonction de la forme f(z) f(w) z w ). Soit Ω un ouvert convexe de C, γ un chemin fermé dans Ω et f Hol(Ω) : z Ω \ Imγ, f(z) Ind γ (z) = f(w) w z dw (formule de Cauchy pour un convexe). γ 3

4 A l aide du développement en série entière de /(w z), on obtient le corollaire suivant : Soit Ω C un ouvert. f Hol(Ω) f est développable en série entière sur tout disque inclus dans Ω f est analytique sur Ω (sens de démonstration : i) ii) iii) i)). Si f est holomorphe, elle est de classe C et ses dérivées sont holomorphes. Sur (a, R) Ω, les coefficients du développement en série entière de f sont donnés par 0 < r < R, a n = (a,r) f(w) dw. (w a) n+ On en déduit, pour tout 0 < r < R : a n r Max f(a + re iθ ) ; n θ r n a n est le nième coefficient de Fourier de θ f(a + re iθ ); + n=0 a n 2 r 2n = 2π f(a + re iθ ) 2 dθ. 2π 0 En particulier, les fonctions holomorphes (sur un ouvert connexe) vérifient le principe des zéros isolés : si Ω est connexe, Hol(Ω) est un anneau intègre. 2.3 Applications Si f = n 0 a n(z a) n est holomorphe dans (a, R) : (propriété de la moyenne). 0 r < R, f(a) = a 0 = 2π 2π 0 f(a + re iθ ) dθ Soit Ω un ouvert connexe, (a, R) Ω et f Hol(Ω). Alors f(a) Max f(a + re iθ ), θ avec égalité si et seulement si f est constante sur Ω (principe du maximum). Théorème de Liouville : si f est entière (c est-à-dire holomorphe sur C) et bornée, elle est constante. 4

5 Théorème de Weierstrass : soit Ω C un ouvert. On suppose que (f n ) n est une suite de fonctions holomorphes sur Ω, qui converge uniformément sur tout compact de Ω vers f. Alors f Hol(Ω) et pour tout j N, (f n (j) ) n converge uniformément sur tout compact de Ω vers f (j). REMARQUE 4 C est évidemment faux si les fonctions ne sont pas holomorphes! C est également faux si les fonctions sont des séries entières d une variable réelle et non pas complexe : en effet, d après le théorème de Stone-Weierstrass, toute fonction continue d une variable réelle sur un compact est limite uniforme de polynômes. A partir du principe du maximum, on obtient le lemme de Schwarz : Soit f holomorphe sur le disque unité C, telle que { f(0) = 0 z, f(z). Alors pour tout z, f(z) z, et f (0). De plus, s il existe z 0 \ {0} tel que f(z 0 ) = z 0, ou si f (0) =, alors il existe λ C de module tel que Autrement dit, f est une rotation. z, f(z) = λz. Preuve Puisque f(0) = 0 et que f est développable en série entière, la fonction g : z f(z)/z est aussi holomorphe sur. Soit 0 < r < : le principe du maximum appliqué à g sur (0, r) montre que si z r, alors f(z) z /r. On en déduit, avec z 0, que f (0) /r. Il ne reste plus qu à faire tendre r vers pour obtenir les deux inégalités voulues. De plus, si f (0) =, on a g(0) = et la fonction g atteint son maximum en 0. De même, s il existe z 0 \ {0} tel que f(z 0 ) = z 0, cela signifie que la fonction g atteint son maximum en z 0. Dans les deux cas, g est constante d après le principe du maximum. Holomorphie et intégration PROPOSITION 2 Soit Ω un ouvert de C et f : [a; b] Ω C continue avec f(t, ) holomorphe. Alors F : z b a f(t, z) dt est holomorphe sur Ω, et pour tout k N, F (k) (z) = 5 b a k f (t, z) dt. zk

6 Théorème de Leibniz : soit Ω un ouvert de C, I un intervalle de R et f : I Ω C telle que pour tout z Ω, f(, z) est mesurable ; pour tout t I, f(t, ) est holomorphe ; tout z 0 Ω admet un voisinage V tel qu il existe g L (I) vérifiant t I, z V, f(t, z) g(t). Alors f(, z) L (I) pour tout z Ω et z f(t, z) dz est holomorphe sur Ω. Ses dérivées s obtiennent en dérivant sous l intégrale. I REMARQUE 5 On ne fait aucune hypothèse (autre que l existence) sur f. La majoration nécessaire dans le théorème habituel de dérivation sous l intégrale découle ici automatiquement de la majoration de f par les formules de Cauchy : en effet, si φ est holomorphe, 3 Singularités 3. Classification φ (z) = D(z,ε) φ(w) (w z) 2 dw. Théorème de Casorati-Weierstrass : soit Ω un ouvert de C, α Ω et f holomorphe sur Ω \ {α}. Il n y a que trois cas possibles : la singularité de f en α est fausse, c est-à-dire que f peut être prolongée en une fonction holomorphe sur Ω (cela équivaut à (z α)f(z) z α 0) ; il existe m N et a,..., a m C, a m 0, tels que la singularité de z f(z) a (z α)... a m (z α) m soit fausse (on dit que α est un pôle d ordre m) ; la singularité de f en α est essentielle, c est-à-dire que pour tout ρ tel que (α, ρ) Ω, f( (α, ρ) \ {α}) est dense dans C. REMARQUE 6 La fonction f possède un pôle en α si et seulement si f(z) z α Par exemple, la fonction z exp(/z) vérifie le troisième cas. 6 +.

