( u, v) = (u, v), (u + v, w) =(u, w)+(v, w), (u, v) =(v, u), (1.1) (u, u) 0, (u, u) =0sietseulementsiu =0. (1.2)

Transcription

1 1 Espaces de Hilbert Nous étudions dans ce chapitre quelques notions de base et des propriétés élémentaires des espaces de Hilbert. Pour simplifier la présentation, nous n allons considérer que le cas complexe. 1.1 Définitions et exemples Soit H un espace vectoriel complexe et (u, v) une fonction des variables u, v 2 H à valeurs complexes. Définition 1.1. On dit que (, ) estunproduit scalaire sur H si les propriétés suivantes sont vérifiées pour tous u, v, w 2 H et 2 C: ( u, v) = (u, v), (u + v, w) =(u, w)+(v, w), (u, v) =(v, u), (1.1) (u, u) 0, (u, u) =0sietseulementsiu =0. (1.2) Lemme 1.2. Soit H un espace vectoriel muni d un produit scalaire (, ) et kuk = p (u, u). Alors k k est une norme sur H, c est-à-dire,unefonction positive vérifiant les propriétés suivantes pour tous u, v 2 H et 2 C : De plus, on a l inégalité de Cauchy Schwarz : kuk =0si et seulement si u =0, (1.3) k uk = kuk, (1.4) ku + vk applekuk + kvk. (1.5) (u, v) apple kuk kvk pour tous u, v 2 H. (1.6) Cette inégalité est strict si et seulement si les vecteurs u, v ne sont pas parallels. Démonstration. Montrons d abord l inégalité (1.6). Comme le produit scalaire est positif sur la diagonale, pour tout t 2 R on a d où on conclut que 0 appleku + tvk 2 = kuk 2 +2t Re(u, v)+t 2 kvk 2, Re(u, v) 2 kuk 2 kvk 2 apple 0. En remplaçant dans cette inégalité v par e i' v,où' 2 R est tel que e i' (u, v) 2 R, on obtient (1.6). La démonstration donnée implique qu on a une égalité si et seulement si u, v sont parallels. Montrons maintenant que k k est une norme. La propriété (1.3) estune consequence immédiate de (1.2), et la relation (1.3) est évidente. Vérifions l inégalité (1.5) (appelée inégalité triangulaire): ku + vk 2 = kuk 2 + kvk 2 +2Re(u, v) applekuk 2 + kvk 2 +2kukkvk = kuk + kvk 2. 3

2 Il est facile à voir que si une norme k k est engendrée par un produit scalaire, alors elle vérifie l égalité de parallélogramme : ku + vk 2 + ku vk 2 =2kuk 2 +2kvk 2 pour tous u, v 2 H. (1.7) On peut montrer que c est aussi une condition su sante. De plus, l inégalité (1.6) implique qu un produit scalaire est une fonction continue sur H H. Définition 1.3. Un espace vectoriel H muni d un produit scalaire est appelée un espace pré-hilbertien. Si, enplus, H est complet par rapport à la norme engendrée par le produit scalaire (c est-à-dire, toute suite de Cauchy possède une limite), alors on appelle H un espace de Hilbert. Exemple 1.4. Soit C([a, b];c) l espace des fonctions continues f :[a, b]! C muni du produit scalaire (f,g) = Z b a f(x)g(x)dx. Alors C([a, b]; C) est un espace pré-hilbertien. L espace L 2 (a, b; C) des fonctions boréliennes f :[a, b]! C de carré intégrable est un espace de Hilbert par rapport au même produit scalaire. On peut considérer aussi l espace L 2 ([a, b],µ), où µ est une mesure -finie sur [a, b]. En particulier, l espace vectoriel `2 = n x =(x 1,x 2,...):x j 2 C, o x j 2 < 1 muni du produit scalaire est un espace de Hilbert. (x, y) = x j y j Définition 1.5. Un espace de Hilbert H est dit séparable si il existe une suite dense dans H. Par exemple, `2 est un espace séparable. Dans la suite, nous n allons considérer que des espaces de Hilbert séparables. Soient H 1 et H 2 deux espaces de Hilbert. La somme directe H 1 H 2 est définie comme l ensemble des paires [u 1,u 2 ]telsqueu i 2 H i pour i =1, 2. Les opérations [u 1,u 2 ]+[v 1,v 2 ]=[u 1 + v 1,u 2 + v 2 ], [u 1,u 2 ]=[ u 1, u 2 ] définissent une structure vectorielle sur H 1 H 2. De plus, la forme bilinéaire [u 1,u 2 ], [v 1,v 2 ] =(u 1,v 1 )+(u 2,v 2 ) 4

