Leçon N 9 : La fonction exponentielle.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Leçon N 9 : La fonction exponentielle."

Transcription

1 Leçon N 9 : La fonction exponentielle. Définition La fonction exponentielle à base e notée f(x) = e x est calculable pour tout réel x. Elle est définie par f(0) = 1 et par f (x) = f(x) pour tout x réel (c est-à-dire, elle a la particularité que sa dérivée est égale à la fonction elle même!). Donc nous avons e 0 = 1 et pour tout réel x, (e x ) = e x. L exponentielle à base e est une fonction strictement positive : x R, e x > 0. Tableau de variations x + f (x) + f(x) 0 + lim e x = 0 x lim e x = + x + Pour tout a et b réels, e a = e b a = b. Pour tout a et b réels, e a e b a b. Traçons la courbe (Voir calculette) y y = e x x Contrairement au logarithme népérien ln, l exponentielle à base e est une fonction qui croît très vite : e 0 = 1 ; e 7,39 et e 10 06,4. (Attention, sur la calculette, nous tapons nd ln pour avoir e puis e() pour calculer e. e^ provoque une erreur) Au fait que peut-on dire de e : e 1 = e,718 (déjà vu avec ln).

2 En économie ou en physique, elle servira à traduire des phénomènes à croissante très rapide comme la chute des revenus d une entreprise ou bien le développement d un virus. Les propriétés de calculs ressemblent exactement aux propriétés des puissances : Pour tout a et b réels, e a+b = e a e b. (a R * et n Z, p Z, a n+p = a n x a p ) (Exemple : e +3 = e e 3 ) Pour tout réel b, e b = 1. (a R * et n Z, a n = b e (Exemple e 1 = e 1, à vérifier à la calculette e 1 0,37 et Pour tout a et b réels, e a b = 1 e e a b 1 0,37) 1 e 1 ) n a. (a R * et n Z, p Z, a n p = (Exemple: e 1 x e e = =, x R) x x e e Pour tout a et b réels, (e a ) b = e ab. (a R * et n Z, p Z, (a n ) p = a np ) Exemple : e x = (e x ), x R) IMPORTANT La fonction exponentielle à base e est la fonction réciproque du logarithme népérien. Expliquons simplement ceci : En seconde, nous avons vu que si x 0, y = x était équivalant à x = y ; autrement dit que la fonction «racine carrée» était la fonction réciproque de «l élévation au carré». Ici, nous aurons : y = e x x = ln y (évidemment nous prenons y strictement positif). (Exemple : nous avons vu que ln 1 = 0 donc e 0 = 1 ; ln e = 1 donc e 1 = e ; ln 0,69 et donc e 0,69 etc.) Cette propriété a des conséquences importante : Pour tout x R, e ln x = x. (de même, nous avions : x = x si x 0) Pour tout x R, ln e x = x. (de même, nous avions : ( ) x = x si x 0) Compléments Soit u(x) une fonction définie et dérivable sur R : (e u(x) ) = u (x) e u(x). Soit f(x) = a x (a > 0 et a 1) avec x R. (C est la fonction exponentielle à base a) a x > 0 pour tout réel x, faisons agir ln ; ln f(x) = ln a x = x ln a et donc f(x) = e xln a, x R. Conclusion : Pour tout a > 0 et a 1, pour tout x réel, a x = e xlna. Toutes ces fonctions sont des fonctions positives. Passons aux exos, d abord du calcul pour se familiariser puis les problèmes de BAC. a a n ) p

