UNIVERSITÉ DE CERGY. LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION. Première année - Semestre 1. MATHÉMATIQUES - MATH 101 Pratique des Fonctions Numériques

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1 Année UNIVERSITÉ DE CERGY LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre 1 MATHÉMATIQUES - MATH 101 Pratique des Fonctions Numériques Enseignant responsable : J. Stéphan CM/TD de C. Andrianasitera, S. Badji, Ch. Grzanka, Th. Homshaw, Th. Langlet L. Loubière, H. Moutima-Backenga, J.-P. Passy, H. Rajoharison et J. Stéphan Livret d exercices I Les exercices signalés par un (*), pour lesquels des éléments de réponse sont donnés, ne seront pas corrigés en T.D.

2 Exercice I 1. Justifier que R ú n est pas un intervalle de R. 2. Définir l intervalle fermé centré en et de rayon 7.. Définir l intervalle ouvert centré en 2 et de diamètre 6 4. L union de deux intervalles est-elle un intervalle? 1. Calculez les sommes suivantes : i=5 Exercice II ÿ ÿ S 1 = ( i +1) S 2 = (2i 2 5i +) S = i=0 i=5 i=1 2. On considère le tableau de résultats suivant : Âges x i Total E ectif n i N= i= ÿ i=0 2i 1 5i + Calculez la moyenne x de ces âges. Exercice III Déterminez les ensembles de définition des fonctions suivantes : 1. f 1 : f 1 (x) = 2x + x 1 x +1 x + 2. f 2 : f 2 (x) =. f : f (x) = Ô x 2 2x + 4. f 4 : f 4 (x) = x ( + x)(x 2 6) Û 2x + x +1 Étudier la parité des fonctions suivantes : Exercice IV 1. f 1 : f 1 (x) = Ô 2x f 2 : f 2 (x) =x +7. f : f (x) = x x 4. f 4 : f 4 (x) = x x f 5 : f 5 (x) = +x x 1 6. f 6 : f 6 (x) = x 5 Exercice V 1. Montrez que le produit d une fonction paire et d une fonction impaire (définies sur R) est une fonction impaire. Que peut-on dire sur le produit de deux fonctions paires (respectivement impaires) définies sur R? 2. Montrez que la somme de deux fonctions paires (définies sur R) est une fonction paire. Que peut-on dire de la somme de deux fonctions impaires?

3 Exercice VI On considère les fonctions f et g définies par f(x) =x 2 2x et g(x) = Déterminer x l expression de h(x) =(f g)(x) et l(x) =(g f)(x). Vous préciserez les ensembles de définition de ces fonctions. Exercice VII (*) Complétez le tableau suivant en donnant l expression des fonctions a les images de deux réels : nes définies par x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) f(x) = , , , 5 5 0, , , 242 Réponses dans le désordre! : f(x) = 2x +12; f(x) =0, 07x 0, 2 ; f(x) =100000x ; f(x) = 2 5 x + 1 ; f(x) =0, 005x +0, 0895 ; f(x) = x +7; f(x) =2x +2; 5 f(x) = 2000x Exercice VIII Déterminez les fonctions a nes f i suivantes : 1. f 1 vérifie f 1 (5) = 1 et le coe cient directeur de D f1 est f 2 a pour représentation graphique la droite d équation cartésienne : 1 6 x 2 y +0, 5=0

4 Exercice IX Extrait du Test 1 - Octobre 2011 Une personne qui fait régulièrement le trajet entre deux villes, se voit proposer deux types de formules par la S.N.C.F. La première formule consiste à acheter des billets allers-retours à l unité : le prix d un billet aller-retour est de 80 euros. La seconde formule est d acheter d abord une carte annuelle (au prix de 00 euros) qui permet ensuite d obtenir ses billets avec une réduction de 50%. Soit n le nombre d allers-retours que cette personne fait dans l année. 1. Exprimer le montant total, noté f(n) que cette personne devra débourser en fonction de n si elle utilise la première formule. De même exprimer le montant total, noté g(n) que la personne devra débourser si elle utilise la seconde formule. 2. Représenter les courbes de f et g dans un même repère. On prendra 1 cm pour 1 trajet Aller-retour en abscisse et 1 cm pour 100 euros en ordonnée.. Déterminer graphiquement, en fonction de n, quelle formule est la plus avantageuse. 4. Retrouver ce résultat par un calcul. Exercice X (*) Résoudre les inéquations suivantes, en utilisant si besoin un tableau de signes : (I 1 ) : 5 Æ 2x +6< 8 (I 2 ): 5 x 5 Æ 2 (I ) : (I 4 ) : 2x 5x Æ 0 (I 5) : x 2 Æ x (I 6 ) : (I 7 ) : (x )(1 2x) < (x ) 2 (I 8 ) : 6 Réponses : S 1 = 1 : 1 6 6, S 2 = 2 S 4 =] Œ;0]fi Œ; 9 25 x x +5 Ø 1 (I 9) : 6 ; S =] Œ; 16[ ; 6 5 ;+Œ 5 ; S 5 =[0;1]; S 6 =] Œ; 1[fi]0; 1[ ; S 7 = S 8 =] 5; 1] ; S 9 =[ ; 0[fi]; 6]. x 5 1 x >x 2x + x > x +2 2 Æ 9 x 6 6 Œ; 4 5 fi]; +Œ[ ; Résoudre les systèmes suivants : I x Æ ( 1 ) : ( x Ø 5 2 ) : 1 ou 1 4x <7 Réponses : S 1 =[ 5; ] ; S 2 =]0; 5] ; S = I x > 0 2 Æ x Æ ;+Œ 5. ( ) : 5x 2 Ø

