BANQUE D ÉPREUVES FESIC

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1 CPE Lyon EPMI ESCOM ESEO ESIEE Amiens ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulon ISEP LASALLE Beauvais BANQUE D ÉPREUVES FESIC Concours Puissance - LaSalle Beauvais Admission en ère année après bac ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Samedi 8 mai 0 de h0 à 6h00 INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS L'usage de la calculatrice est interdit ainsi que tout document ou formulaire. L'épreuve comporte 6 eercices indépendants. Vous ne devez en traiter que maimum. Si vous en traitez davantage, seuls les premiers seront corrigés. Un eercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F). Un eercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse). Toute réponse eacte rapporte un point. Toute réponse ineacte entraîne le retrait d'un point. L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un eercice est traité correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses au 4 affirmations sont eactes). L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'eercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis. INSTRUCTIONS POUR REMPLIR LA FEUILLE DE RÉPONSES Les épreuves de la FESIC sont des questionnaires à correction automatisée. Votre feuille sera corrigée automatiquement par une machine à lecture optique. Vous devez suivre scrupuleusement les instructions suivantes : Pour remplir la feuille de réponses, vous devez utiliser un stylo bille ou une pointe feutre de couleur noire ou bleue. Ne jamais raturer, ni gommer, ni utiliser un effaceur. Ne pas plier ou froisser la feuille.

2 . Collez l étiquette code-barres qui vous sera fournie (le code doit être dans l ae vertical indiqué). Cette étiquette, outre le code-barres, porte vos nom, prénom, numéro de table et matière. Vérifiez bien ces informations. Eemple :. Noircissez les cases correspondant à vos réponses : Faire Ne pas faire Pour modifier une réponse, il ne faut ni raturer, ni gommer, ni utiliser un effaceur. Annuler la réponse par un double marquage (cocher F et V) puis reporter la nouvelle réponse éventuelle dans la zone tramée (zone de droite). La réponse figurant dans la zone tramée n'est prise en compte que si la première réponse est annulée. Les réponses possibles sont : V F V F vrai fau abstention abstention vrai fau abstention Attention : vous ne disposez que d'une seule feuille de réponses. En cas d'erreur, vous devez annuler votre réponse comme indiqué ci-dessus. Toutefois, en cas de force majeure, une seconde feuille pourra vous être fournie par le surveillant.

3 Banque d épreuves FESIC 0 Eercice n Bases en Analyse. Les quatre questions suivantes sont indépendantes. a) La dérivée de e est e. ln( ) - b) lim = +. + c) Soit f est une fonction définie sur. Si f = f, alors f est la fonction nulle. Soit A et B deu évènements d une même epérience aléatoire tels que P(A) = 0,, P(B) = 0,5 et P(A B) = 0,7. d) A et B sont incompatibles. Eercice n Bases en Géométrie.. Pour le a) et b), on se place dans le plan complee ( Ouv ;, ) Les questions a) et b) sont indépendantes. π π a) Si z = 6 cos + isin alors π arg( z) = [ π ]. b) Si M est un point d affie z de partie imaginaire non nulle et M un point d affie z' = z, alors M et M sont symétriques par rapport à O. de l espace. Pour le c) et d), on se place dans le repère orthonormé ( O; i, j,k) On pose (P ) et (P ) les plans d équations respectives 4 + 6y 0z + = 0 et 6 9y + 5z 8 = 0. = t+ Soit (d) la droite de représentation paramétrique y = t où t désigne un nombre réel. z = 5t c) (P ) et (P ) sont sécants. d) Le point A( ; ;-5) appartient à la droite (d). CPE Lyon EPMI ESCOM ESEO ESIEE Amiens ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulon ISEP LASALLE Beauvais page

4 Banque d épreuves FESIC 0 Eercice n Lecture graphique. On considère la représentation graphique (C) d une fonction f définie sur ainsi que la tangente à cette courbe au point A de coordonnées (0 ;). (C) a) f (0) =. b) f () =,5. c) L équation f() = possède une unique solution sur [,5 ;4]. d) f ( ) d 4. CPE Lyon EPMI ESCOM ESEO ESIEE Amiens ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulon ISEP LASALLE Beauvais page