3 est un produit scalaire sur H 1 H 2. Il est facile à voir que c est un espace de Hilbert. On peut définir aussi la somme directe d une famille dénombrable {H k }. Dans ce cas, on pose 1M H k = (u, v) = n u =(u 1,u 2,...):u k 2 H k, (u k,v k ) Hk. o ku k k 2 H k < 1, On peut montrer que c est un espace de Hilbert, et si, en plus, H k sont des espaces séparables, alors kh k l est aussi. Exemple 1.6. La somme directe de deux copies de L 2 (R; C) est égale à L 2 (R, C 2 )={f : R! C 2 f borélienne, f 2 2 L 1 (R)}. La somme directe d une famille dénombrable de L 2 (R) est égale à L 2 (R,`2) = f : R! `2 f borélienne, kfk 2`2 2 L 1 (R). Soient H 1 et H 2 deux espaces de Hilbert et A : H 1! H 2 un opérateur linéaire. On dit que A est continu si pour tout point u 2 H 1 et toute suite (u n ) H 1 telle que u n! u dans H 1 la suite (Au n ) converge vers Au dans H 2. Il est facile à voir que A est continue si A est continue au point zéro. Cette dernière condition est vérifiée si et seulement si A est borné : kak L := sup kauk H2 < 1. kuk H1 apple1 L ensemble de tous les opérateurs continus de H 1 dans H 2 est noté L(H 1,H 2 ). On dit que A : H! H est un opérateur auto-adjoint si (Au, v) =(u, A v) pour tous u, v 2 H. 1.2 Projecteurs et bases hilbertiennes Théorème 1.7. Soit H un espace de Hilbert et H 0 H un sous-espace fermé. Alors pour tout u 2 H il existe un unique élément u 0 2 H 0 tel que ku u 0 k =dist(u, H 0 ):= inf v2h 0 ku vk. (1.8) De plus, u 0 est l unique élément de H 0 vérifiant la condition (u u 0,v)=0 pour tout v 2 H 0. (1.9) L élément u 0 2 H 0 est appelé la projection orthogonale de u sur H 0. théorème 1.7 implique immédiatement le résultat suivant. Le 5

4 Corollaire 1.8. Soit H 0 un sous-espace fermé d un espace de Hilbert H et H 0? son complémentaire orthogonal, c est-à-dire,l ensembledesvecteursu 2 H tels que (u, v) =0pour tout v 2 H 0. Alors H est représentable comme la somme directe H = H 0 H 0?.Deplus,l opérateurp qui envoie un vecteur u 2 H à s a projection orthogonale sur H 0 est linéaire et vérifie les propriétés suivantes: P 2 = P, kp k L(H) =1. On appelle P le projecteur orthogonal sur H 0. Démonstration du théorème. Soit {v n } H 0 une suite telle que ku v n k!d := dist(u, H 0 ) quand n!1. D après l égalité de parallélogramme appliquée aux vecteurs u v n et u v m on a kv n v m k 2 =2ku v n k 2 +2ku v m k 2 4 u apple 2ku v n k 2 +2ku v m k 2 4d 2! 0 v n+v m 2 quand m, n!1. On conclut que {v n } est une suite de Cauchy. Il est facile à vérifier que sa limite u 0 satisfait toutes les propriétés requises. Définition 1.9. Soit H un espace de Hilbert séparable. Une suite de vecteurs {e j } H est appelée une base orthonormée de H si elle possède les propriétés suivantes: (a) (e i,e j ) = 0 pour i 6= j et ke j k = 1 pour tout j 1; (b) tout vecteur u 2 H est représentable sous la forme u = u j e j, (1.10) où la série converge pour la norme de H. Il est facile à voir que si {e j } H est une base orthonormée, alors les vecteur e j sont linéairement indépendants, et dans la série (1.10) lescoe cients sont calculés par u j =(e j,u). On dit qu une suite {e j } H est un système orthonormé si elle vérifié la propriété (a) de la définition 1.9. Proposition Soit {e j } H un système orthonormé. Alors pour tout u 2 H on a l inégalité de Bessel : (e j,u) 2 applekuk 2. (1.11) De plus, {e j } est une base orthonormée si et seulement si on a la relation de Parseval : (e j,u) 2 = kuk 2. (1.12) 2 6