5 Exercice XI Résoudre les équations et inéquations suivantes (dans R) (E 1 ) : x 2 +5x +2=0 (E 2 ) x 2 x +2> 0 (E ) : x 2 + x = 1 (E 4 ) : 2x +5x 2 12x =0 (E 5 ) : x 1 = 1 x (E 6 ) : x 2 2x 5 =0 (I 1 ) : x 4 x 2 4 > 0 (I 2 ) : x 2 + x 1 5 x 2 Æ 0 Exercice XII Extrait du Test 1 - Octobre 2012 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x 2 x Tracez la parabole P f dans un repère orthonormé d unité 1 cm : vous préciserez sur votre copie les coordonnées du sommet, l équation de l axe de symétrie, les points d intersection de P f avec les axes du repère. 2. Tracer la courbe P g de la fonction g définie par g(x) =x 2. Résoudre graphiquement l équation (E) : f(x) =g(x) puis l inéquation (I) : f(x) <g(x) (rédiger vos réponses en donnant une explication de votre lecture graphique!) 4. Résoudre algébriquement l équation (E) puis l inéquation (I). Exercice XIII Représenter graphiquement les fonctions suivantes : 1. f 1 : f 1 (x) = - - -x 2 x f2 : f 2 (x) =x 2 +2x + x 1 Exercice XIV Programmation linéaire Un artisan fabrique des chaises de deux types A ou B : Une chaise A nécessite 0 minutes de travail et kg de bois. Une chaise B nécessite 1 heure de travail et 2 kg de bois. De plus l artisan dispose quotidiennement de 24 kg de bois, il travaille au plus 8 heures par jour et il limite sa production de chaises A à 7 unités par jour. Soient x et y les nombres respectifs de chaises A et B fabriquées par jour. (x et y sont des entiers naturels) 1. Traduire les contraintes de l énoncé sous forme d un système d inéquations. 2. La vente d une chaise A rapporte un bénéfice de 12 euros, et la vente d une chaise B un bénéfice de 18 euros. On suppose que toute chaise fabriquée est vendue. Exprimer en fonction de x et y le bénéfice réalisé par l artisan.. Déterminez graphiquement le bénéfice maximal réalisé par l artisan. à quelle production ce bénéfice maximal correspond il?

6 Exercice XV Partie A : Etude d une fonction coût Une entreprise produit chaque jour x tonnes d un certain produit avec 0 Æ x Æ 12. Le coût total de fabrication, exprimé en milliers d euros, est donné en fonction de la quantité x, par : C(x) =4x Tracer la courbe de cette fonction : vous prendrez 1 cm pour une tonne en abscisse et 1 cm pour 50 milliers d euros en ordonnée. 2. Étudier les variations de la fonction C. Partie B : Etude du bénéfice L entreprise vend euros la tonne de ce produit. 1. On note R(x) la recette en milliers d euros réalisée par l entreprise lorsqu elle vend x tonnes de ce produit. Exprimer R(x) en fonction de x. 2. Tracer sur le même graphique la courbe de la fonction R.. Soit B(x) le bénéfice réalisé par l entreprise pour x tonnes produites et vendues. Exprimez B(x) en fonction de x. 4. Par lecture graphique, déterminer pour quelles quantités (en tonnes) l entreprise est bénéficiaire. 5. Donner le tableau des variations de la fonction B. 6. Pour quelle production l entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal? Quel est alors ce bénéfice? Exercice XVI E ectuer la division euclidienne de A(x) par B(x) dans les cas suivants : 1. A(x) =x 2 5x +9et B(x) =x 1 2. A(x) =4x 2x 2 + x 4 et B(x) =2x 2 + x. A(x) =x 2x 2 11x +12et B(x) =x 2 +2x. En déduire la factorisation de A(x). Résoudre A(x) > 0. Exercice XVII Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, définies et dérivables sur I : f 1 (x) =x 2 + x +1sur I = R f 2 (x) = 1 x x 2 +7, 5x 5 sur I = R f (x) = x2 + x 7 sur I = R f 4(x) = x x + x +2sur I = Rú + f 5 (x) =(2x +)(5x 7) sur I = R f 6 (x) =(x 1) Ô x sur I =]0; +Œ[ f 7 (x) = 2x x +6 sur I =] 6; +Œ[ f 8(x) = x2 +x x 1 f 9 (x) = Ô x 5 sur I = ;+Œ sur I =]1; +Œ[ f 10 (x) =(x 2 7x +5) 2 sur I = R

