Chapitre 6 : Géométrie dans l espace

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1 hapitre 6 : éométrie ans l espace I. Les positions relatives e roites et plans 1 ositions relatives e eux roites 1 et 2 coplanaires 1 et 2 parallèles 1 et 2 strictement parallèles 1 et 2 confonues et 2 sécantes 1 et 2 non coplanaires = 1 2 = 1 = = {} 1 2 = 2 ositions relatives une roite et un plan et sont parallèles et sont stritement parallèles est contenue ans et sont sécants = = = {} 3 ositions relatives e eux plans et Q sont parallèles et Q sont stritement parallèles et Q sont confonues et Q sont sécants Q Q Q Q = Q = = Q Q = Méthoe 1 éterminer l intersection une roite et un plan our éterminer l intersection une roite sécante à un plan on peut : Trouver une roite contenue ans et sécante à en un point M ans un autre plan. Montrer que n est pas contenue ans ; On peut alors conclure que et sont sécants en M. age 1 M.gnel - Institut lzon

2 hapitre 6 : éométrie ans l espace xercice 1 ( Voir Savoir-aire 1 p 235) est un tétraère. Le point I est le milieu e [] et J est le point e l arête [] tel que J = 2 3. éterminer l intersection e la roite (IJ) et u plan (). J I Méthoe 2 éterminer l intersection e eux plans our éterminer l intersection e eux plans sécants et, on peut : Trouver eux points M et N istincts et communs à et. (eci prouve en particulier que les plans ne sont pas strictement parallèles) Montrer que et ne sont pas confonus. On peut alors conclure que et sont sécants suivant la roite (MN). xercice 2 est un tétraère, I est un point e [] istinct e et. J est un point e [] istinct e et. ans les cas suivants, émontrer que le plans sont sécants et éterminer leur intersection. J 1. (IJ) et (). 2. (IJ) et (). 3. (IJ) et (). I II. arallélisme ans l espace 1 arallélisme une roite et un plan ropriété 1 (aractérisation u parallélisme une roite et un plan). Une roite est parallèle à un plan si et seulement si est parallèle à une roite contenue ans un plan. 2 arallélisme e eux roites ropriété 2. Si eux roites et sont parallèles à une même roite, alors elles sont parallèles entre elles. ropriété 3. Si eux roites et sont parallèles, alors tout plan sécant à l une est sécant à l autre. ropriété 4. Si eux plans et Q sont parallèles, tout plan sécant à est sécant à Q et les roites intersection sont parallèles entre elles. age 2 M.gnel - Institut lzon

3 hapitre 6 : éométrie ans l espace xercice 3 arallélisme est un cube. M est un point e l arête []. Le plan (M) coupe la roite () en N. On amet que les faces opposées u cube sont parallèles. émontrer que les roites (MN) et () sont parallèles. N M L xercice 4 (Voir Savoir-aire 3 p 235 et x 50 p 247) est un cube, I,J et K sont es point es arêtes e ce cube tels que : J J = 1 4, K = 1 4 et L = 3. On amet que les faces opposées u cube 4 sont parallèles. Reprouire le cube et tracer en justifiant la section par le plan (JKL). K Théorème 1 (Théorème u toit). Soient eux roites et sont parallèles, est un plan qui contient, est un plan qui contient. Si et sont sécants selon une roite, alors est parallèle à et. émonstration : sur feuille annexe. On verra une autre émonstration à l aie es vecteurs. La émonstration repose sur eux éléments : par trois points non alignés e l espace passe un unique plan, et eux roites parallèles sont coplanaires. orollaire 1. Si eux plans et sont sécants selon une roite, et si une roite est parallèle à et, alors est parallèle à. xercice 5 arallélisme S est une pyramie e sommet S à base trapézoïale avec () parallèle à (). M est un point e l arête [S]. Le plan (M) coupe la roite (S) en N. émontrer que les roites (MN) et () sont parallèles. S N M 3 arallélisme e eux plans ropriété 5. Si eux plans et sont parallèles à un même plan alors et sont parallèles entre eux. ropriété 6. eux plans sont parallèles si et seulement si eux roites sécantes e l un sont parallèles à eux roites sécantes e l autre. age 3 M.gnel - Institut lzon