5 Démonstration. Il est facile à vérifier que 0 apple u NX 2 X N (e j,u)e j = kuk 2 (e j,u) 2, d où, en passant à la limite quand N!1, on obtient l inégalité de Bessel (1.11). Si {e j } est une base orthonormée, alors on a la représentation (1.10). En prenant la norme au carré, on obtient la relation (1.12). Réciproquement, supposons que la relation de Parseval a lieu. Alors u 2 X 1 (e j,u)e j = kuk 2 (e j,u) 2 =0, d où on conclut que la relation (1.10) a lieu. L existence d une projection orthogonale permet de construire une base orthonormée pour tout espace de Hilbert séparable et de montrer que tous les espaces de Hilbert séparables sont isométriques. Théorème Soit H un espace de Hilbert séparable. Alors elle possède une base orthonormée. De plus, si H 1 et H 2 sont deux espaces de Hilbert séparables, alors il existe une bijection linéaire V : H 1! H 2 telle que kvuk H2 = kuk H1 pour tout u 2 H 1. Démonstration. Pour tout espace de Hilbert séparable H, il existe une suite {f j } H de vecteurs linéairement indépendants telle que les combinaisons linéaire de f j sont denses. On définit un système orthonormé {e j } en utilisant le procédé d orthogonalisation de Gramm Schmidt : e 1 = f 1 kf 1 k, e j = f j P j 1 f j kf j P j 1 f j k, j 2, où P j désigne le projecteur orthogonal sur l espace engendré par les vecteurs f 1,...,f j. En utilisant le fait que l espace vectoriel engendré par e 1,...,e j est confondu avec celui engendré par f 1,...,f j, on montre que {e j } est une base orthonormée. Soient maintenant H 1 et H 2 deux espaces de Hilbert séparables avec des bases orthonormées {e j } et {f j }. On définit un opérateur linéaire V : H 1! H 2 par Ve j = f j pour tout j 1. Il est facile à vérifier que V satisfait toutes les propriétés requises. 1.3 Complété d un espace pré-hilbertien Théorème Soit H 0 un espace pré-hilbertien séparable. Alors il existe un espace de Hilbert H et une application J : H 0! H tel que J(H 0 ) est dense dans H et (u, v) H0 =(Ju,Jv) H pour tous u, v 2 H 0. 7