7 Exercice XVIII Résoudre les équations suivantes (ne pas oublier de déterminer leur ensemble de validité) : (E 1 ) : ln(x 2 + 1) = ln 2 + ln(8 x) (E 2 ) : ln(x 2 1) + 2 ln 2 = ln(4x 1) Exercice XIX 1. Résoudre l équation (E) ; x 2 + x 6=0 2. En déduire la résolution de (E 1 ) : e 2x + e x 6=0puis (E 2 ) : (ln x) 2 + ln x 6=0. Résoudre l inéquation (I) : e 2x + e x 6 < 0 Exercice XX 4 x +1 Soit f la fonction définie par f(x) = ln x 1 1. Déterminer l ensemble de définition de f. 2. Étudier la parité de f.. Soit u définie sur par u(x) = x +1. Calculer la dérivée de u sur ]1; +Œ[. En déduire x 1 la dérivée de f sur ]1; +Œ[. 4. Donner le tableau des variations de f sur ]1; +Œ[ puis sur D f Exercice XXI M. X fait un placement de 5000 euros sur un compte rémunéré au taux annuel de, 5% à intérêts composés. On note C n le capital (exprimé en euros) acquis au bout de n années. Déterminer l expression de C n en fonction de n. Soit f la fonction définie sur [0; 25] par f(x) =5000 1, 05 x. Étudier les variations de f. Déterminer par un calcul au bout de combien de temps (au mois près) M. X aura doublé son capital.

8 Exercice XXII (*) Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, définies et dérivables sur I : f 1 (x) = 4x +7x 2 2x +8sur I = R f 2 (x) =x 4 x +2x 2 7x +1sur I = R f (x) = x x 7 1 sur I = R f 4(x) = x + x sur I = Rú + f 5 (x) =x 2 (x 7x) sur I = R f 6 (x) =(2x +)(5x 7) sur I = R f 7 (x) =(x 1) Ô x sur I =]0; +Œ[ f 9 (x) = f 11 (x) = f 1 (x) = f 8 (x) =(2x 1) Ô x +1sur I =] 1; +Œ[ 6 5 2x + x +1 sur I =] 1; +Œ[ f x (x) = 7 2x sur I = 2 ;+Œ x 2 +7 sur I = R f 12(x) = x x 7 sur I = 2 ;+Œ 2x x +5 sur I = ;+Œ 5 f 14 (x) = Ô x x 2 +1 sur I = R f 15 (x) =(5x 6) 2 sur I = R f 16 (x) =( x 2 +5x +4) 2 sur I = R Solutions de l exercice XXII : f Õ 1(x) = 12x 2 +14x 2 f Õ 2(x) =12x x 2 +4x 7 f Õ (x) = 6x f Õ 4(x) = 1 x 2 f Õ 5(x) =2x(x 7x)+x 2 (9x 2 7) = 15x 4 21x 2 f Õ 6(x) =2(5x 7) + 5(2x +)=20x +1 f Õ 7(x) = Ô x + x 1 2 Ô x f Õ 8(x) =2 Ô x +1+ 2x 1 2 Ô x +1 f Õ 9(x) = f Õ 11(x) = f Õ 1(x) = (x +1) 2 f Õ 10(x) = 1 (7 2x) 2 0x f (x 2 +7) 12(x) Õ = 6x2 42x +2 2 (2x 7) 2 10 f (2x +5) 14(x) Õ = x Ô x(x 2 +1) 2 f Õ 15(x) =10(5x 6) f Õ 16(x) =2( 2x +5)( x 2 +5x +4)