4 hapitre 6 : éométrie ans l espace xercice 6 Voir Savoir-aire 2 p 235 et x 40 p 246 Soient O un tétraère et I,J et K les milieux respectifs e [], et O. O 1. Montrer que les plans (OIJ) et (O) sont sécants. On appelle leur intersection. K 2. Montrer que (IJ) //. I 3. n éuire que les plans (IJK) et (O) sont parallèles. J Savoir-aire 1, 2 et 3 p 235 ; ex 42 p 246 III. Orthogonalité ans l espace 1 Orthogonalité e eux roites éfinition 1. ire que eux roites sont orthogonales signifie que leurs parallèles menées un point quelconque sont perpeniculaires. xercice 7 ans le cube, on amet seulement que les faces sont es carrés. Montrer que () et () sont orthogonales. eux roites coplanaires et perpeniculaires en un point sont orthogonales mais la réciproque est fausse comme le montre l exemple es roites ( ) et (). 2 Orthogonalité une roite et un plan éfinition 2. ire qu une roite et un plan sont orthogonaux signifie que la roite est orthogonale à eux roites sécantes u plan. b 1 c 1 ropriété 7. Si une roite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les roites u plan. ropriété 8. Si eux roites sont parallèles, tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre. ropriété 9. Si eux roites sont orthogonales à un même plan alors elles sont parallèles entre elles. age 4 M.gnel - Institut lzon

5 hapitre 6 : éométrie ans l espace ropriété 10. Si eux plans sont parallèles, alors toute roite orthogonale à l un est orthogonale à l autre. ropriété 11. Si eux plans sont orthogonaux à une même roite alors ils sont parallèles. éfinition 3. Le plan méiateur un segment [] est le plan orthogonal à () et qui passe par le milieu e []. ropriété 12. Le plan méiateur un segment [] est l ensemble es points équiistants e et e. Méthoe 3 Montrer que eux roites sont orthogonales our émontrer que eux roites sont orthogonales, on peut émontrer que l une est orthogonale à un plan contenant l autre : montrant qu elle est orthogonale à eux roites sécantes e ce plan ; en montrant que le plan est le plan méiateur un segment porté par la roite. xercice 8 Voir Savoir-aire 5 et 6 p 237 est un tétraère régulier, c est-à-ire ont toutes les arêtes ont la même longueur. Le point I est le milieu e [], Montrer que les roites () et () sont orthogonales e eux manières, en suivant chacun es eux points e la méthoe 3. xercice 9 Voir Savoir-aire 5 p 237 est un cube (on ne retienra que l hypothèse suivante : les faces sont es carrés). 1. (a) Montrer que la roite () est orthogonale au plan (). (b) n éuire que les roites () et () sont orthogonales. 2. (a) éuire e ce qui précèe que la roite () est orthogonale au plan (). (b) Montrer que le point appartient au plan. (c) n éuire que les roites () et ( ) sont orthogonales. Savoir-aire 4,5 et 6 p p 248 IV. Vecteurs e l espace 1 Notion e vecteurs ans l espace, colinéarité et coplanarité On éten à l espace la notion e vecteur u plan, ainsi que les opérations associées : multiplication par un réel et somme e eux vecteurs. Les propriétés e ces opérations valables ans le plan restent valables ans l espace, ainsi que la relation e hasles. éfinition 4 (galité e eux vecteurs). Soient u et v eux vecteurs, et quatre points,, et tels que = u et = v. lors Les vecteurs u et v sont égaux si et seulement si est un parallélogramme. age 5 M.gnel - Institut lzon

6 hapitre 6 : éométrie ans l espace éfinition 5 (olinéarité). Soient u et v eux vecteurs. Les vecteurs u et v sont colinéaires s il existe un réel k tel que u = k v. ropriété 13. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Les points, et sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires. Les roites () et () sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires. xercice 10 Montrer l alignement ( Voir Savoir-aire 7 p 239) Soit un tétraère. Le point I est le milieu e [] et le point K est éfini par : K = lacer le point K 2. xprimer I puis K en fonction e et. 3. n éuire que les points,k et I sont alignés. éfinition 6 (oplanarité e trois vecteurs). Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leurs représentants e même origine ont leurs extrémités ans un même plan contenant. Si, et sont trois points non alignés, alors pour tout point : Les vecteurs, et sont coplanaires si et seulement si le point appartient au plan (). xemples Les vecteurs u, v et w... coplanaires. n effet Les vecteurs u, v et w... coplanaires. n effet u w v t 2 aractérisations vectorielles une roite, un plan. a. aractérisation vectorielle une roite e l espace ropriété 14. Soit un point e l espace et u un vecteur non nul. L ensemble es points M e l espace tels que M = x u, avec x réel, est la roite passant par e vecteur irecteur u. Tout comme ans le plan une roite peut être éfinie par un point et un vecteur irecteur. age 6 M.gnel - Institut lzon

