y = 1 d'où : 1 x < 1 y

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1 Seconde Fonction inverse. Fonctions homographiques Année scolaire 2012/2013 I) La fonction inverse : 1) Définition : La fonction f qui à x associe 1 est définie sur R* = ]- ; 0[ ]0 ; + [. x f est appelée la fonction inverse. 2) Variations : Propriété : La fonction inverse est strictement décroissante sur ]- ; 0[ puis également sur ]0 ; + [. Tableau de variations : x 0 + Variations de la fonction f Démonstration sur ]- ; 0[ : Soient x et y dans ]- ; 0[ tels que x < y alors : 1 x > 1 y Donc f est bien décroissante sur ]- ; 0[ On raisonne de même sur ]0 ; + [. REMARQUE : (Attention!) Il ne faut pas dire «f est strictement décroissante sur ]- ; 0[ ]0 ; + [» En effet : si on prend x = - 2 et y = 1 On a : x < y et comme 1 x = 1 2 et 1 y = 1 d'où : 1 x < 1 y Le travail sur les variations se décompose en deux parties : sur]- ; 0[ et sur ]0 ; + [ 3) Représentation graphique : La fonction inverse se représente graphiquement sous la forme d'une hyperbole. Cette courbe est constituée de deux «parties» : on dit deux arcs d'hyperbole. Tableau de valeurs : x x -0,17-0,2-0,25-0,33-0, ,5 0,33 0,25 0,2 0,17

2 Cette hyperbole présente un centre de symétrie : le point O, origine du repère. 4) Application à la comparaison d'inverses : Il est possible de démontrer certaines inégalités en utilisant la décroissance de la fonction inverse. Exemple : Soit A = 3-10 et B = 3-11 Ranger par ordre croissant et sans calcul, les inverses des nombres A et B. Solution : Comme 9 = 3, 3-10 < 0 et 3-11 < 0 De manière évidente, 3-10 > 3-11 Or, la fonction inverse est strictement décroissante sur ]- ; 0[, d'où : 1 A < 1 B II) Fonctions homographiques : 1) Définition : Soient a,b,c et d, quatre nombres réels tels que c 0. ax +b On considère la fonction f définie par f(x) = cx +d pour x - d c On dit que f est une fonction homographique. Exemple : Soit f définie par f(x) = 4 x 1. f est une fonction homographique. 7 x +2

3 Remarque : On prend c 0, sinon f(x) = ax +b d = a d x + b d et alors f est une fonction affine. 2) Ensemble de définition : Une fonction homographique est définie sur R sauf en la valeur de x qui annule le dénominateur. De manière pratique, pour déterminer le domaine de définition d'une fonction homographique, il suffit de regarder pour quelle valeur de x son dénominateur s'annule. Exemple : Soit f définie par f(x) = 4 x 1 7 x +2 f est définie si et seulement si 7x Or, 7x + 2 = 0 7x = - 2 x = 2 7 Donc : D f = R \ { 2 7 } 3) Représentation graphique : Cliquer sur le lien suivant pour observer la représentation graphique d'une fonction homographique : ues.html Toute fonction homographique se représente graphiquement sous la forme d'une hyperbole. Exemples: 3 a) On considère f définie par f(x) = 2 + sur [-5;5] \ {1} x 1 On montre que f est homographique : 2(x 1) 3 2x 2+3 2x +1 f(x) = + = = (a = 2, b = 1, c = 1 et d = - 1) x 1 x 1 x 1 x 1

4 f est strictement décroissante sur [-5;1[ et également sur ]1;5] 3 b) On considère g définie par g(x) = 2 - sur [-5;5] \ {1} x 1 On montre que g est homographique : 2(x 1) 3 2x 2 3 2x 5 g(x) = - = = (a = 2, b = -5, c = 1 et d = - 1) x 1 x 1 x 1 x 1 g est strictement croissante sur [-5;1[ et également sur ]1;5] Remarque : - Pour la fonction f, ad bc = 2x(-1)-1x1 = - 3 < 0 et f strictement décroissante - Pour la fonction g, ad bc = 2x(-1) - (-5)x1 = = 3 > 0 et g strictement croissante. 4) Utilisation de la calculatrice : lectures graphiques et représentations III) Equations-quotients : 1) Rappel : A B = 0 Soit B 0, A B = 0 A = 0 2) Exemples de résolution : Remarque importante : Avant de se lancer dans la technique de résolution d'une équation-quotient, on commence toujours par déterminer les éventuelles valeurs interdites. (ces valeurs sont celles qui annulent le dénominateur de l'écriture fractionnaire concernée) 3x +2 a) Résoudre l'équation suivante : x 4 = 0 Il y a une seule valeur interdite : la solution de x 4 = 0 D'où la valeur interdite est 4 3x +2 x 4 = 0 3x + 2 = 0 x = - 2 Donc S = { }

5 Remarque : Si on pose f(x) = 3x +2 x 4, alors f est une fonction homographique. L'équation précédente est équivalente à f(x) = 0 C'est-à-dire : la solution est l'antécédent de 0. Autrement dit, l'abscisse du point de la courbe de f d'ordonnée nulle. b) Résoudre l'équation suivante : Valeur interdite : 5x 1 = 1 2x + 7 =0 x = On se ramène au cas d'équation étudié dans le a) : 5x 1 = 1 5x 1-1 = 0 5x 1 5x 1 2x 7 3 x 8 = 0 3x 8 = 0 - = 0 = 0 x = 8 3 Donc : S = { 8 3 } Remarques : - Pour la résolution de cette équation, on aurait pu utiliser le produit en croix. En effet : 5x 1 = 1 (5x 1)x1 = (2x + 7)x1 5x 1 = 2x + 7 3x = 8 x = Graphiquement, on peut interpréter la résolution de cette équation comme la recherche de l'abscisse du point d'intersection de la courbe de f si f est définie par f(x) = 5x 1 avec la droite horizontale à l'ordonnée 1. 2x +5 c) Résoudre l'équation suivante : 3 x 9 = 4 x +7 6 x 1 Valeurs interdites : 3x 9 = 0 et 6x 1 = 0 x = 3 et x = 1 6

6 2x +5 3 x 9 = 4 x +7 6 x 1 (2x + 5)(6x 1) = (3x 9)(4x + 7) (produit en croix) 12x 2 2x + 30x 5 = 12x x 36x 63 28x 5 = - 15x 63 43x = - 58 x = Donc : S = { } Graphiquement, on a déterminé l'abscisse du point d'intersection de deux hyperboles : celle représentant une fonction homographique f définie par 2x +5 f(x) = et celle représentant une autre fonction homographique g définie par 3 x 9 g(x) = 4 x +7 6 x 1 IV) Inéquations-quotients : Comme pour la résolution des équations, on commence toujours par déterminer les éventuelles valeurs interdites. On va procéder comme pour la résolution des inéquations-produits. La seule différence est qu'aux éventuelles valeurs interdites dans le tableau de signes, à la dernière ligne, on trouvera des double-barres. Exemples : a) Résoudre à l'aide d'un tableau de signes l'inéquation suivante : 3x +5 2 x 3 > 0 Valeur interdite : 2x 3 = 0 x = 3 2 3x + 5 > 0 2x 3 > 0 x > x > 3 2 x Signe de 3x Signe de 2x Signe du quotient Donc S = ]- ;- 5 3 [ ] 3 2 ;+ [