Fiche Méthode n 1 : «Démontrer qu un triangle est rectangle»

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1 Fiche Méthode n 1 : «Démontrer qu un triangle est rectangle» -1- Par le théorème de Pythagore : «Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés» Exemple : On a : Donc, d après le théorème de Pythagore, ADB est rectangle en D. -2- Par le théorème du cercle circonscrit : «Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés alors ce triangle est rectangle» Exemple : Le triangle RTE est inscrit dans le cercle de Diamètre [RE] donc RTE est rectangle en T. On peut aussi se servir du théorème de l angle inscrit : «La mesure de l angle inscrit est égale à la moitié de l angle au centre qui intercepte le même arc de cercle». Dans le cercle de centre O, est un angle inscrit qui intercepte le même arc que l angle au centre. Or, donc. CQFD!!! -3- Par les angles : «Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180» Exemple : La somme des angles du triangle ABC est égale à 180. Donc on a :. Ceci prouve que MAS est rectangle en A.

2 Fiche Méthode n 2 : «Démontrer que 2 droites sont parallèles» -1- Par les propriétés sur les droites perpendiculaires : «Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles» Exemple : Les droites (EC) et (DB) sont perpendiculaires à la droite (AB). Donc (EC)//(DB). -2- Par la réciproque du théorème de Thalès : Exemples : Les points G, R et F sont alignés dans le même Les points S, A et L sont alignés dans le même ordre que les points G, T et H. De plus, on a : ordre que les points B, A et Z. De plus, on a : et et Réduisons à un même dénominateur : Simplifions les 2 quotients : et et, d après la réciproque du théorème, d après la réciproque du théorème de Thalès, (RT)//(FH). de Thalès, (SB)//(LZ).

3 Fiche Méthode n 3 : «Résoudre une équation» -1- Equations du 1 er degré : - Développer chaque membre de l équation - Transposer les termes en à gauche et les termes constants à droite - Réduire les deux membres - Diviser les deux membres par un même nombre pour isoler. Exemples : -1- Equations du 2 ème degré : - Transposer tous les termes dans le 1 er membre de l équation - Factoriser le 1 er membre - Utiliser la règle du produit nul : «Un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs est nul» Exemples : [ ][ ]

4 Fiche Méthode n 4 : «Maîtriser le calcul littéral» -1- Les règles de base : - Règle de la distributivité : - Identités remarquables : -2- Développer et/ou factoriser une expression littérale : Développer c est transformer un produit en une somme. Exemples : Factoriser c est transformer une somme en un produit. Exemples : [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

5 -1- Le cours : Fiche Méthode n 5 : «Maîtriser la trigonométrie» Dans un triangle RST rectangle en S : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Côté opposé à ( ) -2- Les Applications : «SOHCAHTOA» Côté Adjacent à -a- Calculer les longueurs des côtés d un triangle rectangle : Dans MOT rectangle en M, on a : -b- Calculer le mesure d un angle aigu dans un triangle rectangle : Montrons que le triangle RAN est rectangle en N :. Donc, d après le théorème de Pythagore, RAN est rectangle en N. On a donc : ( ) ( ) ( ) ( ) Remarque : Ne pas oublier que les 2 angles aigus du triangle rectangle sont complémentaires :

6 Fiche Méthode n 6 : «Angles Inscrits Polygones réguliers» -1- Angles inscrits : est l angle au centre qui intercepte l arc. est l angle au centre qui intercepte l arc. Propriété : L angle au centre a pour mesure le double de celle de l angle inscrit. -2- Polygones réguliers : Définition : un polygone est régulier si : - Ses côtés ont la même longueur - Ses angles sont de la même mesure Remarque : un polygone régulier est inscriptible dans un cercle! Triangle équilatéral Carré Pentagone régulier Hexagone régulier Soit PORTUGAL un octogone régulier de centre K et tel que KP=4cm. On calcule l angle au centre : Pour calculer la longueur d un côté de l octogone, on trace la hauteur issue de K du triangle ABK. Elle coupe [AB] en I. car (KI) est aussi la bissectrice de l angle. On utilise ensuite la trigonométrie : Dans AKI rectangle en I, Donc

7 Fiche Méthode n 7 : «Périmètres Aires - Volumes» -1- Périmètres-Aires : Disque Triangle Rectangle Carré Périmètre : Aire : Aire : Périmètre : Aire : Périmètre : Aire : Parallélogramme Losange Trapèze Sphère Aire : Aire : Aire : Aire : -2- Volumes : Boule- Sphère Cube Pavé Cylindre Prisme Cône Pyramide -3- Loi des agrandissements réductions : «Lorsqu on multiplie les dimensions d un objet par un nombre (k>0) alors : - Les aires sont multipliées par - Les volumes respectifs sont multipliés par» Exemples : a) Un rectangle a pour aire 20m². On augmente ses dimensions de 24%. Le coefficient d agrandissement est donc : Son aire devient égale à : b) Une pyramide a pour volume m³. On veut réaliser une maquette de cette pyramide à l échelle. Le coefficient de réduction est ici! Donc c) Dans le dessin ci-contre, les droites (DF) et (AE) sont parallèles. ; ABE est un agrandissement de DBF. Le coefficient est Donc