3 TERMINALE STG FICHE sur la fonction exponentielle Exercice 1 Calculer e e 3 e 1 ; e 3. Que peut-on dire de la fonction f(x) = e x ; g(x) = e x? Résoudre : Je cherche x R tel que e x = 5 ; Je cherche x R tel que e x+ = e 3 x. Je cherche x R tel que 3 e x = e x +1. Donner la fonction dérivée de f(x) = e x, x R. Donner la fonction dérivée de f(x) = 5e 0,8 x, x R. Donner la fonction dérivée de f(x) = x e x, x R Exercice 1. On place un capital de 000 à intérêts composés au taux mensuel de 0,7 %. (a) Quelle est la valeur acquise au bout d un mois? De deux mois? (b) Quelle est la valeur acquise au bout de n mois? (c) Quel est le taux d évolution du capital au bout d une année?. (a) Donner une valeur décimale arrondie à 10 5 près du nombre réel t 1 que (1+t1) 1 = 1,1. Pour un placement annuel au taux de 1 %, t 1 est le taux mensuel équivalent. (b) Donner une valeur décimale arrondie à 10 5 près du nombre réel t tel que (1+t ) 1 = 1,03. Pour un placement annuel au taux de 3 %, t est le taux mensuel équivalent. (c) Une publicité d un organisme bancaire annonce : «Pour un placement d un capital de sur un an, le taux annuel est 1 % sur les deux premiers mois puis 3 % sur dix mois». Déterminer le taux d évolution du capital sur un an. Exercice 3 Une étude de marché s intéresse à l évolution de l offre et de la demande d un composant électronique, en fonction du prix unitaire x exprimé en milliers d euros. On modélise les nombres de milliers de composants électroniques offerts et demandés, respectivement, par les fonctions f et g définies sur l intervalle [0, 5] par : f(x) = e 0,5x 8 1 et g(x) = 0,5x e + 1 La courbe représentative de la fonction g est tracée sur le graphique fourni en annexe. Partie A. Étude de la fonction «offre». 1. Calculer f (0).. Étudier le sens de variation de f sur l intervalle [0, 5]. 3. Tracer la courbe représentative de f sur le graphique fourni en annexe. Partie B. Détermination du prix d équilibre On appelle prix d équilibre d un produit, le prix pour lequel l offre est égale à la demande.

4 1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée à 0,1 millier d euros près du prix d équilibre de ce produit.. Déterminer par un calcul la valeur exacte du prix d équilibre, puis en donner l arrondi à 1 euro. Calculer la valeur exacte de l offre au prix d équilibre. 3. On rappelle que le chiffre d affaires réalisé pour q objets vendus au prix unitaire p est égal au produit p q. On se place au prix d équilibre. Quel est alors le chiffre d affaires réalisé par les fabricants? On arrondira le résultat à 1 euro. Annexe (Cg) Exercice 4 (BAC STG Polynésie 008)

5

6 Correction Exercice 1 Calculer e e 3 e 1 = e = e 0 = 1. (Pour tout a et b réels, e a+b = e a e b ) e 3 = 1 0,05. 3 e Que peut-on dire de la fonction f(x) = e x ; g(x) = e x? f est une fonction exponentielle définie sur R, c est une fonction positive pour tout x R. f (x) = ( 1) e x = e x < 0 pour tout x réel. f est donc une fonction monotonement décroissante sur R. Voyons la courbe : y x g(x) = e x (C est en fait le carré de la fonction exponentielle à base e, e x = (e x ), x R) C est aussi une fonction positive. g (x) = e X > 0 pour tout réel x. C est donc une fonction monotonement croissante. La courbe est : y x

