Devoir surveillé n 10 AD, BF. BC et CG

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1 evoir surveillé n 10 Exercice 1 ( 7 points) : Soit un parallélogramme 1 Placer les points E, F et G tels que E =, F = et G = 2 8 Le but de l exercice est de montrer, par deux méthodes différentes, que les droites (E) et (FG) sont parallèles. 2 Méthode 1 : vec les vecteurs a) Exprimer E en fonction de et. b) Montrer que FG = c) onclure Méthode 2 : ans le repère (,, ) a) Pour quelle raison (,, ) est-il un repère du plan? b) éterminer, sans justifier, les coordonnées de,, et. c) alculer les coordonnées de E, F et G. d) émontrer que les droites (E) et (FG) sont parallèles. Exercice 2 (9 points) Soit (O; i ; j ) un repère orthonormé du plan. On considère les points ( 1 ; ), ( ; 2), (1 ; 0), ( ; 6) et E( ; ). 1 Faire une figure. 2 alculer les coordonnées des vecteurs et. Que peut-on dire du quadrilatère? éterminer les coordonnées du point F, symétrique de par rapport à. On admettra que F(6 ; 2). alculer les longueurs F, FE et E. Quelle est la nature du triangle EF? Justifier la réponse. 5 Les points, E et F sont-ils alignés? 6 éterminer les coordonnées des points H et G vérifiant : H = et G 2 G + G = 0. Exercice ( points ) ans le plan muni du repère (O ; i, j ), on considère les points : (6 ; ), ( ; 0), (5 ; ) et ( 1 ; 1). 1 Montrer que les droites (O) et () sont parallèles. 2 Les points, et sont-ils alignés? Justifier. éterminer y tel que M (25 ; y) soit aligné avec les points et. Soit E m, 1 où m est un réel. Pour quelle(s) valeur(s) de m, le quadrilatère OE est-il un trapèze?

2 Nom Nom

3 Exercice 1 ( 7 points) :Soit un parallélogramme 1 Placer les points E, F et G tels que E =, F = et G = 2 8 Le but de l exercice est de montrer, par deux méthodes différentes, que les droites (E) et (FG) sont parallèles. 2 Méthode 1 : vec les vecteurs a) Exprimer E en fonction de et. E = + E = + 8 b) Montrer que FG = FG = F + + G = c) onclure 2 E = 2 + Méthode 2 : ans le repère (, = 1 et FG = 2 +, + 2 = ) a) Pour quelle raison (,, ) est-il un repère du plan? et ne sont pas colinéaires. b) éterminer, sans justifier, les coordonnées de,, et. (0,0), (1, 0), (1, 1) et (0, 1) c) alculer les coordonnées de E, F et G. E = 8 = donc E 0, 8 F = + F = + = + Variante. Si F(x, y) on a : F x 1 y 0 et 0 1 F = x 1 = 0 x = 1 y = y = F 1, ( parallélogramme donc = ) donc F 1, car = G = + G = + 2 = + 2 = 1 ( parallélogramme donc + = et = Variante. Si G(x, y) on a : G x 1 y 1 et 1 0 G = 2 2 x 1 = 1 x = G 1 y 1 = 0 y = 1, 1 d) émontrer que les droites (E) et (FG) sont parallèles. E 0 1 /8 0 et FG 1/ 1 1 / sont-ils colinéaires? E 1 /8 et FG 2/ 1/. On a : donc G 1, 1 ) + car = 8 = = 0 donc E et FG sont colinéaires donc (E) // (FG)

4 Exercice 2 (9 points) Soit (O; i ; j ) un repère orthonormé du plan. On considère les points ( 1 ; ), ( ; 2), (1 ; 0), ( ; 6) et E( ; ). 1 Faire une figure. 2 alculer les coordonnées des vecteurs et. Que peut-on dire du quadrilatère? donc et donc = donc parallélogramme éterminer les coordonnées du point F, symétrique de par rapport à. est le milieu de [F] on a donc F = 2 Si F(x, y) on a : F x + y + 2 et F = 2 x + = 2 5 y + 2 = 2 2 x = 10 y = 2 x = 6 y = 2 donc F (6 ; 2) On admettra que F(6 ; 2). alculer les longueurs F, FE et E. Quelle est la nature du triangle EF? Justifier la réponse. F donc F = ( 2)2 + 2 = 20. FE 6 2 donc FE = ( ) = 10 E 6 donc E = ( 1)2 + ( ) 2 = 10 E 2 + FE 2 = = 20 = F 2 d'après la réciproque du théorème de Pythagore EF est rectangle en E 5 Les points, E et F sont-ils alignés? E + 1 et F ( 2) ( 1) 7 = donc E et F ne sont pas colinéaires donc les points, E et f ne sont pas alignés. 6 éterminer les coordonnées des points H et G vérifiant : H = et G 2 G + G = 0. Si H (x, y) on a H x + 1 y et donc H = Si G (x, y) on a : G x + 1 y, G x + y + 2 et G x 1 y 0 x (x + ) + (x 1) = 0 y 2 (y + 2) + y = 0 x x 8 + x = 0 y 2 y + y = 0 y x + 1 = y = 6 x = 1 y = 8 x = 5 y = donc G 2 G + G = 0 2 x = 10 2 y = 8 x = 5 y = E F o

5 Exercice ( points ) ans le plan muni du repère (O ; i, j ), on considère les points : (6 ; ), ( ; 0), (5; ) et ( 1; 1). 1 Montrer que les droites (O) et () sont parallèles. O 6 et donc 8 On a : 6 8 = 2 2 = 0 donc O et sont colinéaires donc (O) // () 2 Les points, et sont-ils alignés? Justifier. 8 et = 0 donc et colinéaires donc, et sont alignés. éterminer y tel que M (25 ; y) soit aligné avec les points et. M 25 6 y et 6 0 colinéaires si et seulement si (25 6) (0 ) ( 6) (y ) = 0 c'est à dire y 27 = 0 c'est à dire y = 8 9 = 28 Soit E m, 1 où m est un réel. Pour quelle(s) valeur(s) de m, le quadrilatère OE est-il un trapèze? OE est un trapèze si et seulement si O et E colinéaires O 1 1 et E m 6 1/ colinéaires si et seulement si 1 10 (m 6) = (m 6) = 0 m + 6 = 0 m = 28