Les Développements Limités

Transcription

1 Abderezak Ould Houcine, Les Développements Limités Définition. Soit I un intervalle et f : I R une application. Soit x 0 un élément de I ou une extrémité de I (exemple : si I = ]a, b[ alors x 0 peut être dans [a, b] ). Soit n un entier naturel. On dit que f admet un développement limité à l ordre n en x 0, en abrégé DL n (x 0 ), s il existe des réels a 0,, a n et une fonction ε : I R tels que : pour tout x I, = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε(x), avec lim x x 0 ε(x) = 0 Le polynôme P (x) = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n est appellé la partie parincipale ou tout simplement le développement limité à l ordre n en x 0 de f. Exemple. Comme x n+ = ( x)( + x + + x n ), on a x n+ x = ( x)( + x + + xn ) x = + x + + x n d où x = + x + + xn xn+ x = + x + + xn + x n x x Donc la fonction = x admet un DL au point 0 à l ordre n, avec dans ce cas ε(x) = x x. On ne cherche généralement pas à déterminer la fonction ε(x). Propriétés. () (Unicité d un DL). Si f admet un DL n (x 0 ), alors ce développement limité est unique. Autrement dit si : a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε (x) = b 0 + b (x x 0 ) + + b n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε (x), avec lim x x0 ε (x) = 0 et lim x x0 ε (x) = 0, alors a 0 = b 0, a = b,, a n = b n. () (Troncature d un DL). Si f admet un DL à l ordre n en x 0, = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε (x) alors pour tout p n, elle admet un DL à l ordre p en x 0, obtenu par troncature, = a 0 + a (x x 0 ) + + a p (x x 0 ) p + (x x 0 ) p ε (x). (3) Si f admet un DL à l ordre n en x 0, = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε (x) alors lim x x 0 existe et finie et est égale à a 0. C est clair il suffit de calculer la limite. Ce critère sert généralement à démontrer qu une fonction n admet pas de DL.

2 Exemple. La fonction ln(x) n admet pas de DL en 0, car lim ln(x) =. (4) Si f admet un DL à l ordre n en x 0, avec n, = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε (x) alors f est dérivable en x 0, si elle est définie en x 0, (sinon, c est le prolongement par continuité de f en x 0 ), et la dérivée de f en x 0 est a. (5) Le DL à l ordre n en 0 d un polynôme P (x) de degré n est lui même. Attention. En revanche si f admet un DL à l ordre en x 0, f (ou son prolongement) n est pas forcement deux fois dérivable en x 0, contre exemple = x 3 sin( ) au point 0. x Importance des développements limités à l origine Critère. f admet un développement limité à l ordre n en x 0 si et seulement si la fonction g définie par g(h) = f(x 0 + h) admet un développement limité à l ordre n en 0. Plus précésiment, si a 0 +a h+ +a n h n est le DL de g en 0, alors a 0 +a (x x 0 )+ +a n (x x 0 ) n est le DL de f en x 0. En pratique. Si je veux calculer le DL de f à l ordre n en x 0, je calcule le DL de g(h) = f(x 0 +h) à l ordre n en 0, ensuite je remplace dans le DL trouvé h par (x x 0 ). Exemple. Calculons le DL de la fonction = cos x à l ordre 3 au point π. On considère la fonction g(h) = cos( π + h) et on calcule son DL à l ordre 3 au point 0. On sait que cos( π + h) = cos( π ). cos(h) sin( π ). sin(h) = sin(h). On a sin(h) = h + h3 6 + h3 ε (h), au voisinage de 0. Maintenant on remplace h par (x π ) et on trouve le DL de = cos x à l ordre 3 au point π : cos(x) = (x π ) + 6 (x π )3 + (x π )3 ε (x), avec ε (x) = ε (x π ). On a bien sûr lim ε(x) = 0. x π/ Etant donné que le calcul des DL à un point x 0 se ramène au calcul des DL au point 0 on se contentera dans la suite à considérer seulement les DL à l origine 0. Opérations sur les Développements limités Somme des DL. Si f admet un DL n (0), = a 0 + a x + + a n x n + x n ε (x), g(x) = b 0 + b x + + b n x n + x n ε (x), alors f + g admet un DL n (0), qui est donné par la somme des deux DL : (f + g)(x) = + g(x) = (a 0 + b 0 ) + (a + b )x + + (a n + b n )x n + x n ε(x)

