Exercice 1: Une unité de longueur étant choisie dans l espace, ABCDEFGH est un parallélépipède. L espace est munie du repère ( A, i, j,
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- Étienne Lebrun
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1 Exercice 1: Une unité de longueur étant choisie dans l espace, ABCDEFGH est un parallélépipède droit tel que AB=3, AD=1 et AE=4 I est le milieu de [CH] L espace est munie du repère ( A, i, j, k ) tel que AB AD AE i = ; i = et k = AB AD AE 1) Déterminer les coordonnées des points B, D, H et I 2) a) déterminer les composantes du vecteur n = DB DI b) en déduire une équation cartésienne du plan P=(BDI) 3) calculer le volume du tétraèdre HBID 4) soit la droite menée de H et perpendiculaire au plan P a) donner une représentation paramétrique de b) déterminer les coordonnées du point d intersection O de et P 5) soit S la sphère de centre H et passant par D a) donner l équation cartésienne de S b) justifier que S coupe P c) préciser l intersection de S et P Exercice 2: Dans l'espace ξ rapporté à un repère orthonormé (O,i, j,k ), on donne 2 1 les points A(0,1,0), les vecteurs u 1,v 2 et les droites D(O,u ) et 0 2 D'(A,v ) 1/ déterminer une représentation paramétrique pour chacune des droites D et D' 2/ soit E un point de D' d'abscisse 1 wwwzribimathsjimdocom Page 1
2 a) déterminer les coordonnées de E b) déterminer une équation cartésienne du plan P perpendiculaire à la droite D' en E c) calculer la distance du point A au plan P 3/ soit F un point de D d'abscisse m ( m un paramètre réel) a) déterminer les coordonnées de F en fonction de m b) déterminer une équation cartésienne du plan Q m perpendiculaire à la droite D en F c) calculer la distance du point A au plan Q m en fonction de m 4/ a) montrer que P et Q m sont perpendiculaires b) déterminer la distance du point A à la droite d'intersection de P et Q m en fonction de m Exercice 3 : Dans l'espace ξ rapporté à un repère orthonormé(o,i, j,k ), on donne les points A(1,0,0), B(1, 2,0) et C(0,0,1) 1) justifier que les points A, B et C déterminent un plan P 2) a) calculer les distances AB, AC et le produit scalaire AB AC b) En déduire que le triangle ABC est rectangle et isocèle 3) a) vérifier que P : x+z 1=0 b) déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H du point O sur le plan (ABC) 4) a) calculer le volume du tétraèdre OABC b) en déduire det(ab,ac,ao) 5) déterminer les coordonnées du point A' de la droite (BC) telle que le triangle ABA' soit rectangle en A' Exercice 4 l espace est munie d un repère orthonormé direct ( Oi,, jk, ) on donne les points A( 1,3,1) ; B(0,2,1) et C(1,1,0) et le plan P : 2x y+z 1=0 1) a) vérifier que les points A, B et C déterminent un plan wwwzribimathsjimdocom Page 2
3 b) calculer ( AB AC ) ; puis en déduire une équation cartésienne du plan (ABC) 2) calculer le volume du tétraèdre OABC 3) a) calculer la distance du point B à la droite (AC) b) déterminer les coordonnées du point H : projeté orthogonal de B sur (AC) 4) a) montrer que les plans P et (ABC) sont sécants b) donner une représentation paramétrique de leur droite d intersection D Exercice 5 : l espace est rapporté à un repère orthonormé ( Oi,, jk, ) points A(2,1, 1) ; B(0,2,1) et C(1,2, 1) on donne les 1) a) montrer que A, B et C déterminent un plan b) montrer qu une équation du plan (ABC ) est 2x+2y+z 5=0 2) soit la droite x = 1 t : y = 1 t t IR 1 z = 4 t 2 a) montrer que est perpendiculaire au plan (ABC) puis calculer les coordonnées de leur point d intersection E b) vérifier que ABCD est un parallélogramme puis calculer son aire 3) a) vérifier que le point K( 1, 3, 5) est un point de b) calculer le volume du tétraèdre KABC c) calculer d(b, ) wwwzribimathsjimdocom Page 3
4 Exercice 6: L espace est rapporté à un repère orthonormé ( Oi,, jk, ) points A(1,0, 1) ; B(0,0,1) ; C(1,1,0) et D(1,2,3) on donne les 4) a) Montrer que A, B et C déterminent un plan b) Montrer qu une équation du plan P=(ABC ) est x y+z=0 5) Calculer la distance du point B à la droite (AC) 6) Soit la droite x = 2t + 1 : y = 2t + 2 t IR z = 2t + 3 d) Vérifier DABC est un tétraèdre e) Calculer le volume du tétraèdre DABC 7) a) Montrer que est perpendiculaire à P b) On désigne par H le projeté orthogonale de D sur le plan P ; déterminer les coordonnées du point H Exercice 7: L espace est muni d un repère orthonormé ( ) wwwzribimathsjimdocom Page 4 O,i,j,k 1) On considère le plan P passant par le point B( 1, 2, 1 ) et de 2 vecteur normale np 1 ainsi que le plan R:x+ 2y 7= 0 5 a) Démontrer que P et R sont perpendiculaires b) Les deux plans Pet R se coupent suivant la droite Déterminer une équation paramétrique de la droite Vérifier que passe par le point C ( 1, 4, 1) et que le 2 vecteur u 1 est un vecteur directeur 1 2) Soit le point A ( 5, 2, 1 ) Calculer d( A, ) 3) Soit S l ensemble des points M( x, y,z ) tel que : x + y + z 4x 2z= 0 a) Démontrer que S est une sphère et en préciser les coordonnées de son centre I et de son rayon R b) Démontrer que S est tangente au plan R
5 c) La sphère S coupe le plan P suivant un cercle ( C ) Déterminer les coordonnées de son centre et son rayon Exercice 8 : ABCDEFGH est un cube, l espace est I est munie du repère ( A,AB,AD,AE ) le milieu de [DF] 1) déterminer les coordonnées des points C, H et I ainsi que les composantes du vecteur AC AH 2) a) donner une équation cartésienne du plan P=(ACH) b) montrer que I est le projeté orthogonale de D sur (ACH) 3) a) calculer le volume du tétraèdre FHCA b) la droite parallèle à(ac) menée par F ; donner une représentation paramétrique de c)soit N un point de, montrer que le volume du tétraèdre NHCA est constant 4) S l ensembles des points M(x,y,z) tel que: x²+y²+z² x y z=0 a) montrer que S est une sphère dont on précisera le centre et le rayon b) montrer que S est tangente à P et préciser leur intersection wwwzribimathsjimdocom Page 5
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