Master MASS 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 4

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Cyprien Étienne Fortier
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1 Master MASS Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 4 Corrigé Dans ces exercices, W désignera toujours un processus de Wiener brownien standard. Soient s et t deux réels positifs. Montrer que la covariance de W s et W t est le plus petit des deux nombres s et t. On suppose s < t et on écrit W t W t W s + W s. On a alors : covw s, W t E W s W t E Ws W t W s + E Ws 2 puisque toutes les variables concernées sont centrées. Les accroissements W t W s et W s W 0 W s sont indépendants donc l espérance du produit est le produit des espérances. Ces dernières sont nulles, à nouveau en raison du caractère centré des variables. La variance de W s étant égale à s, on trouve finalement 2 covw s, W t s s t. 2. Vérifier que la variance de W 2 s est égale à 2s 2. On a 3 varw 2 s EW 4 s EW 2 s 2 EW 4 s s 2 puisque EW 2 s varw s s. Il reste à calculer EW 4 s. Pour une variable aléatoire quelconque X à densité f X on a 4 EhX hxf X x dx. pour h fonction mesurable. Ainsi, avec hx x 4 et X W s 5 EWs 4 x 4 e x2 /2s dx. 2πs Par une intégration par parties 6 EWs 4 [sx ] 3 + e x2 /2s + 3s x 2 e x2 /2s dx. 2πs L intégrale du second membre est égale à s, la variance de W s. Le terme tout intégré est nul croissance comparée à l infini de l exponentielle et d un polynôme. On trouve donc 7 EW 4 s 3s 2 et par conséquent 8 varw 2 s 3s 2 s 2 2s michel miniconi version du 22 mars 2008

2 3. On considère le processus Z défini par Z t ty, où Y suit une loi normale standard. Déterminer les lois marginales de Z. Le processus Z est-il un processus de Wiener? Comme Y est N 0; normale d espérance 0 et de variance la variable Z t est normale centrée de variance t 2 t. Le processus Z a donc les mêmes marginales qu un processus de Wiener. Cependant Z n est pas un processus de Wiener, comme on peut le voir en calculant les covariances 9 cov Z s, Z t cov sy, ty st s t. On aurait aussi pu remarquer que le processus Z n est ni stationnaire ni à accroissements indépendants. 4. Déterminer l espérance et la variance d une variable aléatoire X > 0 dont le logarithme suit une loi normale de paramètres µ et σ 2. La densité de Y log X est 0 f Y y σ 2π exp y µ2 2σ 2. En utilisant l égalité 4 on a donc EX E e Y On écrit ensuite e y. σ 2π exp y µ2 2σ 2 dy σ 2π exp y µ2 2σ 2 + y dy. y µ2 2 2σ 2 + y y µ + σ 2 2σ 2 2 µ + σ µ 2 soit y µ2 3 2σ 2 + y y µ + σ 2 2σ 2 2 2σ 2 µ + σ 2 /2 y µ + σ 2 2σ µ + σ 2 /2. Par conséquent 4 EX e µ+σ2 /2 L intégrand est une densité : son intégrale vaut, donc 5 EX e µ+σ2 /2. y µ + σ 2 σ 2π exp 2 2σ 2 dy. On calcule maintenant la variance. On a varx EX 2 EX 2 et il reste à calculer le terme EX 2. On a 6 EX 2 E e 2Y σ 2π exp y µ2 2σ 2 + 2y dy. On écrit, de façon analogue aux équations 2 et 3, y µ2 7 2σ 2 + 2y y µ + 2σ 2 2σ µ + σ 2. 2