3 Produit des DL. Si f admet un DL n (0), = a 0 + a x + + a n x n + x n ε (x), g(x) = b 0 + b x + + b n x n + x n ε (x), alors f.g admet un DL n (0), obtenu en ne conservant que les monômes de degré n dans le produit (a 0 + a x + + a n x n )(b 0 + b x + + b n x n ). Exemple. Calculons le DL de la fonction = cos x. sin x à l ordre 5 au point 0. On a : On calcule le produit 6 + x5 0 + x5 ε (x), cos x = x + x4 4 + x5 ε (x). (x x3 6 + x5 x )( 0 + x4 4 ), en ne gardant que les monômes de degré 5, (x x3 6 + x5 x )( 0 Donc on a + x4 4 ) = x x. x + x. x4 4 x3 6 + x3 6. x + + x5 0 + = cos x. sin x = x ( 3 )x3 + ( )x5 + x 5 ε(x). Quotient des DL. Si f admet un DL n (0), = a 0 + a x + + a n x n + x n ε (x), g(x) = b 0 + b x + + b n x n +x n ε (x), avec lim g(x) 0, (autrement dit b 0 0), alors f g admet un DL n(0), obtenu par la devision selon les puissances croissantes à l ordre n du polynôme a 0 + a x + + a n x n par le polynôme b 0 + b x + + b n x n. Exemple. Calculons le DL de la fonction = sin x/ cos x à l ordre 3 au point 0. Comme lim cos x 0, on peut appliquer le critère précédent. On a 6 + x3 ε (x), cos x = x + x3 ε (x). Appliquons la division selon les puissances croissantes : x 6 x3 x x x3 Par conséquent, sin x cos x = x + 3 x3 + x 3 ε(x). x 3 3 x + 3 x3 Attention. Le critère précédent dit tout simplement que si lim g(x) 0, alors f g il ne nous dit pas si lim g(x) = 0, alors f g admet un DL n(0). Exemple. La fonction sin x x admet un DLn(0) et n admet pas un DLn(0)!! Il se peut que lim g(x) = 0, avec f g admet un DL d ordre 3 en 0, alors que lim x = 0. 3

4 Traitement du cas lim g(x) = 0. (). lim 0. Dans ce cas, f/g n admet pas de DL n (0), car lim g(x) = ±. (). lim = 0. Dans ce cas le DL de f est de la forme et celui de g de la forme = a p x p + + a n x n + x n ε (x), g(x) = b q x q + + b n x n + x n ε (x), avec a p 0 et b q 0. On traite le quotient f/g selon les valeurs de p et q. p < q. Alors f g = a px p + + a n x n + x n ε (x) b q x q + + b n x n + x n ε (x) = = a p + + a n x n p + x n p ε (x) b q x q p + + b n x n p + x n p ε (x). Comme q p > 0, et a p 0, on a lim = ± et par conséquent f/g n admet pas de g(x) DL n (0). p q. Alors f g = a px p + + a n x n + x n ε (x) b q x q + + b n x n + x n ε (x) = = a px p q + + a n x n q + x n q ε (x) b q + + b n x n q + x n q. ε (x) Dans ce cas on est raméné au cas où lim g(x) 0. Donc pour calculer le DL de f/g à l ordre n au point 0, on calcule le DL de f est g à l ordre n + q, et ensuite on utilise la méthode de la division selon les puissances croissantes. Example. Calculons le DL de de sin x. On a ln( + x) sin x à l ordre 3 en 0. Il faut déterminer q tel que b q 0 dans le DL 3! + x5 5! + x5 ε(x). Par conséquent le premier coefficient non-nul est b. Donc q =. On doit calculer le DL de ln( + x) et sin x à l ordre 3 + q = 4. On a Donc 3! + x4 ε (x), ln( + x) = x x + x3 3 x4 4 + x4 ε (x). ln( + x) sin x = x + x x x3 ε (x) x + x 3! 3 ε (x) Par conséquent on a un DL d ordre 3 en haut et en bas et avec lim x x 0 g (x) 0, où g (x) = x 3! + x 3 ε (x). Donc on peut appliquer le critère précédent et faire la division selon les puissances croissantes.. Composition des DL. Si f admet un DL n (g(0)), = a 0 + a (x g(0)) + + a n (x g(0)) n + (x g(0)) n ε (x), g(x) = b 0 + b x + + b n x n + x n ε (x), alors la fonction composé f g(x) = f(g(x)) admet un DL n (0), obtenu en remplaçant le DL de g dans celui de f et en ne gardant que les monômes de degré n. 4