7 Je cherche x R tel que e x = 5 Nous pouvons faire agir ln car e x > 0 et 5 > 0. ln e x = ln 5 et donc x = ln 5. (ln e x = x, pour tout x réel) Je cherche x R tel que e x+ = e 3 x Pour tout a et b réels, e a = e b équivaut à a = b. Donc nous aurons x + = 3 x soit x = 1 et donc x = 0,5. (Vérification : e 0,5 + est-il égal à e 3 0,5? oui e,5 = e,5 ) Je cherche x R tel que 3 e x = e x +1 (un peu plus difficile) Nous utilisons ln car les deux membres sont des fonctions positives. ln (3 e x ) = ln ( e x + 1 ) (ln ab = ln a + ln b avec a et b positifs) ln 3 + ln e x = ln + ln e x + 1 ln 3 + x = (ln ) + x+ 1 (ln e u = u) 1 + ln 3 ln = x 3 Remarque : 1 = ln e et donc x peut s écrire : x = ln 3 ln e ln = ln. e 3 Vérification : calculons la valeur des deux membres de l équation pour x = e ln 3 e 3 e x = 3 e 3 9 = 3 = e e 3 9 ln + 1 ln e x +1 = e e = e 4e pas évident! ln = e 4e 9 e = e 9 = e 4e f(x) = e x, x R. f est dérivable, nous utilisons (e u ) = u e u (u(x) étant définie et dérivable) f (x) = ( 1) e x = e x, pour tout réel x. f est alors toujours décroissante pour tout réel x. (Voir la courbe sur calculette) f(x) = 5e 0,8 x, x R. f est définie et dérivable pour tout réel x, f (x) = 5 (0,8) e 0,8x = 4 e 0,8x. (Voir la courbe sur calculette) f(x) = x e x, x R. Nous avons le produit de deux fonctions ((uv) = u v + uv ) définies et dérivables. f (x) = 1 e x + x e x = e x (1 + x), x R. La courbe est :

8 y x Exercice On place un capital de 000 à intérêts composés au taux mensuel de 0,7 %. 1) On retrouve ici une suite de valeurs d un capital. Soit C 0 = 000. Au bout d un mois, nous aurons un capital de C 1 : 0,7 C 1 = 000(1 + ) = 000(1,007) = Au bout de deux mois, nous aurons un capital de C : 0,7 C = 014(1 + ) = 000 ( 1,007)(1,007) = 000 (1,007) 08, Il s agit d une suite géométrique de premier terme C 0 = 000 et de raison 1,007. Conclusion : C n = C 0 (q) n soit C n = 000 (1,007) n, n entier nombre de mois. Mais en utilisant les fonctions exponentielles, nous pourrions dire que nous avons une fonction C telle que C(x) = 000 (1,007) x x étant le nombre de jours exprimés en mois. Par exemple, si on considère 3 mois et 10 jours (1 mois commercial étant considéré de jours, alors 3 mois et 10 jours donnent 3 + = 3 + =. nous pourrions calculer le capital alors acquis, C = 000 (1,007) 3 047,05. 3 Il s agit d une fonction exponentielle à base 1,007 ( y = a x avec a > 0 et a 1). Pour calculer le taux d évolution au bout d une année, on utilise C 1 = 000 (1,007) 1, soit C (1,08731) 174,6. Le taux d évolution sera à 10 5 prés, 1, = 0,08731 (soit 8,73%). ) On cherche t 1 tel que (1+t1) 1 = 1,1. Nous pouvons utiliser ln ou 1 Nous avons deux quantités positives donc : ln ((1+t1) 1 = ln 1,1 1 ln (1 + t 1 ) = ln 1,1 ln1,1 ln (1 + t 1 ) = 1 ln (1 + t 1 ) 0, et donc 1 + t 1 e 0, ; 1 + t 1 1,00949 t 1 0,00949 à 10 5 prés.