7 hapitre 6 : éométrie ans l espace b. aractérisation vectorielle un plan ropriété 15. Soit un point e l espace et u et v eux vecteurs non colinéaires. L ensemble es points M e l espace tels que M = x u + y v, avec x,y réels, est un plan () où les points et sont éfinis par : = u et = v. x u u v y v M émonstration : Sur feuille annexe s hacun es eux vecteurs u et v est non nul sinon ils seraient colinéaires. On it que les vecteurs u et v irigent le plan (), qui amet ainsi pour repère (, u, v) ans l espace, un plan peut être éfini par un point et eux vecteurs irecteurs non colinéaires. our montrer qu un point appartient au plan () on pourra montrer qu il existe eux réels x et y tels que = x + y xercice 11 On consière un pavé roit. 1. Reprouire la figure ci-contre et placer les points K et L tels que K = 2 et 3 L = (a) xprimer les vecteurs K et L en fonction e et. (b) n éuire que les points,k et L sont alignés. 3. (a) Soient I et J les symétriques e par rapport à et. Montrer que les roites () et (I) sont parallèles. (b) xprimer en fonction e I et J. (c) Le point K appartient-il au plan (IJ)? Justifier. orollaire 2. Si et sont eux plans e couples e vecteurs irecteurs respectifs u, v et ( u, v ) alors : et sont parallèles si, et seulement si u et u sont colinéaires ainsi que v et v. Une roite est parallèle à un plan si et seulement si un vecteur irecteur e est un vecteur ont les extrémités sont es points u plan. xercice 12 émontrer le parallélisme une roite et un plan est un cube. M et L sont les points tels que : M = 1 et L = Montrer que ML = n éuire la position e la roite (ML) par rapport au plan (). xercice 13 émontrer le parallélisme e eux plans Soient un tétraère, I,J et K les milieux respectifs es segments [],[] et [], et, et les centres e gravité respectifs es triangles, et. 1. xprimer en fonction e IK. 2. xprimer en fonction e JK. 3. n éuire que les plans ( ) et (IJK) sont parallèles. age 7 M.gnel - Institut lzon

8 hapitre 6 : éométrie ans l espace orollaire 3 (aractérisation e la coplanarité e trois vecteurs). Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si on peut trouver trois réels a,b et c non tous nuls tels que : a u + b v + c w = 0 Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si on peut exprimer l un entre eux comme combinaison linéaire es eux autres, c est à ire par exemple : w = a u + b v avec a et b es nombres réels. xemple ans l exercice 11, on a K = 1 I + 1 J onc les vecteurs I, J et K sont coplanaires ce qui implique 3 3 que le point K appartient au plan (IJ). Savoir-aire 8 p 239 V. Repérage e l espace, représentations paramétriques 1 Repérage a. éfinition es cooronnées es points et es vecteurs Théorème-éfinition 7. Soit O un point et i, j et k et trois vecteurs non coplanaires e l espace. lors : our tout vecteur u, il existe un unique triplet (x, y, z) e réels, tel que u = x i+y j +z k. Le triplet x y est le triplet e cooronnées u vecteur u ans ( i, j, k) qu on appelle base e l espace. z our tout point M, il existe un unique triplet (x, y, z) e réels, tel que OM = x i + y j + z k. Le triplet (x, y, z) est le triplet e cooronnées u point M ans le repère e l espace (O, i, j, k). x est l abscisse e M, y son oronnée et z sa côte. xemple ans l espace muni u repère (, i, j, k) où i =, j = et k =, on consière le pavé roit. I est le milieu e et J l intersection es segments () et (). Les cooronnées es points ans le repère sont : J I b. ropriétés On retrouve es propriétés analogues à celles éjà vues ans le plan. ropriété 16. Soit (O, i, j, x k) un repère e l espace. Soient u y et u z x y z u + u x + x λx et λ u ont pour cooronnées y + y et λy. z + z λz eux vecteurs et λ un réel. lors : age 8 M.gnel - Institut lzon

