Étude de solides Sections Agrandissements réductions

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1 3g4 C Étude de solides Sections Agrandissements réductions 1 Section d'un parallélépipède rectangle par un plan Lorsqu'on coupe un solide par un plan, la surface plane obtenue s'appelle la section du solide par ce plan La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle identique à cette face. Le plan de section est parallèle à la face DCGH Le plan de section est parallèle à la face BCGF La section est le rectangle IJKL La section est le rectangle RSTU La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un rectangle dont l'un des côtés a la même longueur que l'arête. Le plan de section est parallèle à l'arête [BC] Le plan de section est parallèle à l'arête [CG] La section est le rectangle IJKL La section est le rectangle RSTU

2 2 Section d'un cylindre de révolution par un plan La section d un cylindre par un plan parallèle à une base est un disque identique à cette base. La section d un cylindre par un plan parallèle à l axe est un rectangle dont une dimension est la hauteur du cylindre. Le plan de section est parallèle à la base Le plan de section est parallèle à l'axe La section est le disque de centre O'' La section est le rectangle QRTS 3 La sphère et la boule 3.1 Définition Une sphère de centre O et de rayon r est constituée de tous les points de l espace situés à une distance égale à r du centre O. Une boule de centre O et de rayon r est constituée de tous les points de l espace situés à une distance inférieure ou égale à r du centre O. Grands cercles [OA], [OB], [OM] sont des rayons A et B sont diamétralement opposés [AB], [MN] et [RS] sont des diamètres O est le centre de la sphère

3 3.2 Aire et volume 3.3 Section d'une boule ou d'une sphère par un plan La section d'une sphère par un plan est un cercle. L aire latérale d une sphère de rayon r est donnée par la formule : A L = 4 r 2 Le volume d une boule de rayon r est donné par la formule : V = 4π r3 3 La section d'une boule par un plan est un disque. Cas particuliers Si la distance du point O au plan est égale au rayon, l intersection du plan et de la sphère est un point. On dit que le plan est tangent à la sphère. Si la distance du point O au plan est nulle, la section est un grand cercle

4 4 Section d'une pyramide ou d'un cône 4.1 Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. Ses côtés sont parallèles et proportionnels à ceux de la base. La section est le quadrilatère KLMN La section est le triangle KLM Le plan de section est parallèle à la base donc le théorème de Thalès permet d'écrire : SK SA = SL SB = KL AB 4.2 Section d'un cône par un plan parallèle à la base La section d'un cône par un plan parallèle à la base est un cercle (ou un disque) réduction de la base. Son centre appartient à la hauteur du cône. La section est le cercle de centre O' et de rayon O'B' Le plan de section est parallèle à la base donc le théorème de Thalès permet d'écrire : SO' SO = SB' SB = O 'B' OB

5 5 Agrandissement et réduction 5.1 Définition Quand on multiplie toutes les dimensions d une figure par le même nombre k, on obtient un agrandissement si k > 1 et une réduction si 0 < k < Propriétés Propriété 1 Quand on multiplie les dimensions d'une figure par un nombre k, son aire est multipliée par k 2. Exemple On réduit cette figure en multipliant ses dimensions par 0,4. L'aire de ce polygone est 7 cm 2 L'aire est également réduite, elle est multipliée par 0,4 2 L'aire de ce polygone est 1,12 cm 2 (7 0,4 2 = 1,12) Propriété 2 Quand on multiplie les dimensions d'un solide par un nombre k, son volume est multiplié par k 3. Exemple Ballon junior Ballon senior On agrandit ce solide en multipliant ses dimensions par 1,2. Le volume de ce solide est environ 2080 cm 3 Le volume est également agrandi, il est multiplié par 1,2 3 Le volume de ce solide est environ 3595 cm 3

6 5.3 Application aux sections de pyramides et de cônes La pyramide SKLMN est une réduction de la pyramide SABCD, le rapport de réduction est : k = SK SA = SL SB = KL AB = De même la pyramide SABCD est un agrandissement de la pyramide SKLMN, le rapport d'agrandissement est : k' = SA SK = SB SL = AB KL =... Le volume de la pyramide réduite SKLMN est : V SKLMN = k 3 V SABCD La section est le quadrilatère KLMN L'aire de la section réduite est : A KLMN = k 2 A ABCD Le cône de sommet S et de hauteur SO' est une réduction du cône de sommet S et de hauteur SO, le rapport de réduction est : k = SO' SO = SB' SB = De même le cône de sommet S et de hauteur SO est un agrandissement du cône de sommet S et de hauteur SO', le rapport de réduction est : k' = SO SO' = SB SB' =... Le volume du cône réduit est : V cône réduit = k 3 V cône L'aire de base du cône réduit est : A base cône réduit = k 2 A base cône