7 3.2 Fonctions méromorphes Soit Ω C un ouvert. Une fonction h est méromorphe sur Ω s il existe un ensemble S de points isolés dans Ω tel que h Hol(Ω \ S) et tel que les éléments de S soient des pôles de h au sens suivant : tout α S possède un voisinage U ouvert et connexe dans Ω tel que f, g Hol(U)/ z U \ {α}, h(z) = f(z) g(z). REMARQUE 7 On peut montrer (Rudin p.353) que toute fonction méromorphe sur Ω est en fait globalement le quotient de deux fonctions holomorphes sur Ω. REMARQUE 8 Les fonctions méromorphes sur un ouvert connexe Ω forment un corps. Reprenons les notations de la définition. Au voisinage de α S : f(z) g(z) = (z α)k k h (z), où h est analytique au voisinage de α et h (α) 0. Il y a deux possibilités : si k k, alors h se prolonge holomorphiquement en α (singularité éliminable). Si k < k, alors f(z) m g(z) = a j (z α) j + h 2(z) j= où h 2 est analytique au voisinage de α. Dans ce cas, on dit que a =: Res α (h) est le résidu de h en α. Théorème des résidus (sur un convexe) : soit Ω C un ouvert convexe, f méromorphe sur Ω et Y f l ensemble des pôles de f dans Ω. Pour tout chemin fermé γ dans Ω tel que Imγ Y f =, γ f(z) dz = α Y f Res α (f) Ind γ (α). REMARQUE 9 La somme ci-dessus peut être infinie, mais {α Y f / Ind γ (α) 0} est toujours fini. Donnons deux applications de ce théorème. 7

8 Dénombrement des zéros et des pôles Soit Ω C un ouvert et (z 0, r) Ω. Soit f méromorphe sur Ω, n ayant ni zéro ni pôle sur (z 0, r). En notant Z (resp. P ) le nombre de zéros (resp. de pôles) de f dans (z 0, r), on a : (z 0,r) f (z) f(z) dz = Z P (les zéros et les pôles sont comptés avec multiplicités). dw Remarquons que le membre de gauche vaut f( (z 0,r)) w = Ind f( (z 0,r))(0) qui est le nombre de tours que fait le chemin f( (z 0, r)) autour de 0. Preuve Le théorème des résidus appliqué à la fonction f /f montre que f (z) (z 0,r) f(z) dz = ( ) f Res zi. f z i Y f /f Si z i est un zéro de multiplicité m de f, alors f(z) = (z z i ) m g(z) où g est méromorphe sans pôle en z i et g(z i ) 0, et f (z) f(z) = m + g (z) z z i g(z), ( ) où g /g est holomorphe au voisinage de z i. Ainsi Res f zi f = m. Si z i est un pôle de multiplicité m de f, alors f(z) = (z z i ) g(z) où g est méromorphe m sans pôle en z i et g(z i ) 0, et f (z) f(z) = m z z i + g (z) g(z), où g /g est holomorphe au voisinage de z i. Ainsi Res zi ( f f ) = m. Théorème de l image ouverte Soit Ω C un ouvert connexe, et f Hol(Ω) non constante. Alors f est ouverte, c est-à-dire que l image par f d un ouvert est un ouvert. Preuve Soit U Ω un ouvert non vide, et w 0 f(u) : il existe z 0 U tel que w 0 = f(z 0 ). On veut 8