5 Banque d épreuves FESIC 0 Eercice n 4 Volume d un parallélépipède rectangle. On veut réaliser, dans l'angle d'un plan de travail, un placard ayant la forme d'un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si sa largeur est, sa profondeur est et la hauteur est égale à la profondeur. 0; (les dimensions sont eprimées en dm). On suppose [ ] a) Le volume V() en dm de ce placard est égal à V()= ( + ) ( ). = + de courbe représentative (C) ci- On pose f la fonction définie sur [0 ;] par dessous. f( ) b) Pour tout appartenant à l intervalle [0 ;], f () 0. c) V() = f(). d) Dans le cas particulier où le parallélépipède rectangle serait un cube, son volume serait compris entre 00 et 5 dm. (C) CPE Lyon EPMI ESCOM ESEO ESIEE Amiens ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulon ISEP LASALLE Beauvais page

6 Banque d épreuves FESIC 0 Eercice n 5 Utilisation d une suite dans un algorithme. = +. On considère la suite ( u n ) définie sur par u 0 = et, pour tout n, un ( un n) On donne l algorithme suivant : Entrée : n est un entier naturel. Initialisation : u prend la valeur ; i prend la valeur 0. Traitement : Tant que i < n u prend la valeur ( ) u i ; i prend la valeur i +. Fin Tant que. Sortie : Afficher u. a) Pour n=, l algorithme nous donne le tableau suivant : b) Pour n =, l algorithme calcule u. n u i On considère la suite (v n ) définie sur par v n = u n + n. c) La suite (v n ) est une suite géométrique de raison et de premier terme v 0 =. d) Pour tout n, un = + n. n CPE Lyon EPMI ESCOM ESEO ESIEE Amiens ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulon ISEP LASALLE Beauvais page 4

7 Banque d épreuves FESIC 0 Eercice n 6 Utilisation d un algorithme avec les complees. Ouv ;,. On se place dans le plan complee ( ) On donne l algorithme suivant : Entrée : Traitement : Sortie : θ est un nombre réel. a est un nombre réel. b est un nombre réel. a est un nombre réel. b est un nombre réel. a prend la valeur a cos(θ). a prend la valeur a - b sin(θ). b prend la valeur a sin(θ). b prend la valeur b + b cos(θ). Afficher a. Afficher b. π Pour le a) et b) on suppose θ =, a = et b =. a) a ' =. + b) b ' =. Dans toute la suite on posera M le point d affie z = a + ib et M le point d affie z = a + ib avec a et b les deu nombres obtenus dans l'algorithme précédent. π c) Si θ =, a = et b = alors z ' =. iθ d) Dans le cas général où θ, z' = e z. Eercice n 7 Bases de logique. Pour le a) et b) on suppose z un nombre complee et Γ un sous ensemble de. a) z 0 si et seulement si Re(z) 0 et Im(z) 0. b) La contraposée de «si z Γ alors Re(z) = 0» est «si Re(z) = 0 alors z Γ». Pour le c) et d) on suppose f une fonction définie sur I = [ ;5]. c) Si f ( ) < 0 et f(5) > 0 alors l équation f() = 0 admet au moins une solution sur I. d) Si f admet une primitive sur I = [ ;5] alors f est continue sur I = [ ;5]. CPE Lyon EPMI ESCOM ESEO ESIEE Amiens ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulon ISEP LASALLE Beauvais page 5

8 Banque d épreuves FESIC 0 Eercice n 8 Calculs de limites. a) lim ep( ) =. b) lim ln 0 + =. c) Si, pour tout réel non nul, f( ) sin ( ) d) lim = π π. + alors f ( ) + lim = 0. Eercice n 9 Calculs d intégrales. a) b) 4 d = 4+. ln() 0 d =. + + e est une primitive définie sur de la fonction c) La fonction ( ) d) e d e 0 =. e. Eercice n 0 Notions de bases sur les nombres complees. Ouv ;,. On considère A le point d affie za = i, B le point On se place dans le plan complee ( ) d affie z B = et E le point d affie ze = + i. π π a) L écriture trigonométrique de + i est 4 cos + i sin. b) E est situé sur le cercle de centre O et de rayon R =. c) L ensemble des points M d affie z tels que z+ i = + z est la médiatrice du segment [AB]. d) L ensemble des points M d affie z tels que zz = est un cercle de rayon. CPE Lyon EPMI ESCOM ESEO ESIEE Amiens ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulon ISEP LASALLE Beauvais page 6