5 En pratique. DL de la forme Si je veux calculer le DL de f(g(x)) en 0, je calcule le DL de f en g(0) et je trouve un = a 0 + a (x g(0)) + + a n(x g(0)) n + (x g(0)) n ε (x). Ensuite je remplace le DL de g dans celui de f et je ne garde que les monômes de de degré n. (Dans les calculs le terme g(0) disparaît). Exemple. Calculer le DL de e cos x à l ordre 3 en 0. Comme cos 0 =, on calcule le DL de e x en. Pour cela, d après ce qui précède, on calcule le DL de la fonction e +h en 0. On a e +h = e.e h = e( + h + h + h3 3! + h3 ε (h)). Pour trouver le DL de e x en, on remplace h par x e x = e(x + (x ) + (x )3 3! + (x ) 3 ε (x )). Ensuite on remplace le DL de cos x = x + x3 ε (x), dans le précédent, en ne gardant que les monômes de degré 3 e cos x = e(( x ) + ( x ) + ( x )3 + ( x 3! )3 ε ( x )) = e e x + x 3 ε 3(x). Attention. Le critère précédent dit tout simplement que si f admet un DL n(g(x 0)) et g admet un DL n(x 0), alors la fonction composé f g(x) = f(g(x)) admet un DL n(x 0) et il ne nous dit rien dans le cas où f et g n admettent pas de DL. Il se peut que f admet un DL et g n admet pas de DL, alors que f g admet un DL. Exemple. La fonction = cos( x) admet un DL (0) alors que la fonction x x n admet pas de DL en 0 à l ordre car x x n est pas dérivable en 0 donc elle n admet pas de DL d ordre. Primitivation des DL. Si f : I R admet un DL n (0) et F est une primitive de f sur I (autrement dit F est dérivable sur I et F (x) = pour tout x I), alors F admet un DL n+ (0), obtenu en intégrant le DL de f. alors Plus précisement, si = a 0 + a x + + a n x n + x n ε (x), F (x) = F (0) + a 0 x + a x + + a n n + xn+ + x n+ ε(x). Attention. Ne pas oublier le terme F (0)! Exemple. Calculons le DL de arctan(x) à l ordre 5 en 0. On a En intégrant on obtient arctan (x) = + x, + x = x + x 4 + x 4 ε (x). arctan(x) arctan(0) = x 3 x3 + 5 x5 + x 5 ε (x). Dérivation des DL. Si f : I R admet un DL n+ (0) et f est de classe C n+, alors f admet un DL n (0), obtenu en dérivant le DL de f. 5