9 montrer qu il existe un voisinage V de w 0 tel que tout w V soit dans f(u), c est-à-dire que pour tout w U, la fonction z f(z) w admette un zéro dans U. Or f (z) f(z) f(z 0 ) dz = (z 0,r) f( (z 0,r)) dz z f(z 0 ) = Ind f( (z 0,r))(f(z 0 )). Puisque le premier membre est supérieur ou égal à (car z f(z) w 0 a un zéro dans U), et que la fonction Ind f( (z0,r)) est localement constante, on en déduit Ind f( (z0,r))(w) = (z 0,r) f (z) f(z) w dz pour w assez proche de w 0, d où la conclusion. 3.3 Un énoncé plus complet du théorème de Cauchy Soit Ω C un ouvert, K Ω un compact à bord régulier orienté. Toute fonction f Hol(Ω) vérifie f(z) dz = 0. Par ailleurs, si f est méromorphe sur Ω, et si K K ne contient aucun de ses pôles, alors f n a qu un nombre fini de pôles dans K et f(z) dz = Res zi (f). K z i K pôle de f Attention : il faut que K soit inclus dans Ω, et pas seulement K! 4 Suites de fonctions holomorphes On munit Hol(Ω) de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact : O Hol(Ω) est ouvert si et seulement si pour tout f O, il existe δ > 0 et K Ω compact tels que {g Hol(Ω)/ z K, g(z) f(z) < δ} O. Autrement dit, on a une base de voisinages indexée par (δ, K) : la famille des O δ,k := {g/ g K f K < δ}. On a déjà vu (théorème de Weirstrass) que Hol(Ω) est fermé pour cette topologie. Théorème de Montel : soit F Hol(Ω). Alors F est (séquentiellement) compact si et seulement si F est uniformément bornée sur tout compact de Ω. 9

10 Rappelons que F séquentiellement compact signifie que toute suite d éléments de F admet une sous-suite convergente, et que F uniformément bornée sur tout compact de Ω signifie que pour tout compact K Ω, il existe M > 0 tel que pour tout f F, f K M. Théorème d Hurwitz : soit Ω C un ouvert connexe, et (f n ) n une suite de fonctions holomorphes injectives qui converge dans Hol(Ω) vers f. Alors ou bien f est injective, ou bien f est constante. 5 Transformations conformes 5. Définition Soit U un ouvert de C et f : U C une application différentiable. On dit que f est conforme si elle préserve infinitésimalement les angles orientés, c est-à-dire si pour tout z 0 U, l application linéaire du plan df z0 préserve les angles orientés. Les seules applications linéaires du plan qui préservent les angles orientés sont les similitudes directes, autrement dit les applications de la forme w λw avec λ C. Ainsi, les applications conformes sur U sont exactement les applications holomorphes sur U dont la dérivée ne s annule pas. Lorsque f (z 0 ) 0, on peut appliquer le théorème d inversion locale, qui donne un voisinage V de z 0 et un voisinage W de ω 0 = f(z 0 ) tels que f V : V W soit un difféomorphisme, et on montre facilement que la réciproque locale g : W V vérifie g(ω) g(ω 0 ) ω ω 0 ω ω 0 f (z 0 ). En particulier : Si f : U V est une application bijective holomorphe sur un ouvert de C, alors sa réciproque est holomorphe. Autrement dit : bijective + holomorphe = biholomorphe. 5.2 Exemples Dans le cadre de l analyse complexe, un automorphisme est une auto-application bijective holomorphe. 0

11 Aut( ) := {f : bijective holomorphe} { = z e iθ z a } āz / θ R, a On constate que les automorphismes du disque sont d une forme particulière : z az + b cz + d, c est-à-dire que ce sont des homographies. Les automorphismes du disque envoient le disque sur lui-même, et le cercle unité sur lui-même. Plus généralement : Les homographies préservent les cercles-droites, c est-à-dire transforment bijectivement tout cercle (resp. toute droite) en un cercle ou une droite. Par un argument de connexité, on en déduit qu une homographie transforme bijectivement tout disque (resp. tout demi-plan) ou bien en un disque, ou bien en le complémentaire d un disque, ou bien en un demi-plan. 5.3 Théorème de représentation conforme de Riemann Un domaine est un ouvert de C connexe non vide. Théorème de représentation conforme Tout domaine simplement connexe distinct de C est biholomorphe au disque unité ouvert. REMARQUE 0 C n est pas biholomorphe à puisque toute fonction entière bornée est constante. L idée de la preuve est la suivante. Soit D le domaine, a D fixé, et supposons que φ : D soit un biholomorphisme vérifiant φ(a) = 0. Alors pour toute fonction f : D vérifiant f(a) = 0, la fonction f φ est holomorphe de dans lui-même, et le lemme de Schwarz montre que (f φ ) (0), c est-à-dire f (a) φ (a).

12 Le biholomorphisme cherché doit donc maximiser les valeurs des dérivées en a des éléments de F a := {f Hol(D, )/ f injective et f(a) = 0}. La preuve consiste donc à montrer que Sup{ f (a) / f F a } est atteint. On obtient que pour tout a D, il existe un unique biholomorphisme φ : D tel que φ(a) = 0 et φ (a) R +. L existence vient du fait qu on peut multiplier le biholomorphisme φ trouvé précédemment par un complexe de module de façon à obtenir φ (a) > 0. Pour l unicité, supposons que φ et φ 2 conviennent : alors F := φ φ 2 est un biholomorphisme de dans lui-même fixant 0, et F (0) = φ (a)/φ 2(a) =. D après le lemme de Schwarz, F est de la forme λid, où λ =, donc φ = λφ 2, et nécessairement λ =. 2