8 Fiche Méthode n 8 : «Arithmétique PGCD Nombres premiers entre eux» Soient trois nombres entiers non nuls tels que :. On dit que : { Exemple : 2, 3, 4 et 6 sont des diviseurs de 12 car Définition : Exemples : PGCD(12 ;18)=6 PGCD(40 ;25)=5 PGCD(150 ;225)=75 Pour calculer le PGCD de 2 nombres entiers, on peut : Exemples : - Utiliser l algorithme des soustractions successives (assez long!!) - Utiliser l algorithme d Euclide (divisions successives : Très rapide!!) Algo. Soustractions Algo. Euclide Algo. Soustractions Algo. Euclide = = = = =4 16-4= =8 8-4=4 4-4= = = = = = = = =0 PGCD(124 ;36)=4 PGCD(300 ;24)=12 Définition : 2 nombres entiers sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Ex : 18 et 77 sont premiers entre eux ; 33 et 21 ne sont pas premiers entre eux car divisibles par 3. Problème : «On veut écouler un stock de 120 flacons de parfum et 144 savonnettes en confectionnant des lots identiques. Combien de lots peut-on faire au maximum?» On pose : {, on a donc : { Donc est un diviseur commun de 120 et 144 ; or on veut que soit maximum donc =24. ( Par l algorithme d Euclide : ) On trouve ensuite : { { On peut donc faire au maximum 24 lots avec 5 flacons de parfum et 6 savonnettes!!!

9 Fiche Méthode n 9 : «Fonctions Affines Fonctions linéaires» Définition : Une fonction Affine est une fonction du type (polynôme du 1 er degré) Vocabulaire : { Exemples : - Calculer les images de 5 et -7 par les fonctions. - Calculer les antécédents de 32 par les fonctions. L antécédent de 30 par la fonction est 12. L antécédent de 30 par la fonction est -8. Propriété : La représentation graphique d une fonction affine est une droite.

10 Exercice : Déterminer la fonction affine telle que. { { On obtient un système d équations. On peut procéder par substitution : Puisque On remplace b par dans l autre équation, donc : Or Conclusion : la fonction cherchée est Définition : Une fonction Linéaire est une fonction du type Donc une fonction linéaire est une fonction affine particulière (b=0). Conséquences : -La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite passant par l origine! -Une fonction linéaire permet de traduire une situation de proportionnalité. Exemples : Problème : (un classique du brevet!!) Le Théatre «Mathador» propose les tarifs suivants : { -a- Si désigne le nombre de spectacles auxquels on assiste, exprimer, en fonction de, les prix suivant le tarif utilisé pour assister à spectacles. -b- Tracer les représentations graphiques des 3 fonctions précédentes dans le repère ci-dessous :

11 Fiche Méthode n 10 : «Tracer la représentation graphique d une Fonction Affine/Linéaire» Propriété : -La représentation graphique de la fonction est la droite d équation. -La représentation graphique de la fonction est la droite d équation. Pour représenter graphiquement la fonction tracer la droite passant par ces 2 points! Let s Go : Exemples :, il suffit donc de placer 2 points puis de On construit pour chaque fonction un petit tableau de valeurs afin de trouver les coordonnées des 2 points cherchés pour chaque fonction affine. Pour cela, il faut choisir 2 valeurs de puis calculer leurs images par chacune des fonctions : Point A Point B Point C Point D Donc la droite représentant la fonction passe par les points A(0 ;-5) et B(4 ;3) et la droite représentant la fonction passe par les points C(0 ;8) et B(6 ;-1).

12 Fiche Méthode n 11 : «Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues» Pour résoudre un système d équations, on peut : - Procéder par Substitution - Procéder par élimination (Combinaisons linéaires) -1- Par Substitution : { ; On exprime en fonction de. On remplace y par 5-2x dans la 1 ère équation : D où : Or -1- Par Elimination : { La solution de ce système est le couple (4 ;-3). On multiplie chaque équation par un nombre bien choisi puis on ajoute les 2 nouvelles équations afin d éliminer les termes en ou les termes en. Eliminons les : Eliminons les : { { +{ +{ La solution de ce système est le couple (6 ;-2). Remarques : - La méthode de substitution est pratique si on peut facilement exprimer une inconnue en fonction de l autre. - La méthode par élimination est plus générale et les calculs des 2 inconnues sont indépendants!!!