9 Ou bien (1+t1) 1 = 1,1 1 + t 1 = 1 1, t 1 1,00949 et donc t 1 0, ( ième solution plus rapide) Pour un placement annuel au taux de 1 %, t 1 est le taux mensuel équivalent. On cherche de même t tel que (1+t ) 1 = 1, t = 1 1, t 1,0047 et donc t 0,0047 à 10 5 prés. Pour un placement annuel au taux de 3 %, t est le taux mensuel équivalent. Pour les deux premiers mois, on aura un capital de 1000 ( ) puis ce capital deviendra :[1000(1,00949) ]( 1,0047) ,5. Déterminons le tau d évolution global : 1044, ,0445 soit environ 4,5% Nous sommes loin des 1% annoncés pendant deux mois. Exercice 3 La fonction f donne l offre en fonction du prix unitaire x et g donne la demande en fonction de ce prix unitaire x, x est entre 0 et 5000 (x [0;5], x en milliers d euros). f(x) = e 0,5x 8 1 et g(x) = 0,5x e + 1 f et g donnent les quantités de composants en milliers de composants. f et g contiennent des fonctions exponentielles. Partie A. Étude de la fonction «offre». 1. f (0) = e 0,5(0) 1 = e 0 1 = 1 1 = 0. f(0) = 0.. Étude du sens de variation de f sur l intervalle [0, 5] Nous calculons la fonction dérivée de f : f (x) = 0,5 e 0,5x. ((e u ) = u e u ) Cette fonction f est toujours positive pour x [0 ; 5] en effet e u(x) > 0 pour toutes les valeurs de u(x) donc f sera une fonction monotone, toujours croissante. Tableau de variations x 0 5 f(0) = 0 f (x) + f(5) = e,5 1 11,18 f(x) e,5 1 soit environ 1118 composants Traçons les deux courbes (Cf) et (Cg) sur le même graphique :

10 Partie B 1. Par lecture graphique, une valeur approchée du prix x d équilibre à 0,1 milliers d euros prés est : x, (abscisse du point I).. Déterminons par un calcul la valeur exacte du prix d équilibre. Au point I, nous avons f(x) = g(x) donc cherchons x [0 ;5] tel que : e 0,5x 8 b 1 = ( a = ac = b avec c 0) 0,5x e + 1 c (e 0,5x 1)( e 0,5x + 1) = 8 ((a b)(a + b) = a b ) (e 0,5x ) 1 = 8 e x = 9 soit x = ln 9. (Propriété: si e a = b (b>0) alors a = ln b) A 1 euro prés, cela donne x,197 milliers d euros soit x 197 euros. Calculons la valeur exacte de l offre au prix d équilibre. 0,5 f(ln 9) = e 0,5(ln 9) ln (9) 1 = e 1= e ln 3 1 = 3 1 = soit 000 composants. (Voir graphique) 3. On rappelle que le chiffre d affaires réalisé pour q objets vendus au prix unitaire p est égal au produit p q. Pour la vente de 000 composants au prix unitaire de 1000(ln 9), le chiffre d affaire sera : 1000(ln 9) (000) Exercice 4 C(x) = x + e 0,5x x en centaines de sacs et C en centaines d euros. La recette est R(x) = 10x R en centaines d euros. Les deux courbes représentant C et R sont :

11 1) La courbe qui représente R est la droite en effet, R(x) = 10x est une fonction linéaire ) x,9 4 8 C(x) 10 15,4 70,6 R(x) Ces lectures graphiques peuvent être vérifiées par le calcul. x =,9 ; C(,9) = (,9) + e 0,5(,9) 10,06 ; R(,9) = 10 (,9) = 9. x = 4 ; C(4) = (4) + e 0,5( 4) 15,4 ; R(4) = 10(4) = 40. x = 8 ; C(8) = (8) + e 0,5 (8) 70,6 ; R(8) = 10(8) = 80. 3) Pour être bénéficiaire, il faut que la vente rapporte plus que le coût c est-à-dire, graphiquement, il faut que la droite soit au dessus de la courbe du coût. Nous lisons approximativement x [1 ; 8] c est-à-dire entre 100 sacs et 800 sacs mais ceci n est pas précis, si nous voulons répondre plus précisément, il faut étudier la fonction B donnant le bénéfice : B(x) = R(x) C(x) = 10x (x + e 0,5x ) B(x) = 8x e 0,5x B (x) = 8 0,5 e 0,5x x réel Cherchons x R tel que B (x) = 0 8 0,5 e 0,5x = 0 soit 0,5 e 0,5x = 8 ou e 0,5x = 8 et donc e 0,5x = 16 ce qui donne : 0,5

