Remarque : pour le c), le cathète est le nom donné aux 2 côtés de l angle droit du triangle rectangle.

Transcription

1 (Enoncés) Exercice 1: hapitre B : Les isométries Exercices supplémentaires Exercice 2 : Remarque : pour le c), le cathète est le nom donné aux 2 côtés de l angle droit du triangle rectangle. Géométrie exercices (exercices supplémentaires) hapitre B : les isométries page 1

2 Exercice 3 : Exercice 4 : Démonstrations a) Démontre que les diagonales d un trapèze isocèle ont même longueur. b) Démontre que les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. c) ABD est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en M. P est le pied de la perpendiculaire à BD passant par A. Q est le pied de la perpendiculaire à BD passant par. Démontre que les segments [PM] et [QM] ont la même longueur. d) Soit un triangle isocèle AB dont A est le sommet principal. Démontre que les hauteurs relatives aux côtés [AB] et [A] ont même longueur. Géométrie exercices (exercices supplémentaires) hapitre B : les isométries page 2

3 orrectif : Exercice 1 : Les triangles n 3 et n 7. Il suffit d utiliser la règle graduée et de comparer les mesures des côtés du triangle coloré et les mesures des côtés correspondants dans les autres triangles. Utilisation du critère. Exercice 2 : a) Faux! Il est possible de dessiner 2 triangles dont les angles homologues ont même amplitude mais dont les côtés homologues ne sont pas de même longueur. b) Vrai! ar dans ce cas, il est possible de le prouver en utilisant le critère AA. En effet, dans un triangle isocèle, les angles à la base ont même amplitude. c) Vrai! ar dans ce cas, il est possible de le prouver en utilisant le critère AA puisque dans un triangle rectangle un angle est droit. Il s agit du deuxième angle adjacent au cathète. d) Faux! Dans la première représentation, AB = DE et A = DF mais F. Dans la seconde représentation, A = DF et = F, mais AB DE. e) Vrai! ar dans ce cas, il est possible de le prouver en utilisant le critère AA. En effet, dans un triangle obtusangle, le côté le plus grand est opposé à l angle obtus, les deux angles aigus sont adjacents à ce côté. Géométrie exercices (exercices supplémentaires) hapitre B : les isométries page 3

4 Exercice 3 : a) BG = F car ce sont les diagonales d un carré et elles ont donc la même longueur. BE = H car ce sont les diagonales d un carré et elles ont donc la même longueur. EG = FH car ce sont les diagonales d un carré et elles ont donc la même longueur. Quelques triangles isométriques au Δ BGE : Δ FH, Δ GED, Δ AFH, Δ AH, Δ BDG, b) AE = BF car ce les côtés d un carré et ils ont donc la même longueur. AG = BH car ce sont les diagonales de rectangles isométriques (AGE et BDHF), elles ont donc la même longueur. EG = FH car ce sont les diagonales d un carré et elles ont donc la même longueur. Quelques triangles isométriques au Δ AEG : Δ GE, Δ AG, Δ BDF, Δ BDH, Δ AG, Exercice 4 : Démonstrations a) Hypothèses : Dessin : Trapèze isocèle ABD A = BD Démonstration : Δ BA iso Δ DB car AB = D car les côtés non parallèles d un trapèze isocèle ont même longueur. A A B = B car les angles à la base d un trapèze isocèle ont même amplitude. D B = B car côté commun Or si deux triangles ont un angle de même amplitude compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ils sont isométriques. Par conséquent, A = BD QFD b) Hypothèses : Dessin : Parallélogramme ABD BO = DO et AO = O Géométrie exercices (exercices supplémentaires) hapitre B : les isométries page 4

5 Démonstration : Δ ADO iso Δ BO car A D A O = O B car ce sont des angles alternes internes, AD étant parallèle à B. AD = B car les côtés opposés d un parallélogramme ont même longueur. A A D O = BO car ce sont des angles alternes internes, AD étant parallèle à B. Or si deux triangles ont un côté de même longueur bordés par deux angles respectivement de même amplitude, alors ils sont isométriques. Par conséquent, BO = DO et AO = O. QFD c) Hypothèses : Dessin : Parallélogramme ABD [AP] [DB] P Є [DB] [Q] [DB] Q Є [DB] PM = MQ Démonstration : Δ APM iso Δ QM car A AM P = M Q car ce sont des angles opposés par le sommet. AM = M car les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. A P A M = M Q car ce sont des angles alternes internes, en effet [AP] // [Q] si deux droites sont à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. Or si deux triangles ont un côté de même longueur bordés par deux angles respectivement de même amplitude, alors ils sont isométriques. Par conséquent, PM = MQ QFD Géométrie exercices (exercices supplémentaires) hapitre B : les isométries page 5

6 d) Hypothèses : Dessin : Triangle AB isocèle en A [F] [AB] F Є [AB] [BE] [A] E Є [A] BE = F Démonstration : Δ AF iso Δ AEB car A A F = A E B car angle principal commun. A = AB car un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. A A F = E A or ces deux triangles possèdent chacun un angle droit et ont l angle B principal en commun, donc, les angles restants ont la même amplitude car dans un triangle, la somme des amplitudes des angles internes vaut 180. Or si deux triangles ont un côté de même longueur bordé par deux angles respectivement de même amplitude, alors ils sont isométriques. Par conséquent, BE = F QFD Géométrie exercices (exercices supplémentaires) hapitre B : les isométries page 6