On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] en écrivant que M (d) si AM = BM ou bien AM 2 = BM 2

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1 1S Corrigé DS n o 9 Durée :h Exercice 1 ( 5,5 points ) Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(3; 1), B(; ) et C( ; 1). 1. Déterminer une équation de la droite (d 1 ), médiatrice de [AB], et vérifier que D(, 1) appartient à (d 1 ) (d 1 ) est la droite passant par I le milieu de [AB] et perpendiculaire à (AB). x I = x A + x B = 3 + = 5 y I = y A + y B donc I( 5 ; 5 ) x AB = x B x A = 3 = 1 y AB = (1) = 3 donc AB( 1; 3) = 1 Soit M(x; y) (d) x IM = x M x I = x 5 y IM = y M y I = y + 5 donc 5 IM(x ; y + 5 ) M (d) IM. AB = 0 = 5 x IM x AB + y IM y AB = 0 (x 5 ) ( 1) + (y + 5 ) ( 3) = 0 x + 5 3y 15 = 0 x 3y 5 = 0 x + 3y + 5 = 0 x + 3y + 5 = 0 est une équation de (d 1 ) x D + 3y D + 5 = + 3 ( 1) + 5 = = 0 donc D (d 1 ) Remarque On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] en écrivant que M (d) si AM = BM ou bien AM = BM 1

2 . Déterminer une équation de la droite (d ), hauteur issue de A dans le triangle ABC, et vérifier que E(, 5) appartient à (d ) (d ) est la droite passant par A et perpendiculaire à (BC). x BC = x C x B = = y BC = y C y B = 1 ( ) = 5 donc BC( ; 5) Soit M(x; y) (d ) x AM = x M x A = x 3 y AM = y M y A = y + 1 donc AM(x 3; y + 1) M (d) AM. BC = 0 x AM x BC + y AM y BC = 0 (x 3) ( ) + (y + 1) 5 = 0 x y + 5 = 0 x + 5y + 17 = 0 x + 5y + 17 = 0 est une équation de (d ) x E + 5y E + 17 = ( ) + 5 ( 5) + 17 = = 0 donc E (d ) 3. Prouver que (d 1 ) et (d ) sont sécantes et calculer les coordonnées de leur point d intersection, noté F (d 1 ) a pour équation x + 3y + 5 = 0 donc u ( 3; 1) est un vecteurs directeur de (d 1 ) et la droite (d ) a pour équation x + 5y + 17 = 0 donc v ( 5; ) est un vecteur directeur de (d ) x u y v y u x v = ( 3) ( ) 1 ( 5) = 17 donc u et v ne sont pas colinéaires donc les droites (d 1 ) et (d ) sont sécantes. x + 3y + 5 = 0 x + 5y + 17 = 0 x = 3y 5 ( 3y 5) + 5y + 17 = 0

3 x = 3y 5 1y y + 17 = 0 x = 3y 5 17y = 37 x = y = x = 6 17 y = donc F ( 6 17 ; 37 ) 17. Calculer, au dixième de degré près, une mesure de l angle aigu formé par les droites (d 1 ) et (d ) On a u ( 3; 1) est un vecteur directeur u de (d 1 )(voir question 3) et v ( 5; ) est un vecteur directeur u de (d ) u = x u + y u = = 10 et v = x v + y v = = 1 u. v = x u x v + y u y v = ( 3) ( 5) + 1 ( ) = 15 = 11 et u. v = u v cos( u, v ) = 10 1cos( u, v ) donc 10 1cos( u, v ) = 11 cos( u, v ) = ( ) donc ( u, v ) = cos , 1 o 10 1 L angle aigu formé par les deux droites donc α 57, 1 o 3

4 Figure donnée à titre indicatif : Exercice ( points ) On donne deux points A et B et on appelle I le milieu de [AB]. 1. Démontrer que pour tout point M du plan : MA. MB = MI IA I milieu de [AB] donc AI = IB = 1 AB MA = MI + IA et MB = MI + IB MA. MB = ( MI + IA).( MI + IB) = MI. MI + MI. IB + IA. MI + IA. IB = MI + MI.( IB + IA) + IA.( IA) car AI = IB = MI + MI. 0 IA = MI IA MA. MB = MI IA. On suppose AB = Déterminer, suivant la valeur de k, l ensemble E des points M tels que : MA. MB = k. (k constante donnée).

5 AB = donc AI = MA. MB = k MI IA = k MI = k + IA MI = k + On veut donc MI = k + k + > 0 k > Trois cas sont possibles : k < On a alors k + < 0 or MI 0 et donc l ensemble E = k = On a alors k + = 0 or MI = 0 et donc l ensemble E = I} k > On a alors k + > 0 et on a alors MI = k + donc l ensemble E est le cercle de centre I et rayon = k + Si k < E = Si k = 0 E = I} Si k > E est le cercle de centre I et rayon = k + 3. Quel est l ensemble obtenu pour k = 0? Si k = 0, MI = AI et donc E est le cercle de centre I et rayon = AI donc r = AB E est le cercle de diamètre [AB] Remarque MA. MB = 0 M = A ou M = B ou MA et MB orthogonaux donc M appartient au cercle de diamètre [AB] 5