6 On appelle H le complété de H 0. Le fait que J préserve le produit scalaire implique que J préserve aussi la norme. On conclut que J est une isométrie de l espace H 0 sur son image J(H 0 ). Très souvent on identifie l espace H 0 avec J(H 0 ), en le considérant comme un sous-espace de H. Démonstration. Soit {e j } un système orthonormé dans H 0 tel que l espace vectoriel engendré par les combinaisons linéaires de {e j } est dense. On note H 0 l espace dual de H 0, c est-à-dire, l espace des fonctionnelles continues sur H 0 muni de la norme kfk H 0 0 = sup f(u). kukapple1 Alors H0 0 est un espace de Hilbert séparable par rapport au produit scalaire (f,g) = f(e j ) g(e j ), qui engendre la norme k k H 0 0. Soit H l espace dual de H 0 0. Alors H est aussi un espace de Hilbert. On note J : H 0! H l application linéaire qui envoie un vecteur u 2 H 0 à la fonctionnelle F u 2 H définie par F u (f) =f(u). Montrons que J est une application bijective de H 0 sur J(H 0 )quipréserveleproduit scalaire. En e et, il est facile à vérifier que kj(u)k H = sup F u (f) = kuk H0 pour tout u 2 H 0. kfk H 0 apple1 0 Cette relation implique, en particulier, que le noyau de J est trivial. En plus, tenant compte de l identité de polarisation (voir la feuille d exercices), on conclut que J préserve le produit scalaire. Il nous reste à montrer que J(H 0 ) est dense dans H. Supposons qu il existe F 2 H tel que (F, J(u)) H = 0 pour tout u 2 H 0. Si {f j } est une base orthonormée de H0, 0 alors (F, J(u)) H = F (f j ) J(u)(f j )= F (f j ) f j (u) = f(u) =0, où f = P j F (f j) f j. Comme cette relation est vraie pour tout u 2 H 0, on conclut que f = 0 et donc F = 0. Ceci achève la démonstration du théorème. Exemple Soit c 0 l espace des suites dont tous les éléments sont nuls à partir d un certain rang. On munit c 0 du produit scalaire de l espace `2. Alors c 0 est un espace pré-hilbertien dont le complété est confondu avec `2. De même, le complété de l espace C([a, b]; C) par rapport au produit scalaire L 2 est confondu avec L 2 (a, b; C). Exemple 1.14 (Séries de Fourier). Soit S R 2 le cercle de rayon 1 et de centre zéro. Rappelons que les coe cients de Fourier d une fonction f 2 L 2 (S) sont définies par c k (f) = Z 2 0 f(x)e ikx dx, k 2 Z. 8

7 Le théorème de Weierstrass ( 3.2) implique que les fonctions trigonométriques forment un système complet dans L 2 (S). Il s ensuit que {(2 ) 1 e iix,k 2 Z} est une base orthonormée, et l on voit que la série de Fourier 1 2 X c k (f)e ikx k2z de toute fonction f 2 L 2 (S) converge vers f dans L 2 (S). Supposons maintenant que f 2 C 1 (S). Alors en intégrant par parties on montre que c k (f) apple k 1 c k (f 0 ) pour tout k 2 Z. (1.13) On établit maintenant des estimations pour les sommes partielles (S m,n f)(x) = 1 2 nx c k (f)e ikx. k=m En utilisant (1.13), la relation de Parseval et l inégalité de Cauchy Schwarz, on obtient (S m,n f)(x) apple 1 nx k 1 c k (f 0 ) appleckf 0 k L2 (S) 2 k=m (S m,n f)(x) (S m,n f)(x + y) apple 1 nx k 1 c k (f 0 ) e iky 1 2 k=m X n 1/2 apple Ckf 0 k L 2 k 2 e iky 1 2 apple!(y)kf 0 k L 2, k=m où!(y)! 0 quand y! 0. Le résultat suivant est établit dans 3 : Soit {f, 2A} C 1 (S) une famille bornée de fonctions telle que sup kf k 0 C(S) < 1. 2A Alors pour toute suite { n } Ail existe une suite extraite { 0 n} { n } telle que {f 0 n } converge dans C(S). On conclut que pour toutes suites m j! 1et n j! +1, ilexistesdes suites extraites m 0 j et n0 j telles que S m 0 converge vers une limite dans C(S). j,n0 j Par l unicité de la limite dans L 2 (S), il s ensuit que {S m,n } converge vers f dans C(S). 1.4 Théorème de Riesz Soit H un espace de Hilbert et H 0 son espace dual. Il est facile à voir que pour tout u 2 H l application f u : v 7! (v, u) appartient à H 0 et que kf u k H 0 = 9