6 Exemple. Calculons le DL d ordre 3 en 0 de On sait que Comme x. x = + x + x + x 3 + x 4 + x 4 ε (x). x est de classe C4, alors on applique le critère précédent et par dérivation on a x = + x + 3x + 4x 3 + x 3 ε (x). Application des Développements limités Calculer des limites. Généralement sont des limites de forme indéterminée. Il est toujours possible, avec un changement de variable, de se ramener à une limite quand x tends vers 0. Exemples. () Calculer lim (x π ). tan(x). x π On voit que cette limite est de la forme indéterminée 0.. On pose X = x π, pour se ramener à une limite quand X tends vers 0. Alors on a On connait le DL de tan(x) en 0 en remplçant on a (x π ). tan(x) = X tan(x + π ) = X sin(x + π ) cos(x + π ) = X tan(x). tan(x) = X + X3 3 + X3 ε(x), lim (x π ). tan(x) = lim x π X X 0 tan(x) = lim X 0 () Calculer lim x + x (e x e +x ). On pose X =. Alors on a x + ssi X 0. x On a x (e x e +x ) = X (ex e X +X ). + X + 3 X ε(x) =. Il suffit de calculer le DL de (e X e X X +X ) à un certian ordre en 0. Comme figure on devine qu on X doit calculer un DL de (e X e +X X ) au moins à l ordre. Calculons le DL à l ordre. Le seul problème se pose pour la fonction e +X X. Comme c est une fonction composé on va utiliser la composition des DL. On a X + X = X X + X ε (X) En remplçant et après calcul on a e Y = + Y + Y + Y ε (Y ) e X +X = + X X + X ε 3(X). Donc (e X e X X +X ) = [ + X + X ( + X X X ) + X ε 4(X)] = + ε 4(X), par conséquent lim x + x (e x e +x ) =. 6

7 Position de la courbe par rapport à une tangente. On suppose que f admet un DL n (x 0 ), = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε (x), avec n. Cela implique que f (où son plongement si f n est pas définie en x 0 ), est continue et dérivable en x 0, avec f(x 0 ) = a 0 et f (x 0 ) = a. Donc l équation de la tangente est y = a 0 + a (x x 0 ). Par conséquent le signe de (a 0 + a (x x 0 )) se déduit, au voisinage de x 0, du signe de a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε (x). Soit m le plus petit entier tel que a m 0. Alors on a si m est pair alors le signe de (a 0 + a (x x 0 )) est localement de même signe que a m et on a () si a m > 0 alors (a 0 + a (x x 0)) 0 localement et donc la courbe est localement "au-dessus" de sa tangente. () si a m < 0 alors (a 0 + a (x x 0)) 0 localement et donc la courbe est localement "en-dessous" de sa tangente. si m est impair alors la courbe traverse la tangenet en (x 0, f(x 0 )), c est une tangenet d inflexion. Position de la courbe par rapport à une asymptote. On suppose que f admet une asymptote d équation y = a 0 x + a. Pour trouver a 0 et a on sait qu on doit calculer les limites : lim qui doit être égale à a 0 et lim x + x a 0x qui x + doit être égale à a. Pour trouver a 0 et a en utilisant la méthode des DL on calcule le DL à l ordre en 0 de la fonction Xf( X ) ( autrement dit en fait le changement de variable X = x ). Si Xf( X ) = a 0 + a X + Xε(X) en 0, en remplçant on a x = a 0 + a x + x ε( x ), au voisinage de +. On voit que lim x + x = a 0 et lim a 0x = a. x + Pour connaitre la position de la courbe par rapport à l asymptote, on doit calculer un DL d ordre supérieur de Xf( X ) en 0. Si en 0, en remplçant on a Xf( X ) = a 0 + a X + + a n X n + X n ε(x), a 0 x + a = a x + + a n x n + x n ε( x ). Soit m le plus petit entier tel que a m 0. Alors si a m > 0 alors (a 0 x + a ) 0 donc la courbe est "au-dessus" de l asymptote au voisinage de +. si a m < 0 alors (a 0 x + a ) 0, donc la courbe est "en-dessous" de l asymptote au voisinage de +. 7