6 Exercice 3 ( 7,5 points ) Le plan est muni d un repère orthonormal (O; i ; j ). Soient A(3; 6) et B(0; 6). On note E l ensemble des points tels que : MA + OM MB = 68 On complètera la figure au fur et à mesure. 1. Montrer que E est le cercle d équation x + y 6x 6y 7 = 0 ; préciser son centre et son rayon. Soit M(x; y) vérifiant MA + OM MB = 68 MA = (x x A ) + (y y A ) = (x 3) + (y 6) = x 6x + y 1y + 5 MB = (x x B ) + (y y B ) = x + (y 6) = x + y 1y + 36 OM = (x x O ) + (y y O ) = x + y (Le point O a pour coordonnées O(0; 0)) MA + OM MB = 68 (x 6x + y 1y + 5) + x + y (x + y 1y + 36) = 68 x 1x + y y x + y x y + 1y 36 = 68 x 1x + y 1y + 5 = 68 x 1x + y 1y 1 = 0 x 6x + y 6y 7 = 0 (on divise les deux membres par ) donc E est l ensemble des points M(x; y) vérifiant x 6x + y 6y 7 = 0 x 6x + y 6y 7 = 0 (x 3) 9 + (y 3) = 0 (x 3) 9 + (y 3) = 5 donc E est le cercle de centre E(3; 3) et rayon r = 5 = 5. Tracer le cercle C de centre C( ; 1 ) et de rayon 5. En donner une équation sous forme développée. Une équation de C est (x ( )) + (y 1 ) = ( ) 5 Une équation de C est (x + ) + (y 1 ) = 5 (x + ) + (y 1 ) = 5 x + x + + y y + 1 = 5 6

7 x + x + y y + 17 = 5 x + x + + y y 8 = 0 Une équation de C est x + x + + y y = 0 3. Déterminer les coordonnées des points d intersection de E et C ; on notera I celui dont l ordonnée est la plus grande, et J l autre point. Il faut résoudre le système formé avec les équations des deux cercles sous forme développée : x 6x + y 6y 7 = 0 x + x + + y y = 0 x 6x + y 6y 7 = 0 10x 5y 5 = 0 Ligne 1-Ligne soit L 1 L x 6x + y 6y 7 = 0 x y 1 = 0 On divise les deux membres par 5 x 6x + ( x 1) 6( x 1) 7 = 0 x 1 = y x 6x + x + x x = 0 x 1 = y 5x + 10x = 0 x 1 = y 5x(x + ) = 0 x 1 = y x = 0 x 1 = y x = 0 1 = y ou bien ou bien x = x 1 = y x = 3 = y Il y a donc deux points d intersection I( ; 3) et J(0; 1) I( ; 3) et J(0; 1) 7

8 . a) Déterminer une équation de la tangente à E en J ; on note T J cette droite. x EJ = x J x E = 3 y EJ = y J y E = donc JE( 3; ) est un vecteur directeur de (EJ) Soit M(x; y) un point de T J tangente en J à E x JM = x M x J = x y JM = y M y J = y + 1 donc JM(x; y + 1) T J tangente en J à E donc T J (EJ) M T J JM. JE = 0 x JM x JE + y JM y JE = 0 x ( 3) + (y + 1) ( ) = 0 3x y = 0 3x + y + = 0 Une équation de T J est 3x + y + = 0 Déterminer les coordonnées d un vecteur directeur de la tangente à C en J ; on note T J cette droite. x CJ = x J x C = y CJ = y J y C = 1 1 = 3 donc CJ(; 3 ) est vecteur directeur de (CJ) T J tangente en J à C donc T J (CJ) et J T J donc w ( 3 ; ) vecteur normal à la droite (CJ) est un vecteur directeur de T J w ( 3 ; ) est un vecteur directeur de T J b) Montrer que ces deux droites sont perpendiculaires (On dit que les cercles sont orthogonaux). Une équation de T J est 3x + y + = 0 donc z ( ; 3) est un vecteur directeur de T J w. 3 z = ( ) + 3 = = 0 8

9 donc w et z sont orthogonaux donc T J et T J sont perpendiculaires Exercice ( 3 points ) Les parties sont indépendantes. 1. x désigne un nombre réel tel que 0 < x < π. + On a cos(x) =. Calculer cos(x) et en déduire x. cos(x) = cos (x) 1 = ( ) + 1 = ( ) = 1 9

10 = + 1 = cos(x) = cos(x) = x = π + kπ ou x = 3π + kπ avec k Z x = π 8 + kπ ou x = 3π 8 + kπ avec k Z or 0 < x < π donc x = π 8 x = π 8 Remarque Vérifier avec la calculatrice que la valeur de cos( π ) correspond bien à celle donnée dans l énoncé 8. Résoudre dans R : cos(x) sin(x) = 0 cos(x) sin(x) = 0 1 sin (x) sin(x) = 0 sin (x) sin(x) + 1 = 0 On pose X = sin(x). Il faut alors résoudre l équation X X + 1 = 0 X 1 = 1 est une racine de X X + 1 = 0 X 1 X = c a = 1 donc X = 1 Recherche des solutions de sin (x) sin(x) + 1 = 0 : sin(x) = 1 x = π + kπ avec k Z sin(x) = 1 x = π 6 + kπ ou x = π π 6 + kπ avec k Z x = π 6 + kπ ou x = 5π 6 + kπ avec k Z S = π + kπ; π 6 + kπ; 5π } 6 + kπ avec k Z 10

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