12 ln16 0,5x = ln 16 ; x = ; x = ln 16 soit en conclusion x = ln 16 = ln 56 5,55. 0,5 Prenons x [0 ; 15] x 0 ln B(0) = 8(0) e 0,5(0) = 0 1 = 1 B(15) = 8(15) e 0,5(15) B (x) + 0 = 10 e 7,5 1688! (C est une grosse perte) B(x) M 1 10 e 7,5 Remarque : Résoudre B (x) 0 8 0,5e 0,5x 0 ou 0,5e 0,5x 8 ou encore e 0,5x 16 ln16 Et donc 0,5x ln 16 ; soit x ou 0 x ln 56. 0,5 Evidemment après ln 56, B (x) sera négatif. L intérêt de cette étude est de donner le bénéfice maximum qui interviendra pour la fabrication d environ 555 sacs ( ln 56) et qui rapportera : B(ln 56) = 8 ln 56 e 0,5( ln 56) 8,36 donc environ 836 à 1 euro prés. Mais nous voulions chercher x tels que B(x) 0 Soit 8x e 0,5x 0 Nous ne savons pas faire ceci par le calcul, il faut donc agir par tâtonnement : Utilisons «la table» de la calculette après avoir entré la fonction B : x B(x) 0 1 0,1 0,5 0, 0,49 0,3 8 9,40 8,5,11 Pour avoir un bénéfice, il faudra fabriquer entre 14 et 84 sacs. Voilà qui est nettement plus Précis. Nous pouvons essayer : x = 0,15 ; B(0,15) 0,1 x = 0,14 ; B(0,14) 0,05 x = 0,13 ; B((0,13) 0,03 x = 8, ; B(8,) 5,6 x = 8,3 ; B(8,3),97 x = 8,4 ; B(8,4) 0,51 x = 8,41 ; B(8,41) 0,6 x = 8,4 ; B(8,4) 0,003 x = 8,43 ; B(8,43) 0,5 Partie Il s agit d étudier la fonction B (Voir ci-dessus)

géométrique et u n = 3(2) n. Cela donne au total :

géométrique et u n = 3(2) n. Cela donne au total : Leçon N 2 : Les suites Rappels importants Il y a deux façons de décrire une suite On nous donne la fonction qui permet de fabriquer ces termes : u n = f (n), n N. Exemple : u n = n² n N, cela donne 0 ;

Plus en détail

Leçon N 4 : Statistiques à deux variables

Leçon N 4 : Statistiques à deux variables Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

Baccalauréat STG CGRH Métropole 13 septembre 2012 Correction

Baccalauréat STG CGRH Métropole 13 septembre 2012 Correction Baccalauréat STG CGRH Métropole 3 septembre 202 Correction La calculatrice est autorisée. EXERCICE Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées,

Plus en détail

Leçon N 1 : Taux d évolution et indices

Leçon N 1 : Taux d évolution et indices Leçon N : Taux d évolution et indices En premier un peu de calcul : Si nous cherchons t [0 ;+ [ tel que x 2 = 0,25, nous trouvons une solution unique x = 0, 25 = 0,5. Nous allons utiliser cette année une

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL

BACCALAUREAT GENERAL ACCALAUREAT GENERAL Session 2009 MATHÉMATIQUES - Série ES - Enseignement de Spécialité Liban EXERCICE 1 1) 2) C 3) C 4) A Explication 1. Chacun des logarithmes existe si et seulement si x > 4 et x > 2

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI Antilles-Guyane 13 septembre 2012 Correction

Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI Antilles-Guyane 13 septembre 2012 Correction Baccalauréat STG - Mercatique - FE - GSI Antilles-Guyane 13 septembre 2012 orrection EXERIE 1 et exercice est un questionnaire à choix multiples (QM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Correction du bac blanc CFE Mercatique

Correction du bac blanc CFE Mercatique Correction du bac blanc CFE Mercatique Exercice 1 (4,5 points) Le tableau suivant donne l évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers : Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M.

PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M. PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M. Vienney 2 M. VIENNEY Vous trouverez dans ce document

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Baccalauréat ST2S Antilles-Guyane 16 juin 2014 Correction

Baccalauréat ST2S Antilles-Guyane 16 juin 2014 Correction Baccalauréat ST2S Antilles-Guyane 16 juin 2014 Correction EXERCICE 1 6 points Le tableau ci-dessous donne le nombre de maladies professionnelles ayant entrainé un arrêt de travail de 2003 à 2010 : Année

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral

Calcul différentiel et intégral Chapitre 27. Calcul différentiel et intégral 27 Limites... 27 2 Limite en un point fini... 27 2 Limite à droite ou à gauche... 27 2 Limite à l infini... 27 2 Utilisation de conditions... 27 2 Dérivation...

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail

La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

NATHALIE RODRIGUEZ mars 2014

NATHALIE RODRIGUEZ mars 2014 Ä ÒÒ Ð Ù ÌË Å Ø Ñ Ø ÕÙ Áº º Ô٠˺ÁºÇº NATHALIE RODRIGUEZ mars 2014 IREM PARIS XIII - GROUPE «ENSEIGNEMENTS TECHNOLOGIQUES» Sommaire 1 I.G. Nouvelle-Calédonie, novembre 2000 13 Exercice 1 (5 pts) : calcul

Plus en détail

3 Fonctions logarithmiques

3 Fonctions logarithmiques Log-Cours_standard.nb 12 3 Fonctions logarithmiques Edition 2007-2008 / DELM Liens hypertextes Cours de niveau avancé (plus étoffé): http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/logarithmes/log-cours_avance.pdf

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail

Les devoirs en Première STMG

Les devoirs en Première STMG Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Chapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de :

Chapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : Chapitre 1 L intérêt Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : 1. Comprendre la notion générale d intérêt. 2. Distinguer la capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. 3. Calculer la

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Devoir commun de Mathématiques

Devoir commun de Mathématiques Exercice 1 3,5 points Le tableau suivant donne la répartition des internautes par continent pour les années 2001, 2002, 2003 et 2004 en millions d individus. Il est incomplet. Pour le remplir il faut utiliser

Plus en détail

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

I 2001/1999 = 75 50 = 1.5

I 2001/1999 = 75 50 = 1.5 Chapitre Indices d évolution 4 41 Indices simples Exemple 4121 Le prix d un bien passe de 50e en 1999 à 75e en 2001 Dans ce cas, l indice simple de ce bien entre 1999 et 2001 est : I 2001/1999 = 75 50

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry 15 avril 2013 Correction

Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry 15 avril 2013 Correction Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry 5 avril 203 Correction La calculatrice (conforme à la circulaire N 99-86 du 6--99) est autorisée. EXERCICE 5 points Une entreprise de textile emploie 300 personnes

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Baccalauréat STT 2003 L intégrale d avril à novembre 2003

Baccalauréat STT 2003 L intégrale d avril à novembre 2003 Baccalauréat STT 2003 L intégrale d avril à novembre 2003 Pour un accès direct cliquez sur les liens bleus Pondichéry ACA-ACC avril 2003......................... 3 Antilles-Guyane ACA-ACC juin 2003.....................5

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui :

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Sommaire SAMEDI 7 JANVIER 202 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Un rappel de cours sur les suites ; Page 2 Deu eercices intitulés

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2014/2015. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2014/2015. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières Interrogation 1 : Indice et taux d évolution........................... 2 Devoir maison 1 : Taux d évolution................................ 4 Devoir maison 1

Plus en détail

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre

Plus en détail

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES Sections des sciences économiques et des hautes études commerciales Mathématiques I Cours du professeur D. Royer Recueil d exercices #2 Analyse II Semestre