9 hapitre 6 : éométrie ans l espace ropriété 17. Soit (O, i, j, k) un repère e l espace et (x, y, z ) et (x, y, z ) eux points. lors : Le vecteur x x a pour cooronnées y y z z Le milieu u segment [] a pour cooronnées ( x + x 2, y + y 2, z + z ). 2 xercice 14 Utiliser les cooronnées pour étuier un problème alignement Soit un repère (O, i, j, k) et les points (1, 2, 3),( 2, 1, 5), (13, 14, 5) et ( 5, 4, 6) 1., et sont-ils alignés? 2., et sont-ils alignés? xercice 15 éfinir un repère et l utiliser On consière un tétraère. Soit le milieu [] et le centre e gravité u triangle. 1. Montrer que (,,, ) forme un repère e l espace. 2. onstruire le point K tel que + = K. 3. Montrer que les points, et K sont alignés. xercice 16 Utiliser les cooronnées pour étuier un problème e coplanarité e vecteurs Les vecteurs u 2, v 1 et w 4 sont-ils coplanaires? Les vecteurs u 2, v 1 et w 10 sont-ils coplanaires? xercice 17 Utiliser les cooronnées pour étuier un problème e coplanarité e points Les points ( 1, 2, 3),( 1, 3, 1) et (2, 1, 1) et (8, 3, 1) sont-ils coplanaires? Savoir-aire 10,11 et 12 p Représentations paramétriques une roite ropriété-éfinition 8 (Représentations paramétriques une roite). Soient un repère e l espace et une roite passant par le point e cooronnées (x, y, z ) et e a vecteur irecteur u b. our tout point M(x, y, z) on a : c x = x + ta M appartient à la roite si et seulement si il existe un réel t tel que y = y + tb z = z + tc e système est appelé représentation paramétrique e la roite, t est le paramètre. émonstration eci écoule e la propriété 14. age 9 M.gnel - Institut lzon

10 hapitre 6 : éométrie ans l espace xemple Soient un repère e l espace et ( 1, 2, 2) et (2, 1, 3) eux points. Si ans un premier temps on choisit comme point et comme vecteur irecteur puis ans un secon temps comme point et 2 comme vecteur irecteur on obtient eux représentations paramétrique e : x =... x =... y =... avec t R et y =... avec t R z =... z =... Une représentation paramétrique est éterminée par le choix un point et un vecteur irecteur onc il n y a pas qu une seule représentation paramétrique une roite, il y en a une infinité. xercice 18 éterminer si un point appartient ou non à une roite x = 2 + 3t Soit la roite e représentation paramétrique y = 1 2t avec t R. Les points ( 8, 5, 1) et (10, 7, 6) z = 3 + t appartiennent-ils à la roite? xercice 19 tuier la position relative e eux roites éterminer la position relative e et ans chacun es cas suivants, où sont onnées es représentations paramétriques ce ces eux roites. x = 3 + 2t x = 1 + t 1. : y = 1 + t avec t R et : y = t avec t R z = 2 3t z = 1 t x = 3 + 2t x = 1 + 2t 2. : y = 1 + t avec t R et : y = 1 + t avec t R z = 2 3t z = 4 3t x = 3 + 2t x = 1 + 2t 3. : y = 1 + t avec t R et : y = 1 + t avec t R z = 2 3t z = 3 3t x = 3 + 2t x = 1 + t 4. : y = 1 + t avec t R et : y = 1 t avec t R z = 2 + 3t z = 3 + t Savoir-aire 13 p Représentations paramétriques un plan ropriété-éfinition 9 (Représentations paramétriques un plan). Soient un repère e l espace et un plan passant par le point e cooronnées (x, y, z ) et e a vecteurs irecteurs u b et u a b. our tout point M(x, y, z) on a : c c x = x + ta + t a M appartient au plan si et seulement si il existe couple e réels (t, t ) tel que y = y + tb + t b z = z + tc + t c e système est appelé représentation paramétrique u plan, t et t les paramètres. émonstration eci écoule e la propriété 15. age 10 M.gnel - Institut lzon

11 hapitre 6 : éométrie ans l espace xercice 20 x = 1 + 2t t Soit un plan e représentation paramétrique y = 2 + 3t + t. Les points ( 3, 3, 1) et (0, 1, 2) z = 4 t + t appartiennent-ils à? On peut étuier la position relative une roite et un plan à l aie es réprésentations paramétriques, mais il sera plus aisé e traiter cette question quan on isposera e la notion équation cartésienne un plan. Savoir-aire 14 p 243 et x 121 p 252 age 11 M.gnel - Institut lzon