3 On en déduit, comme en 4 et 5, 8 EX 2 e 2µ+σ2 et par conséquent varx e 2µ+σ2 /2 e σ2. 5. Soit un actif S dont la dynamique stochastique est ds t 0,2 S t dt + 0,4 S t dw t avec S 0 00 C et où les coefficients 0,2 et 0, 4 représentent respectivement le rendement moyen annuel et la volatilité sur un an de l actif S. Calculer la probabilité pour que le prix de l actif soit au moins égal à 60 C au bout d un an. appelons comment on obtient la solution de l équation différentielle stochastique EDS 9 ds t µs t dt + σs t dw t, S 0 > 0 donné. On détermine d abord à l aide de la formule d Itô l EDS que vérifie X log S. Pour cela on considère la fonction ft, s log s : on a 20 t 0, s /s et 2 f s 2 /s2 donc 2 dx t 0 + µs t + S t 2 σ2 St 2 St 2 dt + σs t dw t µ σ 2 /2 dt + σdw t. S t Ainsi X log S est un brownien généralisé 22 X t log S 0 + µ σ 2 /2 t + σw t et la variable X t suit la loi normale N log S 0 + µ σ 2 /2t ; σ 2 t la variable S t e Xt est log-normale. On peut maintenant répondre à la question. On se place à t année. La variable Z X log 00 0,2 0,08 /0,4 est normale centrée réduite. On a alors 23 PS 60 PX log 60 P Z log,6 0,2 0,08 PZ 0, ,4 À l aide d une table de loi normale et d une interpolation linéaire on trouve finalement 24 PS 60 0,8092 0,9. 3

4 6. Soit une action dont le prix S possède une dynamique de brownien géométrique. Le prix spot est S 0 50 C, le rendement espéré annuel µ est de 6% et la volatilité de ce rendement σ de 30%. En utilisant la distribution de la variable aléatoire Y T ln S T, donner un intervalle de confiance à 90% pour S T lorsque T 2 ans. Cet exercice est analogue à l exercice précédent, on en reprend les notations. On a µ 0,6, σ 0,30, S 0 50 et on se place à t 2. Il faut comprendre l intervalle de confiance comme l intervalle qui laisse 5% de valeurs extrêmes de part et d autre de la distribution de S. On cherche donc a et b réels positifs tels que 25 PX 2 < log a PS 2 < a 0,05 et PX 2 > log b PS 2 > b 0,05. La variable X 2 log S 2 est normale, son espérance est log ,6 0,09/2 4,420 et son écart-type 0,30 2 0,4243. Par ailleurs, la table de la loi normale standard nous donne, pour une variable Z normale centrée réduite, les valeurs α,645 et β,645 vérifiant PZ < α PZ > β 0,05. On en déduit 26 log a 0,4243, ,420 3,44 et log b 0,4243, ,420 4,84. On en déduit l intervalle cherché pour S 2 27 [a, b] [3,3, 26,47]. D après la formule 5 voir exercice 4, l espérance de S 2 est 28 ES 2 exp4,42 + 0,50, , On désigne par S t la valeur à la date t d un dollar en euros le cours du dollar, avec S 0 > 0. On suppose que la dynamique de ce cours est celle d un brownien géométrique de rendement annuel µ et de volatilité σ. a. Déterminer l EDS satisfaite par le cours Z /S de l euro en dollars. b. Déduire de l équation satisfaite par U log S celle satisfaite par V log Z. c. etrouver l équation satisfaite par Z en calculant la différentielle d Itô de e V. a. On a 29 ds t µs t dt + σs t dw t et, en choisissant le changement de variable Z fs avec fs /s, on a 30 t 0, s /s2 et 2 f s 2 2/s3. La formule d Itô donne alors 3 dz t µs t /St σ2 St 2 2/St 3 dt + σs t /St 2 dw t µ σ 2 Z t dt σz t dw t qui est aussi la dynamique d un brownien géométrique. 4

5 b. On sait que U log S vérifie 32 du t µ σ 2 /2 dt + σdw t. Par conséquent V U vérifie 33 dv t µ σ 2 /2 dt σdw t. c. En posant Z gv avec gv e v on trouve 34 g t 0, g v ev 2 g v 2 d où l EDS vérifiée par Z : 35 dz t µ σ 2 /2 e Vt + 2 σ2 e Vt dt σe Vt dw t µ σ 2 Z t dt σz t dw t où l on retrouve bien l EDS de la formule 3. 5

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