9 Banque d épreuves FESIC 0 Eercice n Utilisation des nombres complees en géométrie.. Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal direct ( Ouv ;, ) Soit f la transformation du plan complee qui, à tout point M d affie z 0, associe le point M d affie z ' = + i. z a) L image par f du point A d affie z A = + i est le point A d affie za' = + i. Dans toute la suite, on pose z = + iy avec 0 et y 0 et z = + iy avec, y. b) Re( z ') + y + y = ' =. + y c) Im( z ') = y ' =. + y d) L ensemble des points M d affie z 0 tel que z soit imaginaire pur est le cercle (C) de centre A 0; et de rayon R = privé du point O. Eercice n Etude d une fonction logarithme On considère la fonction f définie par : f ( ) ln( ² ) On note D l ensemble de définition de f. a) 0 si et seulement si. b) D =[ ;]. =. f ' =. c) La fonction f a pour fonction dérivée la fonction f définie sur D par ( ) d) L équation f() = a pour solutions = e et = e. CPE Lyon EPMI ESCOM ESEO ESIEE Amiens ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulon ISEP LASALLE Beauvais page 7

10 Banque d épreuves FESIC 0 Eercice n Etude d une fonction eponentielle. Soit f la fonction définie par repère orthonormal du plan. a) lim f( ) =. - b) lim f( ) = +. + e f ( ) = +. On désigne par C f la courbe représentative de f dans un c) La fonction f a pour fonction dérivée la fonction f définie sur par f '( ) d) f est croissante sur ] ;0] et décroissante sur [ 0; + [. = ( + ) ( + ) ( e ). Eercice n 4 Bases en probabilités. On considère, dans a), deu évènements E et F d une même epérience aléatoire. a) P ( E) P ( E) F =. F Pour le b), c) et d), nous utiliserons les hypothèses suivantes : Une urne contient 5 boules blanches et boules noires. Un joueur tire au hasard une boule dans l urne. Si la boule est blanche, il lance un dé tétraédrique dont les faces numérotées de à 4 ont la même probabilité d apparition. Si la boule est noire, il lance un jeton dont les faces numérotées de à ont la même probabilité d apparition. On considère les événements suivants : G : «Le joueur obtient le numéro», B : «Le joueur tire une boule blanche». b) c) d) 5 PB ( G ) =. PG ( ) =. 5 PG ( B ) =. CPE Lyon EPMI ESCOM ESEO ESIEE Amiens ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulon ISEP LASALLE Beauvais page 8

11 Banque d épreuves FESIC 0 Eercice n 5 Différentes lois de probabilités. a) Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l intervalle [0 ;5]. 5 P X = 0,4. b) Soit Y une variable aléatoire suivant une loi eponentielle de paramètre λ > 0. Pour tout c +, PY ( > c) = e λc. c) Soit T une variable aléatoire suivant une loi eponentielle de paramètre λ =. 0 PT ( 0) =. e µ ; σ et vérifiant P(0 Z ) = 0,75. d) Soit Z une variable aléatoire suivant une loi normale ( ) La loi de Z n est pas la loi normale centrée réduite ( 0;). Eercice n 6 Repérage dans l espace Dans l espace muni d un repère orthonormé ( Oi ;, jk, ), on considère le plan P d équation cartésienne = + t + y + z = 0 et la droite D dont une représentation paramétrique est, pour tout réel t, y = t. z = t a) Le point A( ;; ) appartient à D. b) Le plan P et la droite D sont sécants au point B de coordonnées ( ;4; ). = k c) La droite D, de représentation paramétrique y = k + pour tout réel k, est sécante au plan P. z = k d) Les droites D et D sont coplanaires. CPE Lyon EPMI ESCOM ESEO ESIEE Amiens ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulon ISEP LASALLE Beauvais page 9