9 Q.C.M. extrait du Test 1 d Octobre 2012 Barème : 1pointparréponsejuste,mais 0, 5 par réponse fausse. L absence de réponse est notée 0. Encasdetotal négatif, la note finale est ramenée à 0/10. Question 1 La fonction f définie par f(x) =2x 4 A. est impaire B. est paire C. n est ni paire ni impaire Question 2 L intervalle fermé I centré en et de rayon 5 est : A. I = # 8; 2 $ B. I = # ; 5 $ C. I = # ; 2 $ D. I = # 2; 8 $ Question La fonction f définie par f(x) = 2x 1 Ô x +5 a pour ensemble de définition : A. D f = $ Œ, 5 # B. D f = $ 5, +Œ # C. D f = Rr{ 5} ; 1 D. D f = Rr 2< Question 4 4ÿ La somme i 2 2i +1est égale à : i=0 A. 1 B. 14 C. 15 D. 16 Question 5 On considère le tableau suivant : Valeurs x i E ectif n i Calculez la moyenne x de ces valeurs : A. 6, 7 B. 6, 9 C. 7, 1 D. 7, Question 6 On considère la fonction a ne f définie par : f(x) = x 5. La droite représentative de f passe par les points M 1 et M 2 de coordonnées : A. M 1 ( 1; 2) et M 2 (0; 5) B. M 1 (2; 1) et M 2 (0; 5) C. M 1 ( 2; 1) et M 2 (5; 0) D. M 1 (2; 1) et M 2 (5; 0) Question 7 Soit f la fonction a ne vérifiant f( 2) = 10 et f(8) = 100, alors l expression de f(x) est : A. f(x) = 11x 12 B. f(x) = 9x 8 C. f(x) = 11x + 2 C. f(x) =9x + 28 Question 8 On considère les deux fonctions f et g définies par f(x) =x 1 et g(x) = x 2 +2x +1. Alors la composée g f est définie par : A. g f(x) = x 2 +2x 2 B. g f(x) = x 2 + x 1 C. g f(x) = x 2 +2x D. g f(x) = x 2 +4x 2 Question 9 Les solutions de l inéquation (I) : sont : A. $ 1; 0 $ B. $ 1; 2 $ C. $ Œ; 1 # fi # 0; +Œ # D. $ Œ; 1 # fi # 2; +Œ # Question 10 2x x +1 Ø 0 Les solutions de l inéquation (I) : x 2 4 > x sont : A. $ 4; 1 # B. $ Œ; 4 # fi $ 1; +Œ # C. $ 1; 4 # D. $ Œ; 1 # fi $ 4; +Œ # 1C / 2A / A / 4C / 5B / 6D / 7A / 8D / 9A / 10B

10 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES TEST 2 - Mardi 1 Novembre h 0 min Exercice 1-4 points Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 1-2 x x2 2x 1 Étudier le signe de g(x) = 1 2 x2 2 afin d exprimer f(x) sans utiliser la valeur absolue. Tracer la courbe de f : vous devrez expliquer les étapes de la construction. Exercice 2-5 points Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies et dérivables sur D : f 1 : f 1 (x) = x 1 Ô x x 2 +4 sur D = R f 2 : f 2 (x) = x sur D = Rú + f : f (x) =( x 2 + 7) sur D = R f 4 : f 4 (x) = ln x x sur D = Rú + f 5 : f 5 (x) =(5x + 2)e x sur D = R f 6 : f 6 (x) =ln( x 2 +x 2) sur D =]1; 2[ Exercice - 4 points On considère le polynôme P (x) =2x 2 + x Résoudre l équation (E) : P (x) =0puis l inéquation (I) : P (x) Æ 0 2. En déduire la résolution de l équation (E 1 ) : 2e 2x + e x 10 = 0. Factoriser P (x) puis résoudre l inéquation (I 1 ) : 2e 2x + e x 10 Ø 0 Exercice 4 - points Résoudre l inéquation et l équation suivantes : 1. (I) : ln(x + ) Ø ln 2 + ln(x 2) 2. (E) : t = 6 2 t On donnera une valeur approchée de la solution de (E) en prenant comme valeurs : ln 2 0, 7 et ln 1, 1 Exercice 5-4 points On considère le polynôme P (X) =X +X 2 + X 1 1. Calculer P (1) et P ( 1), endéduirequep (X) se factorise par un polynôme Q(X) de degré 1 que vous préciserez. 2. E ectuer la division euclidienne de P (X) par Q(X).. Terminer la factorisation de P (X) en un produit de polynômes de degré 1.