Plus en détail

( x )= 2 3 ( x 1) f 3 ( x)=( x+1)2 ( x 1) ( x+1) f 4. ( x )=5 x 2 1. ( x)=3 2 x f 2. 212 nom: DS ( 1h) : Sujet A fonctions affines droites

( x )= 2 3 ( x 1) f 3 ( x)=( x+1)2 ( x 1) ( x+1) f 4. ( x )=5 x 2 1. ( x)=3 2 x f 2. 212 nom: DS ( 1h) : Sujet A fonctions affines droites 212 nom: DS ( 1h) : Sujet A fonctions affines droites Exercice 1: 1 ) Dans chacun des cas suivants,: Dire si la fonction est affine ou non. Préciser si elle est linéaire. Si la fonction est affine, donner

Plus en détail

Baccalauréat STG 2012. L intégrale d avril à novembre 2012

Baccalauréat STG 2012. L intégrale d avril à novembre 2012 Baccalauréat STG 2012 L intégrale d avril à novembre 2012 Antilles Guyane CGRH juin 2012........................ 3 Métropole La Réunion CGRH juin 2012.................6 Polynésie CGRH juin 2012..............................

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

- Module M2 - Fondamentaux d analyse

- Module M2 - Fondamentaux d analyse - Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

NATHALIE RODRIGUEZ avril 2014

NATHALIE RODRIGUEZ avril 2014 Ä ÒÒ Ð Ù ÌË Å Ø Ñ Ø ÕÙ º ºÇº NATHALIE RODRIGUEZ avril 2014 IREM PARIS XIII - GROUPE «ENSEIGNEMENTS TECHNOLOGIQUES» Sommaire 1 C.G.O. métropole, mai 2002 9 Exercice 1 : suite géométrique, fonction exponentielle,

Plus en détail

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Exercice 1 (4 points) Dans une classe de terminale STAV de 5 élèves, chaque élève possède une

Plus en détail

Logistique, Transports

Logistique, Transports Baccalauréat Professionnel Logistique, Transports 1. France, juin 2006 1 2. Transport, France, juin 2005 2 3. Transport, France, juin 2004 4 4. Transport eploitation, France, juin 2003 6 5. Transport,

Plus en détail

Baccalauréat STG Mercatique Centres étrangers juin 2007

Baccalauréat STG Mercatique Centres étrangers juin 2007 Baccalauréat STG Mercatique Centres étrangers juin 2007 EXERCICE 1 6 points En 2003, une étude est réalisée sur un échantillon représentatif de la population française composé de 1 500 individus. La première

Plus en détail

mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques

mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques

Plus en détail

Mathématiques en Terminale ES. David ROBERT

Mathématiques en Terminale ES. David ROBERT Mathématiques en Terminale ES David ROBERT 0 0 Sommaire Suites. Activités........................................................... Suites géométriques Rappels..............................................

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. Activités numériques (12 points)

Plus en détail

A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes

A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes On peut calculer les rentabilités de différentes façons, sous différentes hypothèses. Cette note n a d autre prétention que

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Hiver 2 009

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Hiver 2 009 blabla BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Hiver 2 009 Épreuve : MATHÉMATIQUES Série SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION Spécialités : Comptabilité et finance d entreprise (coefficient : 3) Gestion des systèmes

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Chapitre 3 Term. STMG Les suites numériques Ce que dit le programme : Suites arithmétiques et géométriques CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme

Plus en détail

Rappel mathématique Germain Belzile

Rappel mathématique Germain Belzile Rappel mathématique Germain Belzile Note : à chaque fois qu il est question de taux dans ce texte, il sera exprimé en décimales et non pas en pourcentage. Par exemple, 2 % sera exprimé comme 0,02. 1) Les