8 kuk H. Le théorème suivant montre qu il n y a pas d autres éléments dans H 0 et permet d identifier tout espace de Hilbert avec son dual. Ce résultat implique, en particulier, que le dual de tout espace de Hilbert séparable l est aussi. Théorème Pour tout élément f 2 H 0 il existe un unique vecteur u f 2 H tel que f(v) =(u f,v) pour tout v 2 H. (1.14) De plus, l application L : H 0! H qui envoie f à u f est anti-linéaire et vérifie la relation klfk H = kfk H 0 pour tout f 2 H 0. (1.15) Démonstration. Soit H 0 H le sous-espace fermé sur lequel la fonctionnelle f est nulle. Si H 0 est confondue avec H, alors f = 0, et on pose u f = 0. Si H 0 est un sous-espace propre, alors on note u 0 un élément de norme 1 dans le complémentaire orthogonal de H 0. On cherche u f sous la forme u f = cu 0. Si (1.14) a lieu, alors f(u f )=ku f k 2, d où on conclut que c = f(u 0 ). Montrons que (1.14) alieuavecu f = f(u 0 )u 0 et que ku f k H = kfk H 0. En e et, tout vecteur v 2 H est représentable sous la forme v =(u 0,v)u 0 + v 0,où v 0 2 H 0. Alors f(v) =f (u 0,v)u 0 + v 0 = f(u 0 )u 0,b =(u f,v). De plus, on a f(u 0 ) = (u f,u 0 ) = ku f k, f(v) = (u f,v) appleku f kkvk. Ceci achève la démonstration du théorème. Rappelons que l opérateur adjoint d un opérateur borné A : H 1! H 2 est défini par (A f)(u) =f(au) pour f 2 H 0 2, u 2 H 1. Le théorème de Riesz permet de considérer A comme un opérateur de H 2 dans H 1. Plus précisément, on considère l opérateur à = L 1 A L2 1,oùL i désigne l opérateur construit dans le théorème 1.15 pour l espace H i. Alors (à v, u) =(L 1 A f v,u)=a f v (u) =f v (Au) =(v, Au), (1.16) où f v : H 2! C désigne la fonctionnelle associée à v. Dans la suite, on écrit A au lieu de Ã. Remarquons qu on pourrait définir A : H 2! H 1 comme l unique opérateur vérifiant la relation (A v, u) =(v, Au) pour tous v 2 H 2, u 2 H 1. 10

9 1.5 Produit tensoriel des espaces de Hilbert Soient H 1 et H 2 deux espaces de Hilbert. Pour u 1 2 H 1 et u 2 2 H 2, on note u 1 u 2 : H 1 H 2! C la forme bilinéaire définie par (u 1 u 2 )[' 1,' 2 ]=(u 1,' 1 )(u 2,' 2 ). Soit E l espace vectoriel engendré par ces formes. On définie une forme hermitienne sur E par (u 1 u 2,v 1 v 2 )=(u 1,v 1 )(u 2,v 2 ). (1.17) Proposition La forme hermitienne donnée par (1.17) est bien définie, et c est un produit scalaire sur E. Démonstration. On doit montrer que le produit scalaire d éléments, 2E ne dépend pas de la représentation de ces éléments. Pour cela, il su t de vérifier que si = 0, alors pour tout = nx c k v1 k v2 k (1.18) on a (, ) = 0. Comme est une forme bilinéaire zéro, on a (, ) = nx c k (, v1 k v2 k )= nx c k [v1 k,v2 k ]=0. Montrons maintenant que c est produit scalaire sur E. Si alors on peut écrire (, ) = X k,l = mx b l u l 1 u l 2 l=1 bl c k (u l 1 u l 2,v k 1 v k 2 )= X k,l bl c k (u l 1,v k 1 )(u l 2,v k 2 ). Cette formule implique toutes les propriété requises. Définition Le complété de E, notéh 1 H 2, est appelé le produit tensoriel des espaces H 1 et H 2. Proposition Soient {e j } et {f k } des bases orthonormées dans H 1 et H 2 respectivement. Alors {e j f k } est une base orthonormée dans H 1 H 2. Démonstration. Il est claire que {e j f k } est un système orthonormée. Il su t donc de vérifier que c est un système complet. Cette propriété sera établie si on montre que tout élément u v appartient à l espace vectoriel fermé engendré par {e j f k }.Onécrit u = b j e j, v = c k f k. 11 l=1

10 Comme P j,k b j 2 c k 2 < 1, lasérie X c j b k e j f k j,k définit un élément de H 1 H 2. Il est facile à vérifier qu il est égal à u v. Exemples (a) Le produit tensoriel de C m et C n est confondue avec C mn. (b) Soit H 1 = L 2 (R)etH 2 = C n. Alors H 1 H 2 est isométrique à L 2 (R, C n ). (c) Soit H 1 = L 2 (R m )eth 2 = L 2 (R n ). Alors il existe une isométrie naturelle de H 1 H 2 sur L 2 (R m+n ). 12