13 Exemple 1 : «Tableau à double entrées» Fiche Méthode 12 «Utilisation du tableur» Nombre total d hommes dans la cellule G2 ; il faut entrer la formule : «=SOMME(B2 :F2)» Nombre total de Français dans la cellule C4 ; il faut entrer la formule : «=SOMME(C2 :C3)» Exemple 2 : «Statistiques» Pour obtenir la moyenne, entrer dans la cellule C6 : «=G4/G3» Des formules utiles : Multiplier : «*» Diviser : «/» Puissance : «^» ou PUISSANCE(Nombre ;exposant) Racine Carrée : «=RACINE(Cellule)» ; Reste Division euclidienne de a par b : «=MOD(a ;b)» Somme : «=SOMME(1 ère Cellule :dernière Cellule)» Moyenne : «=MOYENNE(1 ère Cellule :dernière Cellule)»

14 Fiche Méthode 13 «Statistiques» Pour étudier une série de données, on utilise certains critères numériques : - L étendue de la série : «Plus grande valeur-plus petite valeur» - La moyenne : - La Médiane et les Quartiles (Avec les effectifs cumulés croissants) - Les fréquences et/ou les pourcentages : Exemple 1 : Voici les hauteurs de pluie en mm, enregistrées à Paris chaque mois, pendant un an. Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre On classe les valeurs par ordre croissant : soit 12 valeurs. L étendue de la série est : 62-32=30mm. La hauteur de pluie moyenne est :. Pour calculer la moyenne, on calcule la moitié de l effectif total :. La médiane de cette série est 50 car c est le nombre qui sépare la 6 ème valeur de la 7 ème valeur de la série! La moitié des valeurs de la série sont inférieures (supérieures) à la médiane!! Exemple 2 : A 25 élèves d une classe de troisième qui ont regardé en entier ou en partie le match de football retransmis hier à la télévision, on a posé la question : «combien de temps avez-vous passé devant le poste de télévision?» On a regroupé les réponses en 5 classes dans la tableau suivant : Temps t en minutes 40 t<60 60 t<80 80 t< t< t<140 Totaux Effectifs Effectifs cumulés XXXXXX Fréquences (en %) Fréquences cumulées XXXXXX La moitié de l effectif total vaut :. La Médiane est la valeur qui correspond au premier effectif cumulé croissant supérieur à 12,5 donc ici Médiane =70 (pas précis!). Le temps moyen passé devant la télé est :.

15 Pour affiner la dispersion des valeurs d une série on peut parfois déterminer les «Quartiles». Cela revient à découper la série en 4. Schématisons : Valeur Minimale 25% des valeurs 25% des valeurs 25% des valeurs 25% des valeurs Q 1 Q 2 =Médiane Q 3 Valeur Maximale Exemple 3 : Déterminer les quartiles de la série ci-dessous : Lors de la correction d'un examen, les résultats des candidats sont : 14, , ,5-7,5-10,5-12,5-5, ,5-11, , ,5-14,5-4,5-16 1) On calcule «l Effectif total» : 22 notes. 2) On classe les valeurs par ordre croissant : 3-4,5-4,5-5,5-6- 7, ,5-10,5-10,5-11,5-12, ,5-14,5-15,5-15, ) L Etendue de cette série est : 20-3=17. 4) On calcule les 3 Quartiles comme suit : =11 5) Calcul de la note moyenne : Lorsque le nombre de valeurs est assez grand, on peut aussi regrouper les valeurs par tranches régulières. (Amplitude de 2points ou 4points par exemples) On obtient un tableau : Notes n Effectifs Effectifs cumulés Fréquences en % Totaux XXXXXXXXX 4,5 22,7 27,3 27,3 18,2 100 L Etendue de la série est : 20-0=20! Pour calculer la moyenne, on divise la somme des produits «Note x Effectif» par l Effectif total :. Le résultat est donc moins précis!!!! (Dans chaque tranche, on prend la note centrale et donc on commet une petite erreur..) Le 1 er Quartile est la valeur qui correspond au 1 er effectif cumulé croissant supérieur à 5,5 : La Médiane est la valeur qui correspond au 1 er effectif cumulé croissant supérieur à 11 : Le 3 ème Quartile est la valeur qui correspond au 1 er effectif cumulé croissant supérieur à 16,5 : Conclusion : Lorsqu on regroupe les valeurs par tranches, les résultats sont moins précis.

16 3 ème Fractions : Quelques formules à réviser Volumes : ; Pour ajouter ou soustraire des fractions, il faut les réduire à un même dénominateur. Règle des produits en croix : Loi des agrandissements-réductions : Si on multiplie les dimensions d un objet par Puissances : Alors : { ; Théorème de Pythagore : ; Arithmétique : Le PGCD est le Plus Grand Diviseur Commun de deux entiers. Il se calcule par l algorithme des divisions successives. (Euclide) Identités remarquables : { Règle du produit nul : Théorème de Thales : Dans ABC, si (RT)//(BC) alors : Trigonométrie : «SOHCAHTOA» Racines carrées : ; ; Pourcentages : Calculer Probabilités : Un sac contient 8 jetons bleus et 12 jetons rouges. On tire au hasard 1 jeton dans le sac. et