Plus en détail

Aire sous une courbe et calcul de primitives

Aire sous une courbe et calcul de primitives Aire sous une courbe et calcul de primitives Le calcul de primitives d une fonction et celui de l aire de la surface bordée par le graphique de cette fonction sont intimement liés. Les exemples qui suivent

Plus en détail

ENONCE : La formule de Black et Scholes sur les marchés financiers (Niveau terminale S ou ES)

ENONCE : La formule de Black et Scholes sur les marchés financiers (Niveau terminale S ou ES) ENONCE : La formule de Black et Scholes sur les marchés financiers (Niveau terminale S ou ES) Depuis sa publication en 1973, la formule de Black et Scholes s est imposée comme la référence pour la valorisation

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Brevet Juin 007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Exercice 1 : 1) A = 500 (10 3 ),4 10 7 8 10 4 = 500 10 6 4 10 1 10 7 8 10 4 500 4 = 8 = 500 3 8 8 = 500 3 100 10 4 = 1500 10 0 + 4 = 1500 10 4 = 1,5 10 3 10 4

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES. ISE Option Économie. ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES. ISE Option Économie. ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA YAOUNDÉ AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Mathématiques autour de la cryptographie.

Mathématiques autour de la cryptographie. Mathématiques autour de la cryptographie. Index Codage par division Codage série Code cyclique Code dual Code linéaire Corps de Galois Elément primitif m séquence Matrice génératrice Matrice de contrôle

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option Economique

MATHEMATIQUES Option Economique Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7 (ES) ES : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01

Plus en détail

L ALGORITHMIQUE. Algorithme

L ALGORITHMIQUE. Algorithme L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques

Plus en détail

nous pouvons calculer l intérêt obtenu par ce capital au bout d un an (n =1). 1an

nous pouvons calculer l intérêt obtenu par ce capital au bout d un an (n =1). 1an Chapitre IV : Les intérêts composés I. Généralités et définition Avec les intérêts composés, nous abordons les mathématiques financières de moyen et long terme. Pour gérer les comptes de moyen et long

Plus en détail

Second degré : Résumé de cours et méthodes

Second degré : Résumé de cours et méthodes Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus

Plus en détail

P (X) = (X a) 2 T (X)

P (X) = (X a) 2 T (X) Université Bordeaux I - année 00-0 MHT0 Structures Algébriques Correction du devoir maison Exercice. Soit P (X) Q[X]\Q.. Soit D(X) := pgcd(p (X), P (X)). a) Montrer que si deg D alors il existe α C tel

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

x 8 = 0 3x - 6 = 2x + 2 3x² 6 = 2x² + 2

x 8 = 0 3x - 6 = 2x + 2 3x² 6 = 2x² + 2 Partie numérique : 16 points Exercice n 1 (4 points) : Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Aucune justification n'est demandée. Écrire le numéro

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Ch. 1 : Bases de programmation en Visual Basic

Ch. 1 : Bases de programmation en Visual Basic Ch. 1 : Bases de programmation en Visual Basic 1 1 Variables 1.1 Définition Les variables permettent de stocker en mémoire des données. Elles sont représentées par des lettres ou des groupements de lettres

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013

T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura

Plus en détail

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x)

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x) EXERCICES LN Eercice : Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f ()=+ ln(). On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.. a. Calculer f () b. Déterminer l équation de la tangente T à

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle Master de mathématiques Analyse numérique matricielle 2009 2010 CHAPITRE 1 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires On veut résoudre un système linéaire Ax = b, où A est une matrice inversible

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2 Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la

Plus en détail

Baccalauréat ES 2014. L intégrale d avril à novembre 2014

Baccalauréat ES 2014. L intégrale d avril à novembre 2014 Baccalauréat ES 2014 L intégrale d avril à novembre 2014 Pour un accès direct cliquez sur les liens bleus Pondichéry 7 avril 2014............... 3 Liban 27 mai 2014................... 10 Amérique du Nord

Plus en détail